基本不等式应用-解题技巧归纳

基本不等式应用解题技巧归纳

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x

技巧一：凑项

例1：已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离

例3. 求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2

y =

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231,(0)x x y x x

++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y =

的最大值.；3．203x <<，求函数y =.

条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

变式：若44log log 2x y +=，求11x y

+的最小值.并求x ,y 的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且

191x y +=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+∈R y x ,且12=+

y x ，求y x 11+的最小值

(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.

变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

变式: 求函数15

()22

y x =<<的最大值。

应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222

1） 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

2） 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥

⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

应用三：基本不等式与恒成立问题

例：已知0,0x y >>且191x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=

>>，则R Q P ,,的大小关系是 .