【高二】辽宁五校2017-2018学年高二《数学》上学期期末考试试题理及答案

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0,ln 0p x x x ∀>->，则p ⌝为（ ）A ．0,ln 0x x x ∀>-≤B ．0,ln 0x x x ∀>-<C ．0000,ln 0x x x ∃≤-≤D ．0000,ln 0x x x ∃>-≤2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11329a a +=-，则9S =（ ） A ．27- B ．27 C ．54- D ．543.若,a b R ∈，则“11a b <”是“330aba b >-”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率是（ ） ABD5.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）AB ．25C ．110D6.已知等比数列{}n a 中，22a =，则其前三项的和3S 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．[)6,+∞D ．(][),26,-∞-⋃+∞ 7.已知变量,x y 满足约束条件04x y x y y m -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最小值为2，则m =（ ）A ．2B ．1C ．23D ．2- 8.60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知468AB AC BD ===，，，则CD 的长为（ ）A ．．9.已知不等式222xy ax y ≤+对任意[][]1,2,4,5x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)6,-+∞C ．[)28,-+∞D ．[)45,-+∞10.设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（ ） A ．[]6,2-- B ．[]2,6 C ．11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=- ，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A ．5048B ．5050C ．10098D ．1010012.已知双曲线()2222:10,0y x a b a b Γ-=>>的上焦点为()()0,0F c c >，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且3MF DF =，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．40x y ±=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．14.已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于 ． 15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:161C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是 ．16.如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC A A π∠====，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且113322,,S a S a S a +++成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，E 为1BB 中点.（1）证明：1AC D E ⊥；（2）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值. 19.已知数列{{}n a 满足111,2nn n a a a a +==+，()()*1111,n n b n n N b a λλ+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若数列{}n b 是单调递增数列，求实数λ的取值范围.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点，2AD =.（1）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（2）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos θ=P ABCD -的体积.21.已知过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:116C x y ++=，点()1,0A ，点()(),03B a a >，以B 为圆心，BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q .（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点C ，且与曲线τ交于,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ，OCN ∆面积为2S ，求12S S 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB 二、填空题13.[)1,+∞ 14. 3415. 6 16.⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题17.解：（1）因为113322,,S a S a S a +++成等差数列， 所以()()()3311222S a S a S a +=+++， 所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+， 所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==， 又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12n n b n -=⋅， 01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，所以()()()012112212322122n nn T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++--⋅-⋅⎡⎤⎣⎦012122222n n n -=++++-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--.故()121n n T n =-⋅+. 18. （1）证明：连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ，∴1D D AC ⊥ 在长方形ABCD 中，AB BC =,∴BD AC ⊥ 又1BD D D D ⋂=,∴AC ⊥平面11BB D D而1D E ⊂平面11BB D D ,∴1AC D E ⊥（2）如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 ()()()()11,0,0,0021,1,1,1,1,0A D E B ，，,，()()()10,1,1,1,0,2,1,1,1AE AD DE ==-=设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，则 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则()2,1,1n =-∴cos ,n DE == 所以DE 与平面1AD E.19.解（1）因为数列{}n a 满足()*12n n n a a n N a +=∈+，所以1121n na a +=+， 即112121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以111201a +=≠+ ， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得11121n a +=+，所以()()()11111122n n n b n n n a λλ--⎛⎫=--+=--⋅≥ ⎪⎝⎭， 因为1b λ=-符合，所以()()1*12n n b n n N λ-=--⋅∈.因为数列{}n b 是单调递增数列，所以1n n b b +>，即()()1212n n n n λλ--⋅>--⋅， 化为1n λ<+，所以2λ<.20.证明：（1）取AD 中点为O ,BC 中点为F ,由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ,故FO PO ⊥, 又FO AD ⊥,则FO ⊥平面PAD ,∴FO AE ⊥, 又//CD FO ,则CD AE ⊥, 又E 是PD 中点，则AE PD ⊥,由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD . 又AE ⊂平面AEC , 故平面AEC ⊥平面PCD .（2）如图，以O 为坐标原点，以,,OA OF OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a - 由（1）知3,0,2EA ⎛= ⎝⎭ 为平面PCE 的法向量， 令(),,n x y z =为平面PAC的法向量，由于(()1,0,,2,,0PA CA a ==- ，故00n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得2,y az ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,n a ⎛= ⎝⎭ ，由cos EA nEA nθ⋅===⋅，解得a 故四棱锥P ABCD -的体积11233ABCD V S PO =⋅=⋅.21.解：（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得：22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k +=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0. 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.22.解：（1）∵,,BA BP BQ BQ PBQ ABQ ==∠=∠, ∴QAB QPB ∆≅∆,∴QA QP =,∵CP CQ QP QC QA =+=+,∴4QC QA +=,由椭圆的定义可知，Q 点的轨迹是以,C A 为焦点,24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=.(2)由题可知，设直线:1l x my =-，不妨设()()1122,,,M x y N x y∵1112OMC S S OC y ∆==⨯⨯，2212ONC S S OC y ∆==⨯⨯，111222y S yS y y ==-， ∵221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my +--=，21441440m ∆=+>，∴122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ， ∴11221,33S y S y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.。