靖江市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

靖江市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．二项式（x2﹣）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）
A．20 B．24 C．30 D．36
2．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
3．复数Z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）
A．（1，3） B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）
4．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（）
A．6
B．9
C ．12
D ．18
6． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
7． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．
B
C
D 8． 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β
9． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
10．圆2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
2
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
11．设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的（ ）
A ．充分条件但不是必要条件
B ．必要条件但不是充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件 12．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
二、填空题
13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21x
f x e
x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是
14．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则
= ．
15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
16．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ． 17．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
18．= ．
三、解答题
19．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，
（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小； （3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．
20．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且332-=n n a S ，（+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n
n a n b 1
4+=
，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求n T . 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.
21．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．
22．已知曲线y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点
间的曲线与x 轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．
（1）求这条曲线的函数解析式； （2）写出函数的单调区间．
23．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，
求证：当n≥2，n∈N时f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
24．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．
靖江市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
3．【答案】A
【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，
由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
5．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.
法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，
a＝2 016，b＝54，r＝18，
a＝54，b＝18，r＝0.
∴输出a ＝18，故选D. 6． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2
=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故
=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 60224S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
0sin sin sin sin sin 603
a b c a A B C A ++===
++，故选B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到
sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++是解答的关键，属于中档试题．
8． 【答案】D
【解析】解：对于A ，α∥β，l ⊂α，n ⊂β，l ，n 平行或 异面，所以错误； 对于B ，α∥β，l ⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；
对于C ，l ⊥n ，m ⊥n ，在空间，l 与m 还可能异面或相交，所以错误． 故选D ．
9． 【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i ，
∴=
=
=
=
，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
10．【答案】C
11．【答案】A
【解析】解：因为abc=1，所以，则=
=≤a+b+c．
当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，
所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．
故选A．
12．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．二、填空题
13．【答案】
【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数
x，使得在直线
的下方.因为
,故当时,
,函数单调递减;
当时,
,函数
单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得,应填答案
3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
据题设建立不等式组求出解之得.
14．【答案】 （﹣，
） ．
【解析】解：∵，
，
设OC 与AB 交于D （x ，y ）点
则：AD ：BD=1：5
即D 分有向线段AB 所成的比为
则
解得：
∴
又∵
||=2
∴
=
（﹣
，） 故答案为：（﹣
，
）
【点评】如果已知，有向线段A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．及点C 分线段AB 所成的比，求分点C 的坐标，
可将A ，B
两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
15．【答案】
．
【解析】解：由题意，函数y=ax 2﹣2bx+1在（﹣∞，2]
上为减函数满足条件
．
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1时，b 可取2，3，4，5，6；a 取2时，b 可取4，5，6；a 取3时，b 可取6，共9种 ∵（a ，b ）的取值共36种情况 ∴
所求概率为
=
．
故答案为：
．
16．【答案】 {1，﹣1} ．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x ∈R}={x|﹣2≤x ≤2}， N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}={3，﹣1，1}， 则M ∩N={1，﹣1}， 故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
17．
【答案】π.
【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ
⎧
≠+⎪⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为
(,)(,
)(,)244442k k k k k k π
π
π
πππ
ππππππ-
+-
+-
++++，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而
可知其最小正周期为π，故填：，π.
18．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC 1与A 1C 相交于点F ，连接DF ， 由矩形ACC 1A 1可得点F 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，
∴DF ∥BC 1，
∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，
∴BC 1∥平面A 1CD ； …
（2）解：由（1）可得∠A 1DF 或其补角为异面直线BC 1和A 1D 所成角．
DF=BC 1=
=1，A 1D=
=
，A 1F=A 1C=1．
在△A 1DF 中，由余弦定理可得：cos ∠A 1DF==，
∵∠A 1DF ∈（0，π），∴∠A 1DF=
，
∴异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，
∵平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，CD==1．
∴
=
﹣S △BDE ﹣
﹣=
∴三棱锥C ﹣A 1DE 的体积V=
…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC 1和A 1D 所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】（1）当1=n 时，323321111=⇒=-=a a a S ；………………1分 当2≥n 时，332,33211-=-=--n n n n a S a S ，
∴当2≥n 时，n n n n n a a a S S 2)(32211=-=---，整理得13-=n n a a .………………3分 ∴数列}{n a 是以3为首项，公比为3的等比数列. ∴数列}{n a 的通项公式为n n a 3=.………………5分
21．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质.
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得A=，=﹣，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（，），可得sin（×+φ）=，即sin（×+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），可得得sin（×+φ）=0，即sin（+φ）
=0 ②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin（x+）．
（2）对于函数y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，
可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
可得函数的减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），
∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；
则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，
故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），
由g（x）≥f（x）得，
﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；
当x=0时，该不等式成立；
当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，
即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．
设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，
h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，
h″（x）=x•e﹣x＞0，
∴h′（x）在（0，1]单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，
∴h（x）在（0，1]单调递增，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，
∴=，又a1=1，
∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；
对n=1也成立，
∴a n=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，
∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），
∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]
＜f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，
∴f（x）dx≤g（x）dx=+，
∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，
∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，
则有g′（x）=2ax+b+=＞0；
从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，
事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，
k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；
又f′（x0）=2ax0+b，
故k=f′（x0）；
故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；
对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，
不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；
而g′（x0）=2ax0+b+；
故=，化简可得，
=；
设t=，则0＜t＜1，lnt=；
设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=＞0；
则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，
故s（t）＜s（1）=0；
则lnt≠；
故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．
【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．。