计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数
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计算机控制技术第二章 计算机控制系统的数学描述
i0
n
( z ) 1 ai z i 为该系统的特征多项式
i 1
四、开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关）
1.采样系统中连续部分的结构形式
图（a）—连续输入,连续输出
图（b）—连续输入,采样输出
C (s) G (s) R(s)
C * ( s ) [G ( s ) R ( s )]*
k 0,1, 2,
需要检验初始条件：k=0,1时是否满足给定的初始条件
可以得出解析解，解法与连续微分方程对应（L与L-1变换）
二、 脉冲传递函数
（与连续系统传递函数的定义类似）
G( z)
C ( z) R( z)
或 C ( z ) G ( z ) R( z )
(零初始条件)
三、 差分方程与脉冲传递函数
二阶向前差分： 2 f ( k ) f ( k 1) f ( k )
[ f ( k 2) f ( k 1)] [ f ( k 1) f ( k )]
f ( k 2) 2 f ( k 1) f ( k )
二阶向后差分： 2 f ( k ) f ( k ) f ( k 1) f ( k ) 2 f ( k 1) f ( k 2)
G ( s ) G1 ( s )( s )
G ( z ) Z [G ( s )] G1G2 ( z )
3.并联环节脉冲传递函数
G( z)
C ( z) R( z)
G1 ( z ) G2 ( z ) Z [G1 ( s )] Z [G2 ( s )]
依据Z变换的线性叠加原理
( z)
C (z) R( z)
n
( z ) 1 ai z i 为该系统的特征多项式
i 1
四、开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关）
1.采样系统中连续部分的结构形式
图（a）—连续输入,连续输出
图（b）—连续输入,采样输出
C (s) G (s) R(s)
C * ( s ) [G ( s ) R ( s )]*
k 0,1, 2,
需要检验初始条件：k=0,1时是否满足给定的初始条件
可以得出解析解，解法与连续微分方程对应（L与L-1变换）
二、 脉冲传递函数
（与连续系统传递函数的定义类似）
G( z)
C ( z) R( z)
或 C ( z ) G ( z ) R( z )
(零初始条件)
三、 差分方程与脉冲传递函数
二阶向前差分： 2 f ( k ) f ( k 1) f ( k )
[ f ( k 2) f ( k 1)] [ f ( k 1) f ( k )]
f ( k 2) 2 f ( k 1) f ( k )
二阶向后差分： 2 f ( k ) f ( k ) f ( k 1) f ( k ) 2 f ( k 1) f ( k 2)
G ( s ) G1 ( s )( s )
G ( z ) Z [G ( s )] G1G2 ( z )
3.并联环节脉冲传递函数
G( z)
C ( z) R( z)
G1 ( z ) G2 ( z ) Z [G1 ( s )] Z [G2 ( s )]
依据Z变换的线性叠加原理
( z)
C (z) R( z)
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
第2章 Z变换知识点
G z g kT z k
k 0
Z传递函数计算
g (t ) L G( s)
1
g (kT )
G( z ) g (kT ) z k
k 0
开环Z传递函数
有采样开关： 串 联
G( z) G1 ( z)G2 ( z)
Gn ( z)
没有采样开关： G( z) ZG1 (s)G2 (s) Gn (s) G1G2
U (z)
y k
1 9 k 4 2 3k 2 2 1 (3k 2 2k 2 ) 2
Z传递函数定义
在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。
1 Y ( z ) b0 b1 z G( z ) U ( z) 1 a1 z 1
