高考数学三轮增分练高考中档大题规范练(四)数列理
高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练4 含解析
中档大题规范练4 概率与统计1．(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)． 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的概率分布，并求X 的均值．解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的概率分布为E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3．安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的概率分布．解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ， 则有C 25·23＝80(种)， ∴P (M )＝80243.即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1,2,3,ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)， ∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4,1或3,2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3,1,1或2,2,1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081.∴ξ 的概率分布为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜． (1)求甲投篮总得分ξ的概率分布和均值； (2)求甲获胜的概率．解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ， 根据题意，ξ的可能取值为0,2,3,5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的概率分布为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥． 因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的概率分布及均值． 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45, 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3, 故ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.。
2021年高考数学三轮冲刺 数列课时提升训练(4)
2021年高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（4）1、设是正项数列，其前项和满足：,则数列的通项公式=____________。
2、下列说法：①当；②ABC中，是成立的充要条件；③函数的图象可以由函数（其中）平移得到；④已知是等差数列的前项和，若，则.；⑤函数与函数的图象关于直线对称。
其中正确的命题的序号为。
3、在等差数列中，当时，必定是常数数列. 然而在等比数列中，对某些正整数r、s，当时，可以不是常数列，试写出非常数数列的一个通项公式.4、设为递减的等比数列，其中为公比，前项和，且，则= .5、观察下面的数阵，容易看出，第n+1行最右边一个数与第n行最右边一个数满足，12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………则前20行的所有数字之和为．6、7、下列命题中，真命题的序号是 .①中，②数列{}的前n项和，则数列{}是等差数列.③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是.④等差数列{}前n项和为。
已知+-=0，=38,则m=10.⑤常数数列既是等差数列又是等比数列.⑥数列{}满足，，则数列{}为等比数列.8、对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数（即能表示为一个整数的平方的数，例如4是完全平方数、3不是完全平方数），则称数列具有“性质”．不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．下面三个数列：①数列的前项和；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“性质”的为；具有“变换性质”的为 .9、由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：①第二列中的必成等比数列；②第一列中的不一定成等比数列；③；④若9个数之和大于81，则 >9．其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．10、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：. .11、已知前n项和，则…的值为12、用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为,则, , ．13、设数列{}是等差数列，数列{}是等比数列，记数列{}、{}的前项和分别为、．若、，且，则＝____________14、已知数列的前项和为，，且当，时，，若，则15、若{a n}为等比数列，且16、等差数列中，公差，,,成等比数列，则=17、在数列{a n}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{a n}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数数列.其中正确命题的序号为.(将所有正确命题的序号填在横线上).18、下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．19、已知数列、满足，则=20、若，则。
全国通用版高考数学总复习专题四数列4.1数列基础题精选刷题练理
4.1 数列基础题命题角度1求数列的通项公式高考真题体验·对方向1.(2016浙江·13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2),得a n+1-a n=2a n,即a n+1=3a n(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{a n}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5==121.2.(2015全国Ⅱ·16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=. 答案-解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-.新题演练提能·刷高分1.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{a n}中,a1=2,+ln1+,则a n=()A.2+n ln nB.2n+(n-1)ln nC.2n+n ln nD.1+n+n ln n答案 C解析由题意得=ln(n+1)-ln n,n分别取1,2,3,…,(n-1)代入,累加得=ln n-ln 1=ln n,=2+ln n,∴a n=2n+n ln n,故选C.2.(2018广东一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,则a5=.答案14解析由题意得a5=S5-S4=×52+-×42+2=14.3.(2018湖南、江西第二次联考)已知S n是数列{a n}的前n项和,且log3S n+1=n+1,则数列{a n}的通项公式为.答案a n=解析由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1,当n=1时,a1=S1=8;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2×3n,所以数列{a n}的通项公式为a n=4.(2018湖南衡阳一模)已知数列{a n}前n项和为S n,若S n=2a n-2n,则S n=.答案n·2n解析∵S n=2a n-2n=2(S n-S n-1)-2n,整理得S n-2S n-1=2n,等式两边同时除以2n有=1,又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,所以数列b n=可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,所以S n=n·2n.5.(2018河南4月适应性考试)已知数列{a n}的前n项和是S n,且a n+S n=3n-1,则数列{a n}的通项公式a n=.