抽象函数专题训练

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高一抽象函数经典习题

抽象函数练习题参考答案第一组1、若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________．【答案】1023、定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ．求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤．【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立．则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。

高一抽象函数练习题

高一抽象函数练习题高一抽象函数练习题高一数学课程中，抽象函数是一个重要的概念。

它是一种特殊的函数，其自变量和因变量都可以是函数。

抽象函数的引入，使得数学问题的描述和解决更加灵活和简洁。

为了帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数，以下将给出一些高一抽象函数练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求抽象函数g(x) = f(f(x))的表达式。

解析：首先，我们需要求出f(f(x))的表达式。

根据抽象函数的定义，我们可以将f(f(x))展开为f(x^2 + 3x - 2)。

将f(x) = x^2 + 3x - 2代入，得到f(f(x)) = (x^2 +3x - 2)^2 + 3(x^2 + 3x - 2) - 2。

化简后，得到g(x) = x^4 + 7x^3 + 16x^2 +13x - 6。

2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求抽象函数g(x) = f^3(x)的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f^3(x)的表达式。

f^3(x)表示f(f(f(x)))，即将f(x)连续作用三次。

根据给定的函数f(x) = 2x - 1，我们可以计算出f(f(x))和f(f(f(x)))的表达式，进而得到g(x) = 8x - 9。

3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求抽象函数g(x) = f(f^2(x))的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f(f^2(x))的表达式。

f^2(x)表示f(f(x))，即将f(x)连续作用两次。

根据给定的函数f(x) = x^2 + 2x，我们可以计算出f(f(x))的表达式，进而得到g(x) = (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x)。

通过以上练习题，我们可以看到抽象函数的运用非常灵活。

在解题过程中，我们需要将给定的函数代入到抽象函数的定义中，然后进行计算和化简，最终得到所求的抽象函数表达式。

高中数学抽象函数经典综合题33例

抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7．对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ．若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ，求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>，满足：对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23．设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且，则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax .0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x 当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；（2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意 ,有 >0;②对
任意 ,有 ;③
∴
∴
∴函数是R上的单调减函数.
9、解： (1)证明:令 ,则
∵当时, ,故 ,∴ ,
∵当时,
∴当时, ,则
(2)证明: 任取 ,则
∵ ,∴0< ,故 <0,又∵
∴ ,故
∴函数是R上的单调减函数.
10、(1)证明：令，则，故
∴f（1）≥-2.
（3） f（ax2）- f（x）＞ f（a2x）- f（a）
f（ax2）- f（a2x）＞n[f（x）- f（a）]
f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分）
由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）
∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax2-a2x＜n（x-a）.即（x-a）（ax-n）＜0，
∵a＜0，
∴（x-a）（x- ）＞0，（11分）
讨论：（1）当a＜＜0，即a＜- 时，
原不等式解集为{x | x＞或x＜a}；
（2）当a= ＜0即a=- 时，原不等式的解集为φ；
（3）当＜a＜0时，即- ＜a＜0时，
原不等式的解集为{x | x＞a或x＜
16、解:（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数.
（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1）

高中抽象函数练习题

高中抽象函数练习题一、选择题A. 若f(x)为奇函数，则f(x) = f(x)B. 若f(x)为偶函数，则f(x) = f(x)C. 若f(x)为增函数，则f(a) < f(b)，其中a < bD. 若f(x)为减函数，则f(a) > f(b)，其中a < bA. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，0）上单调递增D. f(x)在（0，+∞）上单调递减A. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，1）上单调递增D. f(x)在（1，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(3)的值______。

2. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的最小值______。

3. 已知函数f(x) = |x 2|，求f(x)的零点______。

三、解答题1. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的单调性。

2. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的极值。

3. 设函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

4. 已知函数f(x) = |x 1| + |x + 1|，求f(x)在R上的最小值。

5. 设函数f(x) = x^2 2x + 1，求证：对于任意x ∈ R，都有f(x) ≥ 0。

6. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求证：f(x)在R上单调递减。

7. 设函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的拐点。

8. 已知函数f(x) = |x 2| |x + 1|，求f(x)的零点。

9. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的凹凸性。

10. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

四、应用题1. 某企业的成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 10，其中x为生产的产品数量。

