高等数学第9章线性方程组

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线性方程组的几种求解方法

甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

线性方程组

第三章线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。

方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。

系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。

所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。

如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。

方程组（1）的解的全体称为它的解集合。

解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。

如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2）来表示。

实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。

在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。

实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。

下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。

先看一个例子。

例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。

求解线性方程组的方法探讨论文设计

求解线性方程组的方法探讨摘要:线性方程组在数学领域中的应用十分广泛，而且它的求解方法在代数的学习中有着重要的作用，线性方程组的求解方法与行列式、矩阵、线性变换、向量组的线性相关性有着很大的关系，而在《高等代数》中只介绍了高斯消元法以及克莱姆法则，所以解法比较单一，有一定局限性。

本论文首先对课题的背景、意义、国内外研究状况进行阐述。

而后介绍其概念和他的性质定理。

然后对线性方程组的求解方法进行归纳和总结。

在例题中说明对每种解法的步骤及其特点，并对各种方法的优缺点、适用性进行分析。

线性方程组的解法虽多，但是根据线性方程组的不同结构来选用合适的解题方法，才能提高解题的效率,更快更好的得到结果。

关键词：线性方程组；矩阵；初等变换；高斯消元法Discussion on Methods of Solving Linear EquationsAbstarct:Linear equations are widely used in mathematics, and its solution plays an i mportant role in learning algebra.The method of solving linear equations has a great r elationship with determinant, matrix, linear transformation and linear correlation of ve ctor groups.However, only gauss elimination and Cramer's Law are introduced in Advanced Algebra, so the solution is relatively simple and has certain limitations.Fi rstly, this paper expounds the background, significance and research status at home an d abroad of the subject.Then the concept and his property theorem are introduced.The n, the methods of solving the linear equations are summarized.In the examples, the ste ps and characteristics of each method are explained, and the advantages, disadvantage s and applicability of each method are analyzed.Although there are many solutions to linear equations, only by choosing appropriate solutions according to different structur es of linear equations can we improve the efficiency of solving problems and get bette r and faster results.Key words：linear equations; matrix; Elementary transformation; gauss elimination目录1.绪论 (1)1.1 线性方程组的求解的背景及意义 (1)1.2 线性方程组国内外研究现状及评价 (1)2.线性方程组的概念和基础理念 (2)2.1 线性方程组的概念及形式 (2)2.2线性方程组有无解的判定定理[]1 (2)2.3 线性方程组的解的结构 (3)2.3.1 齐次方程组的解的结构 (3)2.3.2 非齐次方程组的解的结构 (4)3.线性方程组的求解方法 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 LU分解法 (7)3.3 克莱姆（Cramer）法则 (8)3.4 逆矩阵解法 (10)3.5 分块矩阵解法[]75- (12)3.6 齐次线性方程组的基础解系求解方法 (13)3.7 非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法[]8 (14)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)1.绪论1.1线性方程组的求解的背景及意义线性方程组求解在中国有着悠久历史，对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早一千多年，记载于我国古代第一部数学专著《九章算术》的方程章。

高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义

11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2

=
2
, 3

=
3
.

(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2

=
11 1
素的代数余子式．
11
例如，三阶行列式 21
31

12
22
32
13
23 中元素 12 的余子式 =
33

= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12

⋱
⋮ ，则 = ⋮

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

教学内容：介绍函数的定义，讨论函数的性质，举例说明。

教学方法：通过讲解和示例，让学生掌握函数的基本概念和性质。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，如保号性、夹逼性等。

教学内容：介绍极限的定义，讨论极限的性质，举例说明。

教学方法：通过讲解和示例，让学生理解极限的概念和性质。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标：理解导数的定义，掌握基本函数的导数计算。

教学内容：介绍导数的定义，讲解基本函数的导数计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握导数的定义和计算方法。

2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。

教学内容：介绍微分的定义，讲解微分的计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分的概念和计算方法。

第三章：积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

教学内容：介绍定积分的定义，讲解定积分的计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握定积分的概念和计算方法。

3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标：理解微分方程的概念，掌握基本的微分方程解法。

教学内容：介绍微分方程的定义，讲解常见的微分方程解法。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分方程的概念和解法。

