对数与对数运算知识点及例题解析
对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则主要包括以下几个方面：
1. 对数的乘法法则：
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
2. 对数的除法法则：
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
3. 对数的幂法法则：
logₐMᵇ= b * logₐM
4. 对数的换底法则：
logₐM = logᵦM / logᵦa
公式例题：
1. 求log₃(9)的值。
解：根据对数的定义，3的多少次方等于9，很明显3的2次方等于9，即log₃(9) = 2。
2. 求log₄(16)的值。
解：同样根据对数的定义，4的多少次方等于16，显然4的2次方等于16，因此log₄(16) = 2。
3. 求log₂(8)的值。
解：根据对数的定义，2的多少次方等于8，很明显2的3次方等于8，即log₂(8) = 3。
4. 求log₈(2)的值。
解：根据对数的定义，8的多少次方等于2，很明显8的-1次方等于2，因此log₈(2) = -1。
5. 求log₅(25)的值。
解：根据对数的定义，5的多少次方等于25，很明显5的2次方等于25，因此log₅(25) = 2。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
突破14 对数与对数函数(重难点突破)(解析版)
突破14 对数与对数函数重难点突破一、基础知识【知识点一、对数】 1．对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作_______，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把e log N 记为ln N ． 2．对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，log ba a Nb N =⇔=．即3．对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即0N >； （2）1的对数等于0，即log 10a =； （3）底数的对数等于1，即log 1a a =． 【知识点二、对数的运算】 1．基本性质若0,1,0a a N >≠>且，则 （1）log a Na=______；（2）log ba a =______．2．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log _________a (M N)=⋅； （2）log ________aM=N； （3）log _______()n a M =n ∈R ． 【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式log log (0,1;0,1;0)log c b c NN b b c c N b=>≠>≠>且且．【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子．2．公式的推广 （1）1log log a b b a=（其中a >0且1a ≠；b >0且1b ≠）；（2）log log n na ab b =（其中a >0且1a ≠；b >0）；（3）log log n m a a mb b n=（其中a >0且1a ≠；b >0）； （4）1log log a ab b =-（其中a >0且1a ≠；b >0）；（5）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=（其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0）． 【知识点四、对数函数】 1．对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征 （1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）； （3）对数的真数仅有自变量x ． 【知识点五、对数函数的图象与性质】1．一般地，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质如下表所示：01a << 1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R奇偶性 非奇非偶函数过定点 过定点(1,0)，即1x =时，0y =单调性 在(0,)+∞上是___函数 在(0,)+∞上是___函数 函数值的变化情况当01x <<时，0y >； 当1x >时，0y <当01x <<时，0y <； 当1x >时，0y >【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1了可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过（1，0）点．2．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且中的底数对其图象的影响在直线x =1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【知识点六、反函数】根据指数与对数的关系，将指数式(0,1)xy a a a =>≠且（其中x 是自变量，且x ∈R ，y 是x 的函数，(0,)y ∈+∞）化成对数式，即log a x y =，于是对于任意一个(0,)y ∈+∞，通过式子log a x y =都有唯一一个x ∈R 与之对应，这样将y 看成自变量，x 是y 的函数，这时我们就说log ((0,))a x y y =∈+∞是函数()x y a x =∈R 的反函数．由于习惯上将x 看成自变量，而将y 看成因变量，因此，我们将log a x y =中的x ，y 互换，写成log ((0,))a y x x =∈+∞，即对数函数log ((0,))a y x x =∈+∞是指数函数()x y a x =∈R 的反函数，它们的图象关于直线y x =对称．知识参考答案：一、1．（1）log a x N = （2）10 二、1．（1）N（2）b2．（1）log log a a M +N （2）log log a a M N -（3）log a n M四、1．(0,)+∞ 五、1．减增二、题型分析1．对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系． 【例1】在对数式(1)log (3)x x --中，实数x 的取值范围应该是 A ．1<x <3B ．x >1且x ≠2C ．x >3D ．1<x <3且x ≠2【答案】D【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数1x -需大于0且不等于1． 【变式训练1】在M ＝log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞） C ．（4，+∞） D ．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x 的范围．【答案】解：由函数的解析式可得 ，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式训练2若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为 ． 【分析】由已知利用对数的概念可得x 2﹣5x +6＞0，解不等式即可得解． 【答案】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得：3＜x 或x ＜2，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．对数运算性质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如log a a =1(0,1)a a >≠且，log log 1a b b a ⋅=等．【例2】计算：（1）9log 32162)23(log--+； （2）2(lg 5)lg 2lg 5lg 2+⨯+．【答案】（1）13--；（2）1．【名师点睛】在计算23log(32)+-的值时，注意将32-化为132+即可求解．在求解（2）时，注意提取公因式，利用lg 2lg51+=求解．【变式训练1】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3． 【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用． 【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）计算： （1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式训练3】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义． 3．换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数．【例3】已知711,log 473ab ⎛⎫== ⎪⎝⎭，试用,a b 表示49log 48．【答案】492log 482b a+=． 【解析】11lg3,73lg 7aa ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭．∵7log 4,b =∴lg 4lg 7b =． 则49lg 48lg 4lg32log 48lg 49lg 72lg 722a b ab +==+=+=． 【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底）．【变式训练1】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）log a c •lo g c a ；（2）log 23•log 34•log 45•log 52； （3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可． 【答案】解：（1）log a c •log c a ＝•＝1；（2）log 23•log 34•log 45•log 52＝•••＝1； （3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝• ＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目． 【变式训练2】利用对数的换底公式化简下列各式：（log 43+log 83）（log 32+log 92） 【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log 43+log 83）（log 32+log 92） ＝（log 6427+log 649）（log 94+log 92） ＝log 64243•log 98 ＝ ＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4．对数方程的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解． 【例4】方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 ．【答案】2x =【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解．另外，解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤． 【变式训练1】求下列各式中x 的值： （1）log 4x ＝﹣，求x ；（2）已知log 2（log 3x ）＝1，求x ．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log 232＝5化成指数式； （2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式训练2】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式训练3】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x 3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 5．与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．【例5】已知函数33()log (2)log (6)f x x x =-++． （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）(6,2)-；（2）34log 2． 【解析】（1）由题意得2060x x ->⎧⎨+>⎩，解得62x -<<，故函数()f x 的定义域是(6,2)-．（2）33()log (2)log (6)f x x x =-++=23log (412)x x --+，(6,2)x ∈-．令22412(2)16t x x x =--+=-++，则(0,16]t ∈． 又3log y t =在(0,16]t ∈上为增函数，∴()f x 的最大值是33(2)log 164log 2f -==．【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则．由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围．学科&网 【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【答案】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 【变式训练2】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（ ）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log 0.5（4x ﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则log 0.5（4x ﹣3）≥0， 即0＜4x ﹣3≤1，解得． 所以原函数的定义域为（]．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题． 【变式训练3】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（ ）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]【分析】利用对数的性质求解． 【答案】解：函数y ＝的定义域满足：，解得．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题． 6．对数函数的图象对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y =1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【例6】设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)【答案】A【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），不必分1a >和01a <<两种情况讨论．【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a ||的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由于当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象，此函数是偶函数，当x ＞0时，即为y ＝log a x ，而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，即可得出图象．