《抽象函数》专题练习

专题抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

【解析】记，则
因为当时，，
所以在上单调递减
又因为，所以为偶函数
因为
所以，即，故选D.
二、填空题
13.已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由是偶函数，所以当时，由得，
设，则，
即当时，函数为减函数，
则且，则有，可得，
，故答案为0.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，
故，∴函数是上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的周期为6，又为偶函数，
【答案】A
【解析】由，令，，则
时，
当时，令，则，即
又当时，
令，则
，即
在上单调递减
又
令，；令，；令，
数列是以为周期的周期数列
，，，，
在上单调递减
，，，
故选 .
10．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()
A． B． C． D．
，
，
, ，
又在内单调递减，
，，故选A.
6．已知定义在实数集上的函数的图象经过点，且满足，当时不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，

抽象函数经典习题

题型7：抽象函数问题★★★★【例1】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧>---≤-,0),2()1(,0,21x x f x f x x则f (－1)＝，f (33)＝ . 【解析】4；－2.例13．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。

（Ⅰ）解：令.0)1(),1()1()11(,121=+=⨯==f f f f x x 解得有（Ⅱ）证明：令121,x x ==-[(1)(1)](1)(1),(1)0f f f f -⨯-=-+--=有解得令).()(),()1()(,121x f x f x f f x f x x x =-∴+-=-=-=有 ∴)(x f 为偶函数。

（Ⅲ）.3)4()16()416(,2)4()4()44(=+=⨯=+=⨯f f f f f f ∴)64()]62)(13[(3)62()13(f x x f x f x f ≤-+≤-++即（1） ∵),0()(+∞在x f 上是增函数， ∴（1）等价于不等式组：⎩⎨⎧≤-+-<-+⎩⎨⎧≤-+>-+.64)62)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>R x x x x x ,331,537,313或或 ∴.331313753<<--<≤-≤<x x x 或或 ∴x 的取值范围为}.533313137|{≤<<≤--<≤-x x x x 或或点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。

专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(原卷版)

抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：（1）.第一层次赋值：常常令字母取 0，-1,1 等（2）.第二层次赋值：若题中有条件 f（x0）=t ，则再令字母取 x0 。. （3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。
3.定义在非零实数集上的函数 f (x) 对任意非零实数 x, y 满足: f (xy) f (x) f ( y) ,且当 0 x 1 时 f (x) 0 .
(1)求 f (1) 及 f (1) 的值；
(2)求证: f (x) 是偶函数；
(3)解不等式：
f
(2)
fx2来自1 2 0.
【题型三】类指数函数：形如 f（a+b）=f（a）f（b）单调性
二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如 f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出 x 和-x，如 f（x+y），可令 y= -x，f（xy），可令 y= -1 等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
再令 a x 0 ， b x 0 ，结合所给条件，可得 f x的正负，
再根据条件，结合单调性定义，有两个方向思维：
（1）设 x1 x2 ，将 f x2 f x1 变形成 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f (x1) f (x1) 即可求证
( x2 x1
x2 )
f
( x1 )
（3）.
利用
f
x
y
f
x
f
y构造
f
x y f x
f
y

