2007年省高中数学课堂教学评比上课资料2：2.1.1合情推理(1)(丽水中学瞿晓军)

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广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案一、教学目标：1. 让学生理解归纳推理的定义和特点，能够识别和运用归纳推理解决实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高学生运用数学知识分析和解决问题的能力。

3. 通过对归纳推理的学习，培养学生勇于探索、合作交流的优良品质。

二、教学内容：1. 归纳推理的定义与特点2. 归纳推理的方法与步骤3. 归纳推理在实际问题中的应用三、教学重难点：1. 归纳推理的定义与特点2. 归纳推理的方法与步骤四、教学方法：1. 情境创设：通过生活实例引发学生对归纳推理的兴趣，培养学生主动探究的欲望。

2. 合作交流：组织学生进行小组讨论，共同探讨归纳推理的方法与步骤，提高学生的合作能力。

3. 实践操作：引导学生运用归纳推理解决实际问题，培养学生的动手操作能力。

4. 引导启发：教师引导学生思考，启发学生发现归纳推理的规律，提高学生的思维能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过一个生活实例，引导学生思考如何从特殊到一般进行推理，引发学生对归纳推理的兴趣。

2. 自主探究：让学生阅读教材，了解归纳推理的定义与特点，分析归纳推理的方法与步骤。

3. 合作交流：组织学生进行小组讨论，共同探讨归纳推理的方法与步骤，分享学习心得。

4. 课堂讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，引导学生发现归纳推理的规律，总结归纳推理的方法与步骤。

5. 实践操作：布置一道实际问题，让学生运用归纳推理进行解决，培养学生的动手操作能力。

6. 归纳总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调归纳推理在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置一道有关归纳推理的课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、小组讨论和实践操作，评价学生对归纳推理的定义、特点、方法和步骤的理解程度。

