好梦难圆---一道中考题的另解

好 梦 难“圆”

——— 一道中考题的另解

2013中考已成为历史，2014年中考即将来临。浏览湖北各区市2013中考

数学试题，唯武汉最难。武汉2013年中考刚完，就有考生及家长在中考qq 群

发布消息： “2013武汉中考数学很难很坑爹!”“数学之难，难于上青天……！” 更有诗为证：烈日炎炎似火烧，数学王子把头摇。好梦难圆壮志消，垂头丧气心

枯焦！……

纵观整张卷子，简单题很简单，与往年一致，但是难题10、16、22（2）、

24、25题难度非常大，特别是第22题一道与圆有关的综合试题，很多学生找不

着切入点，无从下手，好梦难圆！ 现录题及标准答如下：

22、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点

P 是⋂

AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．

（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=；

（2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

(1) 证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．

又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形

∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°， 又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．

（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．

∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，

∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=25

24． 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．

在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．

第22题图①第22题图②第22（2）题图

P F E

D C B A 在Rt △AG

E 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝

AC FC AE EG =， ∴a

a EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=2

12412==a a CF EF ． 这种解题思路主要用了“转化圆周角为圆心角”这一模型的辅助线方法，然

后根据勾股定理、三角函数等知识构造方程解决问题。这一模型若平时老师没特

意引导，学生若不是妙手偶得，是很难想到的，特别是在限时答题的考场之中。

这道中考题还有没有其它简单一点的方法呢？下面谈谈本人的解题思路：(1)由

25

24sin =∠BPC ，想到直角三角形，这样就想到过点B 作BD 垂直于AC 于点D 。（2）由点P 为⋂AB 的中点，想到角平分线定理，这样可过点E 作EF 垂直BC 于

点F 。由上面的思路进而得到本题解题方法。附本人解法如下：

（2）解：过点B 作B D ⊥AC 于点D,交PC 于点E,过点E 作EF ⊥BC 于点F.

由,BAC BPC ∠=∠25

24sin =∠BPC ， 设,25,24x AC AB x BD ===则 在ADB Rt ∆中，由勾股定理有x AD 7=，

∴,18x AD AC CD =-= 在BDC Rt ∆中，由勾股定理有x BC 30= 设m x BE m DE m EF -===24,,则

由△BEF ∽△BCD 有

BC CD BE EF = 即x

x m x m 301824=- 解之得x m 9= ∴ 2

1189tan tan tan ===∠=∠=∠x x CD DE DCE PCB PAB