抽象函数奇偶单调周期综合压轴题训练(多选题)上-2023届高三数学微专题复习

抽象函数奇偶单调周期综合压轴题（多选题）1：已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为'()f x ，'()g x ，若()()f x f x =-，(1)0g -=，2()'(1)f x g x x +-=，'(1)()1f x g x x -+=-，则（）A ．()g x 是奇函数B ．()g x 是周期函数C ．(6)32(2)f f =+D ．(6)3(2)f f ''=2：已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（）A ．()10f =B ．()f x 在(],1-∞上单调递增C ．若12x x <，()()12f x f x <，则122x x +>D ．若1x ，2x 是()()cos g x f x x π=-在区间()0,2内的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x <<3：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(,0]-∞单调递减，则（）A ．()()()()1 2f f f f <B ．()()()()1 2f g f g <C ．()()()()1 2g f g f <D ．()()()()1 2g g g g <4：已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭R 为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数5：对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足:1x ∀，2x D ∈且12x x <，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且()22f =，()()22f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()21f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（）A ．()11f =B ．03,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()01f x <C ．12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()()2f f x f x ≤-+6：已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，且满足()()()21g x x f x =--，()()3426g g =+=则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数．C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑．7：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑8：已知函数()f x 及其导函数'()f x 的定义域均为R ，记()'()g x f x =．若(21)2f x x +-与(2)g x +均为偶函数，则（）A．(1)1g =B．函数(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称C．函数()g x 的周期为2D．()()202411110k g k g k =-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑9：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑10：已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()22f x f x +=-，且图象关于()30，对称，则()f x （）A ．周期4T =B ．在(0,2]单调递减C ．满足()()()202120222023f f f <<D ．在[]0,2023上可能有1012个零点11：设函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()x f x a b =+．若(0)(3)1f f +=-，则（）A．2b =-B．(2023)1f =-C．()f x 为偶函数D．()f x 的图象关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称12：已知函数()f x 定义域为R ，且(0)0,(1)1f f x =-+为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数()f x 对称中心为(1,1)B.(1)10f -+=C.(3)(1)2f f +-=-D.(3)(1)2f f -+=-抽象函数奇偶单调周期综合压轴题（多选题）1：已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为'()f x ，'()g x ，若()()f x f x =-，(1)0g -=，2()'(1)f x g x x +-=，'(1)()1f x g x x -+=-，则（）A ．()g x 是奇函数B ．()g x 是周期函数C ．(6)32(2)f f =+D ．(6)3(2)f f ''=解析：由()()f x f x =-知函数()f x 为偶函数，又2(1)()g x x f x '-=-，所以(1)g x '-关于y 轴对称，所以()g x '关于直线1x =-对称，则()g x 关于点(1,0)-中心对称①；由()f x 为偶函数知'()f x 为奇函数，则'(1)f x -关于点(1,0)中心对称，又()(1)'(1)g x x f x =---，所以()g x 关于点(1,0)中心对称②，由①②得函数()g x 为周期函数，B 正确，4T =为()g x 的一个周期，则(1)0(3)2'(2)g g f -===-，所以'(2)2f =，(7)06'(6)g f ==-，'(6)6f =，所以'(6)3'(2)f f =，D 正确；由()g x 周期为4知4T =也是'(1)g x -的一个周期，所以'(1)'(5)g g =，即222(2)6(6)f f -=-，即(6)32(2)f f =+，C 正确．答案为：BCD ．2：已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（）A ．()10f =B ．()f x 在(],1-∞上单调递增C ．若12x x <，()()12f x f x <，则122x x +>D ．若1x ，2x 是()()cos g x f x x π=-在区间()0,2内的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x <<解析：对于A ，在()()121f x f x +=-中令0x =，则()()10210f f +=-，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=-，对()()121f x f x +=-两边求导，则()()()()121121f x f x f x '+='--=-'-，所以0x >时，()()()()()1121110f x f x f x f x f x '++'-=-'-+'-=-'-<，所以()10f x '->，令1x μ-=，1μ∴<，()0f μ'>，所以()f x 在(],1-∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由12x x <，()()12f x f x <知1x ，2x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去．①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；②若121x x <<，则221x -<，而()()2222f x f x =-，则()()()222220f x f x f x --=-<，所以()()()()221222f x f x f x f x <-⇒<-，而1x ，221x -<，所以121222x x x x <-⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1-∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()111222cos cos cos cos f x x x x f x x ππππ=⎧⎪⇒<⎨=⎪⎩，（*）所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<-⇒<-⇒>-=（1x π ，()22,2x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭），这与（*）矛盾，舍去．所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，(1)2(1)f x f x +=-中，令()()111122x x f x f x =-⇒-=，而由122122x x x x +<⇒<-，所以()()()()212122f x f x f x f x >-⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确．