【答案】解：∵当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1． 因此，必有0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象：红颜色的图象． 而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，其图象如黑颜色的图象． 故选：B ．【变式训练2】（2018秋•船营区校级月考）函数f （x ）＝的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式训练3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X 轴的交点是（1，0），故函数y ＝lg （x +1）的图象与X 轴的交点是（0，0），即函数y ＝|lg （x +1）|的图象与X 轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化 规律，由这些规律得出函数y ＝|lg （x +1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个 7．对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．（2）解简单的对数不等式：形如log log a a x b >的不等式，常借助=log a y x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况进行讨论；形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解． 【例7】已知13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】 C【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较． 【变式训练1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【分析】容易得出，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a ＜c ＜b ．故选：B ．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0， ∴．故选：A ．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义． 8．对数型复合函数的性质及其应用 （1）对数复合函数的单调性复合函数y =f [g （x ）]是由y =f （x ）与y =g （x ）复合而成，若f （x ）与g （x ）的单调性相同，则其复合函数f [g （x ）]为增函数；若f （x ）与g （x ）的单调性相反，则其复合函数f [g （x ）]为减函数．对于对数型复合函数y =log a f （x ）来说，函数y =log a f （x ）可看成是y =log a u 与u =f （x ）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．学科%网（2）对于形如y =log a f （x ）（a >0，且a ≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y =log a u ，u =f （x ）两个函数； ②求f （x ）的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y =log a u 的单调性求解．【例8】讨论函数()2log 32()1a f x x x =--的单调性．【答案】答案详见解析．【解析】由3x 2−2x −1>0，得函数的定义域为{x |x >1或x <13-}． ①当a >1时，若x >1，∵u =3x 2−2x −1为增函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．若x<13-，∵u=3x2−2x−1为减函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数．②当0<a<1时，若x>1，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数，若x<13-，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y=f（u），u=φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．【变式训练1】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式训练2】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【变式训练3】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值， 即y max ＝log 4u （x ）max ＝log 44＝1，因此，函数y ＝log 4（2x +3﹣x 2）的值域为（﹣∞，1]， 故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式训练4】函数y ＝（x ）2﹣x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．【分析】利用换元法，令t ＝由2≤x ≤4 可得﹣1≤t ≤﹣，由题意可得y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域． 【答案】解：令t ＝，因为2≤x ≤4，所以﹣1≤t ≤﹣，则y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t ＝﹣是函数有最小值，当t ＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y |}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题． 9．忽略真数大于0【例9】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值． 【错解】因为lg lg 2lg(23)x y x y +=-，所以2(23)xy x y =-，即2241390x xy y -+=，即()(49)0x y x y --=，解得x y =或94x y =． 所以3322log log 10x y ==或233322293log log log ()242x y ===． 【错因分析】错解中，()lg lg 2lg 23x y x y +=-与2(23)xy x y =-对,x y 的取值范围要求是不同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证．【正解】同错解，得到x y =或94x y =． 由()lg lg 2lg 23x y x y +=-知，0,0,230x y x y >>->， 当x y =时，230x y -<，此时()lg 23x y -无意义，所以x y =， 即3322log log 10xy ==应舍去； 当94x y =时，233322293log log log ()242x y ===． 【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验． 10．忽略对底数的讨论【例10】不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．【错解】∵1log log a ax x -=，∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，∴4x x ->，解得x ＜2．∴不等式1log (4)log a ax x ->-的解集为(,2)-∞．【错因分析】错解中的底数a 的值不确定，因此要分类讨论．另外，求解时要保证真数大于0．【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了．三．课后作业1．222log log 63+等于 A ．1B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】原式=2222log 6log 23⎛⎫⨯=⎪⎝⎭=2．故选B ． 2．实数01()lg42lg52-++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】01()lg42lg52-++=1+lg4+lg25=1+lg100=3．故选C ． 3．已知函数f （x ）=log 2（3+x ）+log 2（3–x ），则f （1）= A ．1 B ．log 26C ．3D ．log 29【答案】C【解析】f （1）=log 24+log 22=2+1=3．故选C ． 4．若212log log 2a b +=，则有A ．a =2bB ．b =2aC ．a =4bD ．b =4a【答案】C【解析】212log log 2a b +=，得2log 2a b ⎛⎫=⎪⎝⎭，即a =4b ．故选C ． 5．设()()2log 20xf x x =>，则f （3）的值是A ．128B ．256C ．512D ．8【答案】B【解析】设log 2x =t ，则x =2t ，所以f （t ）=22t ，即f （x ）=22x ．则f （3）=32822256==．故选B ．6．log 513+log 53等于 A ．0 B ．1C ．–1D ．log 5103【答案】A【解析】原式=51log 33⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=log 51=0．故选A ．7．若a =3412（），b =1234（），c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】A【解析】∵a =314211()22<（）<b =1234（），c =log 23>1，则a <b <c ，故选A ． 8．若a =30.4，b =0.43，c =log 0.43，则 A ．b <a <c B ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a【答案】D【解析】a =30.4>1，b =0.43∈（0，1），c =log 0.43<0，则c <b <a ．故选D ． 9．若25210cab==且abc ≠0，则c c a b+= A ．2B ．1C ．3D ．4【答案】A10．已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是A ．11()()43a b < B ．11a b> C ．ln （a –b ）>0D ．3a –b <1【答案】A【解析】∵1122log log a b <，∴a >b >0，∴111()()()433a a b <<，11a b<，ln （a –b ）与0的大小关系不确定，3a –b >1．因此只有A 正确．故选A ． 11．函数()lg 2y x =+的定义域为__________．【答案】（–1，+∞）【解析】应该满足()20lg 20x x +>⎧⎨+>⎩，即2+x >1，解得x >–1，所以函数的定义域为（–1，+∞）．故答案为：（–1，+∞）．12．函数y =lg x 的反函数是__________． 【答案】y =10x【解析】函数y =lg x ，可得x =10y ，所以函数y =lg x 的反函数是y =10x ．故答案为：y =10x ． 13．函数f （x ）=1ln x -的定义域为__________． 【答案】（0，e]【解析】函数()1ln f x x =-的定义域为：{x |01ln 0x x >⎧⎨-≥⎩}，解得0<x ≤e ．故答案为：（0，e]．14．设2x =5y =m ，且11x y+=2，则m 的值是__________． 【答案】10【解析】由2x =5y =m ，得x =log 2m ，y =log 5m ，由11x y+=2，得25112log log m m +=，即log m 2+log m 5=2，∴log m 10=2，∴m =10．故答案为：10．15．方程log 2（2–x ）+log 2（3–x ）=log 212的解x =__________． 【答案】–116．已知f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ），则f （x ）是 A ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是减函数 【答案】D 【解析】由100100x x +>⎧⎨->⎩得：x ∈（–10，10），故函数f （x ）的定义域为（–10，10），关于原点对称，又由f （–x ）=lg （10–x ）+lg （10+x ）=f （x ），故函数f （x ）为偶函数，而f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ）=lg （100–x 2），y =100–x 2在（0，10）递减，y =lg x 在（0，10）递增，故函数f （x ）在（0，10）递减，故选D ． 17．设正实数a ，b 满足6a =2b ，则A ．01ba << B ．12ba <<C ．23ba<<D ．34b a<<【答案】C【解析】∵6a =2b ，∴a ln6=b ln2，∴ln6ln2ln3ln2ln2b a +===1+ln3ln2=1+log 23，∵1<log 23<2，∴2<ba<3，故选C ．18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 为1080，则下列各数中与MN最接近的是 A ．1033 B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】由题意：M ≈3361，N ≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M ≈3361≈（100.48）361≈10173，∴M N ≈173801010=1093．故选D ． 19．若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a >b >c B ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【答案】D【解析】由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lg a=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lg b=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lg c=4lg2，故c=24=16，∴b>c>a．故选D．20．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则x+3y的最小值是A．12 B．10C．8 D．6【答案】D【解析】∵log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），∴log2（x+3y）=log2x+log2（2y），即x+3y=2yx．可得：x+3y=23•3yx．∴3 2（x+3y）23()2x y+≤，当且仅当x=3y时取等．令x+3y=t，（t>0），则6t≤t2，解得：t≥6，即x+3y≥6．故选D．21．对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是A．lg y–lg x=lg yxB．lg（x+y）=lg x+lg yC．lg x3=3lg x D．lg x=ln ln10 x【答案】B22．设函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，且f（–2）+f（–1）=2，则a= A．3 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y=–x对称的点为（–y，–x），把（–y，–x）代入y=log2（x+a），得–x=log2（–y+a），∴f（x）=–2–x+a，∵f（–2）+f（–1）=2，∴–22+a–2+a=2，解得a=4．