2016二次函数一题多问
一题多思 触类旁通——二次函数最小值、存在性问题攻克方略
Ｉ 】
② ③
同理可得平面 Ｓ Ｃ的法 向量 ， 一 （ ， ，） Ｂ ｌ １１１ ，
‘
．
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‘
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ｎｎ —０ 即 ２ ＋ １ ，‘ ２ ， 一 —０ ． ． 一÷ ， 到此 Ｅ点 坐
） ．
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坐标 ；
已知二次函数 一一专 ｚ＋ｚ 。 ＋昔 ， 与 轴交于
Ｂ两点（ 在 Ｂ左侧 ）与 Ｙ轴交于 ｃ点 ， Ａ ， 抛物线 的顶 点是 Ｄ点 ， 求解下列 问题 ：
、
１通过配方法 ， ． 确定 抛物线 的开 口方 向、 称轴 、 对 顶
点坐标 ；
１． ２ 抛物线上是否存在一点 Ｅ， 以点 Ａ、 ｃ、 使 Ｂ、 Ｅ为 顶 点的四边形为梯形 ， 若存在 ， 出点 Ｅ的坐标 ； 求 若不存
取值范 同；
． ． …
“ 一 ｐ Ｂ ； ： １ 、４ ５６
８ 次 数 一 ＋＋ ，由 ． 函 一 二 ｚ 萼可
平移
位得到．
彩 … － ／ ｌ …． ． Ｉ４… Ｉ － ５ ４ ５３ ｌ Ｉｉ ． ３Ｄ 一 ： ／ 一 － ， ２
设 Ｓｘ，，）所 以 一（ 一１ ， ， §＝（ ｙ （ Ｙｚ， ｚ ， ）百 ＝ ， － ＝
２ｚ ， ， ） ＡＳ＝ （ － ２ 一 ２ ） ＝ ｘ ＝ ， ， ，
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即 （ 一 ） （ －ａ ｙ ２ ｚ １ ＋ １ ） ＋ Ａ ＝０， ｖ ， ２ 一０
中学 教 学 参考
疑难 点 击
一
题
《二次函数》经典50题含解析
《二次函数》50题一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤26．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y28．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y29．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y012．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．1615．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．418．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.519．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣522．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜823．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．427．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣228．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．229．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为531．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．232．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．1133．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜334．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝235．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜036．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.740．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定44．若二次函数y＝﹣x2+px+q的图象经过A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1 45．设抛物线y＝ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为M，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S．下面哪个选项的抛物线满足S＝1．（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣0.5）（x+1.5）C．y＝x+1D．y＝（a2+1）x2﹣4x+2（a为任意常数）46．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个47．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a+c＝1；②b2﹣4ac≥0；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x＝﹣．其中结论正确的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个48．若二次函数y＝|m|x2+nx+c的图象经过A（a，b）、B（0，y1）、C（5﹣a，b）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2 49．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．D．50．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点．连接AM，BM，当|AM﹣BM|最大时，点M的坐标是（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）【解答】解：∵抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，∴（﹣+）＝﹣1，∴m+n＝﹣5，∴抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），∴2m﹣4＝4+2（3m+n）+n，∴4m+3n＝﹣8，解得m＝7，∴y＝2m﹣4＝10，∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，10），故选：B．2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝＝﹣1．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵点B到直线x＝﹣2的距离大于2，∴点A到直线x＝﹣2的距离大于2，即点A在（﹣4，0）的左侧，∴当x＝﹣4时，y＞0，即16a﹣4b+c＞0，∴a﹣b+c＞0，所以②正确；∵C（0，c），OB＝OC，∴B（c，0），∴ac2+bc+c＝0，即ac+b+1＝0，所以③错误；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴A（﹣4﹣c，0），∴﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故选：C．4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，所以②正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，所以④正确；故选：D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，1），∴当y＝1时，x＝1，当y＝2时，x2﹣2x+2＝2，x＝0或2，∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，∴1≤a≤2，故选：D．6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴﹣＝1，∴b＝2；故选：D．7．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+4x+c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下，∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，∵点（4，y3）离对称轴的距离最远，点（，y2）离对称轴的距离最近，∴y2＞y1＞y3，故选：C．8．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+m，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点（﹣4，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，∴y1＜y2＜y3．故选：C．9．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，∴m＝﹣；将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；故选：A．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y0【解答】解：∵x0满足关于x的方程ax+2＝0，∴x0＝﹣，∴点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+4x+c的顶点坐标．∵a＞0，∴对于任意实数x都有y≥y0．故选：A．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a，即a+b＝0，所以②正确；∵抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，∴x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，所以③错误；∵抛物线的顶点的纵坐标为1，∴＝1，把b＝﹣a代入得4c﹣a＝4，所以④正确．故选：C．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；若a+c＝b+3，即a﹣b+c＝3，则该抛物线一定经过点（﹣1，3），所以②错误；当P（m，n）为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；若P（m，n）不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c＝n有两个不相等的实数解，所以③错误；当P点为顶点时，△P AB的面积最大．此时x＝﹣＝m，∵x1、x2为方程ax2+bx+c＝0的两不相等的实数解，∴x1+x2＝﹣，∴m＝，所以④正确．故选：D．14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．16【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故选：A．15．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∴当x＝﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，）到直线x＝﹣1的距离小，∴y1＞y2，所以③错误；∵x＝2，y＝0，∴4a+2b+c＝0，把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．故选：B．16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限【解答】解：由抛物线y＝﹣x2+3x﹣1可知抛物线开口向下，与y轴的交点为（0，﹣1），对称轴为直线x＝﹣＞0，∴抛物线对称轴在y轴的右侧，∴直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2）都在第四象限，故选：D．17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．18．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.5【解答】解：根据题意得＝3，﹣＝5，解得a＝﹣，b＝2或b＝﹣2，∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式为y＝﹣x2+2x或y＝﹣x2﹣2x，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+4）2+4，∴二次函数y＝ax2+bx有最大值4．故选：A．19．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣2m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，∴4m+8＝±6，当4m+8＝6时，m＝﹣，当4m+8＝﹣6时，m＝﹣，∴m的值是﹣或﹣．故选：D．20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣5【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3+1．即y＝﹣2（x﹣2）2﹣2；故选：B．22．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜8【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，当x＝1时，y＝0；当x＝5时，y＝8；当x＝2时，y＝﹣1；∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．故选：A．23．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 【解答】解：∵抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），∴点A（﹣2，0），点B（2，0），该抛物线的顶点坐标为（0，4），∵将抛物线M绕点B旋转180°，得到新的抛物线M'，∴新的抛物线M'的顶点坐标为（4，﹣4），点A关于点B的对称点为（6，0），∴新的抛物线M'的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12，故选：D．24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，故选：C．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故本说法错误；（2）方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故本说法正确；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大，故本说法错误；（4）由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，一定不过第二象限，故本说法正确；故选：B．26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时，a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：C．27．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵k＜0，∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随着x的增大而增大∴m≤﹣，而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，所以m≤﹣2，故选：D．28．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即﹣＝0，∴b＝0，∴25a+c＝0，∵a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx，a（x﹣2）2+c＝0，∴a（x﹣2）2＝25a，∴（x﹣2）2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3，即关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解为x1＝7，x2＝﹣3．∴x1+x2＝4．故选：C．29．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；故选：D．30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为5【解答】解：A、y＝2（x﹣2）2+5＝2x2﹣8x+13，则图象与y轴的交点坐标为（0，13），原题说法正确，故此选项不合题意；B、对称轴为x＝2，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；C、a＝2，开口向上，对称轴为x＝2，则当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；D、顶点坐标为（2，5），开口向上，则当x＝2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；故选：C．31．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵当x≥3时，y随x的增大而增大，∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，∴a＝1或a＝﹣9（舍去），∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，∴函数y＝（x+1）2+1，∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，故选：B．32．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．11【解答】解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．33．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜3【解答】解：设y＝ax2+b|x|+c，则函数y＝ax2+b|x|+c的图象，如右图所示，∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，∴ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根时，k满足﹣3＜k＜﹣1，故选：C．34．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝2【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b），则斜边上的高为h，故h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴CD＝，∴＝，方程两边平方得b﹣a2＝（a2﹣b）2，即h＝（﹣h）2，因为h＞0，所以h＝1，是个定值．故选：B．35．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜0 【解答】解：由图象可知，函数函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x＝﹣＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故C正确；∵当x＝2时，函数y＝ax2+bx中y＜0，即4a+2b＜0，当x＝1时，y＜1，即a+b＜1∴5a+3b＜1，故A正确；∵a+b＜1，∴2a+2b＜2∵2a+b＜0，∴4a+3b＜2故B正确；∵﹣＞，a＜0，∴b＞﹣a，∴2b＞﹣2a，∴a+2b＞﹣a，∴a+2b＞0，故D错误；故选：D．36．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、二、三象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的右侧，函数图象开口向上，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b 交点在x轴上，故选项C正确；当a＜0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，函数图象开口向下，故选项D错误；故选：C．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.7【解答】解：设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y＝a（t﹣1.2）2+h，由题意a（t﹣1.2）2+h＝a（t﹣2﹣1.2）2+h，解得t＝2.2．故第一个小球抛出后2.2秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故选：A．40．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解答】解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x ﹣3），∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；故选：A．41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a∴a+2a﹣c＝0，∴c＝3a，故③正确；∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，故选：C．42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，∵对称轴为直线x＝，∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同，∵当x＝0时y＜0，∴x＝3时y＜0，∴x＞3时，y＜0，∴①正确；∵x＝＝﹣，∴b＝﹣3a，∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0，∴②正确；∵抛物线经过点A（，0），∴a+b+c＝0，∴c＝a，∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间，∴﹣1＜c＜0，∴﹣1＜a＜0，∴﹣＜a＜0，∴③正确；4ac+b2﹣4a＝4a×a+（﹣3a）2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2），∵a＜0，∴2a（7a﹣2）＞0，∴4ac+b2﹣4a＞0，∴④不正确；故选：B．43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，∴a＜m＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，此时m＜a＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，∴mn＜0；如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，此时m＜a＜b＜n，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，。