故选:ABD ．3：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(,0]-∞单调递减，则（）A ．()()()()1 2f f f f <B ．()()()()1 2f g f g <C ．()()()()1 2g f g f <D ．()()()()1 2g g g g <解析：（函数图象与性质）由题知()f x 在[0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以()g x 在R 上单调递减，又()()12f f <，故()()()()12g f g f >，故C 错误；因为()()1,2f f 符号不定，故()()()()1 2,f f f f 无法判断大小，故A 错误；又()()()0012g g g =>>，所以()()()()1 2f g f g <，()()()()1 2g g g g <，故B 正确，D 正确；故选BD ．4：已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭R 为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数解析：由()()233f x f x -=，得()()2f x f x -=.由12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，得1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x =--，所以()()21f x f x -=--，即()()1f x f x +=-，所以()()2f x f x +=，故选项A 错误；由()()1f x f x =--，得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()()1f x f x +=-，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；由()()()()22f x f x f x f x +=-=，，得()()22f x f x -=+，故选项C 正确；由()()()()12f x f x f x f x =--+=，，得()()1f x f x =---，则1122f x fx ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确.故选BCD.5：对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足:1x ∀，2x D ∈且12x x <，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且()22f =，()()22f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()21f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（）A ．()11f =B ．03,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()01f x <C ．12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()()2f f x f x ≤-+解析：对于A ，由()()22f x f x +-=，令1x =，则有()()()11211f f f +=⇒=，故A 正确；对于B ，当032x =时，3321122f ⎛⎫⎛⎫≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()3112f f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()312f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，故B 不正确；对于C ，由()()22f x f x +-=，令14x =时，则17244f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23x =时，24233f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由B 知，()11f =，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知当312x ≤≤时，()1f x =，因为2531182<<，43132<<，所以4251318f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2252318f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当0x =时，()()()02200f f f +=⇒=，当12x =时，13121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()01f x ≤≤，又()11f =，所以当112x ≤≤时，()1f x =，即当01x ≤≤时，()01f x ≤≤，所以()()[]0,1f f x ∈，而()[]21,2f x -∈，所以()()()2f f x f x ≤-+，故D 正确；综上，选ACD ．6：已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，且满足()()()21g x x f x =--，()()3426g g =+=则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数．C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑．解析：因为函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，所以()g x 关于直线2x =对称，所以()()4g x g x =-所以()()()()2123=--x f x x f x --，所以()()130+-f x f x -=，所以()()20+-f x f x =，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故A 正确，又函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()440f x f x ++-=，即()()620f x f x ++-=，所以()()6f x f x =+，所以()f x 是周期为6的周期函数，在()()()21g x x f x =--中，当3x =时，得()()236f g ==；当4x =时，得()()4322g f ==；又由()()20+-f x f x =得()()020+f f =，()()530+f f -=，所以()()()6026=-f f f ==-，()()()5132=-f f f =-=-，则()06=f -，()32f =，因为()()30f f ≠，故B 不正确，在()()440f x f x ++-=中，令0x =，得()40f =；在()()20+-f x f x =中，令1x =，得()10f =，故C 正确；所以()()()610620260i f i ==++++-+-=∑，所以()()()()()2026112348i f i f f f f ==+++=∑故D 正确，故选ACD7：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑解析：由题意得3344f x x f x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边求导得332'11'44f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33244f x f x ''⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴的图象关于点3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．3'22g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为奇函数，则3232''02323g x g x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，'()y g x ∴=的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，'()y g x =的图象关于直线34x =对称．3∴为()g x 和'()g x 的一个周期，3'(0)'02g g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，'(3)'(0)0g g ∴==，所以A 正确；3310'42g g ⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；由3'(0)''(3)02g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得()g x 在(0,4)上至少有2个零点．