故选D．23．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1）B．（–3，–1）C．[–1，+∞）D．[–1，1）【答案】B【解析】由–x2–2x+3>0，解得：–3<x<1，而y=–x2–2x+3的对称轴是x=–1，开口向下，故y=–x2–2x+3在（–3，–1）递增，在（–1，1）递减，由y =ln x 递增，根据复合函数同增异减的原则，得f （x ）在（–3，–1）递增，故选B ．24．已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数f （x ）的减区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（5，+∞）D ．（–∞，–1）【答案】C【解析】设t =x 2–4x –5，由t >0可得x >5或x <–1，则y =12log t 在（0，+∞）递减，由t =x 2–4x –5在（5，+∞）递增，可得函数f （x ）的减区间为（5，+∞）．故选C ．25．已知R 上的奇函数f （x ）满足当x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （f （1））= A ．–1 B ．–2C ．1D ．2【答案】C【解析】设x >0，–x <0，f （x ）为R 上的奇函数，且x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （–x ）=log 2（1+x ）=–f （x ），∴f （x ）=–log 2（1+x ），∴f （1）=–1，∴f （f （1））=f （–1）=log 22=1．故选C ．26．若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为A ．m >l >nB ．l >n >mC ．n >l >mD ．l >m >n【答案】B【解析】∵实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，∴0=log a 1<log a b <log a a =1，∴m =log a （log a b ）<log a 1=0，0<2(log )a n b =<1，1>2log a l b ==2log a b >2(log )a n b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l >n >m ．故选B ．27．函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，则a 的取值范围为__________．【答案】{a |1<a 【解析】∵函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，∴2130a a >⎧⎨-≥⎩，求得1<a ，故答案为：{a |1<a ．28．已知函数f （x ）=a •2x +3–a （a ∈R ）的反函数为y =f –1（x ），则函数y =f –1（x ）的图象经过的定点的坐标为__________． 【答案】（3，0）【解析】∵f （x ）=a •2x +3–a =a （2x –1）+3过定点（0，3），∴f （x ），的反函数y =f –1（x ）的图象经过定点（3，0）．故答案为：（3，0）．29．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +1）（a >0且a ≠1）没有最小值，则a 的取值范围是__________． 【答案】（0，1）∪[2，+∞）30．（1）5log 3333322log 2log log 8259-+-； （2）74log 2327log lg 25lg 47++． 【答案】（1）–7；（2）154． 【解析】（1）原式=25log 933332log 4log log 8259-+-39log 48932⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭=log 39–9=2–9=–7；（2）74log 2327log lg 25lg 47++()31424333115log lg 2542log 3lg10222344-=+⨯+=++=-++=．31．求函数f （x ）=log 13（x 2–3）的单调区间．3+∞），单增区间是（–∞，3）． 【解析】要使函数有意义，当且仅当u =x 2–3>0， 即x 3x <3又x 3+∞）时，u 是x 的增函数； x ∈（–∞，3）时，u 是x 的减函数． 而u >0时，y =log 13u 是减函数， 故函数y =log13（x 2–33+∞），单增区间是（–∞，3 32．已知函数f （x ）=lg （x +1）–lg （1–x ）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【答案】（1）（–1，1）；（2）f（x）为奇函数．【解析】（1）要使原函数有意义，需满足10 10 xx+>⎧⎨->⎩，解得–1<x<1，故函数的定义域为（–1，1）；（2）∵f（–x）=lg（1–x）–lg（1+x）=–f（x）∴f（x）为奇函数．33．已知函数f（x）=log a（1+x）–log a（1–x），其中a>0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（35）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．【答案】（1）（–1，1）（2）奇函数，理由详见解析；（3）（0，1）．（3）若f（35）=2，∴log a（1+35）–log a（1–35）=log a4=2，解得a=2，∴f（x）=log2（1+x）–log2（1–x），若f（x）>0，则log2（x+1）>log2（1–x），∴x+1>1–x>0，解得0<x<1，故不等式的解集为（0，1）．34．（2018•天津）已知a=log2e，b=ln2，c=121log3，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b【答案】D【解析】a=log2e>1，0<b=ln2<1，c=log1213=log23>log2e=a，则a，b，c的大小关系c>a>b，故选D．35．（2018•天津）已知a=log372，b=1314（），c=131log5，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 【答案】D【解析】∵a=log372，c=131log5=log35，且5732>>，∴337512log log>>，则b=1311()144<=（），∴c>a>b．故选D．36．（2018•新课标Ⅲ）设a=log0.20.3，b=log20.3，则A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【答案】B37．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=__________．【答案】7【解析】∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3），∴log 2（1+a ）=3，解得a =7．故答案为：7．38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=__________．【答案】2-【解析】()()))ln1ln1f x f x x x +-=+++()22ln 12x x =+-+2=，∴()()2f a f a +-=，则()2f a -=-，故答案为：–2．。
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲⼀、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .⼆、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常⽤这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a题型归纳及思路提⽰题型 1 对数运算及对数⽅程、对数不等式思路提⽰对数的有关运算问题要注意公式的顺⽤、逆⽤、变形⽤等 .对数⽅程或对数不等式问题是要将其化为同底，利⽤对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这⾥必须注意对数的真数为正 . ⼀、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 32lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析先将对数不等式化为同底的形式，再利⽤单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，⼜ 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x ⼆、对数⽅程例 2.59 解下列⽅151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析利⽤对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，⾸先⽅程中的 x 应满⾜x 10，原⽅程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从⽽ x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原⽅程的解 .1(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是⽅程的解 . 评注解对数⽅程⼀定要注意对数⽅程成⽴条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利⽤对数函数的单调性来⽐较对数的⼤⼩，通常借助 0和 1作为分界点解析因为y log 5 x 在（0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )C.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 ⼤纲全国理 9）已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提⽰研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和⽅法问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维⽅向、对数函数的图像例 2.62如图 2-15所⽰，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像，对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x变式 1 已知函数 f （x ）为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所⽰，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标⼤⼩为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能⼀次为 2,3, , .故选 B .32评注对数函数在同⼀直⾓坐标系中的图像的相对位置与底数⼤⼩的关系如图 2-16 所⽰，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第⼀象限的图像， a 越⼤，图像越靠近 x 轴； a 越⼩，图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像⼤致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点⼆、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a 上的最⼤值与最⼩值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最⼤值与最⼩值⼜ f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2. (log 2 x)2解析因为对数函数的底 a 1 ，所以函数f (x) log a x 在区间a,2a 上单调递增，故 f (x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最⼤值是最⼩值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最⼤值和最⼩值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x22解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最⼤值与最⼩值的差为题型 3 对数函数中的恒成⽴问题思路提⽰ (1)利⽤数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离⾃变量与参变量，利⽤等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成⽴ .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所⽰，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x340 在 ,1 上恒成⽴ .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 a。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理： 一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数 1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.1>a10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（ ）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100⑵已知32a =，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>． 变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log a x x xxa >解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或 ，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x =++的定义域是（ ）A 、1(,)3-+∞B 、1(,1)3-C 、11(,)33-D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． ⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0)B 、(0，＋∞)C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x＝－log 22－x 2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A.变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 ．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x ，其中0＜a ＜1.⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－a x，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a1－a，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域.