第四章：级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标：理解数项级数的概念，掌握级数的收敛性判断。

教学内容：介绍数项级数的定义，讲解级数的收敛性判断方法。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。

4.2 常微分方程的解法与应用教学目标：理解常微分方程的概念，掌握常见的解法及其应用。

教学内容：介绍常微分方程的定义，讲解常见的解法及其应用。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下：第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，简记作 Ax k =，其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证必要性设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数消耗部门生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。

高等数学第9章第5节

两边对 x 求导
y′
x =0
x
e −y =− cos y − x (0,0)
两边再对 x 求导
− sin y ⋅ ( y′)2 + cos y ⋅ y′′
令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y′ = −1
d y = −3 2 x =0 dx
2
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足: ① 在点 ② F(x0 , y0 , z0 ) = 0 ③ Fz (x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 则方程在点某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足并有连续偏导数 Fx ∂z =− , ∂x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 , 连续偏导数
2
x y x
2 Fy
=−
Fxx Fy − Fyx Fx
2 Fy
−
Fxy Fy − Fy y Fx
Fx (− ) Fy
=−
Fxx Fy 2 − 2Fxy Fx Fy + Fy y Fx2
3 Fy
例1. 验证方程可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域并求
dy d2 y , dx x = 0 dx2 x = 0
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyfv
令 u = x + y + z , v = xyz , 则 z = f ( u, v ),
Fx Fv Gx Gv
(P86-P87)

《高等数学》各章知识点总结——第9章

《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。

微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。

本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。

本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。

-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。

- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。

2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。

3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。

-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。

4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。

-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。

-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。

6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。

04_大学数学(二)-线性方程组

?????????????????1?16????????21934411132145213412131a????????????????10?1212?????3355119900144010412131??????????????????16???????219314411132145213412131???137110????????????????????33341100000000144010412131????????????????33?41???0000003100144010412131齐次方程组中令x4x5为自由变量
r( A )= r( A ). 且当 r(A) = r( A ) = r 时，方程组 (2.1)有 n−r 个自由变量 (自由未知数). 故有 − (I) (II) r=n时，自由变量个数为零，方程组有唯一解. r<n 时，方程组有无穷个解.
例2.3 λ , µ 取何值时，方程组
x1+2x3= −1 −x1+x2 −3x3=2 2x1−x2+ λ x3= µ 无解？有唯一解？有无穷解？
因此解方程组 (1.1) 就归结于解n−1元方程组 a'22x2+…+a'2nxn=b'2 ⋮ a's2x2+…+a'snxn=b's (1.3)
也即 (1.1) 有解⇐⇒ (1.2) 有解 ⇐⇒ (1.3) 有解. 再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所得方程组为
(2.4)
增广矩阵 A
i ⋅k+ j
⋮ a1n a11 ⋮ ai1 ⋮ ain ⋮ a + ka i1 ⋮ a jn + kain j1 ⋮ ⋯ a sn a s1

《高等数学》标准教案

《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。

教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。

教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。

第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。

教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。

教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。

2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。

教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。

第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。

教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。

3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。

教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。

第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。

教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。

4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。

高等数学试题库

第一章函数、极限与连续一、判断题:1．极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在。

（）2．如果)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在且相等，则)(lim 0x f x x →存在。

（）3．如果函数)(x f 在0x 处既左连续且右连续，则)(x f 在0x 连续。

（） 4．如果)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 连续。

（）5．如果函数)(x f 在0x 连续，则)(lim 0x f x x →存在。

（）6．极限 2200limy x xyy x +→→存在。

（）7．如果)(x f 在()b a ,内连续，则)(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值。

