2018届苏教版 导数的概念及计算 单元测试
2018届苏教版 导数及其应用 单元测试
2018’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五) 【P 285】(导数及其应用)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．4【解析】因为f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，经验证成立．选C .【答案】C2．f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是( )【解析】由y ＝f′(x)的图象知f′(x)先增后减，所以y ＝f(x)的图象先下凹后上凸，选D .【答案】D3．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为( )A .316B .38C ．2D ．3【解析】由y ＝－4x －2，y ＝2x2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为(2x 2＋4x ＋2)d x ＝x3＋2x2＋2x 2|－11＝×13＋2×12＋2×12－×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）2＝316.故选A .【答案】A4．已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋x f （x ）>0，则函数F (x )＝xf (x )＋x 1的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知得x f ′（x ）·x ＋f （x ）>0，得x （xf （x ））′>0，得(xf (x ))′与x 同号，令g (x )＝xf (x )．则可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g (0)＝0，又由xf (x )＋x 1＝0，即g (x )＝－x 1，显然y ＝g (x )的图象与y ＝－x 1的图象只有一个交点，选B.【答案】B5．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中f ′(x )为f (x )的导数，则( )A ．2<f （1）f （2）<3B ．3<f （1）f （2）<4C ．4<f （1）f （2）<8D ．8<f （1）f （2）<16【解析】由已知得，f (x )>0，由2f (x )<xf ′(x )得x2f （x ）′>0，于是4<f （1）f （2）；同理可得f （1）f （2）<8.故选C.【答案】C6．已知函数f (x ＋1)是偶函数，且x >1时，f ′(x )<0恒成立，又f (4)＝0，则(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－6，－3)∪(0，4)C ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D ．(－6，－3)∪(0，＋∞)【解析】函数f (x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y ＝f (x )的图象，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x >1时，f ′(x )<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f (4)＝0可得当x >4时，f (x )<0，根据对称性可得当x <－2时，f (x )<0，当－2<x <1或1<x <4时，f (x )>0.不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0等价于f （x ＋4）<0x ＋3>0，或f （x ＋4）>0.x ＋3<0，当f （x ＋4）<0x ＋3>0，时，x ＋4>4或x ＋4<－2，x>－3，解得x >0；当f （x ＋4）>0x ＋3<0，时，－2<x ＋4<1或1<x ＋4<4，x<－3，解得－6<x <－3.故不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．设函数f(x)＝2x 3＋ax 2＋x ，f ′(1)＝9，则a ＝________．【解析】本题考查常见函数的导数及简单应用，求参数范围．∵f ′(x)＝6x 2＋2ax ＋1，f ′(1)＝6×1＋2a ＋1＝9，∴a ＝1.【答案】18．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点P(0，1)处的切线方程是________．【解析】因为曲线y ＝x e x ＋2x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)e x ＋2，在点P(0，1)处的切线的斜率为3，利用点斜式可知切线方程是y ＝3x ＋1.【答案】y ＝3x ＋19．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .【解析】s ＝(3t ＋2)d t ＝t2＋2t 3|12＝23×4＋4－＋23＝10－27＝213(m )．【答案】21310．已知函数f(x)＝－x ln x ＋ax 在(0，e )上是增函数，函数g(x)＝|e x－a|＋2a2，当x ∈[0，ln 3]时，函数g(x)的最大值M 与最小值m 的差为23，则a ＝________．【解析】因为函数f(x)＝－x ln x ＋ax 在(0，e )上是增函数，所以f′(x)＝a －1－ln x ≥0在(0，e )上恒成立，即a －2≥0，即a ≥2；因为g(x)＝|e x －a|＋2a2＝，x ≥ln a a2，若ln a ≥ln 3，即a ≥3时，g(x)在[0，ln 3]单调递减，则M －m ＝g(0)－g(ln 3)＝2(舍)，当ln a<ln 3，即2≤a<3时，函数g(x)在[0，ln a]上递减，在[ln a ，ln 3]上递增，且g(0)－g(ln 3)＝2a －4≥0，所以M －m ＝g(0)－g(ln a)＝23，即2a2－2a2＝a －1＝23，解得a ＝25.【答案】25三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)设函数f(x)＝e x (e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－x ，记h(x)＝f(x)＋g(x)．(1)h′(x)为h(x)的导函数，判断函数y ＝h′(x)的单调性，并加以证明；(2)若函数y ＝|h(x)－a|－1＝0有两个零点，求实数a 的取值范围．【解析】(1)h(x)＝f(x)＋g(x)＝e x ＋x 2－x ，∴h ′(x)＝e x ＋2x －1，h ′(x)在(－∞，＋∞)单调递增．证：令F(x)＝h′(x)，则F′(x)＝e x ＋2>0，∴F(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即h′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知h′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，而h′(0)＝0，∴h ′(x)＝0有唯一解x ＝0，h ′(x)，又∵函数y ∴方程|h(x)－a|－1＝0有两个根，即方程h(x)＝a±1有两个根，而a ＋1>a －1，∴a －1<(h(x))min ＝h(0)＝1且a ＋1>(h(x))min ＝h(0)＝1，解得0<a<2.所以函数y ＝|h(x)－a|－1有两个零点时，实数a 的取值范围是(0，2)．12．(16分)已知函数f(x)＝e x －ax 2，曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝bx ＋1.(1)求函数f(x)在上的最大值；(2)证明：当x>0时，e x ＋(1－e )x －x ln x －1≥0.【解析】(1)f′(x)＝e x －2ax ，由题设得f′(1)＝e －2a ＝b ，f(1)＝e －a ＝b ＋1，解得a ＝1，b ＝e －2.解法一：f(x)＝e x －x 2，∴f ′(x)＝e x －2x ≥x ＋1－2x ＝1－x ≥0，x ∈[0，1]，故f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max ＝f(1)＝e －1.解法二：f(x)＝e x －x 2，∴f ′(x)＝e x －2x ，f ″(x)＝e x －2，∴f ′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(ln 2)＝2－2ln 2>0，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max ＝f(1)＝e －1.(2)因为f(0)＝1，又由(1)知，f(x)过点(1，e －1)，且y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1，故可猜测：当x>0，x ≠1时，f(x)的图象恒在切线y ＝(e －2)x ＋1的上方．下证：当x>0时，f(x)≥(e －2)x ＋1.设g(x)＝f(x)－(e －2)x －1，x>0，则g′(x)＝e x －2x －(e －2)，g ″(x)＝e x －2， 由(1)知，g ′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g′(0)＝3－e >0，g ′(ln 2)<0，g ′(1)＝0，所以存在x 0∈(0，1)，使得g′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x)>0；当x ∈(x 0，1)时，g ′(x)<0，故g(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又g(0)＝g(1)＝0，∴g(x)＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号． 故x ex ＋（2－e ）x －1≥x ，x>0.由(1)知，e x ≥x ＋1，故x ≥ln (x ＋1)，∴x －1≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以x ex ＋（2－e ）x －1≥x ≥ln x ＋1.即x ex ＋（2－e ）x －1≥ln x ＋1.所以e x ＋(2－e )x －1≥x ln x ＋x ，即e x ＋(1－e )x －x ln x －1≥0成立，当x ＝1时等号成立．13．(18分)已知函数f(x)满足2f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈(0，2)时，f(x)＝ln x ＋ax 21；当x ∈(－4，－2)时，f(x)的最大值为－4.(1)求x ∈(0，2)时函数f(x)的解析式；(2)是否存在实数b ，使得不等式f （x ）＋x x －b >对于x ∈(0，1)∪(1，2)时恒成立？若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，说明理由．【解析】(1)由已知得f(x)＝2f(x ＋2)＝4f(x ＋4)，因为x ∈(0，2)时，f(x)＝ln x ＋ax 21，设x ∈(－4，－2)时，则x ＋4∈(0，2)，所以f(x ＋4)＝ln (x ＋4)＋a(x ＋4)．∴x ∈(－4，－2)时，f(x)＝4f(x ＋4)＝4ln (x ＋4)＋4a(x ＋4)．∴f ′(x)＝x ＋44＋4a ＝4a·a ，∵a<－21，∴－4<－a 1－4<－2，∴当x ∈－41时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，当x ∈－4，－21时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，∴f(x)max ＝f －41＝4ln a 1＋4a a 1＝－4，∴a ＝－1.∴当x ∈(0，2)时，f(x)＝ln x －x.(2)由(1)可得x ∈(0，1)∪(1，2)时，不等式f （x ）＋x x －b >恒成立，即为ln x x －b >恒成立，① 当x ∈(0，1)时，ln x x －b >⇒b>x －ln x ，令g(x)＝x －ln x ，x ∈(0，1)，则g′(x)＝1－x ln x －x 1＝x x －ln x －2.令h(x)＝2－ln x －2，则当x ∈(0，1)时，h ′(x)＝x 1－x 1＝x x －1<0，∴h(x)>h(1)＝0，∴g ′(x)＝x h （x ）>0，∴g(x)<g(1)＝1，故此时只需b ≥1.②当x ∈(1，2)时，ln x x －b >⇒b<x －ln x ，令φ(x)＝x －ln x ，x ∈(1，2)，则φ′(x)＝1－x ln x －x 1＝x x －ln x －2.令h(x)＝2－ln x －2，则当x ∈(1，2)时，h ′(x)＝x 1－x 1＝x x －1>0，∴h(x)>h(1)＝0，∴φ′(x)＝x h （x ）>0，∴φ(x)>φ(1)＝1，故此时只需b ≤1.综上所述，b ＝1，因此存在满足条件的b ，其取值的集合为{1}．。
2018届高中数学苏教版 导数及其应用 单元测试 Word版 含答案
