平面向量数量积
平面向量的数量积
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
原创1：5.3 平面向量的数量积
A．|a|＝ a·a
B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|
＝|a||b|，可知选项 B 是错误的．
4．(2015·湖北武汉调研)已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2 3，
平面向量的夹角与模(高频考点) 向量数量积的综合应用
考点一 平面向量数量积的运算
(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则xx12＋ ＋yy12的值为( B )
2 A.3
B．－23
C.56
D．－56
(2)(2014·高考江苏卷) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已
[解] (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈[0，π2 ]，从而 sin x＝12，所以 x＝π6 .
(2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6 )＋12，
故|A→B＋A→G＋A→C|的最小值为83.
[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. 2．求两个非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数 量积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且 两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
平面向量的数量积
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
第五章5.3 平面向量的数量积
30，则 x 等于
(C )
A．6 B．5 C．4 D．3
思维启迪 解析 答案 探究提高
(1) A→B·A→C＝(C→B－C→A)·(－C→A) ＝－C→B·C→A＋C→A2＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，
∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3， x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
向量的夹角与向量的模
【例 2】 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－ 思维启迪
解析
探究提高
3b)·(2a＋b)＝61，
∴|a＋b|＝ 13.
(1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的
当 a 与 b 反向时，a·b＝_－__|a_|_|b_|_，
夹角为锐角的必要不
a·a＝_a_2 ，|a|＝__a_·_a__； a·b
(4)cos θ＝_|_a_||_b_|_；
(5)|a·b|_≤__|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律
充分条件．因为若〈a， b〉＝0，则 a·b>0，而 a，b 夹角不是锐角； 另外还要注意区分 △ABC 中，A→B、B→C的
故D→E·D→C的最大值为 1.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 1 (2012·北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB
边上的动点，则D→E·C→B的值为__1_；D→E·D→C的最大值为_1__．
方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置，D→E在C→B方 向上的投影都是 CB＝1，∴D→E·C→B＝|C→B|·1＝1，当 E 运动到 B 点时，D→E在D→C方向上的投影最大即为 DC＝1， ∴(D→E·D→C)max＝|D→C|·1＝1.
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
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性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
4.3平面向量的数量积
已知点 F(1,0)， P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上运动． 点 点 设 → → → → P(0，b)，M(a,0)且PM·PF＝0，动点 N 满足 2PN＋NM＝0. (1)求点 N 的轨迹 C 的方程； (2)F′为曲线 C 的准线与 x 轴的交点，过点 F′的直线 l 交曲线 C 于不同的两点 A、B，若 D 为 AB 中点，在 x 轴上存 → → → → 在一点 E，使AB·(AE－AD)＝0，求|OE|的取值范围(O 为坐标 原点)．
k2≠0， 2 2 2 2 k x ＋2(k －2)x＋k ＝0，由 Δ＞0
⇒0＜k ＜1，
2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 2－k2 2 则 x0＝ k2 ，y0＝ k ，
→ → → ⇒→ → ∵AB·(AE－AD)＝0⇒AB⊥DE， 2 1 2－k 2 故直线 DE 方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， k k k 2 令 y＝0，得 xE＝1＋ 2(0＜k2＜1) k → ∴x ＞3，即|OE|的取值范围是(3，＋∞)．
2
【例5】已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) 0<α < β < π （1）求证：a+b与a－b互相垂直； （2）若|ka+b|=|ka－b|，求α－β（其中k ∈ R且k≠ 0） － （ （3）|ka+b|= 3 |a-kb|,其中k>0. ①用k表示a·b； ②求a·b最小时，a与b的夹角.
【解】 (1)P(0，b)，M(a,0)，设 N(x，y)， 2 → → 由PM·PF＝0⇒a＋b ＝0，① 由
→＋NM＝0⇒2x＋a－x＝0， → 2PN ⇒ 2(y－b)－y＝0
a＝－x， ⇒ 1 b＝2y.