（） 8．如果)(x f 在[]b a ,内连续，则)(x f 在[]b a ,内必有最大值和最小值。

（） 9．极限 ()e x xx -=-→1lim 0。

（）10．极限21946853lim 2323=-++-∞→x x x x x 。

（）二、填空题:1．函数1)3ln(2222-++--=y x y x y 的定义域是。

2. 函数4192222-++--=y x y x y 的定义域是。

3.若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f 。

4. 函数 x y 2sin ln =的复合过程是。

5. 一切初等函数在其内都是连续的。

6. 设arctgx x y 2-=，则)(lim x y x --∞→= 。

7. 如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m = 。

8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →= 。

9. 函数11)(2+-=x x x f 的间断点是。

浅析线性方程组的解法及应用

目录摘要 ......................................................................... Abstract (I)第一章绪论 01.1 引言 0第二章行列式与线性方程组求解 02.1 标准形式的二元线性方程组 02.2 标准形式的三元线性方程组 (1)2.3 克莱姆法则 (2)2.3.1逆序数 (2)2.3.2 克莱姆法则 (3)第三章线性方程组的理论求解 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 线性方程组解的情况 (6)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (7)第四章求解线性方程组的新方法 (8)第五章线性方程组的应用 (10)5.1 投入产出数学模型 (10)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (13)第六章结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。

然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。

并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。

对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。

介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。

最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。

关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。

线性方程组知识点

线性方程组知识点线性方程组是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论线性方程组的定义、解的存在唯一性、解的表示形式及相关概念。

同时，还将介绍解线性方程组的常见方法。

一、线性方程组的定义线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。

一般地，一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。

二、解的存在唯一性线性方程组的解要求每个方程都被满足。

当线性方程组的未知数个数大于方程个数（即方程组行数小于列数）时，可能存在无穷多组解；当未知数个数小于方程个数（即方程组行数大于列数）时，可能无解。

对于未知数个数等于方程个数的情况，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的行数，解的存在唯一。

此时，方程组的解可以通过高斯消元法或克拉默法则来求解。

三、解的表示形式线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。

1. 唯一解：在方程组的解是唯一的情况下，解的表示形式可以写为一个向量，其中向量的每个分量对应一个未知数的值。

2. 无穷解：在方程组的解不唯一但存在无穷个解的情况下，解的表示形式可以写为一个参数形式的向量，其中向量的每个分量都包含了一个参数，通过参数的取值可以得到方程组的不同解。

3. 无解：在方程组的解不存在的情况下，方程组被称为矛盾方程组。

四、解线性方程组的常见方法解线性方程组的常见方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵法。

1. 高斯消元法：将线性方程组表示为增广矩阵，通过初等行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。

2. 克拉默法则：通过计算方程组的系数矩阵的行列式及其部分行列式，从而求解出每个未知数的值。

高等数学教材完整版

高等数学教材完整版一、引言高等数学是大学数学系列中的重要学科之一，它是为理工科学生提供数学分析、微积分和线性代数等基础知识的学科。

本教材旨在全面介绍高等数学的相关内容，帮助学生掌握数学分析的基本概念和理论，以及运用数学方法解决实际问题的能力。

二、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数定义1.2 基本初等函数介绍2. 极限与连续性2.1 极限的定义与性质2.2 无穷小量与无穷大量2.3 连续性的概念与判定方法三、微积分基础1. 导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算法则3.3 高阶导数与隐函数求导2. 微分中值定理与泰勒展开3.4 中值定理的证明与应用3.5 泰勒展开的推导与应用四、多元函数与多元微积分1. 多元函数的概念与性质4.1 二元函数的定义与图像4.2 多元函数的极值与最值2. 偏导数与全微分4.3 偏导数的定义与计算法则 4.4 全微分的概念与计算方法4.5 隐函数的偏导数与全微分五、重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分5.1 二重积分的定义与计算方法 5.2 三重积分的定义与计算方法2. 曲线积分与曲面积分5.3 曲线积分的计算与应用5.4 曲面积分的计算与应用六、常微分方程1. 基本概念与常微分方程的类型6.1 常微分方程的基本概念6.2 一阶常微分方程与二阶线性常微分方程2. 解常微分方程的基本方法6.3 可分离变量方程与线性方程6.4 齐次方程与一般线性方程的解法七、线性代数基础1. 线性方程组与矩阵7.1 线性方程组的高斯消元法7.2 矩阵的基本概念与运算法则2. 向量空间与线性变换7.3 向量空间的定义与基本性质7.4 线性变换的定义与矩阵表示法八、特征值与特征向量1. 矩阵的特征值与特征向量8.1 特征值与特征向量的定义8.2 特征多项式与特征方程2. 对角化与相似矩阵8.3 对角化与相似矩阵的性质8.4 矩阵的Jordan标准型九、常微分方程与线性代数的应用1. 同解与齐次线性方程组9.1 齐次线性方程组解的性质与分类9.2 矩阵指数与齐次线性方程组解的表示2. 非齐次线性方程组与常微分方程的应用9.3 非齐次线性方程组解的表示9.4 线性差分方程与常微分方程的关系十、总结与展望本教材通过对高等数学的系统讲解，使学生能够全面了解数学分析与微积分的相关理论与应用。