导数及其应用一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点 （ ） A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e2.已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．21-≤mB ．21-＞m C ．2≤m D ．2＞m3.若2()cos f x x α=-,则'()f α等于 A ．2sin αα+B ．cos αC ．sin αD ．2sin αα-4.曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是 （ ） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(5.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是 （ ） A ．1秒 B ．1秒末和2秒末 C ．4秒末D ．2秒末和4秒末6.函数3()21(0)f x ax x a =++≠在x=1处的切线方程为0x y m +-=,则实数a 等于 A 1 B -1 C-2 D 37.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意的R x ∈都有)()(2x f x f >'成立，则A ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f >B ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f <C ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f =D ．)2ln 2(3f 与)3ln 2(2f 的大小不确定 8.已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是 （ ） A ．0 B ．4π C ．32πD ．43π9.已知函数)(x f y =，（x ∈R ）上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调递增区间为 （ ）A ．[)+∞,3B ．(]3,-∞C ．(]1,--∞ D ．[)+∞-,1 10.函数)(x f 的导函数图像如图所示，则函数)(x f 的极小值点个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足3)2(2)(x f x x f +'=，则)2(f '等于A ．8-B ．12-C ．8D ．1212.定义在R 上的函数()f x 满足f （4）=1，f （x ）为f （x ）的导函数，已知函数y=f′（x ）的图象如图所示．若正数a ，b 满足f （2a+b ） <1，则22a b ++的取值范围是A ．（1,23）B ．（1,)(3,)2-∞+∞C ．1(,3)2D ．（,3)-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.函数233x x y -=在x 等于 处取得极小值． 14.x x y cos 21-=的单调递减区间为 ； 15.曲线x x y tan 1tan +=在点)21,4(πM 处的切线的斜率为 ．16.直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数值 ．三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本题满分14分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值； （2）求证：在区间上，函数的图象在的图象的下方。
2018届苏教版 导数与运用 单元测试
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）． ①直线:0l y =在点(0,0)P 处 “切过”曲线3:C y x = ②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:x C y e =【答案】①③【解析】对于①，3y x =在点(0,0)P 处的切线为0y =，符合题 中两个条件，所以正确；对于②曲线:ln C y x =在直线:1l y x =-的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线:sin C y x =在点(,0)P π附近位于直线l 的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线:xC y e =在直线:1l y x =+的同侧，不符合题意，所以错误；即正确的有①③． 3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ．4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的最大值是【答案】6ln 31-【解析】函数定义域为),0(+∞，若0=a ，显然不合题意，舍去； 若0>a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得a x f -<)(或0)(>x f ， 即a x x -<)2ln(或0)2ln(>x x ，由0)2ln(>x x 得 21>x ，此时原不等式有无数个整数解，故不合题意，舍去；若0<a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得0)(<x f 或a x f ->)(，即0)2ln(<x x 或a x x ->)2ln(，由0)2ln(<x x 得0)2ln(<x ，即210<<x ，无整数解， 故由条件可得不等式a x x ->)2ln(有且只有两个整数解，因),0(+∞∈x ，故两整数只能是2,1，因x x x f 2ln ln )(+=，22)2ln(12ln ln 1)('x x x x x f -=--=，故当)21,0(e x ∈时，函数)(x f 单调递增，当),21(+∞∈e x 时，函数)(x f 单调递减，从而取3=x 时，满足a -≤⨯3)32ln(，得6ln 31-≤a ，即a 的最大值为6ln 31-5. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】10.a a e<≥或【解析】试题分析：由题意得：1(2)ln (2)ln ,(0)y y y e t e t t a x x x -=-=-=>，令(2)ln ,(0)m t e t t =->，则2212ln ,0t e em t m t t t -'''=+=+>⇒当x e >时()0m m e ''>=；当0x e <<时()0m m e ''<=；因此()m m e e ≥=-；从而110.e a a a e -≥-⇒<≥或7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1(0,]1e + 【解析】试题分析：由 x e <时，32y x x =-+图象，及线段PQ 中点恰好在y 轴上，可得 0a >，且点,P Q 分别在两段图象上，所以可以设32(,),(,ln )()P x x x Q x a x x e -+≥，.因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⊥ 即0OP OQ ⋅=故有232ln ()0x a x x x -++=，整理得1,()(1)ln a x e x x=≥+,此时11(0,](1)ln 1x x e ∈++，所以1(0,]1a e ∈+8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，若点P 到直线2-=x y 的距离的最近，则点P 的横坐标是 ．9. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(4][0)-∞-+∞ ，，【解析】由题意得()22a f x x x '=++在区间(01)，不变号，即()220a f x x x '=++≥在区间(01)，恒成立或()220a f x x x '=++≤在区间(01)，恒成立，因此max [2(1)],(0,1),a x x x ≥-+∈而2(1)0x x -+<，所以0a ≥；或min [2(1)],(0,1),a x x x ≤-+∈而2(1)4x x -+>-，所以4a ≤-；综上a 的取值范围是(4][0)-∞-+∞ ，，. 10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，31(),()ln 4f x x axg x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.511303,3(043484a a a a >>->--+<⇒>⇒<-，从而实数a 的取值范围为53(,).44--11. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【解析】试题分析：由题意得cos tan 0,.26x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为13(),()2626y x y x ππ=--=-，与x轴交点横坐标分别为66x x ππ=+=BC(=12. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 .【解析】试题分析：设两直线4x y m +=与4x y x +=相切，P 为切点.由24y x '=-得2441x x -=-⇒=±，因此(1,5)(1,3),97P P m m --==-或或，两直线4x y m +=、40x y +=，故线段PQ13．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．(Ⅰ)当x e >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）函数()()(21)1g x f x a x '=+--，其导函数为()g x '．若12,x x 为函数()g x 两个零点，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. ……………16分 2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本题满分14分）某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.【答案】（Ⅰ）0m =（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+.综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()ln .af x x ax x =-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 1a =（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1(0,).2所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，12(,)x x 上单调递增，2(,+)x ∞上单调递减，所以()f x 至多有3个零点，………12分又因为2()02a f >，1()(1)0,f x f <=所以由零点存在性定理得2010(,),()0,2a x x f x ∃∈=又001()()0,f f x x =-=所以()f x 恰有三个不同零点001,,1.x x所以a 的取值范围为1(0,).2………16分．5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分） （1）若ln ax x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.【答案】．（1）1(,)e +∞（2）见解析列表：若1a e >时，min ()1ln 0x a ϕ=+>，所以()0x ϕ>，取0210x a=>，则满足题意；若1a e =时，min ()1ln 0x a ϕ=+=，所以()0x ϕ≥，取0211x a a=>，则满足题意； (11)分 若10a e <<时，min ()1ln 0x a ϕ=+<，取0211x a a=>， 则当0x x >时，2111()()2ln ,x a a aϕϕ>=- 令1t a=，记()2ln r t t t =-，且t e >， 则2()10r t t'=->，故()r t 为(,)e +∞上单调增函数， 所以()()20r t r e e >=->，从而112ln 0a a->，所以()0x ϕ>，满足题意. 综上，0210,a x a ∀>∃=，使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.所以00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.……16分6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V 关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V 取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，………12分 ②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时， ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. ……………16分8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设函数b bx x x x f (121ln )(2+-+=为常数）．（1）若函数)(/x f y =的图象与直线12+-=x y 只有一个交点，求实数b 的值； （2）若函数)(x f y =在定义域内存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）试确定函数)(x f y =在区间),1[+∞内的零点的个数．上的零点的个数为0-------------------------------------------------------8分；②当0>b 时，xb b x x bx x b x x x f 41)2(11)(222/-+-=+-=-+=．