所以C 正确；314g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，周期为3，()g x 的图象关于32x k =对称，314g k ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3'4g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3'02g ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，9'4g t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，9'04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202413'04k g k =⎛⎫∴= ⎪⎝⎭∑，2024133'202444k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，所以D 错误．答案为：AC ．8：已知函数()f x 及其导函数'()f x 的定义域均为R ，记()'()g x f x =．若(21)2f x x +-与(2)g x +均为偶函数，则（）A．(1)1g =B．函数(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称C．函数()g x 的周期为2D．()()202411110k g k g k =-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑解析：因为(21)2f x x +-为偶函数，所以(1)f x x +-为偶函数，所以(1)1g x +-为奇函数，故()g x 关于()1,1对称，A 正确；因为(1)f x x +-为偶函数，所以(1)f x x x +-为奇函数，则(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称，B 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以()g x 关于2x =对称，结合()g x 关于()1,1对称，可知()g x 的周期为4，C 错误；由(1)1g =且()g x 关于2x =对称，知(3)1g =，又()g x 的周期为4，可知(21)1g k +=，k ∈N ．由()g x 关于()1,1对称，又关于2x =对称，可知()g x 也关于()3,1对称，所以(2)(4)2g g +=．因此()()()()()()()()202411112214120241k g k g k g g g =⎡⎤-++=-+-+⋅⋅⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑=()()506242g g +-⎡⎤⎣⎦=0，所以D 正确．答案为：ABD．9：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑解析：由题意得3344f x x f x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边求导得332'11'44f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33244f x f x ''⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴的图象关于点3,14⎛⎫⎪⎝⎭对称．3'22g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为奇函数，则3232''02323g x g x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，'()y g x ∴=的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，'()y g x =的图象关于直线34x =对称．3∴为()g x 和'()g x 的一个周期，3'(0)'02g g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，'(3)'(0)0g g ∴==，所以A 正确；3310'42g g ⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；由3'(0)''(3)02g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得()g x 在(0,4)上至少有2个零点．所以C 正确；314g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，周期为3，()g x 的图象关于32x k =对称，314g k ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3'4g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3'02g ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，9'4g t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，9'04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202413'04k g k =⎛⎫∴= ⎪⎝⎭∑，2024133'202444k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，所以D 错误．答案为：AC ．10：已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()22f x f x +=-，且图象关于()30，对称，则()f x （）A ．周期4T =B ．在(0,2]单调递减C ．满足()()()202120222023f f f <<D ．在[]0,2023上可能有1012个零点解析：A 选项:由()()22f x f x +=-知()f x 的对称轴为2x =，且()()4f x f x +=-，又图象关于()30，对称，即()()33f x f x +=--，故()()6f x f x +=--，所以()()46f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()4f x f x =+，()f x 的周期为4，A 正确；B 选项:因为()f x 在(]1,0-上单调递增，4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图象关于()30，对称，所以()f x 在(]2,3上单调递增，因为关于2x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，()()130f f ==，故()f x 在(]0,2单调递减，B 正确；C 选项:根据周期性，()()20211f f =，()()20222f f =，()()20233f f =，因为()f x 关于2x =对称，所以()()130f f ==，()()21f f <，故()()()202220212023f f f <=，C 错误；D 选项:在[)0,4上，()()130f f ==，()f x 有2个零点，所以()f x 在[)0,2020上有1010个零点，在[]2020,2023上有2个零点，故()f x 在[]0,2023上可能有1012个零点，正确，故选ABD ．11：设函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()x f x a b =+．若(0)(3)1f f +=-，则（）A．2b =-B．(2023)1f =-C．()f x 为偶函数D．()f x 的图象关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称解析：由(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数可知，()f x 既关于()1,0对称，也关于2x =对称，所以()f x 的周期为4．根据以上分析，得(1)0f a b =+=①，由于()f x 关于2x =对称，所以(3)0f =，又(0)(3)1f f +=-，所以0(0)1f a b =+=-②，由①②得2a =，2b =-，A 正确；()(2023)30f f ==，B 错误；()f x 既关于()1,0对称，也关于2x =对称，所以()f x 也关于0x =对称，()f x 为偶函数，C 正确；1212202f a b ⎛⎫=+=-≠ ⎪⎝⎭，D 错误．所以答案为：AC．12：已知函数()f x 定义域为R ，且(0)0,(1)1f f x =-+为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数()f x 对称中心为(1,1)B.(1)10f -+=C.(3)(1)2f f +-=-D.(3)(1)2f f -+=-解析：由(1)1f x -+为奇函数，则()f x 关于点（-1,-1）中心对称，所以()11f -=-，A 错误，B 正确；()()312f f -+=-，D 正确；C 错误；故选BD。