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理平面向量的数量积是向量分析中比较重要的概念之一、它的定义形式上类似于常见的点乘，可以用来刻画向量的夹角、垂直关系以及向量在另一个向量上的投影等。
在此处，我将整理出平面向量的数量积的相关知识点，并进行详细解释。
一、平面向量的数量积的定义在二维平面内，对于任意两个向量A、B，其数量积（又称为点积或内积）定义为：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，是向量A的模（长度），B，是向量B的模，θ是A和B 之间的夹角。
二、数量积的性质1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.数量积的倍乘：-(kA)·B=k(A·B)-A·(kB)=k(A·B)4.数量积的平方：A·A=，A，^2三、向量夹角的判断对于任意两个非零向量A、B，如果它们的数量积满足A·B=0，则称A和B是垂直的；如果数量积满足A·B>0，则称A和B是锐角的；如果数量积满足A·B<0，则称A和B是钝角的。
四、向量在另一个向量上的投影对于一个非零向量A和任意一个向量B，A在B上的投影定义为：投影向量P=(A·B/，B，^2)B五、数量积的几何意义1.两个向量的夹角等于它们之间的数量积和它们的模的乘积的余弦值的反余弦：θ = arccos(A·B / [，A，，B，])2.向量A在向量B上的投影的模等于A与B的数量积除以B的模的平方：P，=，A·B，/，B，^2六、数量积的应用1.判断两个向量是否垂直：-若A·B=0，则A和B垂直；-若A⊥B，则A和B垂直。
2.判断两个向量的夹角的大小：-若A·B>0，则0°<θ<90°；-若A·B<0，则90°<θ<180°。
平面向量的数量积
1、运算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2、向量不能约分(a b a c b c) 结合律不成立 (a b)c a(b c)
2
θ
a B1
),此时a b
A
0
(
2
,
θa
], 此时a
b0
θa
,此时a
b
0
三、数量积的几何意义
2
数量积 a b等于a的长度|a |与 b 在 a的方向上的
投影| b | cos θ的乘积，结果可以是正数、零或负数
例1、已知 a 5, b 4, a与b的夹角＝120，
左边是与c共线的向量，右边是与a共线 的向量，而一般a与c不共线
向量的数 量积不满 足结合律
例3. 证明下列各式: (1)( a+b )2=a2+2a·b+b2; (2)( a+b )·( a-b )=a2-b2.
证明: (1)( a+b )2=( a+b )·( a+b )
=a ·( a+b )+b ·( a+b ) 分配律
F
┓
s
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F
平面向量的数量积与向量垂直
平面向量的数量积与向量垂直平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，它可以用来判断两个向量之间的夹角以及它们是否垂直。
本文将介绍平面向量的数量积的定义、性质以及与向量垂直的关系。
1. 平面向量的数量积的定义平面向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·b。
对于平面上的两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a与b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c(3) 数量积为0的条件：a·b = 0，当且仅当向量a与b垂直。
3. 平面向量的数量积与向量垂直的关系根据数量积为0的条件，可以得出以下结论：若a·b = 0，则向量a与b垂直。
以证明为例，假设a·b = 0，即|a|·|b|·cosθ = 0。
由于向量模长均为非负数，所以可以得出结论：cosθ = 0。
而当cosθ = 0时，夹角θ为90度或其整数倍，即向量a与b垂直。
反之亦成立，即若向量a与b垂直，则a·b = 0。
基于以上性质，可以通过计算平面向量的数量积来判断两个向量之间的关系，特别是向量是否垂直。
4. 使用数量积判断向量是否垂直的实例例1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-3, 2)，判断向量a与向量b是否垂直。
解：计算向量a·b = |a|·|b|·cosθ = 2·(-3) + 3·2 = -6 + 6 = 0。
由于a·b = 0，根据数量积与向量垂直的关系可知，向量a与向量b垂直。
例2：已知向量c = (1, 2)和向量d = (3, 4)，判断向量c与向量d是否垂直。
求平面向量数量积的5种方法
平面向量数量积的5种方法一、定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。
)(亦称内积)是两向量乘法运算中的一种，2121y y x x b a ⋅+⋅==⋅θ，叫做向量a 与b 的数量积。
θ为向量a 与b 的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，[]0,θπ∈。
二、几何意义为：b a ⋅等于a (或b )与b (或a )在a (或b )方向上的投影cos b θ(θcos a)的乘积。
三、运算率：①交换率：a b b a ⋅=⋅；②分配率：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+;③不满足结合率：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为前面表示与c 共线的向量，后面表示与a 共线的向量。
四、三种方法：1.定义法：代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。