随堂巩固1、6632log log +等于（ ）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+ C 、()()()a a a log xy log x log y =• D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（ ）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、F G =∅I8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（ ）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132ΛΛ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a --12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（ ）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求xy的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（ ） A 、N a b= B 、N b a= C 、b aN= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（ ）A 、10B 、0.01C 、100D 、10003、()[]0log log log 234=x ，那么21-x 等于（ ）A 、2B 、21 C 、4 D 、41 4、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（ ） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（ ）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（ ）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m 7、若132log <a，则a 的取值范围是（ ） A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0Y B 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,0Y8、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,3 9、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）A 、103,51,34,2 B 、51,103,34,2 C 、2,34,103,51 D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
第18讲 对数及对数式运算
第18讲对数及对数式运算5大常考题型总结【知识点梳理】1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①特殊对数：1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠②对数恒等式：log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)③对数换底公式：log log log c a c bb a=如：252log 7lg7ln 7log 7=log 5lg5ln 7==．(4)对数的运算法则：①外和内乘原理：log ()log log a a a MN M N =+；②外差内除原理：log log log aa a MM N N=-；③提公次方法：log log m na a nb b m m=，)n R ∈；④指中有对，没心没肺：log a b a b =和b a a b =如：433log 81log 34==，2log 525=．(5)换底公式和对数运算的一些方法：①常用换底：log log log c a c b b a =如：252log 7lg7ln 7log 7=log 5lg5ln 7==．②倒数原理：1log log a b b a=如：321log 2log 3=．③约分法则：log log log a b a b c c ⋅=如：232log 3log 4log 4=2⋅=；35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=．④归一法则：()2lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 5+lg 21=⇒⋅=．【题型目录】题型一：对数的定义题型二:指数对数的互化题型三:对数的运算求值题型四：换底公式的应用题型五：对数式的应用题【典型例题】题型一：对数的定义【例1】在()()31log 32a b a -=-中，实数a 的取值范围为______.【题型专练】1．使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠2.若()()1log 1k k +-有意义，则实数k 的取值范围是______.题型二:指数对数的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125；（2）4-2=116；（3）log 3127=-3.【题型专练】1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3128-=；（2）17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）1lg31000=-．2.指数式和对数式互相转化：（1）4e a =⇒____________．（2）31327-=⇒____________．（3）21log 416=-⇒____________．（4）2log 83=⇒____________．题型三:对数的运算求值【例1】已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【例2】设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（）A ．3B ．6C ．9D ．12【例3】计算：（1）659log 25log 3log 6⋅⋅=_________．（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________．（3）235111log log log 2589⋅⋅=_________．（4）()24892log 3log 9log 27log 3log n n ++++⋅=L __________．（5）6log =__________．【例4】已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______．【例5】计算：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=__________【例6】已知0x >，0y >，且lg 2lg8lg 2x y +=，则21x y+的最小值为___________.【题型专练】1.设3log 42a =，则4a -=（）A ．116B ．19C ．18D ．162.若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.3.计算：2log 321lg22log ln1162+++=______4.计算()32log 2lg 2lg 2lg 5lg 53-++-=___________6.设函数()()2log 4,22,2xx x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．87.若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（）A ．9B ．8C ．7D ．68.计算:22log 4log 1323lg 3log 2lg 5+-⋅-=________．9.计算：(22lg lg 5++____.题型四：换底公式的应用【例1】已知53a =，32b =，则log ab -=（）A ．1B ．2C ．5D ．4【例2】设25a b m ==，且112a b+=，则m =（）A B ．10C ．20D ．100【例3】已知lg 2a =，lg 3b =，则36log 5=（）A ．221a b a+-B ．12a a b-+C ．22a a b -+D ．122a a b-+【例4】化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【例5】若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是（）A ．122a b c+=B ．221a b c+=C ．112a b c+=D ．212a b c+=【题型专练】1．已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（）A ．d ac=B ．a cd=C ．c ab=D ．d a c=+2.已知1a b >>，若5log log 2b aa b b a a b +==，则2+a b =___________.3.已知3log 2m =，用含m 的式子表示32log 18=_________.4．若23a b m ==，且112a b+=，则m =_____________．5.把满足()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+，*n ∈N 为整数的n 叫作“贺数”，则在区间()1,50内所有“贺数”的个数__．6.若b a ,均为不等于1的正数，且满足b a b a nm 821,22==⎪⎭⎫⎝⎛=，且,则=+221n m .题型五：对数式的应用题【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(12)k E k =，．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【例2】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193≈)（）A ．60B ．63C ．66D ．69【例3】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【例4】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级()M 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的（）倍（精确到1）．（参考数据：0.410 2.512≈，0.510 3.162≈， 2.810631≈）A ．794B ．631C ．316D ．251【例5】一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式：()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，0T 为热水的初始温度，h 称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（）（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A ．11.3B ．13.2C ．15.6D ．17.1【题型专练】1.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．128B ．130C ．132D ．1342.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =．已知星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，则星A 与星B 的亮度的比值为（）A ．4510B ．4510-C ．5410D ．5410-3.某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．44小时B ．45小时C ．46小时D ．47小时4.地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数（）(答案精确到个位，参考数据：lg398 2.6≈，lg1995 3.3≈，lg 7.80.89≈，lg 30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．485.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
对数与对数运算知识点及例题解析
对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n ＝n mlog a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形：log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x，；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)（2）；（3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理： 一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.2、图像和性质1>a10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（ ）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 ⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log ax x xxa > 解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或 ，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31xf x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =的定义域.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0) B 、(0，＋∞) C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A .变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 ．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. ⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a 1－a ，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固1、6632log log +等于（ ）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+C 、()()()a a a log xy log x log y =•D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（ ）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、FG =∅8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（ ）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132 ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（ ）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（ ）A 、N a b =B 、N b a =C 、b a N= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（ ）A 、10B 、0.01C 、100D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ，那么21-x等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、414、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（ ） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（ ）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（ ）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m7、若132log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,08、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,39、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）A 、103,51,34,2B 、51,103,34,2C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数及对数函数 知识点总结及典例