bm z m an z n
E( z) We ( z ) R( z )
扰动下的Z传递函数
根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应y(t)应为参考
输入r(t)和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭加
r(t) R ( z)
e*(t)
1 ( s)
G2(s)
y(t) Y ( z)
T E (z)
k 0
部分分式法
a F ( s) i i 1 s si
n
F ( z)
i 1
n
ai z z e sit
长除法 查表法 留数法
b0 z m b1 z m1 F ( z) a0 z n a1 z n1
bm an
F ( z) c0 c1 z 1 ck z k
az fi (kT ) Z 1 i z zi
02第二章 离散控制系统及Z变换
一般来说，采样函数的变量直接用k表 示，即f(k)=f(kT)，记作fk，所以
F ( Z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k f k z k
k 0 k 0
(2-8)
需要强调几点 • ⑴只有采样函数ƒ*(t)才能定义Z变换。 • ⑵比较下面式（2-9）和式（2-10）表示的 时域内的采样函数及其在“Z”域内的Z变换
• 量化噪音夹杂在输入信号中输入进计算机， 随着计算程序传递到输出量中，会使计算机 控制系统的输出量不平滑。(缺点) • 被控对象总是有惯性的，具有低通滤波性， 能抑制频率较高的噪音。但是若ADC（模数 转换器）位数不够，ｑ较大，输入信号又较 迟缓，就会产生振幅较大、频率较低、被控 对象难以抑制的量化噪音，严重影响输出的 平滑性，因此在选择ADC位数时,不仅要从静 态精度考虑，还要从动态平滑性的角度考虑。
• 2.1.3. 采样信号的复现 • 虽然在时域中采样信号的包络线相当于连 续信号,但在频域中,这两个函数的特性完全 不同. • 采样函数ƒ*(t)在频率域中为一离散型频谱, 除主频谱外,尚包含无穷多个附加高频频谱 分量. 附加的高频频谱分量会使系统元件过 度磨损.因此采样信号在实际计算机运算后 加到被控对象之前,往往经过一种理想滤波 器以滤去附加高频频谱,实际上理想滤波器 是无法实现的,常采用所谓零阶保持器来代 替.
• 2.1.2 量化（幅值的离散，叫量化 DSP） 当我们衡量一个物品的价值时，最小单 位是分，其价值只能是分的整数倍。采样信 号ƒ＊（ｔ）在时间上是离散的，但幅值上仍 是连续的。对采样信号进行编码，用数字量 表示时，也只能用最小单位q（称为最小量 化单位）的整数倍来表示，因此存在“舍” 与“入”的问题。这个过程称为整量化，简 称量化。量化是由A/D转换器实现的。 • A/D转换器有两种整量化方法。一种是“只 舍不入”，另一种是“有舍有入”。由于前 者误差大，因此大部分A/D转换器采用有舍 有入的方法。图2-4给出了量化过程示意图。
F ( Z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k f k z k
k 0 k 0
(2-8)
需要强调几点 • ⑴只有采样函数ƒ*(t)才能定义Z变换。 • ⑵比较下面式（2-9）和式（2-10）表示的 时域内的采样函数及其在“Z”域内的Z变换
• 量化噪音夹杂在输入信号中输入进计算机， 随着计算程序传递到输出量中，会使计算机 控制系统的输出量不平滑。(缺点) • 被控对象总是有惯性的，具有低通滤波性， 能抑制频率较高的噪音。但是若ADC（模数 转换器）位数不够，ｑ较大，输入信号又较 迟缓，就会产生振幅较大、频率较低、被控 对象难以抑制的量化噪音，严重影响输出的 平滑性，因此在选择ADC位数时,不仅要从静 态精度考虑，还要从动态平滑性的角度考虑。
• 2.1.3. 采样信号的复现 • 虽然在时域中采样信号的包络线相当于连 续信号,但在频域中,这两个函数的特性完全 不同. • 采样函数ƒ*(t)在频率域中为一离散型频谱, 除主频谱外,尚包含无穷多个附加高频频谱 分量. 附加的高频频谱分量会使系统元件过 度磨损.因此采样信号在实际计算机运算后 加到被控对象之前,往往经过一种理想滤波 器以滤去附加高频频谱,实际上理想滤波器 是无法实现的,常采用所谓零阶保持器来代 替.