线性代数知识点框架及习题解读

线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱心。

为更多的学弟学妹提供方便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的基本概念，掌握函数的性质。

教学内容：函数的定义，函数的单调性，奇偶性，周期性。

教学方法：通过实例讲解函数的概念，利用图形演示函数的性质。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的基本概念，掌握极限的性质。

教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小，无穷大。

教学方法：通过实际问题引入极限的概念，利用数学推理证明极限的性质。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算教学目标：理解导数的基本概念，掌握基本函数的导数计算。

教学内容：导数的定义，导数的计算规则，基本函数的导数。

教学方法：通过实际问题引入导数的概念，利用公式计算基本函数的导数。

2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。

教学内容：微分的定义，微分的计算规则，微分在实际问题中的应用。

教学方法：通过实际问题引入微分的概念，利用公式计算微分。

第三章：积分与面积3.1 积分的概念与计算教学目标：理解积分的基本概念，掌握基本函数的积分计算。

教学内容：积分的定义，积分的计算方法，基本函数的积分。

教学方法：通过实际问题引入积分的概念，利用公式计算基本函数的积分。

3.2 面积的概念与计算教学目标：理解面积的概念，掌握面积的计算方法。

教学内容：面积的定义，面积的计算方法，平面图形面积的计算。

教学方法：通过实际问题引入面积的概念，利用公式计算平面图形的面积。

第四章：级数与级数求和4.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的基本概念，掌握级数的性质。

教学内容：级数的定义，级数的性质，收敛级数，发散级数。

教学方法：通过实际问题引入级数的概念，利用数学推理证明级数的性质。

4.2 级数求和的方法教学目标：掌握级数求和的方法。

教学内容：等差级数的求和，等比级数的求和，交错级数的求和。

教学方法：利用数学推理和实例讲解级数求和的方法。

第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念教学目标：理解微分方程的基本概念。

高等数学第9章线性方程组

m 0,m 1,m 9
时方程组有非零解。
9.3 齐次线性方程组
例 5 求方程组的一般解。
解：
x1 2x2 3x3 4x4 0

x1
x2 3x2
x3 x4 0 3x4 0
7x2 3x3 x4 0
1 2 3 4
解：原方程组可化成
(1m)x1 2x2 3x3 0， 2x1 (1m)x2 3x3 0， 3x1 3x2 (6m)x3 0．
9.3 齐次线性方程组
根据定理9.3，它有非零解的充分必要条件是
1m 2 3 2 1m 3 0 3 3 6m
m (m 1 )(m 9 ) 0
A~

a2 1
a2 2
a2n
b2
am1 am2 amn bm
9.2 非齐次线性方程组
经过初等行变换后可以化成以下的形式：
1 0 0 a1 r1 a1n c1
0 1 0 a2 r1 a2 n c2

9.2 非齐次线性方程组
当r<n时，这个线性方程组可相应地化为
x1
a1r1xr1a1nxn c1
x2
a2r1xr1a2nxn c2

xr arr1xr1arnxn cr
9.2 非齐次线性方程组
2
4 3
1 5 31 2 3 ( ① , ② ) 1 1 2 2
5 3
1 3
4 3
1 5 31 2 3 ② ③ ① ① (( 2 1 2)) 1 0 0 5 32 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2

高等数学、线性代数

[考试科目]高等数学、线性代数高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 :函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容。

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形．9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．6．了解定积分的近似计算法．7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功）.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

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