2. 观察学生在解决实际问题时运用归纳推理的能力，评价学生的逻辑思维和创新意识。

3. 通过课后作业和学生反馈，了解学生对归纳推理知识的掌握情况，为后续教学提供参考。

合情推理第一课时教学过程简录及反思

摘要：学生对归纳推理与类比推理有着丰富的感知，借助生活概念原型，概括其特征形成科学概念；在识别、举例中深化对概念外延的理解；在欣赏名人名猜中感悟合情推理的作用及局限性；基于生活概念的“数学化”凸显数学本质.关键词：合情推理；数学化；个人认知；学科逻辑2009年5月丽水市举行高中数学青年教师优质课大奖赛，课题是“推理与证明（第一课时）”和“三视图（第一课时）”，丽水学院附属高级中学一名青年教师代表市直学校参赛，抽到的课题是前者，虽说只有一人参赛，但学校数学组却以此为契机，以“磨课”为抓手，推动整个数学组的教研活动蓬勃开展.在这次活动中我们不仅打造了一堂精品课，同时全体教师还亲历了一次“备课、听课、评课再改进”的有深度的教研活动.一、研讨过程中争议较大的问题在磨课过程中争论较多、分歧较大的问题主要有以下四个方面.1.课时教学内容确定根据普通高中课程标准实验教科书数学2-2《教师教学用书》的学时安排“合情推理与演绎推理”共三课时，浙江省《数学学科教学指导意见》的安排是“合情推理”一课时，“演绎推理”两课时.第一课时究竟上哪些内容是磨课过程中争论的第一个焦点.2.教学目标定位“合情推理”是课改后的新增内容，《教师教学用书》中对教学目标的表述是：“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.”浙江省《数学学科教学指导意见》对教学要求的陈述分两个层次，基本要求是：“了解合情推理的含义、结构和基本类型；能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发展中的作用；结合具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.”发展性要求是：“了解不完全归纳法，并能根据不完全归纳法猜想一些结论；能回顾整理一些已学的典型数学结论.”在说明中明确提出：“利用合情推理开展一些数学探究.”如何把教学目标细化、具体化？侧重点是知识层面的概念，还是方法层面的如何推理，抑或是态度价值观层面的“用数学的眼光看世界”，是争论的第二个焦点.3.章头图和章引言如何处理新教材每章都配有章头图和章引言，对这部分内容的教学处理经验不足，尚未形成比较统一的意见，分歧主要是：要不要在第一节课中体现出来？怎样体现？4.如何处理生活中的推理与数学推理间的关系推理属于思维方法范畴，不仅在数学中需要推理，生活中也离不开推理，学生对推理有丰富的感性认识，如何将学生的生活概念“数学化”？二、教学过程简录1.情境导入，提出问题上课开始教师展示图片：神探狄仁杰探案、考古发掘、医生诊断病人、卫星云图，同时作简单的解说，并提出问题：你认为推理是什么？学生在教师的启发、引导下总结出“推理”就是根据已知判断得出新的判断.2.探索新知由于是在校外借班上课，教师因地制宜，有感而发.收稿日期：2010-11-30作者简介：江建国（1968—），男，湖北黄冈人，中学高级教师，硕士，主要从事数学教育与中学数学教学研究.“合情推理（第一课时）”教学过程简录及反思江建国（浙江省丽水学院附属高级中学）郭楚明（湖北省浠水县实验高级中学）Journal of Chinese Mathematics Education2011年第1-2期No.1-2201138①校办的严老师很热情数学组胡老师很热情高二（9）班同学很热情圯得出：本校的所有人都很热情.②已知数列｛a n｝的前四项，请你猜猜它的第n项的表达式.a1=1a2=5=1×4+1 a3=9=2×4+1 a4=13=3×4+1圯a n=？③研究集合子集的个数.A=｛a｝有子集2个M中有n个元素M有子集多少个？B=｛a，b｝有子集22个C=｛a，b，c｝有子集23个学生完成问题②和问题③后，教师提问：上述三个推理有什么共同的特征？学生归纳出三个推理的共同特征：由部分、个别推出整体或一般，再由师生共同口述归纳推理的概念.请判断下列推理是不是归纳推理？④麻雀会飞、燕子会飞、老鹰会飞，猜想所有的鸟会飞.⑤由等差数列的通项公式和等差中项得性质：当m+n=s+t（m、n、s、t∈N*）时，有am+a n=a s+a t，由等比数列的通项公式和等比中项猜想等比数列的性质.⑥所有能被2整除的数是偶数，0能被2整除，所以0是偶数.通过对上面三个推理特征的分析导出类比推理和演绎推理，其中归纳推理与类比推理统称为合情推理.3.现身说法说说身边的归纳推理.具体过程略.4.名人名猜欣赏向学生介绍欧拉公式的发现、哥德巴赫猜想、费马猜想及欧拉发现的反例.提出问题：归纳推理的作用是什么？归纳推理的不足是什么？学生通过上述三个著名猜想的欣赏得出：归纳推理可以发现新结论，却不能保证新结论的正确性.5.小结说说你的感悟，让大家和你一起分享.具体过程略.三、反思1.教学引入自然，学生思维自然生长教学内容的联系体现了学科本身的逻辑结构，学生的认知结构与学科的逻辑结构并非总是一致，如何把逻辑结构体系下的学科内容按照学生的认知顺序进行序列化的设计，是教师备课的任务之一.学生对推理、归纳推理、类比推理和演绎推理有着丰富的体验，在生活、学习中也经常自觉或不自觉地运用，这些经验自然也就成为学生思维的生长点，教师展示四副常见图片，把生活中的推理呈现给学生，让学生感悟在这些不同的场景中蕴含共同的方法———推理，把章头图、章引言、推理的定义有机融合在图片之中，自然、直观、简洁，符合学生的认知规律，还能激起学生的兴趣.在探索新知中，问题①自然、亲近，拉近了师生间的距离，问题②和问题③是学生熟悉的推理，三个推理的共同特征的概括自然生长出归纳推理的概念.概念形成后，运用概念对推理④、推理⑤和推理⑥进行判断辨别，类比推理、演绎推理在学生的认知结构中自然由内隐而显现出来.名人名猜的欣赏把数学文化有机地渗透在数学教学过程之中，赏析后的两个问题“归纳推理的作用是什么？归纳推理的不足是什么？”起到了画龙点睛的作用，至此整个教学内容在学生已有认知基础上脉络清晰地构建而成.2.