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥ 【答案】（1）1,2a b e ==- （2）1-e （3）略．【解析】（1）'()2xf x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（2）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10xe e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数． ∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． ………………………9分 ②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>，∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. ………………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ………………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ ． (16)分11. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠= ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1因为(0,)2πθ∈，所以3πθ=，列表所以3θ=时，2S 最大值为2>所以建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=答：方案①、②中苗圃最大面积分别为22225.2m 建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=12. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】 (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）. （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<， 则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，1 当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>；2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >.当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①； 又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当a >()y H x =有5个不同的零点. 13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】(本小题满分16分)已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围； （3） 设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒ 由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e x x x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-， 假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，14. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数.（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.【答案】（1）323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）(0,1+（3）4,0t =-【解析】（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ……2分 令'()0f x = ，31,2x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-< ………13分1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=> ，∴存在0(1,0)x ∈-，0(,)x x ∈-∞时，()0x ϕ<，0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>．()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增 又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：()0h x =的根12(4,3),(0,1)x x ∈--∈，即4,0t =-． ………16分15. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=．（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h 0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='xx x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减， 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方…………16分16. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)设函数（1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b∴函数()x f 的最大值为()0=0f …………4分 （2）①由已知得：()/11g x b x=-+ (i)若1b ≥，则()0+x ∈∞，时，()/101g x b x=-≤+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为减函数， ∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在()0+∞，上恒成立；…………5分 (ii)若0b ≤，则[)0+x ∈∞，时，()/101g x b x=->+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为增函数，∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0+∞，上恒成立；…………7分 (iii)若01b <<，则()/1=01g x b x =-+时，11x b=-， 当101x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，时，()/0gx ≥，∴()()ln 1g x x bx =+-在101b⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上为增函数，17. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）2a >【解析】解析：(Ⅰ) (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. 当01a <<时，11a >,令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，； 令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，.min1()min{(),(1)}e f x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >.18. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈，2.71828e = 为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <．max ()=g x 220000111sin cos 2sin sin 2444x x a e x x a e a a a-+-=+-+-令00sin ,(0,)4t x x π=∈，则t ∈，即有()p t =211244t t a e a a +-+-,t ∈因为()p t 的对称轴20t a =-<，所以函数()p t 在区间上是增函数，且112a ≤≤所以115()2088p t p a e e a <=-+-<+-<，（112a ≤≤），即任意[0,)x ∈+∞，()0g x <，所以()()0x f x e g x =<，因此任意[0,)x ∈+∞，()0f x < ．。
2018届高中数学苏教版 导数的应用 单元测试 Word版 含答案
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考点39 导数的应用一、选择题1.（2016·重庆高考理科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )(A)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(f(B)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(f(C)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-f(D)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f【解题指南】利用函数的导数的应用即不等式的性质,分类讨论求解.【解析】选D.由图象可知,当2-<x 时,01,0>->x y ,所以0)(>'x f , 当12<<-x 时,01,0>-<x y ，所以0)(<'x f ，当21<<x 时,01,0<->x y ，所以0)(<'x f ，当2>x 时,01,0<-<x y ，所以0)(>'x f ，所以函数)(x f 有极大值f (2)-和极小值f (2).2.（2016·重庆高考文科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值,则函数)(x f x y '=的图象可能是( )【解题指南】根据函数极值的概念结合函数的性质进行求解.【解析】选 C.由极小值的定义可知,当2-<x 时,0)(<'x f ,此时0)(>'=x f x y ,当2-=x 时,0)(='x f ,此时0)(='=x f x y ,当02<<-x 时,0)(>'x f ,此时0)(<'=x f x y ,当0>x 时,0)(>'x f ,此时0)(>'=x f x y .二、解答题3.（2016·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）设函数x ax x f cos )(+=，x [o,]∈π.（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f ≤x sin 1+，求a 的取值范围.【解题指南】函数中含有三角函数，要利用三角函数的有界性，结合导数判断函数)(x f 的单调性；构造函数求参数a 的取值范围.由于本题的特殊性，也可将)(x f ≤x sin 1+变形为ax ≤1)4sin(2+-πx ，采用数形结合法求解.【解析】（Ⅰ） 函数x ax x f cos )(+=，则x a x f sin )(-='. x [o,]∈π，1sin 0≤≤∴x ，①当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当2,1π==x a 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递增； ②当0≤a 时，0)(≤'x f ，当且仅当π==x a ,0或0=x 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递减；③当10<<a 时，令0)(='x f ，则1x arcsin a =，a x arcsin 2-=π.当a x arcsin 0<<时 0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；当a x a arcsin arcsin -<<π时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减； 当ππ<<-x a arcsin 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；（Ⅱ）由)(x f ≤x sin 1+，得x ax cos +≤x sin 1+，即ax ≤1)4sin(2+-πx ， 构造函数ax x g =)(1，=)(2x g 1)4sin(2+-πx ，如图所示，若使ax ≤1)4sin(2+-πx 恒成立，则 函数ax x g =)(1的图象总在函数=)(2x g 1)4sin(2+-πx 的图象的下方.当x [o,]∈π，)2,(πA ,π2=OA k ,∴a 的取值范围为]2,(π-∞.4.（2016·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数ax x x x f ++=2331)(. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值.【解题指南】（Ⅰ）对函数ax x x x f ++=2331)(求导之后进行讨论；（Ⅱ）中的求解，抓住)(x f 有两个极值点1x ，2x 及过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上这个关键的条件，确定)(1x f 及)(2x f 与a 之间的关系. 【解析】（Ⅰ）由函数ax x x x f ++=2331)(，1)1(2)(22-++=++='a x a x x x f ， (ⅰ)当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当1=a ，1-=x 时，0)(='x f ，所以)(x f 在R 上是增函数.(ⅱ)当1<a 时，令0)(='x f ，即01)1(2=-++a x ， 解得a x ---=111，2x 1=-当∈x )11,(a ----∞时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数；当∈x ,11(a --- )11a -+-时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； 当∈x ),11(+∞-+-a 时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数.（Ⅱ）由题设知，1x ，2x 是方程0)(='x f 的两个根，故有1<a ，a x x --=1212，a x x --=2222. 12131131)(ax x x x f ++= =12111)2(31ax x a x x ++-- 1213231ax x +=。