答案3-n-2解析由题得a n+S n=3n-1①,a n-1+S n-1=3n-4②,两式相减得a n=a n-1+,∴a n-3=(a n-1-3),∴{a n-3}是一个等比数列,所以a n-3=(a1-3)n-1=(1-3)n-1,∴a n=3-n-2.故填3-n-2.命题角度2等差数列基本量的运算高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案 B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.(2017全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案 C解析设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.3.(2017全国Ⅲ·9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案 A解析设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.4.(2016全国Ⅰ·3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案 C解析(方法一)设等差数列{a n}的公差为d,则由题意得,解得a1=-1,d=1,故a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二)因为S9==27,a1+a9=2a5,所以a5=3.又因为a10=8,所以d==1.故a100=a10+(100-10)×1=98.5.(2017全国Ⅱ·15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.答案解析设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知解得所以S n=na1+d=.所以=2.所以=21-++…+=2.新题演练提能·刷高分1.(2018重庆二诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=7,S3=12,则a10=()A.10B.28C.30D.145答案 B解析由题意,设等差数列的首项为a1,公差为d,则解得所以a10=a1+9d=1+9×3=28,故选B.2.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若=2,则=()A.2B.C.4D.答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d,=2,即a3+3d=2a3,则a3=3d,,故选B.3.(2018青海西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为()A.-n+(n∈N*,n≤5)B.n+(n∈N*,n≤5)C.n+(n∈N*,n≤5)D.-n+(n∈N*,n≤5)答案 D解析依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,所以此等差数列首项为,公差为-,故通项公式为a n=-n+(n∈N*,n≤5),故选D.4.(2018河南六市一模)在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使S n达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案 B解析因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,从而d=-2,a1=39,S n=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n,所以当n=20时,S n取最大值,故选B.5.(2018河南六市一模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤答案 B解析用a1,a2,…,a8表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+×17=996,解得a1=65.∴a8=65+7×17=184.故选B.6.(2018陕西西安八校第一次联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S n S n+1<0的正整数n的值为()A.10B.11C.12D.13答案 C解析∵S6>S7>S5,∴6a1+d>7a1+d>5a1+d,∴a7<0,a6+a7>0,∴S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,∴满足S n S n+1<0的正整数n的值为12,故选C.7.(2018湖南长沙雅礼中学、河南实验中学联考)设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0的最大的自然数n是()A.7B.8C.9D.10答案 C解析解得所以S n=9n+×(-2)=-n2+10n,所以-n2+10n>0,所以0<n<10,则最大的自然数是9.故选C.8.(2018北京顺义二模)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20=.答案18解析∵{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,∴∴d=1,∴a20=a1+(20-1)×1=18.9.(2018东北三省三校二模)已知递增的等差数列{a n}的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S10=.答案85解析∵a1+a2+a3=-6,a1a2a3=10,∴a2=-2,a1+a3=-4,a1a3=-5.∴a1=-5,a3=1,∴公差为3,S10=10×(-5)+×10×9×3=85.命题角度3等比数列基本量的运算高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得x=3,故选B.2.(2017全国Ⅲ·14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案-8解析设{a n}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.3.(2017江苏·9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.答案32解析设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.4.(2017北京·10)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.答案 1解析设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.新题演练提能·刷高分1.(2018广东珠海3月检测)S n是正项等比数列{a n}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案 A解析由题得∴故选A.2.(2018甘肃兰州第二次实战考试)等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.30答案 D解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0).2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.∴2q2-q-6=0,∴q=2或q=-(舍去).∵a4=16,∴a1==2,∴S4==30.故选D.3.(2018新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为()A.24里B.48里C.96里D.192里答案 C解析由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前6项的和为378,求该数列的第2项.设首项为a1,则有=378,解得a1=192,则a2=192×=96(里).故选C.4.(2018山东济南一模)已知正项等比数列{a n}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为()A.4B.2C.D.答案 A解析设公比为q(q>0),∵a3=1,a5与a4的等差中项为,∴即a1的值为4,故选A.5.(2018山西太原二模)已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.D.答案 D解析由题意得=3a1q2,解得q=-,q=1(舍),所以S5=,故选D.6.