2.绕法：当两向量的模与夹角不易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与夹角的向量）表示，然后代入到数量积公式中。
3.坐标法：如果给出两向量所在图形存在垂直关系（易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标计算。
4.投影法：当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。
5.特殊图形法：如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。
1、利用定义计算（简单）。
1.(2010年辽宁卷)平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==，则OAB ∆的面积等于 ( ) 222()a b a b -⋅ 222()a b a b +⋅C.12222()a b a b -⋅ D.()22221ba b a ⋅+2.(2016年新课标全国卷II3)已知向量()()2,3,,1-==b m a 且()b b a ⊥+，则m = ( ) A.－8 B.－6 C.6 D.83.(2012年辽宁卷)已知向量)1,1(-=a ，),2(x b =，若1=⋅b a ，则x = ( ) A.—1 B.—12 C.12D.1 4.(2016年新课标全国卷II4)已知向量b a ,满足1,1-=⋅=b a a ，则()b a a -⋅2= ( ) A.4B.3C.2D.05.(高考题)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是 。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积和向量积的计算
平面向量的数量积和向量积的计算平面向量是应用广泛的数学工具之一，在物理、工程学和计算机科学等领域都有重要的应用。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的计算方法。
本文将介绍平面向量的数量积和向量积的计算方法及其应用。
一、数量积的计算方法数量积（又称点积或内积）是两个向量的乘积与两个向量之间夹角的余弦值的乘积。
对于平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的数量积可以通过以下公式计算：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，“·”表示数量积，“|A|”表示向量A的模长，“|B|”表示向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
例如，对于向量A(3,-2)和向量B(5,4)，它们的数量积可以计算如下：A·B = |A| * |B| * cosθ= √(3^2 + (-2)^2) * √(5^2 + 4^2) * cosθ= √13 * √41 * cosθ二、向量积的计算方法向量积（又称叉积或外积）是两个向量的乘积与两个向量所在平面的法向量的模长的乘积。
对于平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的向量积可以通过以下公式计算：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中，“×”表示向量积，“|A|”表示向量A的模长，“|B|”表示向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位法向量。
例如，对于向量A(3,-2)和向量B(5,4)，它们的向量积可以计算如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n= √(3^2 + (-2)^2) * √(5^2 + 4^2) * sinθ * n= √13 * √41 * sinθ * n三、数量积和向量积的应用1. 数量积：数量积在很多物理应用中起到重要的作用。
例如，在力学中，当两个力的夹角为零时，数量积表示力的乘积，可以用来计算功和能量；当两个力的夹角为90°时，数量积为零，表示两个力垂直，可以用来判断力的正交性。
平面向量的数量积
一周强化一、一周知识概述平面向量的数量积是平面向量的重要内容之一，其难点是数量积定义的正确理解，以及运算律的证明与正确使用．通过本节的学习，使同学们知道数量积是向量之间的乘法，与数的乘法是有区别的，数乘向量为向量，平面向量的数量积是数量.二、知识归纳1、平面向量数量积及相关概念（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a|·|b|cosθ叫做a和b的数量积（内积），记作a·b，即a·b=|a|·|b|cosθ.（2）向量的夹角：如图所示，已知两个非零向量a和b，作则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a和b的夹角.当a、b同向时，θ=0°；当a、b异向时，θ=180°.（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2、数量积的重要性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，根据定义可推得如下性质.（1）e·a=a·e=|a|cosθ.（2）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；当a与b反向时，a·b=－|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2，或.（3）当a⊥b时，a·b=0；反之也成立，即.（4）（向量夹角的公式）.（5）| a·b |≤|a|·|b|.3、向量数量积的运算律交换律a·b = b·a与实数相乘的结合律（λa）·b =λ（a·b）= a·λb分配律（a＋b）·c= a·c＋b·c4、向量垂直的充要条件向量式a·b坐标式a⊥b三、难点剖析1、关于平面向量的数量积的定义及几何意义，要注意：（1）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆. a、b中的点“·”一般不能省略.