2018年高考数学(文)(江苏专用)总复习教师用书第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算Word版含答案
第1讲 导数的概念及运算考试要求 1.导数的概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求．知 识 梳 理1．导数的概念设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，且x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内任意一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(选修1－1P57例4改编)函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________． 解析 平均变化率为f （－1）－f （－3）－1－（－3）＝－2×（－1）＋10－[－2×（－3）＋10]2＝－2.答案 －23．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·镇江期末)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝cos x ex .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝xx－cos xxx2＝－sin x ＋cos x ex. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝________.(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)1 (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．(2)(2017·扬州中学质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________． 解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，所以当x >0时，f (x )＝ex －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2017·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x，知曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x2，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)．答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为________．解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x .∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12， 又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1.答案 －1规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)(2017·常州复习检测)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)． (2)y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝3＝－2x －2x ＝3＝－12， 又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直．∴－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，则a ＝－2.答案 (1)(e ，e) (2)－2[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设y ＝x 2e x，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x. 答案 (2x ＋x 2)e x2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －13．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 2x －y ＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________． 解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .答案 1e5．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析 因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12.答案 126．(2017·南师附中月考)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴ 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.答案 －18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 二、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数： ①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x；④y ＝x 3. 其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于②：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于③：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即ex 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于④：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 答案 ①12．(2017·合肥模拟改编)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ， 得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2， ∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2. 答案213．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x(x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线． 解 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ， 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
2018届苏教版 导数 单元测试
一．基础题组1. 【2005江苏，理14】曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是 . 【答案】4x-y-1=0.2. 【2006江苏，理15】对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 . 【答案】2n+1-2． 【解析】1(1)n n y nxn x -'=-+，曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 a n =(n+1)2n,令b n =21n na n =+.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n =2n+1-2.3. 【2007江苏，理9】已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x ，有f （x ）≥0，则)0()1(f f '的最小值为 A.3 B.25C.2D.23 【答案】C.【解析】∵f'（x ）=2ax+b ，∴f'（0）=b ＞0；∵对于任意实数x 都有f （x ）≥0， ∴a ＞0且b 2-4ac≤0，∴b 2≤4ac，∴c ＞0；当a=c 时取等号．故选C ．4. 【2007江苏，理13】已知函数f （x ）=x 3－12x +8在区间［一3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝__________. 【答案】32．【解析】解：令f′（x ）=3x 2-12=0，得x=-2或x=2， 列表得：可知M=24，m=-8，∴M-m=32． 故答案为：32.5. 【2008江苏，理8】设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是___________. 【答案】ln2－1． 【解析】'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．6. 【2009江苏，理3】函数f(x)＝x 3－15x 2－33x+6的单调减区间为_____________________. 【答案】(－1,11)．【解析】f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x+1), 当x ＜－1或x ＞11时,f′(x)＞,f(x)单调递增; 当－1＜x ＜11时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.7. 【2009江苏，理9】在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:y ＝x 3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为___________________.8. 【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3-． 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-．9. 【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =二．能力题组1. 【2008江苏，理17】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.【答案】（1）（i ）2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（ii ）)010y x x =+≤≤．（2）点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB km 处.令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π， 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+.这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB km 处. 2. 【2011江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x ＞0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M .过点P 作l 的垂线交y 轴于点N .设线段MN的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．【答案】2e +12e．【解析】设P 点坐标为)0)(,(>m e m m，由xe xf =')(得，l 的方程为)(m x e e y m m-=-，令0=x 得，mmme e y -=，过点P 的l 的垂线方程为)(m x e ey m m--=--，令0=x 得，m m me e y -+=，所以)(21m m m mme e me e t -++-=，令)(21)(m m m mme e me e m g -++-=，对函数)(m g 求导，当1=m 时，函数)(m g 的最大值为)(211-+e e . 