2024年九年级数学中考专题_二次函数一题多问+
中考专题：二次函数一题多问【类型1】求解析式与顶点 (2)【类型2】线段相关 (2)【题型1】垂线段 (2)【题型2】斜线段 (3)【题型3】中点问题 (4)【题型4】定值问题 (4)【题型5】最值问题 (5)【题型6】条件求值问题 (6)【题型7】最短路径 (6)【类型3】面积相关 (8)【题型5】角度问题 (10)【题型6】45°角 (14)【题型7】等腰直角三角形存在性问题 (15)【题型8】直角三角形存在性问题 (17)【题型9】等腰三角形存在性问题 (19)【题型10】等边三角形存在性问题 (21)【题型11】平行四边形存在性问题 (22)【题型12】正方形存在性问题 (23)【题型13】菱形存在性问题 (24)【题型14】梯形存在性问题 (25)【题型15】相似存在性问题 (25)【题型16】全等存在性问题 (27)【题型17】平移问题 (27)【题型18】折叠问题 (28)【题型19】旋转问题 (29)【题型20】与圆结合 (30)【题型21】定值问题 (31)二次函数一题多问【例题】如图，在平面直角坐标系中，OB=OC=3，OA=1，抛物线C:c bx ax y ++=2（0≠a ）过点A 、B 、C.【类型1】求解析式与顶点1.求抛物线C 的表达式和顶点D 的坐标；【类型2】线段相关【题型1】垂线段2.点P 为抛物线上一点，过点P 做直线PF⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，若5=EFPF，求点P 的横坐标；3.直线l ：121+-=x y 与y 轴交于点N ，点P 是x 轴上方抛物线上一点，过点P 作直线PF⊥x 轴于点F ，交直线l 于点E ，设点P 横坐标为m ，当PE=5EF 时，求m 的值；【题型2】斜线段4.若点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PO交线段BC于点E，求PE：EO的最大值；5.若点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PA交线段BC于点E，求PE：EA的最大值；6.设抛物线对称轴与x轴交于点F，点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MF，把MF2表示成自变量n的函数，并求出MF2取得最小值时点M的坐标．7.E是线段AC上的一点，EF⊥x轴交BC于点F，FG⊥X轴，求线段EG的最小值.8.将直线CD 向下平移，交x 、y 轴分别于S 、T ，交抛物线于点P ，若34=PT PS 时，求P 点坐标.9.已知直线L 为434+=x y ，P 为抛物线上一点，则点P 到直线L 的距离的最小值为多少?【题型3】中点问题10.点E （0，1），P 为BC 上方抛物线上一动点，连接PE 交BC 于点G ，若点G 恰好平分PE ，求点P 坐标.【题型4】定值问题11.过抛物线顶点D 作直线DE⊥y 轴，交x 轴于点E ，点P 是抛物线上B 、D 两点间的一个动点（点P 不与B 、D 两点重合），PA 、PB 与直线DE 分别交于点F 、G ，当点P 运动时，EF ＋EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．12.过点M （-3，0）做直线交抛物线于G 、H 两点，过G 、H 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：ME×MF 为定值.【题型5】最值问题13.点M （m ，0）为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线BC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ⊥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边.⊥试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的⊥AEM 的面积；⊥在⊥的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点G(点G 在点F 的上方)．若FG ＝22DQ ，求点F 的坐标．14.在直线BC 上方的抛物线上有一点E ，作EF⊥x 轴，与抛物线交于点F ，作EN⊥x 轴于N ，作FM⊥x 轴于M ，长度为22的线段PQ 在直线AC 上运动（点P 在点Q 左侧），当四边形ENMF 的周长取最大值求四边形DPQE 的周长的最小值及对应的点Q 的坐标；15.将直线BC 向上平移t 个单位,得到直线与抛物线交于P 、Q 两点，过P 、Q 分别作y 轴的平行线交BC 于点E 、F ，则 PQFE 周长的最大值为多少，求出此时直线PQ.16.若在第一象限的抛物线下方有一动点M ，满足MB=OB ，过M 作MG⊥X 轴于点G ，设⊥MBG 的内心为I ，试求CI 的最小值．【题型6】条件求值问题17.若直线l ：n mx y +=与抛物线有两个交点M ，N （M 在N 的左边），P 为抛物线上一动点（不与M ，N 重合）．过P 作PH 平行于y 轴交直线l 于点H ，若5=⋅HPHNHM ，求m 的值．18.M （m ，0）为线段OB 上一个动点（与点B ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段BC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AQ ，与y 轴交于点F ，连接CP ，当线段QF ＝CP 时，求m 的值.【题型7】最短路径19.（1）若E 为C 点关于对称轴的对称点，在对称轴上是否存在点Q 使得QB+QE 的值最小，若存在，求出最小值，并求出点此时点Q的坐标；（2）设点M（3，m），求使MC+MD最小时m的值；MB 的值最大，若存在，求出最大值，并求出点此时点M的坐标；20.在对称轴上是否存在点M，使得MC21.若E为C点关于对称轴的对称点，点M在x轴上，点N在y轴上，若四边形DEMN的周长最小为多少，此时M，N的坐标分别为多少；22.点M为线段OC上任一点（不与O、C重合），求MA+MC的最小值及此时M点的坐标.23.将BO绕点B旋转至BO1使得O1在⊥OBC内，E、F分别为x轴和线段BC上的任意一点，则⊥O1EF的周长最小值为多少？24.在直线AD上，是否存在一点M，使BM+CM最小，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.【类型3】面积相关25.（1）若⊥PAB与四边形ABDC的面积相等，求点P的坐标；（2）若以点P和B、C以及另一点Q为顶点的平行四边形BCQP的面积为3，求P两点的坐标；（3）抛物线上是否存在异于点D的一点P，使⊥PBC与⊥DCB的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．26.若点P为直线BC上方的点，求⊥PCB面积的最大值（或四边形PCOB、四边形PCAB）；27.已知点E（2，3），若点P为直线AE上方的点，求⊥PAE面积的最大值（或四边形PEOA）；28.设抛物线对称轴与x轴交于点F，连接CF，点P为第一象限的点，求⊥PCF面积的最大值；29.P为抛物线第一象限部分上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E、F，若⊥PEB，⊥CEF的面积分别用S1、S2表示，求S1—S2的最大值，请求出此时P点坐标.30.连接BD，若点M是线段OC上的一动点，过点M作线段BD的垂线，分别与线段BD、抛物线相交于点E、F （点E、F都在抛物线对称轴的右侧），当EF最大时，求⊥MOF的面积．31.⊥如图1，连接OD，作CE⊥OD交BD的延长线于点E，连接OE交CD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBDC 分成面积相等的两部分？请说明理由，⊥如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且1-=+n m ，连接PA ．PD ，在线段PA 上确定一点N ，使DN 平分四边形APDC 的面积，求点N 的坐标．图1 图232.抛物线上一点P ，连接PC 交线段BD 于点Q,满足CDQ BPQ s s △△=，请求出P 点坐标.33.当点P 从C 点出发沿线段CB 上方的抛物线向终点B 移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M 以每秒1个单位长度的速度沿CO 向终点O 移动，点P ，M 移动到各自终点时停止，当两个动点移动t 秒时，求四边形PCMB 的面积S 关于t 的函数表达式，并求t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？【题型5】角度问题34.（角度相等）求⊥CBD 和⊥ACO 的正切值；⊥ACB 与⊥ABD 是否相等?请证明你的结论；35.已知点E（2，3），且⊥PCE=⊥ACO，求点P的坐标；36.若E为C点关于对称轴的对称点，过点E作X轴的垂线垂足为F，H为OC中点，M为BE上一动点，满足⊥HMF=⊥ABE，求点M的坐标.37.（二倍角）若P在直线BC上方，过点P作PF⊥线段BC于点F，若⊥PCF中有1个锐角等于⊥ACO的2倍，求点P的坐标；38.若M时直线BC上一点，当直线DM与直线BC的夹角为⊥CBD的2倍时，求点M的坐标；39.（角平分线）P 为抛物线对称轴上的一点，若PD 恰好为⊥PBC 的角平分线，求点P 的坐标.40.点M 为直线x y -=上一点，若MO 恰好为⊥MAB 的角平分线，求点M 的坐标.41.若E 为C 点关于对称轴的对称点，连接AC 、AE ，抛物线上有一点P ，点C 关于直线AE 的对应点C '落在直线AP 上，求P 点坐标.42.将直线BC 绕点B 逆时针旋转与线段AC 交于点E （不包括端点A 、C ），过点E 作EF⊥x 轴，垂足为F ，过点E 作EG⊥BC ，垂足为G ，H 为BE 中点，连接FH 、HG ，在直线BC 旋转过程中⊥FHG 是否发生变化，并说明理由.43.在BC上方的抛物线上是否存在一点P使得⊥ACP+⊥ABC=180°，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由.44.当点P移动到抛物线的什么位置时，使得⊥PAB=75°，求出此时点P的坐标；45.点P为抛物线第一象限上的点，过点A作CP的平行线交y轴上一点F，连接BF，在AF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝BF，⊥BFE+⊥AEP＝180°，求点P的坐标．46.在抛物线上是否存在点P，使得∠CPO=∠BPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.【题型6】45°角47.（45°角）若⊥PBD=45°，求点P 的坐标；48.点M 为抛物线于对称轴的交点，连接CM ，若⊥PMC=45°求点P 的坐标；49.点E 为横坐标为21的抛物线上的点，若⊥PBE=45°，求点P 的坐标；50.（角度之和）连接BC ，且满足⊥ACO+⊥PCB=45°，求点P 的坐标；51.点M在y轴上，满足⊥ACO+⊥AMO=45°，求点M的坐标.【题型7】等腰直角三角形存在性问题52..点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标53.直线L平行于X轴交抛物线于E、F两点，点P为X轴上的任一点，若⊥PEF为等腰直角三角形，求P点坐标.54.已知点M（0，1），点N为直线BM上任一点，点P为抛物线上的任一点，若⊥BPN为等腰直角三角形，则求P点坐标.55.设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为t s，点M为射线AC上一动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.56.若D为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BD上，Q、D、N三点构成以DN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．57.点F为直线BC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得⊥BFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．58.若E为C点关于对称轴的对称点，连接AE交y轴于点F，直线AE上方的抛物线上有动点P，在直线AE上是否存在一点H，使⊥PDH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．59.若E为C点关于对称轴的对称点，在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点E、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标.60.点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点P，使⊥MPO是以⊥MPO为直角的为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【题型8】直角三角形存在性问题61.（1动点）连接BC，若⊥PBC为直角三角形，求点P的坐标；62.（2动点）连接BC，过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，若⊥CPM为直角三角形，则P点坐标；63.过点B作BC的垂线交y轴于点M，平移直线AM交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若⊥EFO为以EF 为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．64.能否在抛物线上找到一点Q，使⊥BDQ为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由.65.若R为抛物线对称轴上一点（R在D点下方），过R的直线与抛物线交于E、F两点，若⊥DEF的外心在直线EF上则求出R点坐标.66.对称轴与抛物线相交于点D，与x轴相交于点F.点Q是线段MN上的一动点，过点Q作QE⊥CQ交x轴于点E.（1）当点E与点O（原点）重合时，求点Q的坐标.（2）点Q从D运动到F的过程中，求动点E的运动的路径长.67.抛物线顶点为D，ED⊥x轴于E点，N是线段DE上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若⊥MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．68.若E为C点关于对称轴的对称点，点M是线段AB上的动点（点M不与点A、B重合），过点M作PM⊥x轴交该抛物线于点P，连接AP、EP，当⊥AEP是直角三角形时，求出所有满足条件的点P的坐标．【题型9】等腰三角形存在性问题69.（1动点）连接BD，若点Q为x轴上的动点，且⊥QBD为等腰三角形，求点Q的坐标；70.以点B为直角顶点，BC为直角边作RT⊥BCE，CE交抛物线于点P，若PC=PE，求P的坐标.71.点P在BC上方的抛物线上一点，过点P做PM⊥x轴于点M，交BC于点F，过点P做PN⊥AC交x轴于点N，交BC于点E.⊥若A、C、F构成的三角形为等腰三角形，则求P点坐标；⊥求出EF的最大值，此时P点坐标.72.若P为抛物线第一象限上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．当⊥PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．73.（2动点）对称轴交x轴于点F，点E（3，4），在如图所示的矩形DFBE中，动点M从点D出发，沿线段DF 向终点F运动，同时点G从点B出发，沿线段BE向终点E运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点M作QM⊥DF交DB于点Q．连接QG．在点M、G运动的过程中，判断有几个时刻使得⊥BQG是等腰三角形？请求出相应的t值.74.连接BC，过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，沿PM折叠⊥CPM得到四边形CPC′M为菱形，则P点坐标；75点E 从C 出发，沿线段CO 以1个单位/秒的速度向终点O 运动，过点E 作OC 的垂线交BC 于点F ，作FP⊥OC ，交抛物线于点P ，连接CP 、EP ，当⊥CEP 为等腰三角形时求出所有t 的值．76.直线kx y =（0<k ）交直线3-=x y 于点M ，交抛物线于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线3-=x y 于点N ，则⊥MPN 能否为等腰三角形若能求出k 值，若不能请说明理由.【题型10】等边三角形存在性问题77.设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当⊥BPQ 为等边三角形时，求直线AP 的函数表达式．78.已知F （1，415）和直线l ：417 y ，点P 为抛物线上任意一点，过点P 做PM⊥l 于点M ，是否存在这样的P 点使得⊥PFM 为等边三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【题型11】平行四边形存在性问题79.（1）若点E 在x 轴上，当P 、C 、E 、B 四点构成平行四边形时，求点P 的坐标；（2）若点E 在抛物线对称轴上，当P 、C 、E 、B 四点构成平行四边形时，求点P 的坐标；80.若点E 在x 轴上，当C 、D 、P 、E 四点构成平行四边形时，求点P 的坐标；81.已知点E （2，3），过点E 作直线BC 的垂线垂足为F ，PQ⊥BC 于点Q ，若P 、Q 、E 、F 四点构成平行四边形，求点P 的坐标；82.已知点E （2，3），若抛物线的对称轴与直线AE 相交于点F ，M 为直线AE 上的任意一点，过点M 作MN//FD 交抛物线于点N ，以F ，D ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点M 的坐标；若不能，请说明理由；【题型12】正方形存在性问题83.（正方形）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ，是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．84.（正方形存在性）连接PB ，以PB 为向下边作正方形PBEF ，随着点P 的运动，正方形的大小，位置也随之改变.当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，请求出点P 的坐标.85.（等腰直角三角形存在性）若P 在x 轴上方，连接PB 点F 为直线3-=x 上一点，当⊥FPB 为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形时，请求出点P 的坐标.86.（等腰直角三角形存在性）若P 为抛物线上一点，连接PB 点F 为直线3-=x 上一点，当⊥FPB 为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形时，请求出点P 的坐标.87.点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（不与C 、B 重合），连接BP ，以BP 为边作图示一侧的正方形BPMN,当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标.【题型13】菱形存在性问题88.（菱形）M 为y 轴上一点，P 为抛物线上一点，过点P 作PN//y 轴交BC 于点N ，沿PC 折叠⊥PCN 使得N′落在y 轴上，则P 点坐标。
二次函数的一题多问含解析
，如图所示：
y
A
OB
E3
x
Q
E4
D
第(8)问图 3
求得
.
（9） 在 轴上是否存在一点 F，使 若不存在，请说明理由；
【解答】存在这样的点 F，
为等腰三角形，若存在，请求出 F 的坐标；
，
，
，
【解析】①以 A 为圆心 AD 长为半径作 ， 与 轴有两个交点，分别为
，
即为所求，如下图所示：
y
F1
A
B
O
y
N2
N3
A
B
O
x
N1 D C
第(10)问图
令
，解得
（与点 C 重合，舍去），
；
令
，解得
，
综上所述
.
（11） 在抛物线上是否存在一点 H（不与点 A 重合），使
，若存在，求出
点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】存在点 H 使
【解析】过点 A 作 BC 的平行线，平行线与抛物线的交点即为 H，如图所示：
第(9)问图 3 是 AD 的中点，
即
，
且
，设
，将 M 坐标带入得到
，
当
时，
，所以
.
（10） 在抛物线上是否存在一点 N（N 不与点 C 重合），使
，若存在，求
出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】
【解析】如图所示，利用三角形同底等高面积相等，两个三角形都以 AB 为底，只要高相 等即可.