• 2.1.2 量化（幅值的离散，叫量化 DSP） 当我们衡量一个物品的价值时，最小单 位是分，其价值只能是分的整数倍。采样信 号ƒ＊（ｔ）在时间上是离散的，但幅值上仍 是连续的。对采样信号进行编码，用数字量 表示时，也只能用最小单位q（称为最小量 化单位）的整数倍来表示，因此存在“舍” 与“入”的问题。这个过程称为整量化，简 称量化。量化是由A/D转换器实现的。 • A/D转换器有两种整量化方法。一种是“只 舍不入”，另一种是“有舍有入”。由于前 者误差大，因此大部分A/D转换器采用有舍 有入的方法。图2-4给出了量化过程示意图。
计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(3)
mn m n 1 n
如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否 则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的 输入，这是物理不可实现的。
第2章 Z变换及Z传递函数
在扰动作用下的线性离散系统
线性离散系统除了参考输入外，通常还存 在扰动作用，如图所示。
f(t)
r(t) R (z)
e*(t) D(z) T E (z)
解
G
s
K (1 e
Ts
s
s 1
]
式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z 变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可 得上式对应的脉冲传递函数为
G z K (1 z
1
)[
Tz
1 1 2
1 z
T
1 z
1
T
1 e
T
] z
E (z) R(z) 1 GH ( z )
E (z) R(z) 1 1 GH ( z )
闭环误差Z传递函数： e ( z ) W
又：
Y (z) G (z) E (z)
G (z) R(z) 1 GH ( z )
闭环Z传递函数：W
(z)
Y (z) R(z)
G (z) 1 GH ( z )
Z传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输 入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果” 关系。设G(z)的一般表达式为 ：
b 0 b1 z b m z Y (z) G (z) 1 n U (z) 1 a1 z a n z
1 m
如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否 则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的 输入，这是物理不可实现的。
第2章 Z变换及Z传递函数
在扰动作用下的线性离散系统
线性离散系统除了参考输入外，通常还存 在扰动作用，如图所示。
f(t)
r(t) R (z)
e*(t) D(z) T E (z)
解
G
s
K (1 e
Ts
s
s 1
]
式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z 变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可 得上式对应的脉冲传递函数为
G z K (1 z
1
)[
Tz
1 1 2
1 z
T
1 z
1
T
1 e
T
] z
E (z) R(z) 1 GH ( z )
E (z) R(z) 1 1 GH ( z )
闭环误差Z传递函数： e ( z ) W
又：
Y (z) G (z) E (z)
G (z) R(z) 1 GH ( z )
闭环Z传递函数：W
(z)
Y (z) R(z)
G (z) 1 GH ( z )
Z传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输 入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果” 关系。设G(z)的一般表达式为 ：
b 0 b1 z b m z Y (z) G (z) 1 n U (z) 1 a1 z a n z
1 m
第2章_1 Z变换
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
•本课教学目的：
（1）掌握Z变换的定义，会用Z变换定义求解常 用函数的Z变换； （2）掌握Z变换的性质和定理，会应用其求解复 杂函数的Z变换； （3）理解Z反变换的定义。
•本课重点：
Z变换的定义、性质及其应用。
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
对等式两边进行拉氏反变换，得
uc (t ) = 1 − e
−t
T
+ u0 e
−t
T
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2-1-1 Z变换的定义（1）
Ø定义
F ( z ) = Z[ f * (t )] = ∑ f (kT ) z − k