3. 【2011江苏，理17】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【答案】(1) 15 ，(2) x ＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为12.4. 【2012江苏，理18】若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；(3)设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2,2]，求函数y ＝h (x )的零点个数． 【答案】(1) a ＝0，b ＝－3. (2) －2. (3) 9．【解析】解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.5. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠， 解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点三．拔高题组1. 【2010江苏，理20】设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．(1)设函数f (x )＝ln x ＋21b x ++ (x ＞1)，其中b 为实数． ①求证：函数f (x )具有性质P (b )； ②求函数f (x )的单调区间．(2)已知函数g (x )具有性质P (2)，给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．当b ＞2时，解方程x 2－bx ＋1＝0得x 1x 2因为x 12b＜1，x 2 1.所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ＝x 2时，f ′(x )＝0.从而函①当m ∈(0,1)时，有α＝mx 1＋(1－m )x 2＞mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＜mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，得α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)，所以由g (x )的单调性知g (α)，g (β)∈(g (x 1)，g (x 2))，从而有|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，符合题设．②当m ≤0时，α＝mx 1＋(1－m )x 2≥mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，所以|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符．③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，进而得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符．因此，综合①②③得所求的m 的取值范围为(0,1)．2. 【2011江苏，理19】已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx ，f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数．若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a ＞0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a ＜0且a ≠B ．若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【答案】(1) [2，＋∞)， (2)13. 【解析】解：f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋B ．(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在 [－1，＋∞)上恒成立．因为a ＞0，故3x 2＋a ＞0，进而2x＋b≥0，即b≥－2x在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f′(x)＝0，解得x＝若b＞0，由a＜0得0∈(a，b)．又因为f′(0)g′(0)＝ab＜0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上单调性不一致．因此b≤0.现设b≤0.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0；当x∈(－∞，时，f′(x)＞0.因此，当x∈(－∞，)时，f′(x)g′(x)＜0.故由题设得a≥b≥，从而13-≤a＜0，于是13-≤b≤0.因此|a－b|≤13，且当a＝13-，b＝0时等号成立．又当a＝13-，b＝0时，f′(x)g′(x)＝6x(x219-)，从而当x∈(13-，0)时f′(x)g′(x)＞0，故函数f(x)和g(x)在(13-，0)上单调性一致．因此|a－b|的最大值为13.3. 【2013江苏，理20】设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．另外，当x＞0时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1. 当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．4. 【2014江苏，理19】已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时， 11a e e a -->．【解析】（1）证明：函数()f x 定义域为R ，∵()()xx f x e e f x --=+=，∴()f x 是偶函数．（2）由()1xmf x em -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2x xf x e e-=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211xx xe e e -=+-，令211x x xe y e e -=+-，设1xt e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t-+==+-，∵0t <，∴12t t +≤-（1t =-时等号成立），即1213y≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-．5,【2016年高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？（第17题）【答案】（1）312（2）1PO =【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函令'0V =，得h =或h =-（舍）.当0h <<时，0V'> ，V 是单调增函数；当6h <<时，0V'<，V 是单调减函数.故h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当1PO =m 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.。
2018届苏教版(理) 导数的概念及其运算 单元测试
专题13导数的概念及其运算1．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：∵s′＝2t －3t 2，∴s′|t ＝2＝4－34＝134.答案：D2．若f(x)＝2xf′(1)＋x 2，则f′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f′(1)＝－4.答案：D3．若曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln 2＋y －1＝0则a ＝( )A.12 B ．2C ．ln 2D ．ln 12解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0，1)，故切线方程为xln a －y ＋1＝0，∴a ＝12.答案：A4．曲线y ＝12x 2＋x 在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A ．1B ．2C.43D.23解析：∵y ＝12x 2＋x ，∴y ′＝x ＋1，∴切线在点(2，4)处的斜率为3，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －4＝3(x －2)，即3x －y －2＝0.令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝23.所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D5．已知y ＝f(x)是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g ′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．46．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：y′＝－e x （e x ＋1）2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y′＝－1e x ＋1e x ＋2≤－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0. 答案：A7．曲线y ＝x(3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．解析：∵y ＝x(3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y′|x ＝1＝4， ∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －38．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．解析：因为y′＝2ax －1x，所以y′|x ＝1＝2a －1. 因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 答案：129．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．10．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝log a sin x(a>0且a≠1)． 解：(1)y′＝nx n －1lg x ＋x n ·1xln 10＝x n －1(nlg x ＋1ln 10)． (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＋⎝⎛⎭⎫2x 2′＋⎝⎛⎭⎫1x 3′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′ ＝－x －2－4x －3－3x －4 ＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e ·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x. 11．已知函数f(x)＝x －2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有f′(x)＝1＋2x 2，g ′(x)＝－a x. 曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y ＝g(x)在x ＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0. 所以，两条切线不是同一条直线．。
专题3-1 导数概念及其运算测-2018年高考数学一轮复习