，解得
，故
，
再次与二次函数解析式联立得
，
解得
，即
，
又因为
，设
一道二次函数经典题的50种问法
一道二次函数经典50问已知：如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D 。
（1）求此抛物线的解析式；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD 的面积；X XX（4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。
（5）在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线//l y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？（6）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？XXX X（7）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？（8）在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（9）在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N ，使ABN ABC =S S △△，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
XX X（11）在抛物线上是否存在一点H ，使BCH ABC =S S △△，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。
（12）在抛物线上是否存在一点Q ，使AOQ COQ =S S △△，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。
（13）在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（14）在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？XX XX（15）在抛物线的对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求出K 、L 两点的坐标。
二次函数题一题多问
一个18问的二次函数题姓名__________如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y 轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值及点P 的坐标。
（3）在对称轴上是否存在一点P，使△APC的周长最小．若存在，请求出P点的坐标和△APC周长的最小值；若不存在，请说明理由．（4）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC 于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（5）点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．若点P在第三象限内，当OE=2PE时，求点P的坐标及△POD的面积．（6）点P在x轴上，若△APC是等腰三角形，试直接写出点P的坐标。
（7）直线ED是抛物线的对称轴，抛物线顶点是D.点P是线段BD上一点，当PE=PC 时，求点P的坐标；（8）点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．（9）点P在抛物线对称轴上，若△PBC是直角三角形，试求点P的坐标。
（10）点E在对称轴上，点P在抛物线上.若以B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，试求点P的坐标。
（11）点M在对称轴上，点P在x轴上，以M、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形.试求点P的坐标。
（12）点P在抛物线上，点N在x轴上，若以点A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形，试直接写出点P的坐标。
（13）在抛物线上有一点P，作PH垂直x轴，垂足为点H，若△APH相似于△BOC，试求点P的坐标。
（14）点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．若△OBD∽△ABC，求点P的坐标.（15）点D与点C关于x轴对称，点Q在线段AB上运动，过点Q作x轴垂线交抛物线于点P，交直线BD于点M，是否存在点P，使B、P、M为顶点的三角形与△BOD相似？如果存在，试求点P的坐标；如果不存在请说明理由。
实战中考二次函数压轴题“一题多问，一问多解”
实战中考二次函数压轴题“一题多问，一问多解”
今天，冀老师给大家分享2016年中考数学的一道二次函数压轴题，选择这道题的原因有两个：一是这道题的普遍性，题目所考内容是我们中考数学的常见类型，可以帮助我们进行一次实战强化训练；另一个最最重要的原因就是这道题有三问，并且每一问都用几种方法去解答，这几种解法中总会有一种是你想学习的方法，认真思考，熟练掌握，就算是背诵也要记住。
同时，我们在今后的学习中也可以尝试着用不同的解法去研究，举一反三，灵活运用，因为这将会成为我们在中考时最需要掌握的技巧！
中考真题二次函数压轴题
解：第一问的三种解法
第二问的两种解法
第三问第一种情况的第一种解法
第三问第一种情况的第二种解法
第三问第二种情况的第一种解法
第三问第二种情况的第二种解法
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人教版九年级数第22章：一道二次函数题的经典30问
04
y
A P OB x
C D
4.gsp
问 题 05
（5）在对称轴上找一点P，使得|PA-PC|最大，求点P的坐标；
y
A
OB x
C
D
5.gsp
问 题 06
（6）在直线AC下方的抛物线上有一动点N,过点N的直线l//y轴，
交线段AC于点M，求线段MN的最大值及此时点N的坐标.
y l
A M
OB x
N
C
一道二次函数题的经典30问
二次函数压轴题的基本模型
求 解 析 式 问 题
线 面角 段 积度 问 问问 题 题题
特 殊 图 形 问 题
相 似 三 角 形 问 题
图 形 变 换 问 题
题
目
呈
现
y
A
OB x
C D
问 已知：抛物线 y x2 bx c 与x轴交于A、B两点，与 题 y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D. 01 （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标.
问 题
（30）y轴上是否存在一点N, 使得∠BCO+∠BNO=∠BAC? 若存在，直接写出点N的坐标.
30
y
A
OB
x
C
30.gsp
演示完毕 感谢聆听
16.gsp
问 （17）抛物线上是否存在一点Q，使得 SAOQ SCOQ ？
题
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
y
17
A
OB
x
17.gsp C
问 题
（18）抛物线上是否存在一点E，使得BE平分△ABC的面 积？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
一道二次函数,经典二十问!
11.已知：如图，抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD 的面积．（4）在对称轴上找一点P，使△BCP 的周长最小，求出P 点坐标及△BPC 的周长。
（5）在AC 下方的抛物线上有一点N,过点N 作直线l∥y 轴，交AC 与点M,当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大?最大是多少?（6）在AC 下方抛物线上，存在一点N 使△CAN 面积最大，请求出面积2（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN 面积最大，求出最大面积。
（8）在y 轴上是否存在一点E，使△ADE 为直角三角形，若存在。
求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。
（9）在y 轴上是否存在一点F，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由。
（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由。
3(12)在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ,若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
(13)在抛物线上是否存在一点E，使BE 平分△ABC 的面积,若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。
(14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X 轴，交AC 与点H，使AC 平分△AFM 的面积？(15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L 为顶点形成平行四边形，求出K,L 点的坐标。
（16）作垂直于x 轴的直线x=-1，交直线AC 于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E 为顶点作平行四边形，求第四个顶点E 的坐标。
（17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（18）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（19）点P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH与△OBC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值4。
二次函数综合题(一题12问)
二次函数综合题（一题十问）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的顶点坐标和对称轴方程；（2）求点B、点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（5）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM为直角三角形？若存在，求出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．（6）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PA+PC最小？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．（7）在第一象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．（8）若点D在抛物线上，点E在对称轴上，以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。
（9）若点F在抛物线上，点H在对称轴上，以点A、B、F、H为顶点的四边形是平行四边形，求点F、H的坐标。
（10）若以点A、B、C、K为顶点的四边形是平行四边形，求点K的坐标。
（11）若点T在抛物线上，以点A、B、C、T为顶点的四边形是梯形，求点T的坐标。
（12）若点S在抛物线上，△BCS为直角三角形, 求点S的坐标。
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．(5)M(3,±10),M(3,2±)(6)P(3,2.5)(7)N(4,6)(8)D(11,-9.75),D(-5,-9.75)。
专题6：二次函数问题
江苏省13市2016年中考数学试题分类解析汇编专题6：二次函数问题1．（2016江苏宿迁3分）若二次函数c ax ax y +-=22的图像经过点，（1- ）0，则方程022=+-c ax ax 的解为（ ）A ． 31-=x ，12-=xB ．11=x ，32=xC ． 11-=x ，32=xD ．31-=x ，12=x 【答案】 【考点】 【分析】2．（2016江苏常州2分）已知一次函数)0(1≠+=k m kx y 与)0(22≠++=a c bx ax y 的自变量和对应函数值如表：当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1-<xB ．4>xC ．41<<-xD ．1-<x 或4>x 【答案】 【考点】 【分析】1．（2016江苏扬州3分）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（0>a ）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为 ． 【答案】 【考点】 【分析】2．（2016江苏泰州3分）二次函数322--=x x y 的图像如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为32个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图像上，则点C 的坐标为_________． 【答案】 【考点】 【分析】3．（2016江苏徐州3分）若二次函数m x x y ++=22的图像与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是 ． 【答案】 【考点】 【分析】4．（2016江苏镇江2分）a 、b 、c 是实数，点A （a +1、b ）、B （a +2，c ）在二次函数322+-=ax x y 的图象上，则b 、c 的大小关系是b_____ c （用“>”或“<”号填空）． 【答案】 【考点】xyOy xAD CBO【分析】1．（2016江苏淮安12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++-=241的图像与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为），（8 0，点B 的坐标为），（0 4-． （1）求二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为），（4 0，点F 为该二次函数在第一象限内图像上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在在二次函数图像上时，请直接写出此时S 的值．【答案】 【考点】 【分析】2．（2016江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线bx ax y +=2经过两点(1-A ，)1，(2B ，)2。
一道二次函数经典题的50种问法答案
一道二次函数经典题的50种问法已知：如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；答案：y＝x2＋2x－3(2)判断△ACD的形状，并说明理由；答案：直角三角形(3)求四边形ABCD的面积；答案：D(－1，－4)，S四边形ABCD＝9(4)在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出点P的坐标及△BPC的周长．答案：l AC ：y ＝－x －3，P (－1，－2)，△BPC 的最小周长＝PC ＋PB ＋BC ＝(5)在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？答案：l AC ：y ＝－x －3，设N (n ，n 2＋2n －3)，M (n ，－n －3)，MN ＝－n －3－(n 2＋2n －3)＝－n 2－3n ＝－(n ＋32)2＋94≤94当n ＝－32取“＝”号， ∴当N (－32，－154)时，线段MN 的长度最大，最大值是94(6)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？答案：设N (n ，n 2＋2n －3)，S △CAN ＝S △NCM ＋S △ANM ＝12NM ·AC ＝32NM ，由(5)可知，当n ＝－32时NM 最大，此时S △CAN ＝278(7)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？答案：S 四边形ABCN ＝S △ABC ＋S △CAN ，S △ABC ＝6为定值，所以求S △CAN 的最大值即可，由(6)可知，当n ＝－32时NM 最大，此时S △CAN ＝278，此时S 四边形ABCN ＝938(8)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在，E (0, 32)或(0，－1)或(0，－3)或(0，－72)(9)在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．AD ＝2，F (0，2)或(0，±4或(0，－1)(10)在抛物线上是否存在一点N ，使S △ABN ＝S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在：S △ABC ＝6，AB ＝4，N (－2，－3)或(－1，3)(11)在抛物线上是否存在一点H ，使S △BCH ＝S △ABC ，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．过点A 作AH ∥BC 交抛物线于点H ，易求A (－3，0)，B (1，0)，C (0，－3)y BC ＝3x －3，设y AH ＝3x ＋b ，则b ＝9，⎩⎨⎧-+=+=32932x x y x y ，⎩⎨⎧=-=0311y x ，⎩⎨⎧==21422y x ， ∴H (4，21)(12)在抛物线上是否存在一点Q ，使S △AOQ ＝S △COQ ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．yxDC B A O答案：存在．作∠AOC 的平分线交抛物线于点Q 1、Q 2,易求直线Q 1Q 2解析式为y ＝x ,联立抛物线得x 2＋2x －3＝x ，易求Q 1(213-1-213-1-，)，Q 2(2131-2131-++，)(13)在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．取AC 的中点M ，连BM 并延长BM 交抛物线于点E ，∵A (－3,0)，C (0,－3)，∴M (23-23-，)，易求y BM ＝53x －53，联立抛物线得x 2＋2x －3＝53x －53,∴E (－512，－2521)(14)在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？答案：当点H 为MF 的中点时，AC 平分△AFM 的面积，设M (m ,0)，F (m ,m 2＋2m －3) H (m ,23212-+m m )，y AC ＝－x －3,∴23213--2-+=m m m m ＝－3(舍)，m ＝－1， ∴F (－1，－4)(15)在抛物线的对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求出K 、L 两点的坐标．xDC B A O yxDC B A O yxDC B A O答案：①以AB 为边作平行四边形ABKL ，∴KL 1＝KL 2＝AB ＝4，K (－1，12)，L 1(－5，12)，L 2(3，12)，②以AB 为对角线作平行四边形AKBL 易得k (－1，4)，L 3(－1，－4)(16)作垂直于x 轴的直线x ＝－1，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ，若以A 、M 、N 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标．答案：由(1)得：y ＝x 2＋2x －3 ∵A (－3，0)，C (0，－3) ∴l AC ：y ＝－x －3∴M (－1，－2)，N (－1，－4) ① AM ∥EN ，∴E (－3，－1) ② AM ∥NE ，∴E (1，－6) ③ AN ∥EM ，∴E (－3，2)∴综上所述E 的坐标为(－3，－1)或(1，－6)或(－3，2)(17)在抛物线上是否存在一点P ，使∠POC ＝∠PCO ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在，∵∠POC ＝∠PCO ，即P 在CO 的垂直平分线上y ＝3-，∴ x 2＋2x －3＝3-，解得x 11，x 2＝1-∴P 1，32-)或(1-，32-)(18)在线段AC 上是否存在一点M ，使△AOM 与△ABC 相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．