k =0 ∞
= f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z −2 + f (3T ) z −3 + L
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
课程名称：
计算机控制技术
The Theory and Technology of Computer Control
授课教师：机电学院 测控系 王爽心
第2章 线技术—
第二章 线性离散系统的Z变换分析法 Discrete Systems Z-Transform Analysis
Ø推导过程 －替换法
f * (t ) =
*
∑
*
∞
f ( kT )δ ( t − kT )
k =0
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) = L[ f (t )] = = = =
∫
+∞ −∞
f * (t ) ⋅ e −Ts d t ) e −Ts d t
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
z传递函数
z传递函数一、引言z传递函数是信号处理中常用的一种数学方法，用来描述信号在系统中传递的特性。
它是频率域和时域之间的桥梁，可以通过分析系统的z传递函数来了解信号在系统中的变换过程。
在本文中，我们将会详细介绍z传递函数的定义、性质和应用等内容。
二、z传递函数的定义z传递函数是一种离散时间系统的表示方法，它以z变换的形式来表示系统的输入和输出之间的关系。
z传递函数通常用H(z)表示，其中z是一个复数变量。
z传递函数可以将时域中的差分方程转换为频域中的代数方程，从而方便我们进行系统的分析与设计。
三、z传递函数的性质1. 稳定性对于稳定系统来说，其z传递函数的绝对值必须小于1，即有|H(z)|<1。
这是因为稳定系统的输出应该是有界的，不能出现无限增长的情况。
2. 因果性在因果系统中，z传递函数只有在对应的范围内才有定义。
一般而言，因果系统的z传递函数是有理函数，即可以表示为多项式之比。
因而在对z进行逆向z变换时，只需要考虑有理函数的极点和极点的位置。
3. 线性性z传递函数满足线性性质，即对于任意的输入序列x(n)和y(n)，以及对应的输出序列y(n)和z(n)，如果存在k1和k2为常数，则有k1x(n) + k2y(n) -> k1y(n)+ k2z(n)。
4. 延时特性z传递函数中的延时特性能够直观地反映系统的时延情况。
通过分析z传递函数的分母项，可以确定系统的时延。
四、z传递函数的应用z传递函数在信号处理中有着广泛的应用，下面列举了几个常见的应用领域。
1. 滤波器设计在数字滤波器的设计过程中，z传递函数可以帮助我们分析和设计滤波器的频率响应特性。
通过调整z传递函数的系数，我们可以实现不同的滤波器类型，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2. 系统控制z传递函数也被广泛应用于控制系统的设计与分析中。
通过建立系统的z传递函数模型，我们可以分析系统的稳定性、性能等指标，并进行控制器的设计与调整。
第二章2 Z变换的定义
2. Z 变换的定义及收敛域1. Ｚ变换的定义对于一个序列x(n)，它的Z 变换定义为()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑其中Z 为一个复变量，上式定义的Z 变换称为双边Z 变换或标准Z 变换。
序列的Z 变换实质上是以序列x(n)为加权系数的z 的幂级数之和。
如n 的取值范围0到+∞，则序列的单边Z 变换为()()nn X z x n z∞-=-∞=∑序列的单边Z 变换是以序列x(n)为加权系数的z 的负幂项的级数之和。
2．从抽样吸纳后的拉普拉斯变化引出Z 变换 连续信号x(t)冲激抽样信号可表示为：()()()s s s n x nT x t t nT δ∞=-∞=-∑()()s s nx nT t nT δ=-∑对()s s x nT 取拉普拉斯变换，得()()sts s X s x nT e dt ∞--∞=⎰()()sts s nx nT t nT e dt δ∞--∞=-∑⎰()()s s snT sT s n x nT e X e ∞-=-∞==∑令s sT z e =，并将T 归一化为1，()s x nT 简写为()x n 则同样可得到离散信号的 z 变换：()()nn X z x n z∞-=-∞=∑对比： 拉普拉斯变换 Z 变换 对应离散信号,s j σ=+Ω(2f πΩ=是相对连续系统和连续信号的角频率） 则()s s s s sT j T T j T z e e e e σσ+ΩΩ===⋅， 令,s T r e σ=， 2s s T f f ωπ=Ω=是相对于离散系统和离散信号的圆周频率（rad ）， 则j z re ω=。
将j z re ω=代入()()nn X z x n z∞-=-∞=∑可得：()()()j nn X z x n reω∞-=-∞=∑=[()]nj n n x n re ω∞--=-∞∑上式表明，只要()nx n r -满足绝对可和的收敛条件，即()n n x n r ∞-=-∞<∞∑，则x(n)的Z 变换存在。