(2018安徽江南十校3月联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)()A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.3.0日答案 C解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为的等比数列,莞的长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后长度相等,由等比数列前n项和公式有:,解得n=log26=≈2.6.故选C.7.(2018河北唐山期末)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和,若{S n+λ}为等比数列,则λ=()A.-1B.1C.-2D.2答案 B解析由题意{a n}是等比数列,公比为2,∴S n=2n-1,S n+λ=2n-1+λ,{S n+λ}为等比数列,则-1+λ=0,即λ=1,故选B.8.(2018湖南长沙长郡中学模拟)已知递减的等比数列{a n},各项均为正数,且满足则数列{a n}的公比q的值为()A. B. C. D.答案 B解析因为数列是等比数列,故得到==,化简得到a1a3=,a2=.由a1+a2+a3=+a2+a2q⇒q+⇒q=.9.(2018江西教学质量监测)已知等比数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,若S5+4S3=5S4,则数列的最大项等于()A.-11B.-C.D.15答案 D解析由已知得S5-S4=4(S4-S3)⇒a5=4a4⇒q=4,a n=2×4n-1=22n-1,所以,由函数y=的图象得到,当n=4时,数列的最大项等于15.故选D.10.(2018北京石景山一模)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为.答案解析由题意,正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1 023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1 023,则n=10,故最小正方形的边长为×9=.命题角度4等差、等比数列性质的应用高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.答案64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2…a n=8n·,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…a n取最大值为=26=64.2.(2015广东·10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案10解析根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北武汉调研)在等差数列{a n}中,前n项和S n满足S7-S2=45,则a5=()A.7B.9C.14D.18答案 B解析S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B.2.(2018山东烟台一模)已知等差数列{a n}的前项和为S n,若a3+a7=6,则S9等于()A.15B.18C.27D.39答案 C解析由等差数列的性质可知a3+a7=a1+a9=6,又S9==27,故选C.3.(2018安徽淮北二模)已知等比数列{a n}中,a5=2,a6a8=8,则=()A.2B.4C.6D.8答案 A解析∵数列{a n}是等比数列,∴a6a8==8,∴a7=2(与a5同号),∴q2=,从而=q4=()2=2.故选A.4.(2018湖南、江西第一次联考)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若S9=45,a3+a8=12,则a7等于()A.10B.9C.8D.7答案 B解析由题意可得S9=9a5=45,∴a5=5,由等差数列的性质可得a3+a8=a5+a6=5+a6=12,∴a6=7,该数列的公差d=a6-a5=2,故a7=a6+d=7+2=9.选B.5.(2018山东烟台期末)已知等比数列{a n}中,a2a10=6a6,等差数列{b n}中,b4+b6=a6,则数列{b n}的前9项和为()A.9B.27C.54D.72答案 B解析根据等比数列的基本性质有a2a10==6a6,a6=6,所以b4+b6=a6=6,所以S9==27.6.(2018山西太原一模)已知等比数列{a n}中,a2a5a8=-8,S3=a2+3a1,则a1=()A. B.-C.-D.-答案 B解析因为a2a5a8=-8,所以=-8,a5=-2,因为S3=a2+3a1,所以a1+a2+a3=a2+3a1,所以a3=2a1,所以q2=2,因此a5=a1q4=-2,a1==-.故选B.7.(2018河北唐山二模)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案 D解析设数列前3n项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.8.(2018河北衡水中学模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n},则log2(a3·a5)的值为()A.8B.10C.12D.16答案 C解析∵最下层的“浮雕像”的数量为a1,依题有:公比q=2,n=7,S7==1 016, 解得a1=8,则a n=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7,n∈N*),∴a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212,∴log2(a3·a5)=log2(212)=12,故选C.9.(2018四川成都模拟)在等差数列{a n}中,已知S8=100,S16=392,则S24=.答案876解析∵在等差数列中,S8=100,S16=392,∴S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,即2(S16-S8)=S8+(S24-S16),∴2(392-100)=100+(S24-392),则S24=876,故答案为876.10.(2018湖南永州模拟)记S n为正项等比数列{a n}的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为.答案8解析在等比数列{a n}中,根据等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列, 所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以S6-S4=,因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4==S2++4≥2+4=8,当且仅当S2=时,等号是成立的,所以S6-S4的最小值为8.。
高考数学中档大题规范练中档大题4.docx
中档大题4 数 列1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·徐州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .4.(2015·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.5.(2015·泰州模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题4 数 列1.解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1， 所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列，所以a n ＋1a n ＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1. S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12， 故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2， 故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52， 即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减，又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14， 故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
高考数学三轮冲刺：数列课时提升训练(4)(含答案)
高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（4）1、设是正项数列，其前项和满足：,则数列的通项公式=____________。
2、下列说法：①当；②ABC中，是成立的充要条件；③函数的图象可以由函数（其中）平移得到；④已知是等差数列的前项和，若，则.；⑤函数与函数的图象关于直线对称。