对数及对数函数一．知识梳理 （一）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba ＝ N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N ＝ b 其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，log e N ，记作N ln ；3）指数式与对数式的互化 ba ＝ N ⇔log a N ＝b ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a na (log log R ）。
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2三．【例1】比较下列各组数的大小：（1）3log 2与()23log 3x x -+（2） 1.1log 0.7与 1.2log 0.7（3）32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小：4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 （ ） A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x，则x 的值为 （ ）A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。
5对数运算与对数函数(解析版)Word版
第五讲 对数运算与对数函数一 知识要点1、对数概念：一般地，如果)1,0(≠>=a a y a x且，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作y x a log =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数指数真数axyya x =xy a =log )1,0(≠>a a )1,0(≠>a a )(R x ∈)(R x ∈)(+∈R y )(+∈R y备注：由于正数的任何次幂都是正数，即)0(0>>a a x ，故0>=xa y ，因此对数符号)1,0(log ≠>a a y a 且只有0>y 时才有意义，例如：0log 2，)2(log 2-无意义。
2、对数恒等式与对数的性质根据对数的定义，可以得到下面的对数恒等式：y aya =log根据对数的定义，对数)1,0(log ≠>a a N a 且具有下列性质： （1）零和负数没有对数，即0>N ； （2）1的对数为零，即01log =a （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、常用对数与自然对数对数)1,0(log ≠>a a N a 且，当底数 （1）10=a 时，叫做常用对数，记作N lg ；（2）e a =时，叫做自然对数。
记作)71828.2(ln ≈e N 4、对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么：（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅；（积的对数等于对数的和） （2）N M NMa a alog log log -=；（商的对数等于对数的差） （3）)(log log R M M a a ∈=ααα5、换底公式：)0,1,,0,(log log log >≠>=N b a b a bNN a a b6、对数函数的图像和性质：函数)0,10(log >≠>=x a a x y a 且的图像特征和性质备注：对数函数x y a log =的底a 越大，函数图像在x 轴上方部分越偏居右侧。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
(完整版)对数及对数函数知识点及习题,推荐文档
对数及对数函数学习目标：（一）对数1．对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：N a x=)1,0(≠>a a x a N 其中：是底数，是真数，是对数式N x a log =a N N a log 2、两个重要对数：常用对数：以10为底的对数；○1N lg 自然对数：以无理数为底的对数的对数．○2 71828.2=e N ln 3、对数式与指数式的互化xN a =log ⇔Na x =对数式指数式 对数底数← → 幂底数⇔a对数← → 指数真数←→ 幂x N 4、对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：；01log =a （3）底数的对数是1：； （4）对数恒等式：；1log =a a N aNa =log （5）．n a n a =log5、对数的运算法则：()()log log log a a a MN M NM N R =+∈+，()log log log aa a MNM N M N R =-∈+， ()()log log a n a N n NN R =∈+()log log a naN nN N R =∈+16、对数换底公式：log log log log (.)log b a a n e g N N bL N N e N L N N ====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810由换底公式推出一些常用的结论：（1） （2）log log log log a b a b b a b a ==11或·log log a m a nb mnb =（3） （4）log log a na nb b =loga m na mn=（二）对数函数（一）对数函数的概念1．定义：函数，且叫做对数函数其中是自变量，函数的定0(log >=a x y a )1≠a x 义域是（0，+∞）．（二）对数函数的图象和性质在同一坐标系中画出下列对数函数的图象○1（1） （2） x y 2log =xy 21log =（3） （4） x y 3log =xy 31log =○2一、选择题：1．3log 9log 28的值是（ ）A ．32 B ．1C ．23 D ．22．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（）A.23 B.45 C.0D.213．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+124.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1]D ．(－∞，1)5.已知f (e x )=x ，则f (5)等于（）A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e6．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或7．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ．8．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为．9．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值？10．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；11．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．。
对数函数知识点及典型例题
( x )－ ( x ) = lg + －lg － = lg + ，
∵－1＜x ＜x ＜1，∴ x －x ＞0， 1－x ＞1－x ＞0，1 + x ＞1 + x ＞0，
∴ ＞1， ＞0，即 ( x )－ ( x )＞0，
∴函数 (x)是单调递减函数．
（3） lg - lg +lg .
解：（1）方法一 利用对数定义求值
设 =x, 则(2+ )x=2- = =（2+ ）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
= = (2+ )-1=-1.
（2）原式=lg （2lg +lg5）+ =lg (lg2+lg5)+|lg -1|
=lg +(1-lg )=1.
⑴当－4＜a＜0时， ＜0，恒有g(x)＞0，函数y的定义域为R，又y与g(x)单调性一致．所以在(－∞， ]上，y单调递减；在[ ，+∞)上，y单调递增；
⑵当a=－4时， = 0，y = lg(x + 1) ，其定义域为{x | x≠－1，x∈R}，
∴在(－∞，－1)上y单调递减；在(－1，+∞)上，y单调递增；
⑶当a= 0时， = 0，y = lg(x－1) ，其定义域为{x | x≠1，x∈R}，
∴在(－∞，1)上y单调递减；在(1，+∞)上，y单调递增；
⑷当a＜－4或a＞0时， ＞0，函数的定义域为：
(－∞， )∪( ，+∞)．
∴在(－∞， )上，y单调递减；在( ，+∞)上，y单调递增．
例7 已知函数 (x) = lg + ，x∈(－1，1 )，问y = (x) 的图象上是否存在两个不同的点A、B，使AB⊥y轴，若存在，求A、B的坐标，若不存在，说明理由．
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】 已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。
对数与对数运算知识点总结与例题讲解
对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）对数的概念.（2）对数式与指数式的互化. （3）对数的性质. （4）对数的运算性质. （5）对数的换底公式. 知识点一 对数的概念一般地,如果N a x=（0>a 且1≠a ）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.例如,因为41621=,所以21就是以16为底4的对数,记作214log 16=. 对对数概念的理解:（1）底数a 必须满足0>a 且1≠a ; （2）真数N 大于0（负数和0没有对数）. 规定底数0>a 且1≠a 的原因:当0<a 时,N 取某些值时,x 的值不存在.例如,()29log 3=-,但()27log 3-却不存在.当0=a 时:①若0≠N ,则x 的值不存在;②若0=N ,则x 的值是任意正数.（注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义） 当1=a 时:①若1≠N ,则x 的值不存在; ②若1=N ,则x 的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数0>a 且1≠a . 常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作N lg ;将以无理数e （ 71828.2≈e ）为底的对数叫做自然对数,记作N ln .根据对数概念,可以求参数的取值范围 例1. 求下列各式中x 的取值范围.（1）()3log 5.0-x ; （2）()()x x --2log 1.分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: （1）底数0>a 且1≠a ; （2）真数0>N .解:（1）由题意可知:03>-x ,解之得:3>x .∴x 的取值范围是()+∞,3;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-021101x x x ,解之得:21<<x .∴x 的取值范围是()2,1.例2. 求下列对数式中x 的取值范围.（1）()x -5log 2; （2）()3log 2x -.解:（1）由题意可知:05>-x ,解之得:5<x .∴x 的取值范围是()5,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1202x x ,解之得:2<x 且1≠x .∴x 的取值范围是()()2,11, ∞-.例3. 使()1log +x a （0>a 且1≠a ）有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）()+∞-,1 （C ）[)+∞,0 （D ）()+∞,0解:由题意可知:01>+x ,解之得:1->x .∴x 的取值范围是()+∞-,1.选择【 B 】.例4. 求()()x x --4log 3中x 的取值范围. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-041303x x x ,解之得:43<<x . ∴x 的取值范围是()4,3.例5. 使()2log 212+--x x有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)2,2- （B ）[]2,2- （C ）()2,2- （D ）(]2,2-解:由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0202x x ,解之得:22<<-x .∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.知识点二 指数式与对数式的互化在N a x=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.指数式与对数式的比较知识点三 对数的性质 （1）负数和0没有对数.（2）1的对数等于0,即01log =a （0>a 且1≠a ）. （3）底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）. （4）对数恒等式N aNa =log （0>a 且1≠a ）.（5）x a xa =log （0>a 且1≠a ）.对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如, ===---2323log ln 2e .例6. 将下列指数式改写成对数式:（1）1624=; （2）32125=-. 解:（1）∵1624=,∴416log 2=;（2）∵32125=-,∴5321log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:（1）3125log 5=; （2）416log 21-=.解:（1）∵3125log 5=,∴12553=;（2）∵416log 21-=,∴16214=⎪⎭⎫⎝⎛-.