在概念形成过程中凸显数学本质叶澜教授在《重建课堂教学价值观》一文中提出这样的观点，她说每个学科都有两个层面的价值：一是各个学科共通层面的价值———形成学生主动健康发展的意识与能力；二是学科教学层面的价值———学科本身的知识、技能、思想、方法.课程改革是让我们把以往我们淡化的学科共通层面的教育价值给凸显出来，但绝不是否定学科教学层面的价值.高中数学学科教学层面的价值表现为：“对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础作用.”从生活概念出发，抽象概括出推理、归纳推理、类比推理等科学概念，再运用科学概念辨识生活中的推理，举例说明生活中的推理，让学生经历了生活—数学—生活的过程，体悟数学与生活的联系.概念学习过程往往由四个自低向高逐级发展阶段组成：概念的具体化、概念的掌握、概念的实际应用和概念的分类.通过对生活中不同具体推理的分析、比较、抽象和概括掌握概念，在应用中对概念进行分类，在“数学化”的过程中培养学生的数学思维和数学情感，形成理性思维.四、启示教无定法，教亦有法，贵在得法.何谓得法？所谓得法不外乎这样两点：首先教学设计要符合学生的认知规律；其次教学设计要符合学科规律.怎么样才能得法？我无法从正面回答这个问题，但是我想照搬教材必定不能得法.要想得法至少做到这样几点：深度解读教材，领会编者的意图；了解学生实际；对学科知识结构的洞悉；对学生认知规律的了解.39略和方法，突出学科的基本思想，就是让学生学习数学的精髓，学习处理问题的策略和方法.这样做，自然而然可以提高学生学习数学的效率.同时，对优化学生的认知结构也有较大的促进作用.本节课自始至终都坚持突出“从方程（或函数）来研究椭圆的几何性质”的做法，例如教师下面的话：师：你认为该椭圆上的点的横坐标的最大值和最小值分别是3和-3，这是为什么？师：能从方程推出来吗？师：说得很好!由椭圆的方程可以看出椭圆上的点（x ，y ）的纵坐标和横坐标满足关系-3≤x ≤3，-2≤y ≤2.师：对！从椭圆的方程看，将x 换为－x ，方程不变；将y 换为－y ，方程不变；将x 换为－x ，y 换为－y ，方程不变，就是表明上述结论成立.师：好，我们从方程出发用函数的方法证明了我们观察的结果.这样做的目的就是要突出解析几何的基本思想，不仅如此，而且还训练了学生从方程研究曲线性质的一般途径和技巧.由数形两方面的考察，数与形的相互印证，使得学生对椭圆几何性质的理解得到深化.由此不难看到，突出学科基本思想，必然会突出相应的常规方法和技巧，必然会加深学生对基础知识的理解，从而促进学生数学认知结构的发展.3.用小问题激发学生的潜能，让学生实现“小发现”和“小创造”发掘与培养学生的潜能是数学教育的重要任务，创新型人才的培养需要中学数学课堂教学重视学生创造性思维的训练.实践表明，学生具有的创造和发现潜能常常超出老师的想象.在本节课中，学生的发现和创造可谓比比皆是，如果说从方程发现椭圆的范围和对称性还不算太难的话，那么，由图形发现长轴和短轴的最值性则表现出较高的观察发现能力，而更加让人惊喜的是，学生提出用“a －b ”及“b a ”来表示椭圆的扁平程度，并最终通过反例确认“a －b ”不能用来表示椭圆的扁平程度.由直觉思维发现结论，再由逻辑思维进行判断，在这一过程中，学生的潜能得以充分展示，也充分享受到了数学发现的乐趣.在课堂教学中，不断地为学生提供这样的机会，激发学生的潜能，使学生的数学学习过程成为发现和创造的过程，经常性的发现和创造会极大地提升学生学习数学的信心和兴趣，同时也使得学生的创造性思维得到长足的发展.参考文献：［1］陶兆龙．“对数”教学实录与反思［J ］．中国数学教育（高中版），2009（6）：26-29.［2］黎银燕．在解决问题的实践中发展对运算的积极情感与信心：“椭圆及其标准方程”教学案例及其分析［J ］．中国数学教育（高中版），2010（6）：18-20.磨课过程中的争论，在教学设计的改进中渐渐趋于一致.运用四副图片把章头图、章引言嵌合在教学内容之中，是科学与艺术的结合；学生认知过程的长短与文字多少没有多大关联，长达9页的教学内容，照本宣科读一遍，一节课也许难以完成，通过对教材的取舍、重组，不仅在既定课时内完成了教学内容，同时也认识到要进行有效教学，提高课堂效益要敢于改造教材、超越教材.叶圣陶先生说：“教材无非是个例子.”例题的选取、教学流程的安排、学习情境的呈现等都是改造、加工的对象.再就是教学目标定位与如何处理生活中的推理与数学推理的关系，从本质上说是同一个问题，当前应试教育之下，过分重视题型归类和技巧总结，训练学生记题型，套类型，而忽视了数学的本质，以致许多教师认为没有技巧就缺少“数学味”，没有难度就没有深度，殊不知“数学玩的是概念不是技巧”.“教学相长”说的是教师和学生之间可以互相促进，其实教师之间的交流、沟通、分享对促进教师的专业发展与提高是十分必要的.教学是科学，也是艺术，是艺术就需要雕琢，观众看到的是作品，雕刻者享受的是雕刻过程.新课程理念提出“重结果更重过程”，作为一线教师，听的“优质课”不少，亲身经历过优质课打磨过程的却不多，教师在专业发展过程中固然要多听“结果”，经历打磨过程恐怕比结果更重要.在打磨过程中可以增进教师之间的交流，增强教研组的凝聚力，对事不对人的讨论有利于形成良好的教研氛围，不同思想的碰撞既能深化对学科知识结构的把握，还能纠正一些不正确的想法.对青年教师而言，优质课不再陌生，能增加信心，还能从打磨过程中感悟如何加工教材，如何研究学生，如何琢磨细节.参考文献：［1］渠东剑.让数学活动设计更精当［J ］.中国数学教育（高中版），2010（6）：9-11.［2］林婷.课堂精彩源于有效生成［J ］.中国数学教育（高中版），2010（5）：28-30.［3］祝智庭，闫寒冰.怎样备课［M ］.上海：华东师范大学出版社，2009.［4］徐伯华，涂荣豹.教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例［J ］.数学教育学报，2010，19（4）：32-35.［5］浙江省教育厅.数学学科教学指导意见［M ］.杭州：浙江教育出版社，2006.（上接第37页）≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤教40。