xDC B A O答案：①△AOM ∽△ABC ，∴34AM AO AC AB ==，∴AMM (34-，94-) ②△AMO ∽△ABC，∴AO AM AC AB = ，∴AM＝M (－1，－2) 综上所述M (34-，94-)或M (－1，－2)(19)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，作PH ⊥x 轴于H ，是否存在这样的点P ，使△PAH 与△OBC 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：H (－1，0)∴①△PAH ∽△BCO ，∴PH ＝6，∴P (－1，6)或P (－1，－6)②△APH ∽△BCO ,∴PH ＝23，∴P (－1，23)或P (－1，23-)综上所述P (－1，6)或P (－1，－6)或P (－1，23)或P (－1，23-)(20)若点P 从点A 出发向点B 运动，同时点Q 从点O 以相同的速度出发向点C 运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为T 秒，△OPQ 的面积为S ，求S 与T 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．答案：S △POQ ＝12·PO ·OQ ＝21322T T -+(0≤T ≤3) ∴S ＝2139228T⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即当T ＝32时，S max ＝98(21)点E 在y 轴上的一个动点，点F 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E 和点F ,使点A 、D 、E 、F 构成菱形,若存在，求出点E 、F 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：可由题意知A(－3，0)，D(－1，－4)，设F点坐标为(0，y)，由四边形ADFE为菱形，可知AD＝AE，可得32＋y2＝22＋42，可求yE1(0，E2(0，由平移可求F1(2，－4＋，F2(2，－4还有一种情况，当AD的垂直平分线交y轴于E3，可列方程为32＋y2＝12＋(y＋4)2，解得y＝－1，∴E3(0，－1)，由平移可求F3(－4，－3)(22)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点,是否存在这样的点E和点F,使点A、D、E、F构成矩形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由．答案：(1)当AE⊥AD时，可证△ADM∽△EAO，可求OE＝1．5，∴E(0，1．5)，由平移可得F(2，－2．5) 当DE⊥AD时，可证△DME∽△AND，可求EM＝12，∴E(0，－3．5)，由平移可得F(－2，0．5) (2)设E(0，y)，以AD为直径作圆⊙P交y轴于E，PE＝12AD，可列方程22＋(y＋2)2＝5，解得y ＝－1或－3，∴E(0，－1)或(0，－3)，由平移得F(－4，－3)或(－4，－1)(23)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样一个动点P,使|P A－PC|的值最大，若存在,求出点P的坐标，并求出|P A－PC|的最大值，若不存在，请说明理由．答案：A关于对称轴对称点为B，作直线BC交对称轴于P，P即为所求，可先求直线BC解析式y＝3x－3，交对称轴于点P(－1，－6)(24)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P,使点P到直线AC的距离最大,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：可先求直线AC 解析式为y ＝－x －3，过P 作PQ ∥AC ，∴设PQ 解析式y ＝－x ＋a ，与联立二次函数解析式可得判别式为0，可求a ＝－214，再可求P (－32，－154)(25)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点P ,使点P 到直线AC 的距离为2,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：过P 作PQ ∥y 轴，交AC 于Q ，过P 作PR ⊥AC ，可证△PQR 为等腰直角三角形，当PR ＝2时，PQ ＝22，设P 坐标为(t ，t 2＋2t －3)，则Q 为(t ，－t －3)，可列方程－t －3－t 2－2t ＋3＝22， ＜0，∴不存在在AC 下方P 到AC 距离为2．(26)在直线AD 上,是否存在一点P , 使BP ＋CP 最小，若存在,求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：:26AD l y x ,点C 关于直线AD l 对称点1217(,)55M ,连接BM 交AD 于P ，此时BP ＋CP 最小，:1BD l y x ,58(,)33P ．(27)在直线AC 上,是否存在－点P ,使BP ＋12AP 最小，若存在，求出点P 的坐标，并求出最小值，若不存在，请说明理由．y xAB CDO yxPQA BC DO yxAB CDO yxQ R P DA BCO yxDC B A O答案：以AC 为边作∠CAN ＝30°，过点P 作PM ⊥AN ，当B 、P 、M 三点共线时BP ＋21AP 最小BM ⊥AM ，∠ABM ＝15°AB ＝4则BM ＝6232-+(28)点E 是线段A C ．上的一个动点,点P 是线段AB 上的一个动点，PE ∥BC ,是否在这样的动点P ,使△PEC 的面积最大，若存在,求出点P 的坐标，并求出△PEC 的面积的最大值，若不存在，请说明理由．答案：:3,:33AC BC l yx l y x设43(,3),:343,(,0)3EP t E t t l y x t P ，即643tPA216416423273(3)()2323348PEC PAC PAE t t S S S t t ， 当34t 时，△PEC 的面积最大，max 327(,0),=48PEC P S(29)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PE 垂直x 轴交AC 于点E , PF ⊥AC 于点F ,是否存在这样的点P ,使△PEF 的周长最大,若存在，求出．点P 的坐标，并求出△PEC 的周长的最大值，若不存在，请说明理由．答案：△PEF 是等腰Rt 三角形，(21)PEFCPE设2(,23),(,3)P t t t E t t ，∴22393()24PEt t t ∴当32t 时，max 9=4PE ，此时max 3159(21)(,),244PEF P C(30)抛物线上是否存在不同的两点关于AC 对称，若在求出点这两点的坐标，若不存在，请说明理由．yxDC B A O yxDC B A O yxDC B A O答案：假设存在，设为P 、Q 两点(P 在Q 的左下方)，l PQ ：y ＝x ＋m ，由x 2＋2x －3＝x ＋m ，得 x 2＋x －3－m ＝0，∴x P ＋x Q ＝－1，取PQ 中点M ，则x M ＝－12，又M 在AC 上，∴M (－12，－52)， ∴l PQ ：y ＝x －2，∴P()、Q()(31)点E 是坐标轴上的一个动点，是否存在这样的点E ，使△ACE 是等腰直角三角形，若存在求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵OA ＝OC ＝3，∴点E 坐标为(0,0)；点E 在x 轴时，点E 坐标为(3,0)；点E 在y 轴时，点E 坐标为(0,3)．(32)【正方形存在性问题】点E 是坐标轴上的一个动点，点P 在坐标平面内，是否存在这样的点P ，使点P 、E 、A 、C 四点构成的四边形是正方形，若存在求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：由(31)中点E 的三种位置易知满足条件的点P 坐标为(3,0)或(0,3)或(－3,－3)．(33)已知对称轴交x 轴于点E ，以E为半径作⊙E ，试判断直线BC 与⊙E 的位置关系，并说明理由．yxDC B AO yxDC B A O答案：直线BC 与⊙E 相切．理由如下：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，连接EC ，BE ＝2，OC ＝3，BC＝EHE 的半径．(34)【平行四边形之横平行】已知M 为直线AC 上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥AB ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、A 、B 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵PM ∥AB ，点P 、M 、A 、B 构成的四边形是平行四边形，∴PM ＝AB ＝4，直线AC 解析式为y ＝－x －3，不妨设点P (t ，－t －3)，则点M (t ＋4，－t －3)．∵点M 在抛物线上，∴(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3＝－t －3，解得：t 1＝－8，t 2＝－3(舍去)，则点P 坐标为(－8,5)．(35)【平行四边形之纵平行】已知对称轴交x 轴于点E ，M 为x 轴上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥ED ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、E 、D 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵ED ＝4，点P 、M 、E 、D 构成的四边形是平行四边形，∴PM ＝ED ＝4，∴y P ＝4，又点P 在抛物线上，∴x 2＋2x －3＝4，解得：x 1＝－1＋，x 2＝－1－P 坐标为(－1＋4)或(－1－，4)．(36)【平行四边形之斜平行】已知M 为x 轴上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥AC ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、A 、C 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：设()2,23,(,0)P x x x M m +-，且(3,0),(0,3)A C --，PM //AC①若以AP 为对角线，则230233x m x x -+=+⎧⎨+-=-⎩，∴(2,3)P -- y xD CB A O y xD CB AO②若以AM 为对角线，则232330m x x x -+=⎧⎨+--=⎩，∴(1P -+或(1P -(37)已知F (－1，－154)和直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ．求证：PD ＝PF ．答案：由题意得，222215(1)234PF x x x ⎛⎫=--++-+ ⎪⎝⎭，22217234PD x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 2222212340PF PD x x x x ∴-=++--+-=PF PD ∴=．(38)【等边三角形存在性问题】F (－1，－154)和直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ，是否存在这样的点P ，使△PFD 是等边三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：由题意得，222217234PD PF x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭22215(1)234x x x ⎛⎫=--++-+ ⎪⎝⎭,221(1)4DF x =+-- 令PD PF DF ==，则1x =-，或1x =-∴13(1)4P --或13(1)4P --(39)已知F (－1，－154)和E (12，2)以及直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ．求PD ＋PE 的最小值．答案：由题意的，当P ,E ,D 在同一直线上时，PD ＋PE 的最小值． 此时，17117,,,2424P D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴PD ＋PE 最小值＝DE ＝2＋1725.44=(40)已知F 为平面内一定点，点P 为抛物线上一动点，且点P 到直线l ：y ＝－174的距离与点P 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．答案：设()2(,),23F m n P x x x +-，则()2222()23PF x m x x n =-++--，22217234PD x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 不妨设223x x k +-=，化简得，222151192(2417)6=0216n x m n x m n n ⎛⎫⎛⎫--+---++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵PD ＝PF 恒成立 ∴221520224170,1196.16n m n m n n ⎧--=⎪⎪---=⎨⎪⎪+++⎩，1154m n =-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩． 当()14P --，时，14PD PE ==，151,4F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．(41)已知F (－1，－154),直线l 为平面内一定直线，点P 为抛物线上一动点，且点P 到直线l 的距离与点P 到点F 的距离总是相等，求定直线l 的解析式．答案：由题知D 为(－1，－4)，设P (m ，m 2＋2m －3)，过P 作PM ⊥l 于M ，过P 作PR ∥y 轴交l 于R ，设l 的直线解析式为y ＝kx ＋bF (－1，－154)，PF 2＝[(m ＋1)2＋14]2 PF ＝PM ＝(m ＋1)2＋14，R (m ，km ＋b )， PR ＝m 2＋(2－k )m －3－b通过相似易证2||||1b PM k b PR k k-=-+ 2221||(1)4(2)3||1b m k bm k m b k k-++=+----+ [(m ＋1)2＋14](1)＋km －b －174＝0 ∴101704km b =⎨--=⎪⎩ ∴k ＝0，b ＝－174直线l 为y ＝－174(42)已知F (－1，－154)，过点F 的任意直线与抛物线交于P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)两点，弦PQ 中点为M ，直线l ：y ＝－174．求证：以PQ 为直径的⊙M 与直线l 相切． 答案：过M 作MQ ⊥l 于Q ，设过F 的直线为y ＝kx ＋k －154联立抛物线与直线PQ 并消y 得 x 2＋(2－k )x ＋34－k ＝0 ∴x 1＋x 2＝k －2，x 1x 2＝34－k ∴y 1＋y 2＝k 2－152∴M 为(22k -，21522k -) ∴MQ ＝21522k -－(－174)＝212k + 过P 作PR ∥x 轴，过Q 作QR∥y 轴，PR 与RQ 交于R 点通过相似导边易求PQ x 1－x 2|k 2＋1∴r ＝212k +＝MQ ∴以PQ 为直径的⊙M 与直线l 相切(43)已知F (－1，－154)，过点F 的任意直线与抛物线交于P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)两点，弦PQ 的中点为M ，直线l ：y ＝－174．若MN ⊥l 于N ．求证：NF ⊥PQ ．答案：过M 作MR ⊥DF 于R ，记对称轴与l 交于S ，设直线PQ 为y ＝kx ＋k －154联立直线PQ 与抛物线并消y 得：x 2＋(2－k )x ＋34－k ＝0 ∴x 1＋x 2＝k －2 ∴y 1＋y 2＝k 2－152∴M 为(22k -，21522k -) ∴MR ＝2k ，RF ＝22k ，FS ＝12，NS ＝2k ∴MR RF FS NS = ∴△RMF ∽△SFN∴导角易求∠MFN ＝90°(44)D 是抛物线的顶点,任意直线T H 与抛物线交于T 、H 两点,若DT ⊥DH ．直线T H 是否过某一定点，若过某一定点，求出定点坐标；若不过某一定点，请说明理由．答案：设T (m ，m 2＋2m －3)，H (n ，n 2＋2n －3)易求D (－1，－4)则直线T H为：y＝(m＋n＋2)x－mn－3过D作直线p∥x，过T作T R⊥p于R，过H作HS⊥p于S，易证TR DR DS HS=(m＋1)(n＋1)＋(m＋1)2(n＋1)2＝0∴(m＋1)(n＋1)＋1＝0∴m＋n＋2＝－mn∴直线T H为：y＝－mnx－mn－3＝－mn(x＋1)－3∴直线T H过定点(－1，－3)(45)若直线PQ是过点E(－1，－3)的与抛物线有两个交点的任意直线，并与抛物线交于P、Q两点，连接DP、DQ．求证：△DPQ是直角三角形．【注：实际上就是证明：DP⊥DQ．】解：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－3，联立y＝x2＋2x－3，y＝－3，得P、Q坐标，易得PE＝ED＝EQ，∴为直角△；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－3，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝－k，过P，Q作x轴的垂线交过点D垂直于y轴的直线于M，N，计算PM⋅QN＝DM⋅DN＝1∵Rt∠，∴△PDM∽△DQN，∴∠PDQ＝90°．综上，△DPQ是直角三角形．(46)已知F(－1，－154)，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1，y1)和Q(x2，y2)两点，直线l：y＝－17 4．分别过点P、Q作PH⊥l于H，Q T⊥l于T．求证：PHQQTP＋是定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－154，联立y＝x2＋2x－3，y＝－154，得P、Q坐标，易得PH＝Q T＝1 2，PQ＝1，∴PH QTPQ＋＝1；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－154，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝34－k，PH＋Q T＝y1＋174＋y2＋174＝y1＋y2＋172＝k(x1＋x2)＋2k＋1＝k2＋1．PQ＝k2＋1．∴PH QTPQ＋＝1．综上，PH QTPQ＋＝1．(47)已知F(－1，－154)(即焦点)的任意直线与抛物线交于P(x1，y1)和Q(x2，y2)两点．求证：1FP＋1FQ为定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－154，联立y＝x2＋2x－3，y＝－154，得P、Q坐标，易得PF＝FQ＝1 2，∴1FP＋1FQ＝4；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－154，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝34－k，PF＝FQ＝1FP＋1FQ＝⋅(111x--＋211x+)＝4．综上，1FP＋1FQ＝4．(48)过点N(－1，－72)的任意直线与抛物线交于P、Q两点．求：21NP＋21NQ为定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－72，联立y＝x2＋2x－3，y＝－72，得P、Q坐标，易得PN＝NQ＝，∴21NP＋21NQ＝4；⑵k≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－72，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝12－k，NP2＝(x1＋1)2＋(y1＋72)2，NQ2＝(x2＋1)2＋(y2＋72)2，21NP＋21NQ＝4．综上，21NP＋21NQ＝4．(49)已知点T 是对称轴上的任意一个点，过点T 的任意直线与抛物线交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 的中点，过点M 向x 轴作垂线，交抛物线于点N ，抛物线在点N 处的切线是HK ．求证：HK ∥PQ ．答案：⑴k ＝0时，直线PQ 与x 轴平行，T 即为中点M ，顶点D 即为点N ，此时过顶点的切线与x 轴平行，∴HK ∥PQ ；⑵k ≠0时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，直线PQ ：y ＝mx ＋n ，联立ax 2＋(b －m )x ＋c －n ＝0，∴x 1＋x 2＝m b a -，x 1⋅x 2＝c －n ，PQ 中点M (2m b a-，y M ); 设线段PQ 上的点M ’，过M ’作垂线交抛物线于N ’，M ’N ’＝mx ＋n －(ax 2＋bx ＋c )＝－a (x ＋2b m a -)2＋2()444b m c n a -+-，即当x ＝2m b a-时，M ’N ’最大，与MN 重合，此时S △PQN ’最大； 而过N ’与PQ 平行的直线中，当与抛物线只有一个交点(在N 点)时S △PQN ’最大；∴HK ∥PQ ．。
一道二次函数经典30问解析（全）