点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x=,对数式N x a log =.需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624=-,就不能化为416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.例8. 计算下列各式的值:（1）25log 5; （2）32log 21; （3）10log 33; （4）1ln ; （5）5.2log 5.2.解:（1）25log 25log 255==;（对数的性质:x a xa =log ）（2）521log 32log 52121-=⎪⎭⎫⎝⎛=-;（3）10310log 3=;（对数恒等式:N a N a =log ） （4）01ln =;（对数的性质:1的对数等于0） （5）15.2log 5.2=.（对数的性质:底数的对数等于1）例9. 计算:（1）27log 9; （2）81log 43; （3）()()32log 32-+.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.解:（1）设x =27log 9,则有279=x ,3233=x ,32=x ,23=x . ∴2327log 9=; （2）设x =81log 43,则有()8134=x,44133=x ,441=x ,16=x .∴1681log 43=;（3）设()()x =-+32log 32,则有()()1323213232-+=+=-=+x,1-=x .∴()()132log 32-=-+.例10. 求下列各式中的x :（1）2327log =x ; （2）x x 354⨯=. 解:（1）∵2327log =x ,∴2723=x ,()93327232332====x ;（2）∵xx354⨯=,∴534=⎪⎭⎫⎝⎛x,5log 34=x .例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,21=a . ∵a x =lg ,∴10101021===ax .例12. 已知函数()()a x x f +=22log ,若()13=f ,则=a __________.解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a ,且1≠a ）例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则nm a +2的值为__________.解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==nm a a .∴()1232222=⨯=⋅=+n m n m a a a .例14. 求下列各式的值:（1）4log 55; （2）24log 33-; （3）5log 422+.解:（1）454log 5=;（对数恒等式:N a N a =log ）（2）9433324log 24log 33==-; （3）805162225log 45log 422=⨯=⋅=+.知识点四 对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: （1）()N M MN a a a log log log +=; （2）N M NMa a alog log log -=; （3）M n M a na log log =.其中,对数的运算性质（1）可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: （1）M M Ma a a log log 1log 1-==-; （2）M pnMM a pn a pn alog log log ==. 例15. 证明对数的运算性质:()N M MN a a a log log log +=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==⋅=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.例16. 证明对数的运算性质:N M NMa a alog log log -=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ） 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴q p a aa N M q p a q pa a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log∴N M NMa a alog log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:M n M a n a log log =（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）证明:设x M a =log ,则xa M =∴()nx a a M nx a nx a n a ===log log log ,nx M n a =log∴M n M a n a log log =.对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+;（3）3log 333558log 932log 2log 2-+-; （4）348log 348log 22-++.解:（1）原式()410lg 52lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 4443434==⨯=⨯=-+=; （2）原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 32lg 3lg 2213213=-+-+=-+-+=⨯-+; （3）原式13233log 389324log 38log 932log 4log 233333-=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+-=; （4）原式()()22log 4log 16log348348log 22222====-+=.例19. 计算:=+25log53ln e__________.解:原式()7435log345=+=+=.例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22∴()b a =+=+=⨯5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=⨯=25log 15log 515log 75log 2222.例21. 计算:5log 3lg 33log 45log 1223211023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++.解:原式=5log 3lg 3log 45log 23232102233-++⨯-⨯52951274815233165351log 32-=++-=++⨯-⨯=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2-⋅+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ⨯-+=g()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.例23. 计算:（1）;42log 2112log 487log 222-+ （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:（1）原式42log 144log 487log 222-+= 2log =212log 21log 421444872122-===⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯-; （2）原式()()2322lg 210lg 5lg 2lg 325lg +⨯⋅++=()()22lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=()()2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=12+= 3=.例24. 计算:()()2922531log 31log 35+-+.解:原式()()()()3231139253531log 13log 31log 213log 2925925=++-=+=+=+-+-.点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 231log 2522555--=,实际上,此时真数031<-,对数式无意义,应为()()()13log 213log 31log 25225225555---==.例25. 若()()0137log 22=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 22=+--x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-120211372x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.例26. 若()312xf x=+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x,∴3log 2=x .∴()3log 31342==x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根,则2lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 的值是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解:∵01422=+-x x ,∴02122=+-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴21lg lg ,2lg lg =⋅=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2222=⨯-=⋅-+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a b a .选择【 B 】.例28. 计算:=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343__________. 解:原式8271log 325445log 32333434=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.例29. 解下列方程:（1）()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; （2）()()5lg 11622lg -=-+x x x .解:（1）()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x()()22log 43log 222+=-+x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>->++=-+01010422432x x x x x x ,解之得:2=x .∴该方程的解为2=x ;（2）()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40解:∵12lg 2lg =-a ,∴14lg4lg lg ,12lg lg 2==-=-aa a . ∴104=a,解之得:40=a . 选择【 D 】.例31. 方程()1321log 3+=⋅+x x的解=x __________.解:()1333log321log +=⋅+x x,∴x x x 3333211⋅==⋅++.∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的133log 1+=+x x .例32. 计算:3log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .解:原式3log 21225.2222ln 10lg 5.2log ⋅-++=-e211322122-=⨯-+-=.例33.（1）计算:()()()223log 8.94lg 25lg 27log 1203-+-+++-;（2）已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 22loglog-的值.解:（1）原式()()()21223312log 1425lg 3log -++⨯+=-21223+++=213=; （2）∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()22lg lg y x xy -=∴()xy y x =-22,04522=+-y xy x .∵0>x ,∴04512=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<<x y ,∴41=x y . ∴()42log 4log 41log logloglog4222222-=-=-===-x y x y .点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:MM Ma a al o g l o g 1l o g 1-==-. 例34. 化简下列各式:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+.解:（1）原式()452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 43434=⨯=⨯=-+=; （2）原式()()1023lg10lg 2lg 3lg 22133213⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-+=.例35. 化简下列各式:（1）()5353lg 281log 22723log 322-+++⨯-; （2）()246246log2--+.解:（1）原式()()2323235353lg 2log 33-+++⨯-=-()1919910lg 3332=++=+-⨯-=;（2）原式()21246246log22⨯--+= ()()3216212log218log 21246246log62222=⨯=⨯=⨯=⨯--+=.解法二: 原式()()⎪⎭⎫⎝⎛--+=2222222log ()()32log22log2222log3222===+-+=.例36. 若03241=--+x x,则x 的值为__________.解:032222=-⋅-x x,()()01232=+-x x∴32=x （012<-=x ,舍去） ∴3log 2=x .例37. 计算:4ln 3327log 25lg 4lg e ---.解:原式()844421243log 254lg 3-=--=--=-⨯-=. 例38.（1）已知68log =x ,求x 的值;（2）已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.解:（1）∵68log =x ,∴86=x .∵0>x ,且1≠x ∴()22282161361====x ;解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .∴()22log 22log 2==x x,12log =x ,∴2=x .（2）()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=->>-x x x x 310001022,解之得:5=x . 即x 的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则aa 93+的值为__________.解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a,∴53=a.∴()3055359322=+=+=+a a a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）.