2019-2020学年高中数学(人教B版选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】因为等差数列{a n }的公差d ＝3，所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理教案新人教A版选修1-2

2．1.1 合情推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．2．过程与方法让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．●重点难点重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．难点：归纳推理、类比推理的应用．通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．关于归纳推理的教学教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．2．关于类比推理的教学类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．●教学流程创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．【问题导思】1．数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝34，a 3＝78，a 4＝1516.你能猜出a 5的值吗？【提示】 a 5＝3132.2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.【问题导思】已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．【问题导思】 1．归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？【提示】不一定正确．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2－1－1A．26 B．31C．32 D．36【思路探究】本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.【答案】 B1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律．2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．(2012·陕西高考)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋133<53， 1＋122＋132＋142<74， ………照此规律，第五个．．．不等式为________．【解析】观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162<116a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.图2－1－2证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【思路探究】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC.∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PABS △ABC＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1.证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P －BCDV A －BCD，同理，p b h b ＝V P －ACD V A －BCD ，p c h c ＝V P －ABD V A －BCD ，p d h d ＝V P －ABCV A －BCD.∵V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABC ＝V A －BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝V P －BCD ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＋V P －ABCV A －BCD＝1.1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比如下：在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A 、B 、C ，那么由a ＝b ·cosC ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．【思路探究】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30 是等差数列，且公差为300. (2)对于∀k ∈N *，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d .在等比数列与等差数列的类比中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．等差数列有如下性质：若数列{a n }是等差数列，则当b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，数列{b n }也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，则当d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．【解析】类比等差数列与等比数列的性质：定义中“差”与“商”，中项中“和”与“积”，可猜测当d n＝nc1c2…c n时，{d n}为等比数列．【答案】nc1c2…c n归纳推理在数阵中的应用(12分)观察如图所示的“三角数阵”1 (1)2 2 (2)3 4 3 (3)4 7 7 4 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．【思路点拨】观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．【规范解答】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6.4分(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.8分(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，由此归纳：a n＋1＝a n＋n.12分对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论，故选B. 【答案】 B2．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n【解析】当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6，由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1，∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6. 猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n.故选D.【答案】 D3．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形【解析】因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等．类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适．【答案】 D4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．【解】如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2＝1.把结论类比到四面体P －ABC 中，我们猜想，在三棱锥P －ABC 中，若三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能【解析】归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论未必正确．故B、C、D正确，A错误．【答案】 A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①③D．③④【解析】类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．【答案】 B3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A．01 B．43 C．07 D．49 【解析】72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2 011＝4×502＋3，由此知72 011的末两位数字应为43，故选B.【答案】 B4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④【解析】①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．【答案】 C5．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，则f2 013(x)等于( )A．sin x B．－sin x C．cos xD．－cos x【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，可以归纳出f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x ，∴f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x . 【答案】 C 二、填空题6．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×97．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图2－1－3)．图2－1－3试求第七个三角形数是________．【解析】观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，∴当n ＝7时，＋2＝28.【答案】 288．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.【答案】 1∶8 三、解答题9．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n ＞4时，求f (n )(用n 表示)．【解】 (1)如图所示，可得f (4)＝5. (2)∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3，f (5)＝9＝f (4)＋4， f (6)＝14＝f (5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．11．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD＝1AB＋1AC 成立．那么在四面体A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．【解】猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE＝1AB＋1AC＋1AD .猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确.(教师用书独具)三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．【自主解答】将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．【解】类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上，∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。