其中正确的命题的序号为。
3、在等差数列中，当时，必定是常数数列. 然而在等比数列中，对某些正整数r、s，当时，可以不是常数列，试写出非常数数列的一个通项公式.4、设为递减的等比数列，其中为公比，前项和，且，则= .5、观察下面的数阵，容易看出，第n+1行最右边一个数与第n行最右边一个数满足，12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………则前20行的所有数字之和为．6、7、下列命题中，真命题的序号是 .①中，②数列{}的前n项和，则数列{}是等差数列.③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是.④等差数列{}前n项和为。
已知+-=0，=38,则m=10.⑤常数数列既是等差数列又是等比数列.⑥数列{}满足，，则数列{}为等比数列.8、对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数（即能表示为一个整数的平方的数，例如4是完全平方数、3不是完全平方数），则称数列具有“性质”．不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．下面三个数列：①数列的前项和；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“性质”的为；具有“变换性质”的为 .9、由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：①第二列中的必成等比数列；②第一列中的不一定成等比数列；③；④若9个数之和大于81，则 >9．其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．10、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：. .11、已知前n项和，则…的值为12、用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为,则, ,．13、设数列{}是等差数列，数列{}是等比数列，记数列{}、{}的前项和分别为、．若、，且，则＝____________14、已知数列的前项和为，，且当，时，，若，则15、若{a n}为等比数列，且16、等差数列中，公差，,,成等比数列，则=17、在数列{a n}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{a n}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数数列.其中正确命题的序号为.(将所有正确命题的序号填在横线上).18、下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．19、已知数列、满足，则=20、若，则。
高考数学三轮增分练(四)数列 Word版含解析
(四)数列．(·课标全国乙)已知{}是公差为的等差数列，数列{}满足＝，＝，＋＋＋＝.()求{}的通项公式；()求{}的前项和．解()由已知，＋＝，＝，＝，得＝.所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，通项公式为＝－.()由()和＋＋＋＝得＋＝，因此{}是首项为，公比为的等比数列．记{}的前项和为，则＝＝－.．(·天津)已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的∈*，是和＋的等比中项．()设＝－，∈*，求证：数列{}是等差数列；()设＝，＝ (－)，∈*，求证：<.证明()由题意得＝＋，＝－＝＋＋－＋＝＋.因此＋－＝(＋－＋)＝，所以{}是等差数列．()＝(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＝(＋＋…＋)＝·＝(＋)．所以＝＝＝·<.．在数列{}中，＝，当≥时，其前项和满足＝.()求的表达式；()设＝，求{}的前项和.解()∵＝，＝－－(≥)，∴＝(－－)，即－＝－－，①由题意得－·≠，①式两边同除以－·，得－＝，∴数列是首项为＝＝，公差为的等差数列．∴＝＋(－)＝－，∴＝.()∵＝＝＝，∴＝＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝.．已知数列{}，{}满足＝(＋)，其中是数列{}的前项和.()若数列{}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{}的通项公式；()若＝，＝，求数列{}的通项公式；()在()的条件下，设＝，求证：数列{}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．()解因为＝(－)－＝－(－)，＝＝[－(－)]，所以＝＝＝.()解若＝，则＝＋，所以＋＝(＋)＋＋(＋)，两式相减得＋＝(＋)＋－＋，。
中档大题规范练4(数列+概率+立体几何+选讲)-2018版高考理科数学三轮冲刺解答题精品训练含解析
中档大题规范练4（数列+概率+立体几何+选讲）2018版高考理科数学三轮冲刺解答题精品训练含解析1.数列大题【2018江西新余高三上学期期末质检】数列的前项和满足，且，，为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（2）由（1）知，∴.∴.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．2.概率大题【2018湖北黄冈等8市3月联考】2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购。
为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．①在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；②以表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量的分布列及数学期望．下面临界值表供参考：参考公式： K2＝，n＝a＋b＋c＋d【答案】（1）没有85%的理由（2）①，②见解析试题解析：（Ⅰ）根据题意列出列联表如下：，所以没有85%的把握认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌有关．（Ⅱ）①令事件为“城市I被选中”；事件为“城市II被选中”，则,所以．②随机变量的所有可能取值为, ；；．故的分布列为.【方法点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）3.立体几何【2018广东珠海3月质检】如图，四棱锥中，，，，，，，点为中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.面角的公式求解.（2）解：过做于，∵平面，平面，∴，∵，∴平面.过做交于，则、、两两垂直，以、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，∵，，，，点为中点，∴，，∴，∴，∴，，.∵，，∴，，∴四边形是矩形，，∴，，，，∵为中点，∴，∴，，.设平面的法向量，由，得，令，得，则，则与所成角设为，其余角就是直线与平面所成角，设为，，∴直线与平面所成角的正弦值为.4.选讲1（极坐标参数方程）【2018新疆乌鲁木齐高三下学期第二次诊断检测】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设，直线交曲线于两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．【答案】（Ⅰ），曲线：；（Ⅱ）或．∴直线的普通方程为．由可得，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）设直线上的三点所对应的参数分别为，将代入，整理得，则，与异号，由，得，当，即时，最大，此时最大，且，此时，代入可得此时点的坐标为或．5.选讲2（不等式）【2018广东珠海高三3月质检】已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.。
高考数学三轮增分练 高考中档大题规范练(四)数列 理