2018年高考数学讲练测【江苏版】【测】第三章 导数第一节 导数概念及其运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为___________． 【答案】2【解析】'1sin y x =+，2x π=时，'1sin22y π=+=，即切线斜率为2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线x e y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ．【答案】1+=x y【解析】因为x y e '=，所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2 【解析】()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 4. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ．【答案】1-【解析】设切点11(,)x y ，则111ln 1ln 11101 1.y x x x y b b '=+⇒+=⇒=⇒==+⇒=- 5. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】设切点为111111111(,),,1,112ln 2x y y x y x x a a a x x '=∴==∴=+==-=-⇒=-Q6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________．【答案】440x y -+=【解析】设αx x f =)(,则24=α,即21=α,所以21)(x x f =,则21/21)(-=x x f ,故切线的斜率为4142121=⨯=-k ,由点斜式方程可得切线的方程为)4(412-=-x y ,即440x y -+=.故应填答案440x y -+=.7. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 【答案】0【解析】因为xax y -=2/,所以切线的斜率是a k -=2,由题设22=-a ,解之得0=a ,故应填答案0.8.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2. 9.在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是________． 【答案】0【解析】依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是010.已知函数f (x )＝x ＋2＋sin xx 2＋1，其导函数记为f ′(x )，则f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝________.【答案】2【解析】由已知得f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，则f ′(x )＝＋cos xx 2＋－x ＋sin xxx 2＋2令g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx ＋1，显然g (x )为奇函数，f ′(x )为偶函数，所以f ′(2 012)－f ′(－2 012)＝0，f (2 012)＋f (－2 012)＝g (2 012)＋1＋g (－2 012)＋1＝2，所以f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝2.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
文数(苏教版)配套练习：第3章 第1节 导数的概念及其运算 Word版含解析
一、填空题1．已知曲线y＝1x上一点A(1,1)，则该曲线在点A处的切线方程为________．解析：y′＝(1x)′＝－1x2，故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝02．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.解析：由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.答案：－23．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：设P(x0，y0)，∵f′(x)＝4x3－1，∴f′(x0)＝4x30－1，由题意知4x30－1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.即P(1,0)．答案：(1,0)4．点P是曲线x2－y－2ln x＝0上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为________．解析：y＝x2－2ln x＝x2－ln x，y′＝2x－1 x ，令y′＝1，即2x－1x ＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离2即为所求．答案： 25．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：因为f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)·sin π4＋cos π4⇒f ′(π4)＝2－1，故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4⇒f (π4)＝1. 答案：16．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________． 解析：求导可得y ′＝3x 2－6x ，由于直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，所以3x 2－6x ＝－3，解得x ＝1，所以切点为(1，－2)，同时该切点也在直线y ＝－3x ＋b 上，所以代入直线方程可得b ＝1. 答案：17．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：2128．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是________．解析：f ′(1)＝(sin θx 2＋3cos θ·x )|x ＝1 ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)． ∵θ∈[0，5π12]， ∴θ＋π3∈[π3，3π4]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f′(1)∈[2，2]．答案：[2，2]9．如图中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1.故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：－1 3二、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sin x2cosx2.解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)·(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x . 11．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 解析： (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b＝3a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94b ＝－83.由a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)在曲线上任取一点(x 0，x 0＋1x 0－1)．由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝[1－1(x 0－1)2](x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为(1，x 0＋1x 0－1)． 令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12|x0＋1x0－1－1|·|2x0－1－1|＝12|2x0－1||2x0－2|＝2.所以所围三角形的面积为定值2.12．设函数f(x)＝x2－a ln x与g (x)＝1a x－x的图象分别交直线x＝1于点A，B，且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线斜率相等．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a<1时，不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[14，12]上恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x2－ax.由g(x)＝1a x－x，得g′(x)＝2x－a 2a x.又由题意可得f′(1)＝g′(1)，即2－a＝2－a 2a，故a＝2或a＝12.所以当a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝12x－x；当a＝12时，f(x)＝x2－12ln x，g(x)＝2x－x.(2)当a>1时，h (x )＝f (x )－g (x ) ＝x 2－2ln x －12x ＋x ， 所以h ′(x )＝2x －2x －12＋12x＝2(x －1)(x ＋1)x －x －12x＝(x －1)[4(x x ＋x ＋x ＋1)－x2x ]．由x >0，得4(x x ＋x ＋x ＋1)－x2x >0.故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以函数h (x )的最小值为 h (1)＝1－2ln 1－12＋1＝32. (3)当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ， g (x )＝2x －x . 当x ∈[14，12]时，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，f (x )在[14，12]上为减函数， f (x )≥f (12)＝14＋12ln 2>0.当x ∈[14，12]时，g ′(x )＝2－12x ＝4x －12x >0，g (x )在[14，12]上为增函数，g (x )≤g (12)＝1－22，且g (x )≥g (14)＝0.要使不等式f (x )≥m ·g (x )在x ∈[14，12]上恒成立， 当x ＝14时，m 为任意实数；当x ∈(14，12]时，m ≤f (x )g (x ).而[f (x )g (x )]min＝f (12)g (12)＝2＋24ln(4e)， 所以m ≤2＋24ln(4e)．实数m 的取值范围为(－∞，2＋24ln 4e)一、填空题1．设α∈{－1,1，12}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．解析：在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝中，只有y ＝x 符合题意．答案：12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：借助图象可知当x ＝1时f (x )min ＝－1，当x ＝－1或x ＝3时f (x )max ＝3，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3，当b ＝3时，－1≤a ≤1，故2≤b －a ≤4. 答案：[2,4]3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2) ＝3，则f (12)的值等于________．解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R)，则有4α2α＝3，即2α＝3， 得α＝log 23， 则f (x )＝x log 23，答案：134．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析：由已知得f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－1或x >32，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－345．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：∵x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立， ∴mx <－x 2－4，∴m <－(x ＋4x )对x ∈(1,2)恒成立．又∵4<x ＋4x <5， ∴－5<－(x ＋4x )<－4， ∴m ≤－5.答案：(－∞，－5]6．已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________． 解析：由2x －1<3x 得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3x >0，2x －1<3x ，∴x ≥12.答案：[12，＋∞)7．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )>0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )>0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12. 即⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (4)＝0，f (2)＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x . 答案：f (x )＝－3x 2＋12x8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，52)． 答案：(2，52)9．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a (c ＋1)－(－4)24a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a4≥21a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号． 答案：3 二、解答题10．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4，q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．11．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)，f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12.又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13.方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0.(2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，∴f (m －4)的符号为正．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解析：(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－2ac ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a ，又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a .g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。