浙江省丽水中学高二数学教师教学设计2-3计数原理1.2.1排列(2)

浙江省丽水中学教师教学设计
年级高二科目____数学__ _主备教师______备课组长审核
课题内容
1．2排列（2）
时间
2009
教学
资源
分析
课程标准
考试说明
课程标准：基本要求：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
考试说明：1.理解排列的概念。
(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．
(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．
(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．
2.能利用计数原理推导排列数公式。
3.能解决简单的实际问题。
教材分析
本小节的知识体系在本章中处于承上启下的重要地位，它既在推导排列数列公式的过程中使分步计数原理获得了重要应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据。从而为以后的概率论学习打下基础。
教辅资源
高中教学质量监控讲义A基础训练多媒体投影仪
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 合情推理》

《合情推理—归纳推理》教学设计海南华侨中学林五虚1教材分析“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，本章的内容属于数学思维方法的范畴。

推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，作为一章内容出现在选修2-2教材中，目的是把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用，同时培养言之有理，论证有据的习惯。

这一章内容突出体现了数学的人文价值和实际应用价值。

合情推理之归纳推理是这一章的第一节内容。

学习该节内容可以加深学生对数学发现过程的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．这一节内容的学习立意是把归纳推理作为一个重要的数学思维的过程，让学生了解归纳推理的含义，着重学会用归纳的方法进行数学推理和猜想。

并为后面学习类比推理做铺垫。

2学情分析1 高中学生已经有了一定的生活和学习经历，并在这些过程中形成了归纳推理的隐性能力。

2 学生已经在学习生活中掌握了大量的运用归纳推理的生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础3学生已经学习过必修5数列部分内容，对从部分推断总体已有初步的认识和体会。

3教学目标（1）知识目标：了解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会运用归纳推理的思维思考处理一下有关的数学问题和生活问题。

（2）过程与方法目标：学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义；通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实、得出新结论；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用，从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，归纳推理不仅是一个概念，更是一个数学发现的过程（3）情感目标：学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件新人教选修2-2

A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
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例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
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谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
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统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
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例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
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练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案一、教材分析本节内容选自高中数学人教版必修第三册，主要介绍了归纳推理的概念、方法及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解归纳推理的定义，掌握基本的归纳推理方法，并能够运用归纳推理解决实际问题。

二、学情分析学生在初中阶段已经接触过一些简单的归纳推理，但对其本质和方法的理解还不够深入。

在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例中发现规律，培养学生用归纳推理的思维方式解决问题。

三、教学目标1. 知识与技能目标：理解归纳推理的定义，掌握基本的归纳推理方法，能够运用归纳推理解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生解决问题的能力。