01特别说明02针对变式题目03形定问题1、分析：二次函数有三种表达形式：由A、C两点坐标可以求出表达式里b、c两个参数的值，由顶点公式可求出顶点D的坐标。
（也可以采用设一般式或交点式方法求解）2、分析：由点A、C、D的坐标可以求出AD、AC、CD的长度，从而判断出ΔACD的形状。
04线段问题3、分析：因为BE=CE,则点E为BC的垂直平分线与y轴的交点。
根据勾股定理找出直角ΔOBE三边的关系从而求出点E的坐标。
4、分析：设出点P的坐标，然后再求出直线AC的表达式，从而表示出交点N的坐标，从而用x表示PM和MN的长度，根据PM和MN的关系求出点P的坐标。
05线段最值问题5、分析：求线段PH可以转化为求PF的最值，用含有x的表达式表示出PF的长度，根据二次函数求最值的方法从而求出PF的最大值。
根据PH和PF的数量关系求出PH的最大值和P的坐标。
（或者根据面积法求出高PH的函数表达式，同理可求）06线段最值问题6、分析：由（5）知PH=GH,矩形PEGH为正方形。
C矩形PEGH=4PH,当PH最大时成立。
7、分析：△BCP的周长为：BC+BP+PC,BC长度是定值，当PB+PC最小时，△BCP的周长最小。
07面积问题10、分析：四边形ABCD为不规则图形，可以采用隔或者补的方法转化为规则的图形。
解：过点D作DE垂直于x轴于点E。
08特殊图形1直角三角形2等腰三角形09平行四边形存在性10相似三角形11角度问题27、分析：若使直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍，则∠MCB=∠MBC,则MC=MB,利用勾股定理用点M的坐标表示出MC和MB的长度，从而求出点M的坐标。
28、分析：若使∠BCO+∠BNO=∠BAC,可以在∠BAC上截取∠OAE=∠BCO,过点E作EF垂直AC于点F,则∠BNO=∠EAF，根据∠EAF的正切值求出点ON的长度即可。
12旋转问题29、分析：如图所示，分两种情况，根据旋转前后图形全等，设出抛物线一个点的坐标，根据数量关系表示出另一个抛物线的点的坐标，代入抛物线解析式，从而求出点O’坐标。
二次函数选择题多结论问题(带答案)
二次函数选择题多结论问题1．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②22(4)(2)a c b +<；③若1(x ，1)y 和2(x ，2)y 是抛物线上的两点，则当12|1||1|x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．11T 4T2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且12a b c ++=-，32a b c -+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x 时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．二次函数2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，且0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当32x =时，对应的函数值0y <．有以下结论： ①0abc >；②203m n +<-；③关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间；④11(1,)P t y -和22(1,)P t y +在该二次函数的图象上，则当实数13t >时，12y y >． 其中正确的结论是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线12x =，且经过点(2,0)．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若1(2-，1)y ，5(2，2)y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤1()4b c m am b c+>++（其中1)2m ≠．正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线1x =-，结合图象给出下列结论： ①0a b c ++=； ②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为3-和1； ④若点1(4,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 均在二次函数图象上，则123y y y <<； ⑤()(a b m am b m -<+为任意实数）． 其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5T 6T6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点(1,0)-，其对称轴为直线1x =． ①0abc <； ②420a b c ++<； ③80a c +<；④若抛物线经过点(3,)n -，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5． 上述结论中正确结论的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(B m ，0)(21)m -<<-，下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③(1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠经过点(2,0)，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过(2c a，0)；⑤2440am bm b +-．其中正确结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8T 10T9．已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠经过点(1,1)--，(0,1)，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论： ①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论： ①0abc >； ②24b ac <； ③23c b <；④()(1)a b m am b m +>+≠；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为(1,0)A 和(3,0)B ，点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△1P AB 的面积为1S ，△2P AB 的面积为2S ，有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12|2||2|1x x ->->时，12S S >；④当12|2||2|1x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =．则下列结论：①0abc <；②2404b ac a ->：③10ac b -+=；④c OA OB a ⋅=：⑤1OB a=-，其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．112T 13T 14T 15T13．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，已知顶点坐标为(2,9)a --．有下列结论：①0abc <；②420a b c ++>；③50a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<．其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．414．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过A 点(3,0)，二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论有( )个． A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点坐标为(2,)a --，对于下列结论：①0abc <；②0a b c ++>；③3c a =；④若方程220ax bx c ++-=没有实数根，则20a -<<．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个16．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的两个交点是A ，B ，其中点A 的坐标为(3,0)，则下列结论：①0abc >；②240b ac -；③点B 的坐标是(1,0)-；④点1(C x ，12)(y D x ，2)y 是抛物线上的两点，若12x x <，则12y y <，其中正确结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16T 17T 18T 19T17．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(5,0)A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0abc >；②420a b c -+>；③若1(3,)B y -与2(4,)C y -是抛物线上两点，则21y y <；④50a c +=．其中，正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．418．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+：②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-；④当0 5.5x <<时，8m y <<．所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④19．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴是直线 1.5x =-，与x 轴的一个交点在(4,0)-和(3,0)-之间，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=；④430b c +<．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．420．抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．有下列结论：①20a b +=；②430c b ->；③当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD ∆是直角三角形时，a =． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．321．抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,2)D -，与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图象如图，则以下结论：①0abc >；②0a b c ++<；③2c a -=；④方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根；⑤10ac b -+>．其中正确结论的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个21T 22T 23T 24T 22．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为 (4,0)，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，有下列结论：①0abc >；②40a b +<；③若1(1,)M y 与2(2,)N y 是抛物线上两点，则12y y >；④若3AB ，则430b c +>． 其中，正确的结论是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③23．如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①0abc <；②30a b +>；③420a b c -+>；④24()b a c n =-；⑤一元二次方程21ax bx c n ++=+有两个互异实根． 其中正确结论的个数是( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个24．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴是12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②0a b c ++>；③0a b +=；④20a c +>；⑤一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为13x =-，22x =；⑥2404ac b a->；⑦若两点1(2,)y -，2(3,)y 在二次函数图象上，则12y y >；其中正确的结论有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个25．我们定义一种新函数：形如22||(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数2|23|y x x =--的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是( )①图象具有对称性，对称轴是直线1x =；②当11x -<<或3x >时，函数值随x 值的增大而增大；③当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；④当1x =时，函数的最大值是4． A ．4B ．3C ．2D ．125T 26T 28T26．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,)n ．下列结论：①0abc <；②80a c +<；③关于x 的一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等实数根；④抛物线上有两点1(P x ，1)y 和2(Q x ，2)y ，若121x x <<，且122x x +>，则12y y >．其中正确的结论共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．关于二次函数245(0)y ax ax a =--≠的三个结论：①图象与y 轴的交点为(0,5)-；②对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等；③若34x ，对应的y 的整数值有4个，则413a -<-或413a <．其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．328．如图，二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线．下面是5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个29．函数，，为常数，的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．有下列结论：①；②函数在和处的函数值相等；③点，，，在函数的图象上，若，则．其中，正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32(0)y ax bx c a =++≠1(2-0)1x =0abc <240a b c -+=20a b +>230c b -<2a b am bm ++()2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x (2,0)(1,)n -0n >0abc >2y ax bx c =++1x =2x =-1(M x 1)y 2(N x 2)y 2y ax bx c =++1231x x -<<<12y y >()30．已知抛物线与轴有两个交点，，，．现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则的取值范围是；③若时，有，，则的取值范围是．其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32(1)22y m x mx m =+-+-x 1(x 0)2(x 0)(1,1)-m 21m -<<-1m >-121x -<<-212x <<m 2194m -<<()【详解】①抛物线图象开口向上， 0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧， a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方， 0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，由图象知，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<， 故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--， 12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误．④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确．【详解】12a b c ++=-，32a b c -+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--， 0c ∴<，0a >，0b >，0c <， 0abc ∴<，故①正确；12222102a b c a a a ∴++=+⨯--=>，故②正确；当1x =时，则12y a b c =++=-，当1x =-时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c ++=的两个根一个小于1-，一个根大于1，∴抛物线与x 轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<， ∴当23x 时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：21202ax x c -+=，∴△1804ac =->， ∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确； ∴正确的个数有5个．3．【答案】B【详解】将(0,2)，(1,2)代入2y ax bx c =++得： 22ca b c =⎧⎨=++⎩，解得2b a c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数为：22y ax ax =-+，当32x =时，对应的函数值0y <， ∴932042a a -+<， 83a ∴<-， 83a ∴->，即83b >， 0a ∴<，0b >，0c >，0abc ∴<，故①不正确；1x =-时y m =，2x =时y n =，222m a a a ∴=++=+，42222n a a a =-+=+，44m n a ∴+=+， 83a <-， 203m n ∴+<-，故②正确； 抛物线过(0,2)，(1,2)，∴抛物线对称轴为12x =， 又当32x =时，对应的函数值0y <， ∴根据对称性：当12x =-时，对应的函数值0y <， 而0x =时20y =>，∴抛物线与x 轴负半轴交点横坐标在12-和0之间， ∴关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间，故③正确； 11(1,)P t y -和22(1,)P t y +在该二次函数的图象上，21(1)(1)2y a t a t ∴=---+，22(1)(1)2y a t a t =+-++，若12y y >，则22(1)(1)2(1)(1)2a t a t a t a t ---+>+-++，即22(1)(1)(1)(1)a t a t a t a t --->+-+，0a <，22(1)(1)(1)(1)t t t t ∴---<+-+， 解得12t >，故④不正确． 4．【答案】B 【详解】抛物线开口向下，且交y 轴于正半轴，0a ∴<，0c >， 对称轴122b x a =-=，即b a =-， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(2,0)，042a b c ∴=++，故③不正确；又可知b a =-，042b b c ∴=-++，即20b c -+=，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴是直线12x =，且11()122--=，51222-=， 12y y ∴>，故选④不正确； 抛物线开口向下，对称轴是12x =，∴当12x =时，抛物线y 取得最大值2111()224max y a b c b c =++=+， 当x m =时，2()m y am bm c m am b c =++=++，且12m ≠， max m y y ∴>，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确．