2018高中数学 第一章 导数及其应用 第1-2节 导数的概念及运算习题 理 苏教版选修2-2
第1-2节 导数的概念及运算（答题时间：60分钟）1. 已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）等于（ ）A. 0B. －4C. －2D. 22. 设f 0（x ）＝cos x ，f 1（x ）＝f 0′（x ），f 2（x ）＝f 1′（x ），…，f n ＋1（x ）＝f n ′（x ），n ∈N，则f 2 010（x ）＝（ ）A. sin xB. －sin xC. cos xD. －cos x3. 设函数f （x ）＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′（1）的取值范围是 （ ）A. [－2,2]B. [2，3]C. [3，2]D. [2，2] 4. 曲线y ＝xx －2在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A. y ＝x －2B. y ＝－3x ＋2C. y ＝2x －3D. y ＝－2x ＋15. 已知点P 在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为（ ）A. （1,1）B. （－1,0）C. （－1,0）或（1,0）D. （1,0）或（1,1）6. 曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点（0,1）处的切线方程为________________。
7. 下图中，有一个是函数f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（a 2－1）x ＋1（a ∈R，a ≠0）的导函数f ′（x ）的图象，则f （－1）＝______________。
8. 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′（x ），f ′（0）＞0，对于任意实数x ，有f （x ）≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为______________。
9. 某日中午12时整，甲船自A 处以16/km h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km 处以24/km h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_______________/km h 。
苏教版高中数学选修2-2基础训练：导数的概念
1.1 导数的概念1. 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A.()x x f ∆+0B.()x x f ∆+0C.()x x f ∆⋅0D.()()00x f x x f -∆+2. 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A.－4B.－8C.6D. －63. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 44. 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则x y ∆∆为 （ ） A.21+∆+∆x x B.21-∆-∆x x C.2+∆x D.xx ∆-∆+12 5. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为（ ）A.()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆B.()224443R R R R πππ+⋅∆+∆ C.24R R π⋅∆ D .24R π6.某质点的运动方程是2(21)s t t =--，则在t=1s 时的瞬时速度为 （ ）A.－1B.－3C.7D.137.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，则在4s 附近的平均变化率为 .8.已知物体的运动方程是23(s t t t=+秒,s 米)，则物体在时刻t = 4时的速度v = .9.求2x y =在0x x =附近的平均变化率.10. 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线方程.11.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2=-+≤≤，计()715(08)f x x x x算第2h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.参考答案1.D2.D3. A4.C5.B6.B7. 253t +∆8. 125169. 2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02. 10.222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆， 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=.11.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(5)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)f '=3.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和3，说明在2h 附近，原油温度大约以3C/h 的速率下降，在第5h 附近，原油温度大约以3C/h 的速率上升.。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第16课 导数的概念及运算含答案
第16课导数的概念及运算A 应知应会1。
已知函数f（x）=x2+2xf’(1),那么f'（-1)= 。
2。
某汽车的路程函数是s(t）=2t3-gt2（g=10 m/s2）,则当t=2 s时,汽车的加速度为。
3。
已知函数f(x）=在x=1处的导数为-2,那么实数a的值为。
4.(2015·盐城中学模拟）若f(x）=x2-2x-4ln x,则f’（x）>0的解集是。
5.求下列函数的导数:(1) y=x n e x;（2）y=;(3) y=e x ln x;(4) y=(x+1）2（x-1).6.在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t间满足函数关系s=10t+5t2（s 的单位为m，t的单位为s）.（1) 当t=20s，Δt=0.1s时,求Δs与;（2）求t=20s时的瞬时速度.B 巩固提升1。
在函数y=x2+1的图象上取一点（1,2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则= .2.已知函数f（x)=f'cos x+sin x,那么f的值为.3.（2015·天津卷)已知函数f（x)=ax ln x,x∈（0，+∞），其中a为实数，f’(x)为f（x)的导函数.若f’（1)=3,则a的值为.4.已知f1(x）=sin x+cos x，记f2(x)=f'1(x）,f3（x）=f’2 (x），…,f n（x）=f'n-1（x)（n∈N＊且n≥2）,则f1+f2+…+f2 017= 。
5。
已知某物体的运动方程为s=（位移s的单位:m,时间t的单位：s）.(1) 求该物体在t∈［3,5]内的平均速度;(2）求该物体的初速度v0;(3) 求该物体在t=1时的瞬时速度.6。
对于三次函数f(x）=ax3+bx2+cx+d(a≠0），定义f″(x）是函数y=f(x）的导函数y=f’（x）的导函数。
若f″（x)=0有实数解x0，则称点(x0,f（x0）)为函数y=f(x)图象的“拐点”。
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 苏教版
3.1 导数的概念及运算1.导数与导函数的概念(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0).(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0). 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0).【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[1f x]′＝－f xf 2x(f (x )≠0). 3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x ).4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( × )1.(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x，∴f ′(1)＝2e.2.(教材改编)①(cos x )′＝sin x ；②若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；③(－1x )′＝12x x .其中正确的个数是 . 答案 1解析 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； (1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②错误；(－1x )′＝(－x －12)′＝3212x ＝12x x ，所以③正确.3.(教材改编)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为 . 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.4.(教材改编)若过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 . 答案 (12，2)或(－12，－2)解析 ∵y ′＝(x －1)′＝－1x2＝－4，∴x 2＝14，x ＝±12.∴切点坐标为(12，2)或(－12，－2).5.(教材改编)函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有 条. 答案 2解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点(33，39)和点(－33，－39)处有斜率为1的切线.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xe x )′＝xx－cos xxx2＝－sin x ＋cos x ex. 思维升华 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝ .(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ . 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 . 答案 (1)43(2)x －y －1＝0解析 (1)方法一 由题设可知曲线y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为y ＝2x 1x －x 21，曲线y＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3x 22x －2x 32，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.方法二 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 32－x 21x 2－x 1＝2x 1，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·徐州模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k ＝ . 答案 (1)e (2)1－e解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得00|e xx x y '==， 从而切线方程为000ee ()x x y x x -=-，又切线过定点(0,0)，从而000e e ()x x x -=-，解得x 0＝1，则m ＝e.(2)设切点为(x 0，y 0).因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－01e x ＝k ，且kx 0－1＝x 0－1＋01ex ， 所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的 .