传递函数
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2-4-2 用Z变换求解差分方程
平移定理
差分方程
代数方程
用Z变换求解差分方程的步骤：
（1）对差分方程作Z变换； （2）利用已知初始条件代入Z变换式，求出Y(z)表达式； （3）对Y(z)求Z反变换，求出差分方程的解:
y(kT )
1
[Y ( z )]
x(0)=0, x(1)=1，求其时间响应式。
解： 根据超前定理，其差分方程的Z
z X ( z) - z x(0) - zx(1) 3zX ( z) - 3zx(0) 2 X ( z) 0
2 2
整理后得
( z 2 3z ) x(0) z x(1) X ( z) 2 z 3z 2
Z传递函数的推导：
设n阶定常离散系统的差分方程为：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0 u(k ) b1u(k 1) bm u(k m)
在零初始条件下，取Z变换
(1 a1 z 1 an z n )Y ( z ) (b0 b1 z 1 bm z m )U ( z )
i 0
k 1
通解 + 特解
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
2．古典解法（解析法）
通解求法：
与式（2-1）对应的齐次方程为
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) an y(kT nT ) 0
（2-3）
k A 通解具有 的形式，代入式（2-3），有
第2章 线性离散系统的Z变换分析法
—计算机控制技术—
计算机控制技术Z变换及Z传递函数(复习)
第2章 Z变换及Z传递函数
线性连续时间控制系统
常系数线性微分方程
暂态特性和稳态控制精度
Lap-Tran
采样Lap-Tran
差分方程
Z-Tran
闭环离散控制系统
第2章 Z变换及Z传递函数
Z变换的定义
f
*
(t )
k 0
f ( kT ) ( t kT )
Lap-Tran
F (s)
i0
k
f ( iT )
G (z)
F (z) 1 z
1
8 位移定理
Z f (t )e
at
F (z e
aT
)
9 微分定理
f (t ) t e
2t
Z tf ( t ) T z
d [ F ( z )] dz
F (z)
T ze
2T
ze
2T
f ( t ) 1( t )
f (t ) t
F (z)
Tz ( z 1)
2
f (t ) e
at
F (z)
z ze
at
f ( t ) sin t e
i
F (z) z
z s in T
2
2 z cos T 1
co s i sin
2
f (0) 0 f ( ) 0
F (z)
z
2
z z 1
2 2
z
2
0 .8 z 1 z z 0 .8
f (0) 1 f ( ) 0
i 1
线性连续时间控制系统
常系数线性微分方程
暂态特性和稳态控制精度
Lap-Tran
采样Lap-Tran
差分方程
Z-Tran
闭环离散控制系统
第2章 Z变换及Z传递函数
Z变换的定义
f
*
(t )
k 0
f ( kT ) ( t kT )
Lap-Tran
F (s)
i0
k
f ( iT )
G (z)
F (z) 1 z
1
8 位移定理
Z f (t )e
at
F (z e
aT
)
9 微分定理
f (t ) t e
2t
Z tf ( t ) T z
d [ F ( z )] dz
F (z)
T ze
2T
ze
2T
f ( t ) 1( t )
f (t ) t
F (z)
Tz ( z 1)
2
f (t ) e
at
F (z)
z ze
at
f ( t ) sin t e
i
F (z) z
z s in T
2
2 z cos T 1
co s i sin
2
f (0) 0 f ( ) 0
F (z)
z
2
z z 1
2 2
z
2
0 .8 z 1 z z 0 .8
f (0) 1 f ( ) 0
i 1
(完整版)数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT文档
27
1.围线积分法（留数法）
X(z)zn-1在任意一极点zr处的留数
（1） zr 是X(z)zn-1的单（一阶）极点
R e s X z z n 1 z z r z z r X z z n 1 z z r
（2） zr 是X(z)zn-1的多重（l 阶）极点
R e s X zzn 1 z z r l 1 1 !d d z ll 1 1 z z rlX zzn 1 z z r
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
33
各系数的求法:
(1)Bn可用长除法求得。
(2) A k 1 z k z 1X z |z z k z z k X z z z z k R e s X z z z z k
式中C是X(z)收敛域内的环绕原点的一条反时针方向的闭合
围线。
25
1.围线积分法（留数法）
比较z变换的定义式 X(z) x(n)zn
和（2.5）式