抽象函数精选例题

1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。

高考抽象函数专题

抽象函数专题几类抽象函数模型练习题1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，假设f (4)＝2，则f (2)的值为_________．答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝12．2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______．答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×12＝1009．3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，假设f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1C ．19D ．43答案：D ．解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9累加，得f (8)＝43．(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，假设f (1)＝1，则f (－8)＝A．－1 B．1 C．19 D．43答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：f (1)－f (0)＝2f (0)－f (－1)＝1f (－1)－f (－2)＝0f (－2)－f (－3)＝－1f (－3)－f (－4)＝－2f (－4)－f (－5)＝－3f (－5)－f (－6)＝－4f (－6)－f (－7)＝－5f (－7)－f (－8)＝－6累加，得f (－8)＝19．另外：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (x)＋f (－x)＝x 2－24．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则以下说法正确的选项是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B 解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝12 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (325)的值为．答案：127．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式．解：因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②．相减得4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9．(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥223．证明：因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1x ②．②×2得2f (1x )－4f (x )＝2x③．①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥223．8．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)假设f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围．解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0．取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式(3)(394)0x x x f k f ⋅+--<等价于(3)(394)x x x f k f ⋅<-++，因此3394x x x k ⋅<-++，即4133x xk <-++，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－23． (1)判断f (x )为奇偶性；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值．解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0．取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )．因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－43；f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得，f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1x )＝－f (x )；(2)求证：f (x )为偶函数；(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减．解：(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0．所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．解法2：设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1x 2)．因为x 1x 2>1，所以f (x 1x 2)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．12．(12分)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；(3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)假设f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围．解：(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f 〔－x 〕．当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1f 〔－x 〕 ∈(0，1)．综上，f (x )>0．(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)假设f (2)＝2，*n ∈N ，设a n ＝ f 〔2n 〕2n ，b n ＝ f 〔2n 〕n，求证数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．解：(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0．取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋1)＝2 f (2n )＋2n ＋1．同除以2n ＋1，得 f 〔2n+1〕2n+1 ＝ f 〔2n 〕2n＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．a 1 ＝ f 〔2〕2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．因为b n +1b n＝2，所以数列{b n }为等比数列．14．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1． (1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)假设f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．解：(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ．于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1x )．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．(3)由(1)知假设f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)．所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0．所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1．(3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．假设f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．假设f (x ) ∈[0，1)，别离参数a ≤1－f (x ) ＋14[1－f (x )]．因为1－f (x ) ＋14[1－f (x )]≥2[1－f (x )]14[1－f (x )]＝1，当f (x )＝12时等号成立．所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．备选：1．(12分，重庆)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)假设f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)当x 1，x 2 (0，12)时， f (x 1)＋2<log a x 2，求a 的取值范围．3．(12分)已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－21)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1f (x )－f (y )，存在正常数a ，使f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．。

2019年抽象函数含答案.doc

抽象函数专练1、已知函数()(,0)y f x x R x =∈≠对任意的非零实数1,2x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+,试判断()f x 的奇偶性。

解：令121,x x x =-=，得()(1)()f x f f x -=-+；为了求(1)f -的值，令121,1x x =-=，则(1)(1)f f f -=-+，即(1)0f =,再令121x x ==-得(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-∴(1)0f -=代入()(1)()f x f f x -=-+得 ()()f x f x -=,可得()f x 是一个偶函数。

2、已知定义在[-2，2]上的偶函数，()f x 在区间[0，2]上单调递减，(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围分析：根据函数的定义域，[]2,2m m -∈-，，但是1m -和m 分别在[20][02]-，和，的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。

3、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。

又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

抽象函数练习题

1、已知定义域为R 的函数f(x)在区间()5,∞-上单调递减，对任意实数t,都有f(5+t)=f(5-t),那么下列式子成立的是（）A.f(-1)<f(9)<f(13)B. f(13)< f(9)< f(-1)C. f(9)< f(-1)< f(13)D. f(13)< f(-1)< f(9)2、已知f(x)+f(2-x)=0对任何实数x 恒成立，则函数f(x)的图像（）A.关于直线x=1对称B. 关于直线x=2对称C.关于点（1，0）对称D. 关于点（-1，1）对称 3、（2007天津理7）在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x( )--上是增函数，在区间A.在区间[2,1][3,4]上是增函数--上是增函数，在区间B.在区间[2,1][3,4]上是减函数--上是减函数，在区间C.在区间[2,1][3,4]上是增函数--上是减函数，在区间D.在区间[2,1][3,4]上是减函数4、已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x>2时，f(x)单调递增，如果x1+x2<4,且（x1-2）（x2-2）<0,则f(x1)+f(x2)的值（）A.可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负5、设f(x)是R 上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当0≤x ≤1时，f(x)=x,则f(7.5)=( )A .0.5 B.-0.5 C.1.5D.-1.56、函数f(x)对任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ，若f(1)=-5,则f(f(5))=____. 7、(2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为（）A.－1B. 0C.1D.28、（陕西卷11）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f（y ）+2xy（x y ∈R ），f （1）=2，则f （-3）等于（）A ．2B ．3C ．6D ．99、设f(x)是R 上的奇函数，且f(1+x)=f(1-x),则f(21)+f(23)+f(25)+f(27)=____.10、已知函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x ∈[]1,1-时，f （x ）=x 2,则y=f(x)与y=lgx 的图像的交点个数为（）A.8B.9C.10D.1111、已知定义在R 上的函数f(x)的图像关于点（34-，0）对称，且满足f(x)=-f(x+23),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2005)的值是（）A.-2B.-1C.0D.112、设函数f(x)在R 上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[]7,0上，只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论。