答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案 (1)3 (2)－1解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2|x y π='＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值. 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0|x x y '=＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 . 答案 3解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 . 答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y '=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为 . 答案 1或134解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，则k ＝ . 答案 e 2解析 由f (x )＝ln x －kx ＋3， 得f ′(x )＝1x－k ，设点M (x 0，y 0)是曲线f (x )上的一点，则曲线f (x )＝ln x －kx ＋3在点M 处的切线方程为y －(ln x 0－kx 0＋3)＝(1x 0－k )(x －x 0)，∵x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0－kx 0＋3＝0，1x 0－k ＝0，解得k ＝e 2.6.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为 . 答案 14解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.7.已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，那么f (x )的解析式为 .答案 f (x )＝e x－x ＋12x 2解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)ex －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x－x ＋12x 2.8.(2016·南京模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 . 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1).∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.10.(2016·扬州中学期末)已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 . 答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xx ＋2＝－4e x x 2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)， ∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π. 11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 .答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝8x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝2，即P (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x，则直线l 1的斜率k 1＝14， ∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4， 如图，易知S △PAB ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.12.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程.解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0|x x y '＝＝x 20. ∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.13.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
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导数的概念及计算基础巩固组1.已知函数f (x )= x 3+1,则limΔx →0f (1-Δx )-f (1)的值为 ( ).A.-13 B .13C .23D.0答案:A 解析:limΔx →0f (1-Δx )-f (1)Δx =-l imΔx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx =-f'(1)=- 13×1-23=-13.2.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ). A .13 B .12C .23D.1答案:A解析:由题意得y'=(e -2x +1)'=e -2x (-2x )'=-2e -2x ,则在点(0,2)处的切线斜率为k=-2e 0=-2,∴切线方程为y=-2x+2.联立 y =-2x +2,y =x ,得C 23,23 .∴与y=0和y=x 围成三角形的面积为:S △OBC =12OB ×23=12×1×23=13.3.若曲线y=x 2+ax+b 在点P (0,b )处的切线方程是x-y+1=0,则( ). A .a=1,b=1 B .a=-1,b=1 C .a=1,b=-1 D .a=-1,b=-1答案:A解析:由已知得y'=2x+a ,且切线斜率k=y'|x=0=a=1.又切线过点(0,b ),故0-b+1=0,得b=1.综上知a=1,b=1.4.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则切点横坐标为1的切线方程是( ). A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0答案:B解析:由函数y=f (x )为奇函数,得f (x )=-x 2+x ,x ∈[0,+∞),切点为(1,0).∵y'=-2x+1,∴y'|x=1=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.5.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),则a b 等于( ). A.-8 B.-6 C.-1 D.5答案:A解析:由题意得y=kx+1过点A (1,2),∴2=k+1,即k=1.∵y'=3x 2+a ,又∵直线y=kx+1与曲线相切于点A (1,2),∴k=3+a ,即1=3+a ,∴a=-2.将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b ,可解得b=3,∴a b =(-2)3=-8.故选A .6.曲线y=x (3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 答案:4x-y-3=0解析:因为y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.7.求下列函数的导数: (1)y=x tan x ;(2)y=1x+2x +1x ; (3)y=sin xx;(4)y=x ·e 1-x . 解:(1)y'=(x tan x )'=x'tan x+x (tan x )'=tan x+x · sin xcos x ' =tan x+x ·cos 2x +sin 2x cos 2x =tan x+xcos 2x. (2)y'= 1x '+ 2x 2 '+ 1x 3 ' =(x -1)'+(2x -2)'+(x -3)' =-x -2-4x -3-3x -4=-1x −4x −3x . (3)y'= sin x x '=(sin x )'·x -sin x ·(x )'x2 =x cos x -sin x 2.(4)y'=(x ·e 1-x )'=x'·e 1-x +x (e 1-x )' =e 1-x +x ·e 1-x ·(-1) =(1-x )e 1-x .8.已知曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x-y-1=0,且点P 0在第三象限. (1)求点P 0的坐标;(2)若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程. 解:(1)由y=x 3+x-2,得y'=3x 2+1.由已知令3x 2+1=4, 解之得x=±1. 当x=1时,y=0; 当x=-1时,y=-4.∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,且点P 0的坐标为(-1,-4), ∴直线l 的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.能力提升组9.在等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,f (x )=x (x-a 1)·(x-a 2)·…·(x-a 8),f'(x )为函数f (x )的导函数,则f'(0)等于( ). A.0 B.26C.29D.212答案:D解析:∵f (x )=x (x-a 1)(x-a 2)…(x-a 8),∴f'(x )=x'(x-a 1)…(x-a 8)+x [(x-a 1)…(x-a 8)]'=(x-a 1)…(x-a 8)+x [(x-a 1)…(x-a 8)]'.∴f'(0)=(-a 1)·(-a 2)·…·(-a 8)+0=a 1·a 2·…·a 8=(a 1·a 8)4=(2×4)4=(23)4=212.10.(2015陕西高考)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x ,可得y'=-1x ,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x ,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1).11.对正整数n ,设曲线y=x n (1-x )在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列 ann +1 的前n 项和是 .答案:2n+1-2 解析:∵y=x n (1-x ),∴y'=(x n )'(1-x )+(1-x )'·x n=n ·x n-1(1-x )-x n . 令f'(x )=n ·x n-1(1-x )-x n ,可得f'(2)=-n ·2n-1-2n =(-n-2)·2n-1. 又曲线在x=2处的点的纵坐标为-2n ,∴切线方程为y+2n =(-n-2)·2n-1·(x-2).令x=0,得y=(n+1)·2n ,故a n =(n+1)·2n ,即an n +1=2n .因此,数列a nn +1的前n 项和为2(1-2n )1-2=2n+1-2. 12.已知曲线y=13x 3+43,(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求斜率为1的曲线的切线方程. 解:(1)∵P (2,4)在曲线y=13x 3+43上,且y'=x 2,∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y'|x=2=4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A x 0,13x 03+43 ,则切线的斜率为y'|x =x 0=x 02,切线方程为y- 13x 03+43 =x 02(x-x 0), 即y=x 02·x-23x 03+43.∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 02−23x 03+43,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0, ∴x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x 0,y 0),则x 02=1,x 0=±1,切点为(-1,1)或 1,53 ,故切线方程为y-1=x+1或y-53=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0.13.已知函数f (x )=axx 2+b ,且f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切. (1)求函数f (x )的解析式;(2)若P (x 0,y 0)为f (x )图象上的任意一点,直线l 与f (x )的图象切于点P ,求直线l 的斜率k 的取值范围. 解:(1)对函数f (x )求导,得f'(x )=a (x 2+b )-ax ·2x (x 2+b )2=ab -ax 2(x 2+b )2.∵f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切,∴ f '(1)=0,f (1)=2,即 ab -a =0,1+b ≠0,a 1+b=2,∴a=4,b=1,∴f (x )=4xx +1.(2)∵f'(x )=4-4x 2(x 2+1)2,∴直线l 的斜率k=f'(x 0)=4-4x 02(x 02+1)2=42(x 02+1)2-1x 02+1. 令t=1x 02+1,t ∈(0,1],则k=4(2t 2-t )=8 t -14 2−12,∴k ∈ -12,4 .。