n
Xz Cnzn n
可以发现，x(n)就是罗朗级数的系数，即：
xn21j
Xzzn1dz
C
CRx,Rx
这就是用围线积分的z反变换公式：
26
1.围线积分法（留数法）
{Z：X(z)存在}＝收敛区域。
注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的 序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却 不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达
式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。
10
2. z变换的收敛域
收敛条件：按照级数理论， X(z) x(n)zn
计算机控制系统第2章 信号转换与z变换
F ( j )
0
f (t )e
jt
dt
1
F ( j ) F ( j jns )
T n
*
频谱幅值发生变化
s
n=0
2
T
附加频谱
(a) F ( j ) —频谱
主频谱 (b) F * ( j ) —频谱
周期频谱
非周期频谱
图2.5 频谱图
问题：如何选择采样周期 T ?
u(kT )
(t kT ) 2
2
(kT t (k 1)T )
u(kT )
1
u (kT ) u (k 1)T
T
u(kT )
1
u (kT ) 2u k 1 T u k 2 T
2
T
… …
2.3.1 零阶保持器
x1 ( t ) cos
t
8
2 7
x2 ( t ) cos
t
8
两个余弦信号的采样信号值(T=1s)
两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值；
采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象：
----连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低,
如s <2max (max ---信号中的最高频率)。
上图a为蒸汽加热冷水系统，其
中
．(b)---连续记录
．(c)---T=2min时采样记录
．(d)---T=0.5min时采样记录
正弦振荡信号的采样
香农（Shannon）采样定理：
“如果一个连续信号不包含高于频率 m ax 的频率分量（连续信
传递函数z变换离散化
传递函数z变换离散化
Z变换是一种常用的信号处理技术，在许多信号处理领域得到广泛应用。
它可以将函数近似地转换为离散信号，提供一种简单而有效
的方法来分析信号。
离散化是一种重要的信号处理技术，通常用于数据采集和信号处理的系统中。
离散化的目的是将连续的信号转换成由若干数字值表示
的离散信号，以提供良好的信号分析和识别性能。
Z变换可以有效地解决此问题，将连续的函数转换成离散的信号。
Z变换的过程非常简单：将函数f(t)映射到一组离散时刻t1，
t2，…，tn施加一个简单而快速的变换：z (f (t))=F (t)，其中F(t)是离散函数。
Z变换还可以用于减小和消除信号中的噪声或干扰，从而提高信号检测的准确性。
因此，Z变换是一种常用的信号处理技术，可以有效地将连续的函数转换成离散的信号，简化分析并提高信号检测的准确性。
由于它
易于实现和计算，因此在众多信号处理领域得到广泛应用。
02第二章 离散控制系统及Z变换
• ⑸根据计算机的精度。在用积分作用消除静 差的系统中，如果Ｔ过小，T 可能太小，当
Ti T 偏差ek小于一定值时， ek就可能受到计算 Ti
T Ti
精度限制而始终为0，使积分作用失去作用，
从而不能消除静差；此外如果Ｔ太小，再加
上计算机字长有限，前后两次采样值可能没
有什么变化，从而使ek-ek-l，甚至ek-2ekl+ek-2为0，从而削弱PID算式的作用。所以
过小也是不行的。
• 影响选择采样周期的上述诸因素，对采样周 期的要求是不同的，有时是矛盾的，因此在 选择采样周期时，应根据实际情况和主要要 求折衷考虑。表2-1是常用被控制量的经验 采样周期。
表2-1 常见被控量的经验采样周期
被控制量
流量 压力 液位 温度 成分
采样周期T（秒）
1~5 3~5 6~8 10~15 15~20 优选1~2
的相位移，相当于系统增加了一个延迟的时
间为T/2的延迟环节，使系统的总相位滞后
变大，增加不稳定因素，校正变得较为困难。
2.2 Z 变换
• 2.2.1 采样函数的拉氏变换
在连续控制系统中，运用拉氏变换法， 可以把复杂的微分方程变成简单的代数方程. 因此分析离散控制系统时，我们仍然希望借 助拉氏变换这一有力工具。
• 本章首先引入采样与量化的概念，然后介绍 分析离散系统的数学工具——Z变换，再介 绍应用Z变换分析研究离散系统的方法。
2.1 离散系统的基本概念
2.1.1 采样和采样定理 1．采样过程 计算机控制生产过程，只能每隔一定时间 进行一次控制循环。在每一次循环中，首先 输入信息，即将模拟信号加到模/数转换器 上，转换成数字信号并输入计算机，然后执 行控制程序，计算出控制量，然后输出，如 图2-1。
2012_第2章Z传递函数v3资料
可得上式对应的脉冲传递函数为
HG z (1 z1)[ 1 1 z1