（2）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角范围是0°≤θ≤180°.（3）当a≠0时，由a·b =0不能推出b一定是零向量，这是因为任意一个与a垂直的非零向量b，都有a·b =0.这由向量的几何意义就可以理解.2、向量的数量积的性质有，，，因此，用平面向量的数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题.3、关于向量数量积的运算性质，要注意：（1）二向量的数量积不是向量而是数量.要准确区分二向量数量积的运算性质与数乘向量、实数与实数的积之间的差异.（2）若a、b、c（b≠0）为实数，则，但对于向量就不正确，即.（3）数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即（a·b）c不一定等于a（b·c）.这是由于（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.也就有a（b·c）与（a·b）c不一定相等.四、例题讲解例1、已知：|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.分析：①a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，∴a·b =| a || b|cos0°=3×6×1=18；若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，∴a·b =| a || b|cos180°=3×6×（－1）=－18；②a⊥b时，它们的夹角θ=90°，∴a·b =0；③a与b的夹解是60°时，有例2、已知a、b都是非零向量，且a＋3 b与7a－5 b垂直，a－4 b与7a－2 b垂直，求a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与| a |，| b|即可.解：由已知（a＋3b）⊥（7a－5 b）（a＋3b）·（7a－5 b）=07a2＋16a·b－15b2=0 ①又（a－4 b）⊥（7a－2 b）（a－4 b）·（7a－2 b）=07a2－30a·b＋8b2=0 ②①－②得：46 a·b=23b2即有，将它代入①可得：7|a|2＋8|b|2－15|b|2=0 即|a|2=|b|2有|a|=|b|∴若记a与b的夹角为θ，则，又θ∈[0°，180°]，∴θ=60°，所以a与b的夹角为60°.例3、求证：证明：例4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是从D作AC的垂线的垂足，F是DE的中点.求证：AF ⊥BE.。
平面向量的数量积与向量积
平面向量的数量积与向量积一、平面向量的数量积1.定义：两个非零向量a和b的点积（数量积）定义为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角，|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘律：λa·b=(λa)·b=λ(a·b)（4）共线向量的性质：若向量a与向量b共线，则a·b=03.数量积的应用：（1）求向量的夹角：cosθ=(a·b)/(|a||b|)（2）判断向量垂直：若a·b=0，则向量a与向量b垂直（3）计算向量的模长：|a|=√(a·a)二、平面向量的向量积1.定义：两个非零向量a和b的向量积（叉积）定义为a×b=|a||b|sinθn，其中θ为a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位法向量。
（1）交换律：a×b=b×a（2）与数量积的关系：|a×b|=|a||b|sinθ（3）数乘律：λa×b=(λa)×b=λ(a×b)（4）垂直性：a×b与a、b垂直，即(a×b)·a=0，(a×b)·b=03.向量积的应用：（1）求向量的夹角：sinθ=|a×b|/(|a||b|)（2）判断向量平行：若a×b=0，则向量a与向量b平行（3）计算平行四边形的面积：S=|a×b|（4）求力矩：力矩M=r×F，其中r为力的作用点到转轴的向量，F为力向量三、数量积与向量积的区别与联系（1）数量积是基于两个向量的夹角和模长计算的，而向量积是基于两个向量的夹角和模长计算的垂直于它们所在平面的向量。
（2）数量积是一个标量，而向量积是一个向量。
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平面向量的数量积
一.知识梳理：
1.数量积的概念：设a →=(x 1,y 1),b →=(x 2,y 2)，θ是a →,b →夹角
则：a →·b →=__________________=___________________(坐标形式)
其中： a →,b →夹角θ的定义是什么？ θ的取值范围是________
【跟踪1】在边长为1的正三角形ABC 中，AB →·AC →=______AB →·BC →=___________
2.向量a →在b →方向上的投影是|b →|cos θ=___________=__________________(坐标形式)
3. 几何意义：数量积a →·b →等于a →的长度|a →|与b →在a →方向上的投影|b →|cos θ的乘积.
【跟踪2】下列结论正确的有：_________
① a →·b →=b →·a →； ② λa →·b →=λ(a →·b →)=a →·(λb →)；
③ (a →＋b →)·c →=a →·c →＋b →·c →； ④ (a →＋b →)2=a →2＋2a →·b →＋b →2;
⑤ (a →·b →)c →=(b →·c →)a →； ⑥若a →·b →=a →·c →，则a →=c →
4.应用： (1) 求长度：若a →=(x,y)，则｜a →|2=a →2=x 2＋y 2,｜a →｜=x 2+y 2 .