例40. 若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x __________.（用含a 的式子表示） 解:∵a y x =-lg lg ,∴a yx=lg. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33333==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.例41. 若213log 4=x ,则x x 93log 2+等于【 】 （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）10解:∵213log 4=x ,∴213log 4=x,∴244321===x .∴()52132log 93log 2222=+=+=+x x x .选择【 B 】.例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.解:∵3log 4=a ,∴34=a,即()322=a,∴32=a .∴33431321222=+=+=+-aa a a . 例43. 方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为__________.解:()()4log 23log 59log 21212+-=---x x∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-⋅=---x x . ∴02731232=+⋅-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .例44. 已知方程03l o g 6l o g 222=++x x 的两个实数根分别为βα,,则=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛βα4141【 】 （A ）361（B ）36 （C ）6- （D ）6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.∴()366222414126log 6log 26log 22222=====⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα. 选择【 B 】.例44. 已知3log 2=x ,则=----xxxx 2244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x.∴310924980313313224422==--=----xxx x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x,∴32=x.∴()3263193132122422=-=-=-=--xx x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+xx的解是__________. 解:()()xx23lg 24lg ⋅=+,∴x x2324⋅=+.∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.例47. 计算:()()3log 22222lg 22lg 5lg +-.解:原式()()34lg 2lg 5lg 32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2+-=+-+=313425lg =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 例48. 计算:323log 1271021001lg22-+⎪⎭⎫⎝⎛+-. 解:原式32323log 3410lg 222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=()()()169222342222223log 23log 2++⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯=- 16329169292=++⨯=. 例49. 计算:()4log 2130217731log 3412++--⎪⎭⎫⎝⎛π. 解:原式4log 13773log 149++-=-2321123=+--=.例50. 若2,2>>b a ,且()2log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】（A ）0 （B ）21（C ）1 （D ）2 解法一:2log 1log 2log log 2222bb a ab a ++=++ ∴()()b a b ab a +=+2log 2log 22,∴()()b a b ab a +=+22.∴()b a ab +=2.∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .选择【 D 】.解法二:()02log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=++ab b a ab b a ∴()12=⋅+abb a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .知识点五 对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:abb c c a log log log =（0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ）.说明:（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化证明:设x b a =log ,则b a x=.在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:b ac x c log log =,即b a x c c log log =.∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =,即abb c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .对数换底公式的几个常用推论:（1）b aba nb n a b b ac c c c n c n c na n log log log log log log log log ====; （2）b mn a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c na mlog log log log log log log log =⋅===;（3）aa b b b b b a log 1log log log ==;（4）1log log =⋅a b b a ;1log log 1log log =⋅=⋅a aa b b b b a ,或1log log log log log log =⋅=⋅b a a b a b c c c c b a . （5）1log log log =⋅⋅a c b c b a . 例51. 计算:（1）8log 4log 9log 1632⋅⋅;（2）()()4log 4log 3log 3log 9342++.解:（1）原式=343222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅; 解法二:原式()2log 432log 3log 42log 2log 23log 223232324⋅⋅=⋅⋅=34314=⨯⨯=;（2）原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg293233lg 2lg 32lg 23lg 3=⨯=⋅=. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322⋅=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=291292log 3log 2932=⨯=⋅=. 注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:b mnb a n a m log log =,1log log =⋅a b b a . 例52. 计算:（1）()=+3lg 2lg 3log 3log 84__________; （2）()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.解:（1）原式653lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=; 解法二:原式()2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232⎪⎭⎫⎝⎛+=+= 652log 3log 6532=⋅=; （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg135lg 2lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=()132log 35log 3132log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=⋅=++⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=例53.（1）设3643==yx,求yx 12+的值; （2）已知73,3log 2==b a ,求56log 12.解:（1）∵3643==yx∴36log ,36log 43==y x . ∴4log 9log 4log 3log 236log 136log 12123636363643+=+=+⋅=+y x 136log 36==;点评 这里用到了对数换底公式的推论:ab b a log 1log =.（2）∵73,3log 2==b a ∴b b a ===3lg 7lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()232lg 22lg 32lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==a ab a ab a ab .例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且zyxc b a ==,0111=++zy x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.解法一:设t c b a zyx===,则0>t ,zyxt c t b t a 111,,===.∴zy x zyxtt t t abc 111111++=⋅⋅=.∵0111=++zy x ∴10==t abc .解法二:设t c b a zyx===,则0>t .∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵0111=++zy x ∴0log 1log 1log 1=++tt t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .例55. 计算3216log 的结果是【 】（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43- 解:342log 3116log 3116log 16log 42231232====. 选择【 A 】.点评: 这里用到了对数的性质:（1）M n M a na log log =;（2）1log =a a .例56. 求下列对数式的值:（1）e 1ln 1ln +;（2）51lg 5lg 32lg 4-+;（3）2log 3774lg 25lg 27log +++.解:（1）原式1ln 01-=+=-e;（2）原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+=; （3）原式()()21122232425lg 3log 2133=++=+⨯+=. 例57. =⨯+-+8log 3log 43lg 9lg 215lg 232__________.解:原式3lg 8lg 2lg 3lg 43lg3lg 25lg ⨯+-+= 272322lg 2lg 23100lg 2lg 8lg 43325lg =+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=. 例58. 对数综合运算求值:（1）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+;（2）()[]4log 18log 2log 3log 166626÷⋅+-.解:（1）原式()()12lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 2lg 3lg 22133213-+-+=⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 23=-+-+=; （2）原式()()[]4log 6log 3log 2log 3log 6log 6666266÷++-=()[]()[]()12log 22log 22log 22log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 6666666666666626=÷=÷+=÷++=÷+⋅+=例59. 求下列式子的值:（1）()()a a lg lg 2lg lg 2100+; （2）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++.解:（1）原式()()()[]()2lg lg 2lg lg 22lg lg 2lg 10lg 22=++=+=a a a a ; （2）原式()112lg 12lg 26.010lg 12lg 2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg ==⨯⨯=+++=.例60. 给出下列各式:①()010lg lg =;②()0ln lg =e ;③若x lg 10=,则10=x ;④由21log 25=x ,得5±=x . 其中正确的是__________.（把正确的序号都填上）答案 ①②解:()01lg 10lg lg ==,故①正确;()01lg ln lg ==e ,故②正确;若x lg 10=,则1010=x ,故③错误; 由21log 25=x ,得52521==x ,故④错误.例61. 计算3log 9153223log 327log ++的结果是__________. 解:原式58315233log 3log 33log 33log 3523135331=+--=+-=++=--. 例62. 计算=⨯+⨯-4log 3log 81log 2273223log 324__________. 解:原式()3lg 2lg 22lg 3lg 2log 23323log 213232⨯+⨯-=- ()31123922921213log 2-=+-=+-=.例63. 已知b a ==6log ,5log 52,则用b a ,表示=6lg __________. 解:∵b a ==6log ,5log 52∴b a ==5lg 6lg ,2lg 5lg ,a =-5lg 15lg ,∴aa+=15lg ∴aabb +==15lg 6lg . 例64.（1）已知a =2log 14,用a 表示7log2;（2）已知b a ==5log ,7log 1414,用b a ,表示28log 35.解:（1）∵a =2log 14,∴a12log 114log 142==∴()⎪⎭⎫⎝⎛-=-===1122log 14log 27log 27log7log2222221a ;（2）∵b a ==5log ,7log 1414∴()5log 7log 14log 7log 14log 57log 14714log 35log 28log 28log 14141414141414141435++-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==b a a +-=2. 