1
z 1 z(1 eaT )
1 eaT
1 eaT z1 ] z (z 1)(z eaT ) z e4aT
2.5 脉冲传递函数特性
脉冲传递函数的极点与零点
– 极点
• 当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s) 的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知， G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样 周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极 点都将将密集地映射在z=1附近。
法1：输入单位阶跃：R(z) z / (z 1)
C(z)
(z)R(z)
e1z z2
(1 2e1) z (1 e1)
z
z 1
z3
0.368z2 0.264z 2z2 1.632z 0.63超峰2 调值量时间403%s
法2：C ( z ) R(z)
e1z z2
(1 2e1) z (1 e1)
29
1. 指令信号作用下的稳态误差计算
(1) 输入信号为单位阶跃函数
r(t) 1(t)
R(z) 1/(1 z1)
es*s
lim(1
z 1
z 1 ) 1
1 D(z)G(z)
1 (1 z1)
lim z1 1
1 D( z )G( z )
1
1
1 lim D(z)G(z) z 1
1 Kp
Kp
lim D(z)G(z) z1
0.368z1 0.264z2 1 z1 0.632z2
c(t) c(t 1) 0.632c(t 2) 0.368r(t 1) 0.264r(t 2)
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f ( kT ) 1 Tz
d dz
[z
k
]
k
k 0
f ( kT )( k ) z 1 Z tf ( t )
k 1
k 0
f ( kT )( kT ) z
k 0
Tz
第2章 Z变换及Z传递函数
Z变换的性质和定理 1 线性定理
设 a,a1,a2 为 任 意 常 数 ， 连 续 时 间 函 数 f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z)及F2(z)，则 有
Z a f (t ) a F ( z ) Z a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F1 ( z ) a 2 F 2 ( z )
k 0
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F (s)
*
f ( kT ) e
kTs
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉 氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超 越函数不便于计算，故引一个新变量 z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
k 1
f (m T ) z
第2章 Z变换及Z传递函数
4 初值定理
设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0 ) lim F ( z )
证明：
F (z)
z
f ( kT ) z
k
f (0 ) f ( T ) z
1
f ( 2T ) z
2
k 0
所以
Z g ( kT ) * f ( kT )
k iT ) z
k
i0
k 0
g ( iT ) f ( kT iT ) z
(k i)
k
i0
f [( k i ) T ] z
k 0
g ( iT ) z
k
f (T ) z
( k 1)
f ( 2T ) z
(k 2)
f (0 ) f ( T ) z 1 f ( 2 T ) z 2 F (z)
k
第2章 Z变换及Z传递函数
3 超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t kT ) z F ( z)
f
*
(t )
f ( kT ) ( t kT )
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f
* *
( t )]
f
*
(t ) e
ts
dt
ts f ( k T ) (t k T ) e d t k 0 ( t k T ) e ts d f (kT ) t
f ( kT )( e
k 0
z)
F ( ze
aT
)
第2章 Z变换及Z传递函数
9 微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z tf ( t ) T z d [ F ( z )] dz
证明：
d [ F ( z )] dz d k f ( kT ) z d z k 0
k 0
f ( kT T )
f ( 0 ) f ( T ) f (T ) f ( 0 ) f ( 2 T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