① 推广：求|a →＋b →|可以利用|a →＋b →|2=(a →＋b →)2 ② 如果表示向量a →的有向线段的起点和终点
坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则a →=__________, |a →|=____________；
【跟踪3】设│a →│=1，︱b →︱=2，且a →、b →的夹角为120o ，则︱2a →＋b →︱等于（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）12 （D ）2 3
(2) 求夹角：两个非零向量a →=(x 1,y 1),b →=(x 2,y 2)，则cos θ=__________=______________(坐标形式)
【跟踪4】已知|a →|=8，|b →|=10,︱a →＋b →︱=16，求a →与b →的夹角θ的余弦值.
《估算角的范围》若a →·b →<0,则a →与b →夹角为钝角或平角；
若a →·b →=0,则a →与b →直角；a →·b →>0,则a →与b →夹角为锐角或零度角.
(3) 判断垂直关系：a →⊥b →⇔a →·b →=0⇔ x 1x 2＋y 1y 2=0.
【跟踪5】已知|a →|=3，|b →|=4，且a →，b →不共线，k 为何值时，向量a →＋k b →与a →―k b →互相垂直？
『小结论』①若a →∥b →,a →=(x,y),则设b →=λ(x,y)；②若a →⊥b →,a →=(x,y),则设b →=λ(y,―x).
【跟踪6】（1）若a →∥b →，a →=(3,4)，|b →|=10，则b →= ；
（2）若a →⊥b →，a →=(3,4)，|b →|=10，则b →=
5、向量与三角形（或其它平面图形）结合：（1）若|OA →|=|OB →|=|OC →|,则点O 是△ABC 的_______；
（2）若OA →＋OB →＋OC →=0→，则点O 是△ABC 的________；
（3）若OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →，则点O 是△ABC 的_________；
*（4）若点P 满足：OP →=OA →+λ(OA →|OA →|＋OB →|OB →|
),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的_________ 【跟踪7】在四边形ABCD 中，E 、F 为AD 、BC 中点，且EF →=12(AB →＋DC →)则四边形ABCD 必为( )
(A)平行四边形 (B)梯形 (C)矩形 (D)任意四边形
二．巩固练习：
1.已知AB →=(12 ,12 ),AC →=(―2,y),若AB →⊥AC →，则y 的值为 ( ) A.―12 B.―2 C.12
D.2 2.a →=(―4,3), b →=(5,6),则3|a →|2―4a →·b →=( ) A.23 B.57 C.63 D.83
3.在三角形ABC 中，a=5，b=8，C=600，则BC →·CA →的值等于 （ ）
（A ）20 （B ）―20 （C ）20 3 （D ）―20 3
4.若a →=(2,3), b →=(―4,7)，则a →在b →方向上的投影为( ) A.13 B.13 5 C.65 5
D.65 5.如果a →•b →=a →•c →且a →≠0，那么（ ）
A. b →=c →
B. b →=λc →
C.b →⊥c →
D.b →,c →在a →方向上的投影相等.
6.下列命题中正确的是 _____________
① 若a →=0→，则对任一向量b →,有a →•b →=0；② 若a →≠0→，则对任一个非零向量b →，有a →•b →
≠0； ③ 若a →≠0→，a →•b →=0，则b →=0→；④ 若a →⊥b →，则a →•b →=0；⑤ 若a →≠0→，a →•b →=a →•c →,则b →=c →
7.已知a →,b →均为单位向量，它们的夹角为60o ,那么|a →＋3b →︱=_________
8.已知|a →|=4，|b →|=5,︱a →＋b →︱=8，则 a →与b →的夹角θ的余弦值________________
9.若a →=(λ,2)，b →=(―3,5),且a →与b →的夹角是锐角，则λ的取值范围是____________
*10.若m 2+n 2=4, x 2+y 2=9, 则mx+ny 的最小值是______ .
11. 已知|a →|=2，|b →|=3，a →与b →的夹角为1200.
(1)求(2a →―b →)·(a →＋3b →)与|a →＋b →|的值；(2)当x 为何值时，x a →―b →与a →＋3b →垂直？
*12.已知向量a →，b →都是非零向量，且a →＋3b →与7a →―5b →垂直，a →―4b →与7a →―2b →垂直，求a →与b
→的夹角.。