5．【答案】C 【详解】①二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为(1,0)， 0a b c ∴++=，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-， 2b a ∴=，抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，0a ∴>，0c <，230a b c c a ∴-+=-<，故②正确；③由对称得：抛物线与x 轴的另一交点为(3,0)-，∴关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为3-和1，故③正确； ④对称轴为直线1x =-，且开口向上，∴离对称轴越近，y 值越小，|41|3-+=，||21|1-+=，|31|4+=，点1(4,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 均在二次函数图象上，213y y y ∴<<，故④不正确；⑤1x =-时，y 有最小值，2(a b c am bm c m ∴-+++为任意实数），()a b m am b ∴-+，故⑤不正确．所以正确的结论有①②③，共3个．6．【答案】C 【详解】抛物线的开口向下，0a ∴<．抛物线与y 轴的正半轴相交，0c ∴>．抛物线的对称轴为直线1x =，12ba ∴-=，2b a ∴=-，0b >．抛物线经过点(1,0)-，0a b c ∴-+=．①0a <，0b >，0c >，0abc ∴<．故①正确；②2b a =-，4242(2)440a b c a a c a a c c ∴++=+⨯-+=-+=>．故②错误；③0a b c -+=，(2)0a a c ∴--+=，即30a c +=．83550a c a c a a ∴+=++=<．故③正确； ④抛物线经过点(3,)n -，其对称轴为直线1x =，∴根据对称性，抛物线必经过点(5,)n ，∴当y n =时，3x =-或5．2(0)y ax bx c a =++≠，∴当2(0)ax bx c n a ++=≠时，3x =-或5．即关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5．故④正确；综上，正确的结论有：①③④．7．【答案】A【详解】根据题意得0a b c ++=，b ac ∴=--，当2x =-时，有420a b c -+<，42()0a a c c ∴---+<，20a c ∴+<，∴②正确，由20a c +<，得20a c -->，2()0a c c ∴--+>，20b c ∴+>，∴①正确，若(1)0a m b c +-+>，则a b c am -+>-，取1x =-，则0y a b c =-+>，又0a <，0m <，即(1)0a m b c +-+>成立，∴③正确，若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即()(1)1a x m x --=有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标2414ac b a->， 244ac b a ∴-<，∴④正确．8．【答案】D 【详解】①抛物线的对称轴为直线12x =，即对称轴在y 轴的右侧， 0ab ∴<，抛物线与y 轴交在负半轴上，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线12x =， 122b a ∴-=， 22b a ∴-=，0a b ∴+=，故②不正确； ③抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠经过点(2,0)，420a b c ∴++=，故③正确；④由对称得：抛物线与x 轴另一交点为(1,0)-，420a b a b c +=⎧⎨++=⎩， 2c a ∴=-， ∴12c a=-， ∴当0a ≠，无论b ，c 取何值，抛物线一定经过(2c a ，0)， 故④正确；⑤b a =-，22224444(441)(21)am bm b am am a a m m a m ∴+-=-+=-+=-，0a >，2(21)0a m ∴-，即2440am bm b +-，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．9．【答案】D 【详解】①抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠经过点(1,1)--，(0,1)， 1c ∴=，1a b c -+=-，2a b ∴=-，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．4211a b ∴-+>，4(2)211b b ∴--+>，解得：4b >，20a b ∴=->，，0abc ∴>，故①正确；②2a b =-，1c =，2(2)130b x bx ∴-++-=，即2(2)20b x bx ∴-+-=，∴△224(2)(2)816(8)16b b b b b b =-⨯-⨯-=+-=+-，4b >，∴△0>，∴关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根，故②正确；③2a b =-，1c =，2121a b c b b b ∴++=-++=-，4b >，217b ∴->，7a b c ∴++>．故③正确．10．【答案】A【详解】①二次函数图象性质知，开口向下，则0a <．再结合对称轴02b a->，得0b >．据二次函数图象与y 轴正半轴相交得0c >．0abc ∴<． ①错．②二次函数图象与x 轴交于不同两点，则240b ac ->．24b ac ∴>．②错． ③12b a-=， 2b a ∴=-．又当1x =-时，0y <．即0a b c -+<．2220a b c ∴-+<．320b c ∴-+<．23c b <．∴③正确．④1x =时函数有最大值，∴当1x =时的y 值大于当(1)x m m =≠时的y 值，即()a b c m am b c ++>++()(1)a b m am b m ∴+>+≠成立，∴④正确．⑤将x 轴下方二次函数图象翻折到x 轴上方，则与直线1y =有四个交点即可．由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错． 综上：③④正确．11．【答案】A【详解】方法一：不妨假设0a >．①如图1中，1P ，2P 满足122x x >+，12//PP AB ，12S S ∴=，故①错误．②当12x =-，21x =-，满足122x x <-，则12S S >，故②错误，③12|2||2|1x x ->->，1P ∴，2P 在x 轴的上方，且1P 离x 轴的距离比2P 离x 轴的距离大， 12S S ∴>，故③正确，④如图2中，1P ，2P 满足12|2||2|1x x ->+>，但是12S S =，故④错误．故选：A ． 方法二：解：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A (1,0)和B (3,0)， ∴该抛物线对称轴为x 2=，当x 1>x 22+时与当x 122x <-时无法确定P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在抛物线上的对应位置， 故①和②都不正确；当|x 12||->x 22|1->时，P 1(x 1，y 1)比P 2(x 2，y 2)离对称轴更远，且同在x 轴上方或者下方， |∴y 1||>y 2|，∴S 1>S 2，故③正确；当|x 12||->x 22|1+>时，即在x 轴上x 1到2的距离比x 2到2-的距离大，且都大于1， 可知在x 轴上x 1到2的距离大于1，x 2到2-的距离大于1，但x 2到2的距离不能确定， 所以无法比较P 1(x 1，y 1)比P 2(x 2，y 2)谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；12．【答案】B 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴在y 轴的右侧，0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ∴>，0abc ∴<，所以①正确；抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，而0a <， ∴2404b ac a-<，所以②错误； (0,)C c ，OA OC =，(,0)A c ∴-，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=， 10ac b ∴-+=，所以③正确；设1(A x ，0)，2(B x ，0)，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点， 1x ∴和2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，12c x x a∴⋅=， 0a <，0c >，c OA OB a∴⋅=-，所以④错； OA c =，1OB a∴=-，故⑤正确． 13．【答案】C 【详解】抛物线的顶点坐标为(2,9)a --， 22(2)945y a x a ax ax a ∴=+-=+-，抛物线的开口向上，0a ∴>，40b a ∴=>，50c a =-<，0abc ∴<，所以①正确；当0y =时，2450ax ax a +-=，解得15x =-，21x =， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)， 2x =时，0y >，420a b c ∴++>，所以②正确；55454a b c a a a a -+=--=-，而0a >，50a b c ∴-+<，所以③错误；方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ， ∴抛物线(5)(1)y a x x =+-与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ， 1251x x ∴-<<<，所以④正确；综上：正确的个数为3个.14．【答案】C【详解】由图象知和x 轴有两个交点， ∴△240b ac =->，24b ac ∴>，故①正确；由图象知，图象与y 轴交点在x 轴的上方，且二次函数图象对称轴为1x =， 0c ∴>，12b a-=，0a <， 0b ∴>，即0bc >，20a b +=，∴②不正确，③正确；由图象知，当1x =时22110y ax bx c a b c a b c =++=⨯+⨯+=++>， ∴④不正确，综合上述：正确的个数是2.15．【答案】C【详解】抛物线开口向下，则0a <，对称轴202b x a =-=-<，因此a 、b 同号，所以0b <， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <， 0abc ∴<，因此①正确；当1x =时，0y a b c =++<，因此②不正确；抛物线过(2,)a --点，因此42a b c a -+=-，即520a b c -+=， 对称轴为22b x a =-=-，即4b a =， 所以580a a c -+=，即3c a =，因此③正确；方程220ax bx c ++-=没有实数根，即抛物线与直线2y =没有交点， 此时顶点的纵坐标2a -<，又0a <，20a ∴-<<，因此④正确；综上所述，正确的有①③④，共3个.16．【答案】B【详解】由图象可知：0a >，0b <，0c <， 0abc ∴>，故①正确；抛物线与x 轴交于两点，240b ac ∴->，故②错误；抛物线的对称轴为直线1x =，与x 轴的两个交点是A ，B ，点A 的坐标为(3,0)， ∴点B 的坐标是(1,0)-，故③正确； 点1(C x ，12)(y D x ，2)y 是抛物线上的两点，∴当121x x <<时，12y y >，当121x x <<时，12y y <，故④错误；17．【答案】D【详解】由图象可知：开口向下，故0a <， 抛物线与y 轴交点在x 轴上方，故0c >， 对称轴02bx a =-<，0b ∴<，0abc ∴>，故①正确；由图象可知，2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，故②正确；当2x <-时，此时y 随x 的增大而增大，34->-，21y y ∴<，故③正确；对称轴为2x =-，22ba ∴-=-，4b a ∴=，点(5,0)A -关于对称轴的对称点是(1,0)， 0a b c ∴++=，40a a c ∴++=，即50a c +=，故④正确；18．【答案】C【详解】①由图象顶点(2,9)可得2(2)9y a x =-+， 将(8,0)代入2(2)9y a x =-+得0369a =+， 解得14a =-， 2211(2)9844y x y x x ∴=--+==-++， 故①错误．② 5.522(1)->--，点A 距离对称轴距离大于点B 距离对称轴距离， m n ∴<，故②正确． ③图象对称轴为直线2x =，且抛物线与x 轴一个交点为(8,0)， ∴图象与x 轴的另一交点横坐标为2284⨯-=-， 故③正确．④由图象可得当0x =时8y =， 5.5x =时y m =，2x =时9y =， 0 5.5x ∴<<时，9m y <．故④错误．19．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<， 抛物线的对称轴为直线 1.52b x a=-=-， 30b a ∴=<，30a b ∴-=，所以③正确；抛物线交y 的正半轴，0c ∴>，0abc ∴>，所以①正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，所以②正确；由图象可知，1x =时0y <，且3b a =， 即14033a b c b b c b c ++=++=+<， 即430b c +<，故④正确；20．【答案】D 【详解】二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴对称轴为直线12b x a =-=， 2b a ∴=-，20a b ∴+=，故①正确；抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ， 0a ∴<，当1x =-时，0y a b c =-+=，20a a c ∴++=，3c a ∴=-，4312660c b a a a ∴-=-+=->，故②正确； 二次函数223y ax ax a =--，(0)a <， ∴点(0,3)C a -，当BC AB =时，4，a ∴=，当AC BA =时，4=a ∴=， ∴当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个，故③正确； 二次函数2223(1)4y ax ax a a x a =--=--， ∴顶点(1,4)D a -，22416BD a ∴=+，2299BC a =+，221CD a =+， 若90BDC ∠=︒，可得222BC BD CD =+， 222994161a a a ∴+=+++，a ∴=， 若90DCB ∠=︒，可得222BD CD BC =+， 222416991a a a ∴+=+++，1a ∴=-，∴当BCD ∆是直角三角形时，1a =-或，故④错误．21．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴在y 轴左侧，0b ∴<，对称轴为1x =-，抛物线与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，∴与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间， ∴抛物线和y 轴正半轴相交，1x =时，0y <， 0c ∴>，0a b c ++<，0abc ∴>，故①②正确； 抛物线的对称轴为直线12b x a =-=-， 2b a ∴=，1x =-时，2y =，即2a b c -+=，22a a c ∴-+=，即2c a -=，所以③正确； 当1x =-时，二次函数有最大值为2， 即只有1x =-时，22ax bx c ++=， ∴方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故④正确； 2c a -=，2c a ∴=+，2b a =，21(2)2110ac b a a a a ∴-+=+-+=+>，故⑤正确；22．【答案】C【详解】根据题意抛物线开口向下，且与x 轴交于正半轴两点，与y 轴负半轴交于点C ， 0a ∴<，0b >，0c <，0abc ∴>，故①正确； 根据抛物线的对称性可知：242b a <-<， 48a b a ∴-<<-，40a b ∴+>， 故②不正确；0a <，22ba <-，∴当2x <时，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<，故③不正确；若3AB ，则点A 的横坐标大于0且小于等于1， ∴当1x =时，0y a b c =++， 当4x =时，1640y a b c =++=，即416b ca +=-，∴4016b cb c +-++，整理得450b c +， 432b c c ∴+-，430b c ∴+>，故④正确，23．【答案】A 【详解】图象开口向下， 0a ∴<，取0x =，得0y c =>， 又对称轴为12ba -=，20b a ∴=->，0abc ∴<，∴①正确，3320a b a a a +=-=<，∴②错误，由抛物线的对称性得：2x =-时，420y a b c =-+<， ∴③错误，由图象得244ac b n a-=， 即24()b a c n =-，∴④正确，2y ax bx c =++的最大值为n ， ∴一元二次方程21ax bx c n ++=+无解， ∴⑤错误，正确的为①④，24．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，对称轴在y 轴左侧，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴， 0a ∴<，0b <，0c >，0abc ∴>，①正确，满足题意．抛物线与x 轴一个交点为(3,0)-，对称轴为直线12x =-， ∴抛物线与x 轴另外一交点坐标为(2,0)， 1x ∴=时0y >，0a b c ∴++>，②正确，满足题意． 122b a -=-， a b ∴=，0a b +<，③错误，不满足题意． 20ac a b c ∴+=++>，④正确，满足题意． 抛物线与x 轴交点为(3,0)-，(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两根分别为13x =-，22x =，⑤正确，满足题意． 抛物线顶点在x 轴上方，∴2404ac b a->，⑥正确，满足题意． 322-<-<，10y ∴>，32>，20y ∴<，12y y ∴>，⑦正确，满足题意．综上所述，①②④⑤⑥⑦满足题意．25．【答案】B 【详解】观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线12b x a=-=，故①正确； 令2|23|0x x --=可得2230x x --=，(1)(3)0x x ∴+-=，11x ∴=-，23x =，(1,0)∴-和(3,0)是函数图象与x 轴的交点坐标，又对称轴是直线1x =，∴当11x -<<或3x >时，函数值y 随x 值的增大而增大，故②正确；由图象可知(1,0)-和(3,0)是函数图象的最低点，则当1x =-或3x =时，函数最小值是0，故③正确；由图象可知，当1x <-时，函数值随x 的减小而增大，当3x >时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x =时的函数值4并非最大值，故④错误．综上，只有④错误．26．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，顶点坐标(1,)n ，∴对称轴为直线1x =，12b a ∴-=，20b a ∴=->，0c >，0abc ∴<，故①正确；点(1,0)A -关于直线1x =的对称点为(3,0)，930a b c ∴++=，2b a =-，30a c ∴+=，850a c a ∴+=<，故②正确，顶点坐标(1,)n∴抛物线2x bx c n ++=有唯一的解，当1y n =-时，与抛物线有两个交点，故③正确，121x x <<，且122x x +>，21|1||1|x x ∴->-抛物线关于1x =对称，1x <时，y 随x 的增大而增大，1x >时，y 随x 的增大而减小，12y y ∴>，故④正确，综上所述，结论正确的是①②③④共4个．27．【答案】 【详解】二次函数245y ax ax =--，当0x =时，5y =-，∴图象与y 轴的交点为(0,5)-，故①正确； 该函数的对称轴是直线422a x a-=-=，故对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等，故②正确； 当3x =时，912535y a a a =--=--，当4x =时，161655y a a =--=-，∴当0a >时，355a y ---，若，对应的的整数值有4个，，D 34x y 543553a ∴--<----解得，； 当时，，若，对应的的整数值有4个，，解得，； 由上可得，若，对应的的整数值有4个，则或，故③正确； 28．【答案】【详解】①由图象可知，，，，，故①错误；②图象经过点，，代入到解析式中得： ，两边同时乘以4，得：， 故②正确；③对称轴为直线，即， ，，故③错误；④由②③得：，，则， 故，故④错误； ⑤当时，函数取得最小值，即，故⑤正确； 综上，一共2个正确．29．【答案】413a <0a <535y a ---34x y 533554a ∴-+--<-+413a -<-34x y 413a -<-413a <C 0a >0b <0c <0abc ∴>1(2-0)11042a b c -+=240a b c -+=1x =12b a-=2b a ∴=-20b a +=240a b c -+=2b a =-54a c =-57236022a a cb a -=-+=>1x =2()a bc am bm c m am b c ++++=++C【详解】依照题意，画出图形如下：函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．，，对称轴为直线， ，，故①正确，对称轴为直线，与的函数值是相等的，故②错误；观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小．，，点距离对称轴的距离小于2，点距离对称轴的距离大于2，，故③正确．30．【答案】【详解】①当时，，故正确；②该函数图象开口向下，且与轴有两个交点，故，△，解得：，故正确；③由知，当和函数值异号，当时，，当时，，故，故的取值范围是，故正确．2(0)y ax bx c a =++≠x (2,0)(1,)n -0n >0a ∴<0c >12b x a=-=-20b a ∴=<0abc ∴>1x =-1x ∴=3x =-131x -<<21x >M ∴N 12y y ∴>D 1x =2(1)221y m x mx m =+-+-=-x 10m +<2(2)4(1)(2)0m m m =--+->21m -<<-121x -<<-2x =-1x =-2x =-92y m =+1x =-41y m =-(92)(41)0m m +-<m 2194m -<<。