四、教学重点与难点1. 教学重点：归纳推理的定义、方法及其应用。

2. 教学难点：归纳推理的本质理解，如何从具体实例中发现规律。

五、教学过程1. 导入新课：通过介绍数学发展史上的一些著名猜想，如哥德巴赫猜想、费马大定理等，引发学生对归纳推理的兴趣。

2. 探究归纳推理：让学生通过观察、分析具体的数学实例，如数列的通项公式、几何图形的性质等，引导学生发现归纳推理的方法和规律。

3. 归纳推理的概念：在学生已有认知的基础上，给出归纳推理的定义，并解释其意义。

4. 归纳推理的应用：通过解决实际问题，如数列求和、最值问题等，让学生体会归纳推理在数学中的应用价值。

5. 归纳推理的拓展：介绍数学中的归纳推理在其他领域的应用，如物理学、生物学等，激发学生的学习兴趣。

6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调归纳推理的重要性和方法。

7. 作业布置：布置一些有关归纳推理的练习题，巩固所学知识。

8. 教学反思：在课后对教学过程进行反思，总结成功的经验和需要改进的地方。

六、教学评价通过课堂表现、作业完成情况和课后实践应用，评价学生对归纳推理的理解和运用能力。

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案一、教材分析本节内容选自人教A版高中数学必修2《归纳推理》。

归纳推理是一种重要的数学思维方法，通过观察、分析、归纳，发现规律，从而推理出一般性结论。

本节课通过具体案例让学生感受归纳推理的过程，培养学生的逻辑思维能力。

二、学情分析学生在初中阶段已经接触过简单的归纳推理，但对归纳推理的方法和步骤还不够明确。

本节课通过实例引导学生掌握归纳推理的基本方法，提高解决问题的能力。

三、教学目标1. 理解归纳推理的定义和意义；2. 学会运用归纳推理的方法解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新精神。

四、教学重难点1. 重点：归纳推理的定义和意义，归纳推理的方法；2. 难点：如何运用归纳推理解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的实例，引导学生思考如何通过观察和分析找出规律，从而引出归纳推理的概念。

2. 新课讲解：讲解归纳推理的定义、意义和基本方法，通过具体案例让学生体会归纳推理的过程。

3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生运用归纳推理的方法解决问题，巩固所学知识。

4. 拓展与应用：引导学生将归纳推理的方法应用于实际问题，培养学生的解决问题的能力。

5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生明确归纳推理在数学学习和生活中的重要作用。

6. 布置作业：设计一些有关归纳推理的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学评价本节课通过课堂讲解、练习和拓展应用，评价学生对归纳推理的理解和运用能力。

教师应关注学生在课堂上的参与程度、思维过程和问题解决能力。

可采用课后作业、小测验等形式，对学生进行全面的评价。

七、教学策略1. 实例引导：通过生动的案例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。

2. 问题驱动：设计具有启发性的问题，引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。

3. 分组合作：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

日照实验高中2007级数学导学案---选修2-2推理与证明导学案(合情推理与演绎推理)

（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面围成的对称图形。
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)圆心
的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？
2．类比推理的定义：由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推测出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：
；；
；；
；。
等差数列1，3，5，…,(2n-1),..的前n项和。
例3设，
计算的值，同时作出归纳推理，并用验证猜想是否正确。
解：
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数。
当n取任何正整数时，的值都是质数。
因为当时，所以是合数。因此，上面由归纳推理的得到的猜想不正确。
3.从1=1，1-4=（1+2）,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,
推广到第个等式为___________________________
4.已知：，
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。
归纳反思：

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理课件新人教A版选修1-2

需 6 个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为 6＋ 5×(6－1)＝ 31，故选 B.
【答案】 B
1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律． 2 ．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素 (点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．
合情推理
【问题导思】 1．归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结
论． 2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？
【提示】不一定正确．
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过猜想
【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案个数
1 6
2 11
3 16
… …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31.故选 B.
法二
由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形
归纳推理
【问题导思】 1 3 7 15 1．数列{an}中，a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16.你能猜出 a5 的值吗？
31 【提示】 a5＝32.
2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180° ，你能猜想出什么结论？
【提示】所有三角形内角和都是 180° .
定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由

全国高中数学青年教师展评课合情推理教学设计及点评

城东蜊市阳光实验学校“合情推理〞教案、教案说明及点评教案一．教材分析1．教材的地位和作用推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出如今高中数学教材中尚属首次。