例65. 解关于x 的方程:（1）()()13log 1log 515=--+x x ;（2）()010lg lg 32=-+x x .解:（1）()()13log 1log 155=--+-x x ,()()5log 3log 1log 555=-++x x()()5log 31log 55=-+x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->+=-+0301531x x x x ,解之得:4=x . ∴该方程的解为4=x ;（2）()010lg 3lg 2=-+x x ,()()05lg 2lg =+-x x∴2lg =x 或5lg -=x ,解之得:210=x 或510-=x . 经检验,210=x 和510-=x 都是原方程的解.例66. 方程()()12log 3log 2log 222=-+-x x 的解是__________. 解:()()12log 32log 22=--x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->-=--03021232x x x x ,解之得:1-=x . ∴该方程的解为1-=x .例67. 已知1>>b a ,若310log log =+a b b a ,a bb a =3,则=b __________. 解:设t b a =log ,则t b a a b 1log 1log ==,3101=+t t ,解之得:31,321==t t . ∵1>>b a ,∴a b a a a log log 1log <<,即10<<t ,∴31=t .∴31log =b a ,31a b =.∵abb a =3,∴a ba a 313=,∴b a 331=,b a 9=∴()b b b b 9,9331==,解之得:3=b .例68. 解方程:()()14log 1log 42=+-+x x .解:()()4log 4log 1log 44222=+-+x x ,()()4log 4log 1log 4424=+-+x x∴()4log 41log 424=++x x .()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+=++04014412x x x x ,解之得:5=x . ∴该方程的解为5=x .例69. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=4,14,21x x f x x f x,则()=+3log 22f 【 】（A ）31 （B ）61 （C ）121 （D ）241解:∵4log 3log 2log 222<<,∴23log 12<<∴()()()3log 32222213log 313log 23log 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++=+f f f()24131812812211223log 3log 13=⨯=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=--. 选择【 D 】.例70. 已知函数()131+=x x f ,则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+91log 3log 42f f __________. 解:∵()131+=x x f∴()()()1333131131131+++=+++=-+--x x x x x x x f x f 1313131=+++=xxx . ∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+31log 3log 31log 3log 91log 3log 22222422f f f f f f ()()13log 3log 22=-+=f f .例71. 若cba964==,则=+-cb a 121__________. 解:设t cb a ===964,则tc t b t a 964log ,log ,log ===.∴9log 6log 24log log 1log 12log 1121964t t t tt t c b a +-=+⋅-=+- 01log 964log 2==⎪⎭⎫⎝⎛⨯=t t .解法二:设t cba===964,则cbat t t 1119,6,4===.∵2694=⨯,∴2111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b ca t t t ,bc a t t 211=+∴b c a 211=+,∴0121=+-cb a . 例72. 已知函数()()11ln 22+-+=ax x a x f （0>a ）,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f 1ln ln ______. 解:∵()()11ln 22+-+=ax x a x f∴()()()()11ln 11ln 2222+++++-+=-+ax x a ax x a x f x f()()[]221ln 211ln2222=+=+++-+=ax xa ax xa∴()()()2ln ln 1ln ln =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f a f a f .例73. 已知b a ,是方程343log 3log 273-=+x x 的两个根,则=+b a __________. 解:343log 3log 333-=+x x ,343log 313log 133-=+x x . 设x t 3log 3=,则34311-=+t t ,解之得:3,121-=-=t t .∴1333log 13log -=-=x 或3333log 33log -=-=x ,解之得:91=x 或811=x . 经检验,91=x 和811=x 都是原方程的解.∴811081191=+=+b a .例74. 已知二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3,则()⋅+2log 5log 2a a50log a 的值为__________.解:∵二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3∴0lg >a ,()3lg 44lg 162=-aa ,解之得:1lg =a ,∴10=a . ∴()⋅+2log 5log 2a a ()50lg 2lg 5lg 50log 2⋅+=a()()()12lg 5lg 2lg 2lg 5lg 5lg 15lg 2lg 5lg 2=+=++=++=.例75. 已知n m a a ==2log ,3log .（1）求n m a 2+的值;（2）若10<<x ,a x x =+-1,且12log 3+=+n m ,求22--x x 的值.解:（1）∵n m a a ==2log ,3log ,∴2,3==n ma a∴()12232222=⨯=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a ;（2）∵12log 3+=+n m∴3log 2log 2log 3log 33+=+a a ,6log 6log 3=a ,∴3=a . ∴31=+-x x ,()()543422121=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴xx 1<,∴51-=--x x . ∴()()531122-=-+=----x x x x x x .例76. 已知z y x ,,为正数,zyx643==,py x =2.（1）求p 的值; （2）求证:yx z 2111=-解:（1）设t zy x ===643,则t z t y t x 643log ,log ,log ===.∵py x =2,∴t p t 43log log 2=,∴4log 23log 4log 24log 13log 12log log 2343==⋅==t t t t t t p2log 43=;证明:（2）由（1）可知:2log 3log 6log log 1log 11136t t t t t x z =-=-=-,2log 4log 21log 121214===⋅=t t t y ∴yx z 2111=-. 例77. 实数b a ,满足1052==ba,则下列关系正确的是【 】（A ）111=+b a （B ）212=+b a （C ）221=+b a （D ）2121=+b a解:∵1052==ba ,∴10log ,10log 52==b a .∴15lg 2lg 10log 110log 11152=+=+=+b a ,故（A ）正确; 22lg 120lg 5lg 4lg 5lg 2lg 212≠+==+=+=+b a ,故（B ）错误; 5lg 150lg 25lg 2lg 5lg 22lg 21+==+=+=+b a ,故（C ）、（D ）错误. 选择【 A 】.例78. 已知函数xx f 311)(+=,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+31lg 3lg f f 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）9分析:因为()()()()()3lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-f f f f f f ,所以根据函数()x f 的解析式计算出()()x f x f -+即可.解:∵xx f 311)(+=∴()()1333133311+=+=+=---x xxx x x x f ∴()()1133311=+++=-+x xxx f x f ∴()()()()()13lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1=-+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-f f f f f f .选择【 A 】.例79. 设()x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()b e x f x+=（b 为常数）,则()2ln -f 等于【 】（A ）21-（B ）1 （C ）1- （D ）3- 解:∵()x f 为定义在R 上的奇函数∴()00=f ,∴01=+b ,解之得:1-=b . ∴当x ≥0时,()1-=x e x f .当0<x 时,0>-x ,此时()()x f e x f x -=-=--1 ∴当0<x 时,()x e x f --=1. ∵01ln 21ln2ln =<=- ∴()12112ln 2ln -=-=-=-e f . 选择【 C 】.方法二:()()()()11212ln 2ln 2ln -=--=--=-=-e f f .例80. 计算:9log 2log 5lg 341lg 2lg 43⋅-+-. 解:原式22333log 2log 5412lg 2⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷= 2133log 2log 10lg 233=-=⋅-=.。
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对数与对数运算知识点及例题解析
1、对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，
(0,1)x a N a a =>≠且x a N log a x N =a 叫做真数．
N ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .
3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N
4、对数的性质:
(1)(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．
log 10,log 1a a a ==5、对数的运算性质 如果，那么
0,1,0,0a a M N >≠>>①加法： ②减法：log log log ()a a a M N MN +=log log log a a a
M M N N
-=③数乘： ⑤log a m M n ＝log a M .
log log ()n
a a n M M n R =∈n
m ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且特殊情形：log a b ＝，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
1
log ba 类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1、将下列指数式与对数式互化：
（1）；(2)；(3)；(4)
；(5)
；(6)
.
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)；(2)
；(3)；(4)；(5)
；(6)
.
例2、求下列各式中x 的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)
；
(2)
；
(3)10x =100=102，于是x=2； (4)
由
例3、若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )
A. B. C. D.94541034
3
解由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝，2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝2＝.
33
3
(23
3
)
4
3类型二、利用对数恒等式化简求值
例4、求值：
解：
.
总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数
例5、求的值(a ，b ，c∈R +，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
解：
.
类型三、积、商、幂的对数
例6、已知lg2=a ，lg3=b ，用a 、b 表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b （2）原式=lg26=6lg2=6a （3
）原式=lg2+lg3=a+b （4）原式=lg22+lg3=2a+b （5）原式=1-lg2=1-a
（
6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解：
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
例8
、已知3a =5b =c ，
，求c 的值.
解：由3a =c 得：
同理可得
.
例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.
证明：∵ a2+b2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a>0，b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即
.
类型四、换底公式的运用
例11、(1)已知log x y=a，用a 表示；
(2)已知log a x=m， log b x=n， log c x=p，求log abc x.
解：(1)原式=；
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.
方法一：a m=x， b n=x， c p=x
，
；
方法二：.
例12、求值：(1)；(2)；(3).解：
(1)
（2
）；
（3)
法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
例13、求值
(1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
例14、已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
解：∵∴，。