一道二次函数经典题的50种问法
一道二次函数经典50问已知：如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D 。
（1）求此抛物线的解析式；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD 的面积；X XX（4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。
（5）在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线//l y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？（6）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？XXX X（7）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？（8）在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（9）在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N ，使ABN ABC =S S △△，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
XX X（11）在抛物线上是否存在一点H ，使BCH ABC =S S △△，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。
（12）在抛物线上是否存在一点Q ，使AOQ COQ =S S △△，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。
（13）在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（14）在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？XX XX（15）在抛物线的对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求出K 、L 两点的坐标。
二 次 函 数 学 习 问 答 十 九 问
二 次 函 数 学 习问答 十 九问1．问我们学习过哪几种二次函数的表达式、并分别说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大(小)值．常见的二次函数表达式有: y =ax 2 、y=ax 2+ k 、y =a (x -h )2、y =ax 2+bx +c 、y =a (x -h )2 +k 其中a ≠0，它们的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大(小)值如下表：注意：（1）对称轴为顶点坐标的横坐标，最大(小)值为顶点坐标的纵坐标， （2）y =ax 2 、y =ax 2+k 、y =a (x -h )2 为y =a (x -h )2 +k 的特殊形式．2．问怎样求二次函数的顶点坐标．方法一：当二次项系数为1时用配方法求顶点坐标的步骤： 例1．求二次函数y = x 2 +4x + 5的顶点坐标． 解：y = x 2 +4x + 5= x 2 +4x +22 -22 + 5 加上一次项系数一半的平方，再减去加上的数．= ( x +2)2+1． 前三项为完全公式，后两项合并．所以顶点坐标为：(-2，1)．写出顶点坐标，注意横坐标符号变化．方法二：当二次项系数不为1时，用配方法求顶点坐标的步骤： 例2．求二次函数y =-2x 2+8x -5的顶点坐标． 解：y=-2(x 2-4x )-5 前二项提取二次项系数-2．=-2(x 2-4x +22-22 )-5加上一次项系数一半的平方，再减去加上的数．=-2〔( x -2)2-22〕-5 前三项为完全公式，注意这时加上中括号．=-2( x -2)2+2⨯22-5 去括号时，注意-22也须乘以-2． =-2( x -2)2+3． 后两项合并．所以顶点坐标为：(2，3)． 写出顶点坐标，横坐标注意变号．方法三：用公式法求顶点坐标的步骤：二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为：24(,24b ac b a a--，可直接把a 、b 、c 的值代入到顶点坐标公式中去计算求得．例3．求二次函数y =-3x 2 +5x -2的顶点坐标．解：65)3(252=-⨯-=-=a b x ，2244(3)(1)51344(3)12ac b y a -⨯-⨯--===⨯-∴顶点坐标为：)1213,65(．注意：以上三种情况要会根据已知、要求，灵活使用，最好每一种方法都能熟练地掌握．3．问怎样求二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点坐标．当二次函数y =ax 2+bx +c 图象与x 轴相交时，这时由于纵坐标为0，把y =0代入y =ax 2+bx +c ，得方程：ax 2+bx +c =0 解出方程的两根x 1 、 x 2，为交点坐标的横坐标，所以交点坐标为：(x 1，0 )，(x 2，0 )． 例4．求二次函数y =x 2+5x -6的图象与x 轴的交点坐标． 解：令x 2+5x -6=0解得x 1=1，x 2=-6．∴图象与x 的交点坐标为(1，0 )，(-6，0 )．注意：在根据由图象回答ax 2+bx +c =0的两根时，方程的根即为图象与x 轴的交点的横坐标．在根据由图象回答ax 2+bx +c ＜0或ax 2+bx +c ＞0时，分别为图象在x 轴下部分（上部分）相对应的x 的范围．4．问怎样求二次函数y =ax 2+bx +c 图象与y 轴的交点坐标．当二次函数y =ax 2+bx +c 图象与y 轴相交时，这时由于横坐标为0，把x =0代入y =ax 2+bx +c ，得y =c ，即交点坐标为：(0，c )．例5．求二次函数y =3x 2+5x +9图象与y 轴的交点坐标. 解 ∵图象与y 轴相交，∴交点横坐标为0，把x = 0代入函数解析式求得： y =9， ∴二次函数y =3x 2+5x +9图象与y 轴的交点坐标为：(0，9 )． 5．问怎样求二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴．方法一：如只须求对称轴可直接用求对称轴公式：直线abx 2-=来计算求得，如果同时要求顶点坐标和对称轴，方法见问答2． 例6．求二次函数y =2x 2-5x +7的对称轴． 解：552224b x a -=-=-=⨯，∴二次函数的对称轴是：直线54x =．方法二：特殊法例7．二次函数与x 轴的交点坐标为(-2，0 )，(6，0)求二次函数的对称轴． 解：二次函数在x 轴上截取的线段长为：∣6-(-2)∣=8，根据二次函数的对称性，对称轴为：直线x =2．例8．二次函数上的两坐标分别为A ( 2，8)，B (12，8 )求二次函数的对称轴．解：AB =∣12-2∣=10 对称轴为：直线x =7．规律：已知二次函数图象上两点坐标分别为：A (x 1，m )，B (x 2，m )，由于A 、B 的纵坐标相同，二次函数的对称轴就是：以这两点为端点的线段的垂直平分线，所以对称轴为：直线122x x x +=．6．问怎样求二次函数的最大（小）值．方法一、利用配方法；方法见前第二问方法一、二．方法二、利用公式计算；方法见前第二问方法三．例9．求二次函数y =2x 2-x +7的最小值． y 最小值=ab ac 442-=8552417242=⨯-⨯⨯．7．问二次函数的解析式y =ax 2+bx +c 中b=0时，它的图象有什么特点．当二次函数的解析式y =ax 2+bx +c 中b =0时，根据第一问表格可知它的对称轴为：y 轴或为：直线x =0，这时它的图象顶点在y 轴上．8．问怎样求二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点间的距离． 方法一：当较容易求出二次函数图象与x 轴的交点坐标时． 首先求出图象与x 轴的交点坐标，然后用公式∣x 1 –x 2∣计算． 例10．二次函数y =x 2+x -4与x 轴两交点为A 、B ，求AB 的长． 解：由2340x x +-=解得x 1=-4 x 2= 1，∴图象与x 轴的交点的坐标为：A (-4，0 )，B (1，0 )，∴ AB =∣-4 –1∣=5．方法二：当不容易求出二次函数图象与x 轴的交点坐标时，利用公式21221214)(x x x x x x -+=-计算．例11．二次函数y =2x 2-4x -7与x 轴两交点为A 、B ，求AB 的长．解：AB =12x x -==212214)(x x x x -+==．例12．已知二次函数y =2x 2-4mx +m 2与x 轴两交点为A 、B ，图象的顶点为C ，S △ABC =42，求m 的值．9．问怎样画二次函数的图象．1、 列表：⑴把解析式化为顶点式，⑵列表时一般取7个点，把顶点坐标放中间，左右等距取数，求y 值时只要计算一边的值，利用二次函数的对称性，另一边的数直接填入，2、描点：略， 3、连线：略．例13．画二次函数y =x 2+2x +3的图象． ①把y =x 2+2x +3化为顶点式：y = (x +1)2 +2；②列表；③连线．10．问怎样画二次函数的大致图象．在研究二次函数的一些性质时，有时只须画出它的示意图．画示意图时主要抓住二次函数关键点 ①顶点；②与x 轴的交点坐标； ③与y 轴的交点坐标； ④对称轴; ⑤开口方向． 例14．画二次函数y =x 2-2x +3的大致图象．步骤：1．二次函数图象的顶点坐标为：（2，-1）； 2．二次函数图象与x 轴的交点坐标为：（3，0），（1，0）； 3．二次函数图象与y 轴的交点坐标为：（0，3）； 4．二次函数对称轴为：直线x =2；5．在坐标系中描出上述四点和对称轴并连线即可．11．问二次函数y =ax 2+bx +c 中的a 有什么作用．a 的作用有： ①决定图象的开口方向； ②当几个函数的图象的形状相同时，则︱a ︱的值相等，反之也成立； ③︱a ︱越大图象开口越小，︱a ︱越小图象开口越大． 12．问怎样求二次函数图象平移后的解析式．利用顶点式求平移后二次函数的解析式，具体步骤为：①把二次函数化为顶点式；②二次函数的图象在平移的过程中a 的值不改变；③求出平移后的顶点坐标；④用顶点式表示平移后二次函数的解析式．注意：①平移的过程中，左右、上下是互逆变化的；②k 的值上加下减h 的值左加右减；简称为：上加下减常数项，左加右减自变量．例15．求把二次函数y =x 2+2x +3的图象向下平移4个单位后再向右平移3个单位后的解析式．解：函数y =x 2+2x +3的顶点坐标为：(-1，2 )，平移后的顶点坐标为：(2，-2 )．在平移的过程中a 的值是不变的，所以解析式为：y = (x -2)2-2．13．问怎样根据二次函数的图象，判断a 、b 、c …的符号．(1)a 的符号由抛物线的开口方向决定，图象开口向上时a ＞0，图象开口向下时a ＜0；(2)b 的符号由抛物线的对称轴位置决定，当对称轴在y 轴的左侧时a 、b 同号，对称轴在y 轴的右侧时a 、b 异号(即a 、b 的符号左同右异)；(3)c 的符号由图象与y 轴的交点位置决定，交点在y 轴的正半轴时c ＞0，交点过原点时c =0，交点在y 轴的负半轴时c ＜0；(4)b 2-4ac 的符号由图象与x 轴的交点个数决定，二个交点时, b 2-4ac ＞0；一个交点时, b 2-4ac =0；没有交点时, b 2-4ac ＜0；(5)对称轴在x =1或x =-1的一侧，则可以对2a -b ， 2a +b 的符号作出判定；(6)a +b +c 的符号由x =1时作垂线与图象的交点所在的象限纵坐标符号决定；x-4 -3 -2 -1 0 1 2 y 11 6 3 2 3611(7)a-b+c的符号由x=-1时作垂线与图象的交点所在的象限纵坐标符号决定；(8)类似的有：4a+2b+c的符号由x= 2时作垂线与图象的交点所在的象限纵坐标符号决定．例16．1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b，Q= b2-4ac．则M，N，P，Q中，值小于0的数有个．2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2，则下列6个代数式：①ac，②a+b+c，③4a-2b+c，④2a-b，⑤2a+b，⑥b2-4ac中，其值大于0的序号为．3．如图3，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列8个代数式：①abc＞0，②b＜a+c，③2c＜3b，④4a+2b+c＞0，⑤a+b＞m(am+b) (m≠1的实数)，⑥8a+c＜0，⑦(a+c)2＜b2，⑧8a+7b+2c＞0．其中正确的序号为．4．如图4，已知二次函数y=ax2+bx+c，的图象与x轴交于(x1，0 )，(x2，0)，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点(0，2 )，下列结论正确的是．①2a+b＞0，②3a+b＞0，③a+b ＜-2，④a＞0，⑤a-b＞0，⑥ 8a-b2＜0 ．5．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a-b+c≥0；④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2个C．3个D．4个图1 图2 图3图414．问怎样求把二次函数的图象的对折后的解析式．在求二次函数的图象对折后的解析式时，应根据对折原理首先求出a 的值，当沿x 轴(上下)对折图象时a 的值变为原数的相反数，当沿y 轴(左右)对折时a 的值保持不变，然后再根据对折后顶点坐标的变化情况，利用二次函数的顶点式，即可求出对折后的二次函数的解析式．例17．求把二次函数y =x 2-4x +2沿x 轴对折后图象的解析式．二次函数y =x 2-4x +2的顶点坐标为：(2，-2 )，沿x 轴对折后的顶点坐标为：(2，2 )，由a =-1得：解析式为：：y =-(x -2)2 +2．15．问怎样求二次函数图象与坐标轴交点到原点的距离．二次函数y =ax 2+bx +c 与y 轴交点到原点的距离为：∣c ∣，与x 轴交点到原点的距离为：∣x 1∣，∣x 2∣． 例18．二次函数y =x 2+3x -4的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 的左侧，与y 轴交于点C ，O 为坐标轴的原点，求OA 、OB 、OC 的长．解：由x 2+3x -4=0 解得： x 1=-4，x 2=1 ．所以图象与x 的交点坐标为：(-4，0)，(1，0)， 与y 的交点坐标为：(0，-4 )．∴在y 坐标轴截得的线段OC 的长度：︱-4︱=4， 在x 正半轴坐标轴截得的线段OB 的长度为：︱1︱=1， 在x 负半轴坐标轴截得的线段OA 的长度为：︱-4︱=4．16．问当知道任意三点坐标时怎样求二次函数的解析式．当知道任意三点坐标时求二次函数的解析式，可用待定系数法，设一般式y =ax 2+bx +c ，把三点坐标代入，通过解三元一次方程组求出a 、b 、c 的值．例19．已知二次函数的图象过(1，6 )，(-1，2 )，(2，11 )求二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++112426c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a所求解析式为：y =x 2+2x +3．17．问当知道与x 轴的交点坐标时怎样求二次函数的解析式．当知道二次函数图象与x 轴的交点坐标为：(x 1，0)，(x 2，0)，求二次函数的解析式可设两根式(也叫交点式)：y =a (x -x 1)(x -x 2)．例20．已知二次函数的图象过(1，0 )，(-5，0 )，(2，7 )求二次函数的解析式．解：可设解析式为：y =a (x -x 1)(x -x 2)， 把x 1=1、x 2=-5代入得：y =a (x -1)(x +5)， 再把（2，7）代入得：7=a (2-1)(2+5) 求得：a =1． 所求解析式为：y =x 2+4x -5． 18．问当知顶点坐标时怎样求二次函数的解析式．当知顶点坐标时求二次函数的解析式，可设顶点式y =a (x -h )2 +k ．例21．已知二次函数的图象的顶点坐标为(-5，7 )，且过(-7，15 )点，求二次函数的解析式． 解：设二次函数为：y =a (x -h )2 +k ， 把顶点坐标（-5，7）代入得：y =a (x+5)2 +7，再把(-7，15 )代入得：15=a (-7+5)2 +7 解得： a = 2 ， 所求解析式为：y =2(x+5)2 +7． 19．怎样回答二次函数的图象何时y 随x 增大而增大(减小)的问题．首先要熟练地画出所给函数的大致的图象(这时只需要顶点坐标、开口方向)，再根据对称轴、开口方向已知条件，对问题作出回答．例22．已知二次函数y =2x 2-(m -1)x -1，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．解：∵函数值y 随x 的增大而增大，a =2＞0，∴当x =2是抛物线的对称轴时(如图1)，∴(1)2222b m x a --=-=-=⨯ ∴m =9 当对称轴在x =2的左边时(如图2 )，∴(1)2222b m x a --=-=-⨯， ∴m ＜9， 当对称轴在x =2右边时不符合题意(见上面图3 )，综上m 的取值范围是m ≤9．x =2 2图1 图 2 例22图3261．二次函数的顶点坐标：（1）21(5)33y x =--+；（2）21522y x x =-+-；（3）2365y x x =--+．2．抛物线y =x 2+2x -8与y 轴的交点坐标为，与x 轴的交点坐标为 ．3．抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 ．4．二次函数y =x 2-x -1与x 轴交于A 、B 二点，求AB 的长．5．将二次函数y =x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．6．把抛物线y =ax 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2-2x+5，则b = ，c = ． 7．已知y =-378(x -2)(x +4),则函数的最大值是 ．8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 中的x y ，满足下表：x (2)-1-0 1 2 … y…42-2-0…求这个二次函数关系式．9．已知当x =1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，-3)，求此函数关系式．10．如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （x 1，0），-3＜x 1＜-2，对称轴为x =-1．给出五个结论：①abc ＞0；②2a +b =0；③b 2＞4ac ；④a -b ＞m (ma+b )（m ≠-1的实数）；⑤3b +2c ＞0．其中正确的结论有（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．下表是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 的值与函数y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解的范围是() A .6<x <6.17B ．6.17<x <6.18 C .6.18<x <6.19D ．