6 卷积和定理 设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z) 及G(z)，若定义
e
j t
j t
Z e z z e e e
1 z 2 j z e z 2 j z
2
j T
j T
e (e
j T j T
j T j T
)z 1
z s in T z
2
2 z cos T 1
则
G (z) F (z) 1 z
1
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
g ( kT )
k
f ( iT )
i0
g ( kT T )
k 1
f ( jT )
j0
g ( kT ) g ( kT T ) f ( kT ) G (z) z G (z) F (z) G (z) F (z) 1 z
i
i0
k i0
f [( k i ) T ] z
(k i)
g ( iT ) z
i
i0
F ( z )G ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
7 求和定理
设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z) 及G(z)，若有
g ( kT )
k
f ( iT )
i0
s2 a
F (z)
z z 1
2
z z e
aT aT
(1 e z (1 e
)z
aT
aT
)z e
第2章 Z变换及Z传递函数
常用信号的Z变换
1 单位脉冲信号
f (t ) (t )
F ( z ) Z (t )
(kT ) z
对上式取拉氏变换，得
F ( z ) F ( s ) f ( 0 ) f (T ) z
* 1
f ( 2T ) z
2
f ( kT ) z
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例 求f(t)=at/T 函数(a为常数)的Z变换。
解：根据Z变换定义有
F (z)
f ( kT ) z
k
g ( iT ) f ( kT iT )
i0
k
g ( kT iT ) f ( iT ) g ( kT ) * f ( kT )
i0
则
Z g ( kT ) * f ( kT ) G ( z ) F ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
证明： 由于当i >k时
f ( kT iT ) 0
f ( 0 ) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5 终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f ( ) lim (1 z
1
证明：
lim (1 z
z1 1
z 1
) F ( z ) lim ( z 1) F ( z )
z 1
k
证明：
Z f ( t kT )
m 0
k 1
f (mT ) z
km
k
f ( n T kT ) z
n
n0 1
f ( kT ) f [( k 1) T ] z z z
f [( k 2 )T ] z
( k 1)
2
(k 2)
Z-Tran则是连续信号经过理想采样之后的离散信 号的Lap-Tran ，再令z=e^Ts时的变换结果（T为采样 周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率 ω=ΩT。
第2章 Z变换及Z传递函数
Z变换的定义
已知连续信号f(t)经过采样周期为T的采 样开关后，变成离散的脉冲序列函数f *(t)即 采样信号。
k 0
k
1
第2章 Z变换及Z传递函数
常用信号的Z变换
2 单位阶跃信号
F (z)
f ( t ) 1( t )
k
1( k T ) z
1
k 0
1 z 1 1 z z
z
2
1
z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
常用信号的Z变换
3 单位速度信号
F ( z ) Z f ( t ) Z [ f ( t )]
*
f (kT ) z
k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
1．级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式
f (t )
*
f ( kT ) ( t kT )
k 0
f ( 0 ) ( t ) f ( T ) ( t T ) f ( 2 T ) ( t 2 T ) f ( kT ) ( t kT )
1 1
第2章 Z变换及Z传递函数
8 位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为 F(z)，则有
at F ( z e aT ) Z f (t ) e
证明：
at Z f (t )e
f ( kT ) e
aT
a kT
z
k
k 0 k
F (z)
f (t ) t
k
kT z
1
k 0
T (z
2z
2
2
3z
3
)
Tz ( z 1)
( z 1)