推理与证明是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进展了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.教材的设计复原了数学的根源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明〞等数学思维方法的总结与归纳，使已学过得的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.严密地结合了已学过的数学实例和生活实例，防止空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是知识、方法、思维和情感的交融与促进，能让学生充分体会数学的发生、开展.2．课时划分合情推理的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理.二、教学目的1．知识技能目的理解归纳推理的概念，理解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进展一些简单的归纳推理.2．过程方法目的学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，理解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜想和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过详细解题，感受归纳推理探究和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.3．情感态度，价值观目的学生通过主动探究、学习、互相交流，培养不怕困难、勇于探究的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、理解数学文化的积极态度.三、教学重点、难点重点：归纳推理的含义与作用难点：利用归纳法进展简单的合情推理四、教法与教具选择教学方法：启发发现法、课堂讨论法。

教具：多媒体、粉笔、黑板。

理论根据：启发发现法就是利用归纳法根本步骤开展教学，即在教学过程中利用适宜的资源启发学生主动自我发现，自我猜想，自我归纳.因为学生拥有自己的知识、经历、灵感，是主动和富有创造性的，所以采用启发发现法，往往能使学生在课堂活动中表现出浓重的学习兴趣.而学生之间的讨论，师生之间的讨论不仅能培养学生的团队意识，对于发现新结论也是非常重要的，因此在教学过程中要倡导学生参与到课堂活动中来，形成生生互动，师生互动的场面.五、教学过程六、板书设计教案说明一、授课内容的数学本质与教学目的定位人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究构造的科学，主要是由于人们习惯上从数学研究的结果来看数学的本质特征．然而，结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，一个“思维的实验过程〞．波利亚〔G.Poliva，1888一1985〕认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．〞本节课的设计就是为了复原数学的本质，让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．本节课的教学目的设置：1．理解归纳推理的概念，理解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进展一些简单的归纳推理.2．学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，理解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜想和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过详细解题，感受归纳推理探究和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.3．学生通过主动探究、学习、互相交流，培养不怕困难、勇于探究的优良作风，增强数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、理解数学文化的积极态度.二、学习本内容的根底以及用处推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整个知识体系，在其他学科领域也有多处涉及．在高中历史教材历史人物评说中介绍亚里士多德时，对推理做了一定的介绍;高中政治学科的科学方法论中的推理内容对推理也做了相应的讲述;物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理;高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例．通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的穿插性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用.同时，本节课的学习有助于学生更完好更准确地认识到数学不仅仅是演绎科学，更是归纳的科学；有助于学生形成归纳推理的思维方式,培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好根底;有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯．三、教学内容解析本节内容中，学生会较快承受推理的概念，但是对于推理方法的分类会有一定的疑惑.本节课先利用多个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分析，抽象概括出归纳推理的概念，再利用分组讨论降低了概念学习的难度，使学生可以更多围绕归纳推理这个重点展开探究和研究．在体验哥德巴赫猜想产生的过程中，当所给的偶数较大时，学生的检验会遇到相当大的困难；在体会费马猜想的产生过程中学生的思维容易产生混乱，故设计了教师讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想〞说明科学的进步与开展处在一个螺旋上升的过程。

高中数学 2.1.1合情推理课件新人教A版选修1-2

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2007年省高中数学课堂教学评比上课资料2：2.1.1合情推理(1)(丽水中学 瞿晓军)

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

合情推理第一课时教学过程简录及反思

2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理教案 新人教A版选修1-2

浙江省丽水中学高二数学教师教学设计2-3计数原理1.2.1排列(2)

高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 合情推理》

高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案

日照实验高中2007级数学导学案---选修2-2推理与证明导学案(合情推理与演绎推理)

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修1-2

全国高中数学 青年教师展评课 合情推理教学设计及点评

高中数学 2.1.1合情推理课件 新人教A版选修1-2

2007年省高中数学课堂教学评比上课资料2：2.1.1合情推理(1)(丽水中学瞿晓军)

2019-2020学年高中数学(人教B版选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理教案新人教A版选修1-2

高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件新人教选修2-2

(教师用书)高中数学 2.1.1 合情推理课件新人教A版选修1-2

全国高中数学青年教师展评课合情推理教学设计及点评

高中数学 2.1.1合情推理课件新人教A版选修1-2