6.19<x <6.2012．若抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC =2，S △ABC =3，则b =__________．13．已知二次函数y =-x 2+2bx +c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是．x 6.176.186.19 6.20 y =ax 2+bx +c-0.03-0.010.020.04二次函数图象与基本性质1．画y =x 2图象，并说出它的开口方向、对称轴、函数值的最小值为多少、顶点坐标、增减性．2．画y =-x 2图象，并说出它的开口方向、对称轴、函数值的最大值为多少、顶点坐标、增减性．3．画y =x 2、y =x 2-2图象，并说出它们的开口方向、对称轴、函数值的最小值为多少、顶点坐标、增减性、两图象之间的关系．4．画y =-x 2、y =-x 2+2图象，并说出它们的开口方向、对称轴、函数值的最大值为多少、顶点坐标、增减性、两图象之间的关系．5．画y =2x 2 、y =2(x -3)2 、y =2(x +3)2图象，并说出它们的开口方向、对称轴、函数值的最小值为多少、增减性、顶点坐标、三图象之间的关系．6．画y =-12x 2、y =-12(x +2)2、y =-12(x -4)2图象，并说出它们的开口方向、对称轴、函数值的最大值为多少、顶点坐标、增减性、三图象之间的关系．xyO xyO7．画y =x 2、y =x 2-3、y =(x +2)2、y =(x -3)2+2图象，并说出它们的开口方向、对称轴、函数值的最小值为多少、顶点坐标、增减性、四图象之间的关系．二 次 函 数 综 合 例 题例1．二次函数y =x 2-2x -3图象与x 轴交于A 、B两点(A 在B 的左侧)，交y 轴于点C ，顶点为D ． 1．求A 、B 、C 、D 的坐标；2．画出二次函数的草图；3．求△ABC 、△ABD 、四边形ACDB 的面积；判断△BCD 的形状，并在x 轴上求一点P ，使得△ACP 的面积与△BCD 的面积相等，求P 的坐标；4．E 为二次函数图象上一点，△ABE 的面积为4，求点E 的坐标；5．F 为二次函数图象上一点，△ABF 的面积为a ，当a 满足什么条件的点F 的坐标有四个、三个、二个；O6．二次函数图象上是否存在这样一点G，它的横坐标与纵坐标相等，如果存在求出点G的坐标并用图象来验证它的存在性，如果不存在请说明理由？7．（1）利用图象求x2-2x-3=0的解；（2）利用图象求x2-2x-3＞0的解集；（3）利用图象求x2-2x-3＜0的解集；（4）利用图象求x2-2x-3＞5的解集；（5）利用图象求x2-2x-3＜-3的解集；（6）利用图像求x2-2x-3＞-x-1的解集；（7）利用图象求x2-2x-3=-x-1的解；（8）利用图象求x2-2x-3＜-x-1的解；（9）已知函数22(1)1(33)(5)1x xyx x⎧--≤⎪=⎨--⎪⎩（＞）若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3（10）已知函数y=b与函数y=|x2-4x+3|至少有三个交点，求b的取值范围；（11）已知关于x的方程x2-2| x |+2=m，当m满足什么条件时，方程无解、有二、三、四个解．（12）设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根分别为a、b，且a＜b，则a、b满足（）A．1＜a＜b＜2B．1＜a＜2＜bC．a＜1＜b＜2 D．a＜1且b＞2（13）若x1，x2(x1＜x2)是关于x的方程(x-a)(x-b)=a-b(a＜b)的两根，则x1，x2，a，b的大小关系是．（14）关于x的方程a(x+m)2 +b=0的解是x1=-2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b =0的解是．（15）关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是．8．利用图象回答，当b满足什么条件时，方程x2-2x-3+b=0无实数根？并用根的判别式来验证结论的正确性；9．动点P在抛物线上，是否存在点P，使得△BCP 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；10．在x轴上求一点R，使得△ACR为直角三角形？在二次函数图象上求一点G，使得以A、C、G为顶点的三角形是直角三角形？11．点P 为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 正好落在对称轴上，求P 点的坐标；12．如图，D 为抛物线的顶点，点P 在y 轴上，PD ⊥PE ，PD =PE ，求点E 的坐标；13．如图，在抛物线对称轴上有一点P ，使得P A = PC ，求点P 的坐标；14．是否存在这样的一条直线，它与二次函数y =x 2-2x -3图象的图象有唯一的公共点C ，如存在求出直线的解析式，如不存在请说明理由；POOP15．直线y =kx -k -6总经过一定点M ，若过定点M 的直线l 与抛物线只有一个公共点，求直线l 的解析式；16．M 为函数图象上异于C 的一点，当S △ABC = S △ABM时，求M 的坐标；17．N 为函数图象上异于A 的一点，当S △ABC = S △BCN ，求N 的坐标；18．若抛物线上有且仅有三个点M 1、M 2、M 3，使得△M 1BC 、△M 2BC 、△M 3BC 的面积均为定值S ，求出定值S 及M 1、M 2、M 3这三个点的坐标；19．E为第一象限的抛物线上一点，直线CE交x 轴于F点,若S△ACF=S△BEF，求直线CE的解析式；20．点D是抛物线的顶点，过D平行于y轴的直线是它的对称轴，点M在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺画线的方法，在图中作出点M，使MB-MC的值最大，并通过计算求出点M的坐标；21．点D是抛物线的顶点，过D平行于y轴的直线是它的对称轴，点P在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺画线的方法,在图中作出点P，使△APC周长最短，并通过计算求出点P的坐标；22．点D的坐标( 2，-3 )，M、N为对称轴上的二点，且MN=1，求四边形BMND周长最小值；DDE F23．已知M (0，-1 )，E (a ，0 )，F (a +1，0 )，点P是第四象限内的抛物线上的一动点．△PCM 是以MC 为底边的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由；24．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D 是称轴上的一点，且AC =ED ，点M ，N 分别是线段CO ，EC 上的动点，且CM =EN ，连结MN ，AM ，AN ，CD ，试求出AM +AN 的最小值； 25．若一个动点W 自(0，-1)的点出发，先到达x 轴上的某点(设为点H )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点J )，最后运动到点C ，求使点W 运动的总路径最短的点H 、点J 的坐标，并求出这个最短总路径的长；26．若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积；E F MPDE MN27．如图，E为抛物线上一点，当四边形OCEB面积最大时求点E的坐标；28．点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C 重合)，过点D作DE‖BC交x轴于点E，点P 是抛物线的对称轴与线段BC的交点，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由；29．过点(2， 2 )的一条直线与抛物线交于M、N，当M、N到y轴的距离相等时，求这条直线的解析式？30．过点(4，8)的一条直线与抛物线交于M、N，当M、N到直线x=2的距离相等时，求这条直线的解析式？EE PD31．过(0，-4 )的一条直线与抛物线交于M、N，交x轴于点E，当M、N关于点E对称时，求这条直线的解析式；32．是否存在着直线y＝kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由；33．点P在函数图像上的一点且在对称轴的右侧，当△CDP为等腰三角形，用无刻度的直尺画出点P的位置，并通过计算求出点P的坐标；34．点P为对称轴上一点，当三角形ACP为等腰三角形时，求P的坐标；D35．在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出P的坐标，若不存在请说明理由；36．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．37．过抛物线上的一点E作EF∥x轴，交抛物线于点F，是否存在这样一点E使得三角形DEF为等边三角形，若存在求点E的坐标，若不存在说明理由；38．过抛物线上的一点E作EF∥x轴，交抛物线于点F，在x轴上是否存在一点P使得△PEF为等腰直角三角形，若存在求点P的坐标，若不存在，请说明理由；DF EPE F39．在二次函数图象上求一点P ，使得P 到直线BC40．若点E 为抛物线对称轴上，抛物线上是否存在一点F ，使以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在求出所有符合条件点F 的坐标，若不存在请说明理由；41．若点M 是y 轴轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，明理由；42．①点P 是线段BD 上一点，当PE =PC 时，求点P 的坐标；②在①的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标；PE43．E为x轴上一动点，以BE为边的正方形B E FG 正方形，正方形还有另一个顶点在抛物线上，求出所有满足条件F的坐标；44．①若P(m，t )和P'(-m，-t )为抛物线上的二点，求m的值；②若点P(m，t ) 在抛物线，点P'(-m，-t ) 在第二象限，当P'A2最小时，求m的值；45．把二次函数y=x2-2x-3图象x轴下半部分沿x 轴翻折到x的上半部分，图象的其余部分与翻折后的图象组成一个新的图象．当y＝x+b与新的图象有2个交点时求b的取值范围；46．把二次函数y=x2-2x-3图象x轴下半部分沿x 轴翻折到x的上半部分，图象的其余部分与翻折后的图象组成一个新的图象．当y＝kx+b过(1，5)与新的图象有2个交点时求k的取值范围；47．点P在抛物线的上任意一点，过动点P作PE 垂直y轴于点E，交直线BC于点G，过点G作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标和EF的长度；48．M为抛物线BC间任意一点，连结BC，过M 作BC的垂线，垂足为E，当ME最大值时求点E的坐标；49．当上题中ME取最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得△PBE为等腰三角形，若存在求出所有符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由；50．M(m，0)为x轴上一动点，过M作垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点P、N，若M、P、N中其中有一点是其他两点所连线的中点(三点重合除外)，则称M、P、N为“和谐点”，请求出使得M、P、N三点为“和谐点”的m的值；51．把抛物线沿射线OD方向从D开始进行平移，设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，与原抛物线的对称轴交于点F，又知点E(1，5 )求线段EF长度的最大值；52．如图D为抛物线的顶点，P为线段DB上的任意一点，过P作PE⊥x轴，垂足为E，连接CP、CE，求△PCE面积的最大值；53．有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB方向，向终点B运动，抛物线的对称轴与x轴交于点D，另一个点N从点D，与点M同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时△MND面积最大，试求最大值；54．点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时点N以每秒2个单位的速度由A出发向终点B运动，当M、N中有一点到达终点时两点停止运动，过点M作MP⊥x轴于E，交抛物线于点P，设点M 、N的运动时间为t(s )当t为多少时，△MNE是等腰三角形？D P EDDPM55．动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t 的值；56．动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当M点到达B点时，M、E同时停止运动，设运动时间为t (t＞0 )秒．①当t为何值时，△BOQ为等腰三角形？②当t为何值时，四边形OENM为矩形？57．在y轴右侧抛物线上有一点D，过点D作x轴的垂线，垂足为E，同时过D点作x的平行线，交抛物线于点F，过点F作x轴的垂线，垂足为G，问是否存在这样的点D使得四边形DEGF是正方形，如果存在求出点D的坐标，如果不存在请说明理由；58．如图，在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；59．在二次函数的图象上是否存在点M ( m ，n )，使锐角∠MCO ＞∠ACO ？若存在求出M 点的横坐标m 的取值范围；若不存在请你说明理由；60．如图，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线BC 随之平移与y 轴交于点M ，试判断：在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使PM 是△PBC 的角平分线？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；61．如图点E 的坐标为( 2，2)，M 为x 轴上的一点，当∠EMO =∠CMO 为时求点M 的坐标；62．如图，点P 是直线y =-x 上的动点，当直线y =-x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；PB COM63．二次函数图象上一点E(6，21)，连结AE，求证：AB平分∠EAC；64．如图，若∠ACB=∠BCE时，求点E的坐标；65．把二次函数图象平移后的解式析为：25169(636y x=+-，①图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C，求A、B、C、D的坐标；②平移后的图象上有一点E，当射线CE平分∠BAC时，求点E的坐标；66．连接AC, 在抛物线上有一点P使得∠ACP=45°,求点P的坐标；O E67．在抛物线上有一点P，使得∠PCB=15°，求点P 的坐标；68．如图，直线BC绕点B顺时针旋转与线段AC 交于点E(不包括端点A、C )，过E作EF⊥x轴，垂足为F, 过E作EG⊥BC，垂足为G，H为BE 的中点，连结FH、HG，问在直线BC的旋转过程中∠FHG的大小是否发生变化，若发生变化求出∠FHG的变化范围，若不发生变化求出∠FHG的大小；69．把抛物线C1:y=x2-2x-3图象沿x轴对折得新的抛物线图象，①求新的抛物线C2的解析式；②把抛物线C2的图象向右平移，问抛物线C2的图象是否存在二点D、E，使得点B是□ACDE 对角线的交点，若存在是如何平移的，若不存在请说明理由；70．如图，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为E，矩形OCDE 不动，把抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有二个交点G、H，且直线GH平分矩形OCDE时，求抛物线移动的距离；H FEGDE。
二次函数一题多问
二次函数抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点，连结AC、BC一、最值篇：1.物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最短，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
2.在抛物线的对称轴上是否存在点P,使|PB-PC|的值最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
3.若动点P在AB边上，PE∥BC交AC于E点，设Ap=t，△BPC的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求t为何值时，S有最大值。
4.设P为线段CB上一动点，过P作PM∥y轴，交抛物线于M，试问PM是否存在最大值，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、面积篇：抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点，连结AC、BC5、试问在第一象限的抛物线上，是否存在点P使四边形ABPC的面积最大，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
6、若动点P为AB上一点，PE∥BC交AC于点E，连接CP，设AP=t是△PEC 的面积为S，试问t为何值时，S的值最大，最大值是多少？当t为何值时，S=9/8三、特殊三角形篇：抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点，连结AC、BC7、在抛物线的对称轴上是否存在点P，使三角形PAC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
8、若CB与抛物线的对称轴交于点M，试问在抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、M、C为顶点的三角形于△BOC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
9、若直线y=x+1于y轴交于点M，与在第一象限抛物线上的交点为N，试问，是否存在x轴上存在点P，是△PMN为直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
四.四边形篇：抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点，连结AC、BC10、若抛物线的对称轴交x轴于点D，试问在抛物线上是否存在点P，使以D、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
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如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）求四边形ABCD的面积
．
（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。
（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少?
（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？
（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？
（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。
求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N,使S
△ABN =S
△ABC
，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。
（11）在抛物线上是否存在一点H，使S
△BCH =S
△ABC
，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理
由。
(12) 在抛物线上是否存在一点Q，使S
△AOQ =S
△COQ
, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理
由。
(13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
（14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？
（15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L 点的坐标。
（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。
（17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（18）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（19）点P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH与△OBC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.。