(四)数 列1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑2nk ＝1 (－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑nk ＝1 1T k <12d2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n a 2＋a 2n2＝2d 2n (n ＋1)． 所以∑nk ＝1 1T k ＝12d 2∑n k ＝1 1kk ＋1＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 4．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2. 由递推公式得当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝212n －；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝22n .所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧212n -，n 为奇数，22n ，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3nb n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1， ∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3nb n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又当n ＝1时，b 1＝3也符合，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13－13n －11－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝n ＋＋52·3n－4n ＋52·3n －1＝－n ＋3n<0.∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列． 又T 3＝599<7，T 4＝649>7，∴T n <7时，n 的最大值为3.。
高高考数学中档大题规范练(数列).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，① 所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，② 所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③ 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1. 记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0， a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎨⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8. 当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。
高考数学总复习考前三个月中档大题规范练4应用题理(2021学年)
（江苏专用)２０18届高考数学总复习考前三个月中档大题规范练4 应用题理编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(江苏专用)２0１8届高考数学总复习考前三个月中档大题规范练４应用题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(江苏专用）2018届高考数学总复习考前三个月中档大题规范练４应用题理的全部内容。
4．应用题1.(2０１7·苏锡常镇调研）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BAＤC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：ｍ2）,高为ｈ(单位:m）（S,h为常数)．彩门的下底BC固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l。
(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α）;(２)问：当α为何值时l最小,并求最小值．解(１）过D作DH⊥BC于点H，则∠DCB=α错误!,DＨ=h,设AD=x.则DC=＼ｆ（ｈ，ｓiｎα)，CH＝错误!，BＣ＝x＋错误!。
因为S=错误!错误!·h,则x=错误!－错误!,则l=ｆ(α)＝2DC+AD=＼f(Ｓ，ｈ)+ｈ错误!错误!。
(２)f′（α）＝h·错误!＝ｈ·错误!，令ｆ′（α）=ｈ·错误!=0,得α=错误!.当α变化时，f′(α),ｆ（α)的变化情况如下表:α错误!π3错误!f′（α）－0＋f(α）↘极小值↗所以ｌmｉn＝f错误!＝错误!h＋错误!。
答当α=错误!时,ｌ有最小值，为错误!h+错误!（m）．2．（2０17·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为4０ｍ的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径),现计划对其进行改建，在AＢ的延长线上取点D，OＤ=80m，在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,其面积为S m2．设∠AOＣ＝x rad。
高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮
姓名：________ 班级：________ 学号：________高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．2．(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.3．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围．4.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A 2)＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．方法一 (1)解 将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )． (2)①解 f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1 ＝2m 25－1. 方法二 (1)同方法一．(2)①同方法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos [(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫m 52＋⎝⎛⎭⎫m 52＝2m 25－1. 3．(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，又B 为钝角，故sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A . 因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98. 4．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.5．解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x ) ＝sin x cos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32. 当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ， 即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32. (2)由f (A 2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。
高三数学(文)二轮复习题型增分天天练 中档题规范练四
中档题规范练四1.(2016·山东菏泽二模)数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n(n+1) (n∈N+),数列{b n}满足a n=+++…+.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=(n∈N+),求数列{c n}的前n项和T n.2.(2016·广西来宾一模)如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC ⊥AD,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,AC=AD,点E在棱PB上,且PE=2EB.(1)求证:PD∥平面EAC;(2)求平面ACE分四棱锥两部分E ABC与多面体PEACD的体积比.3.(2016·重庆南开二诊模拟)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店A店B店C店售价x(元) 80 86 82 88 84 90销售量y(件) 88 78 85 75 82 66 (1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点,求出售价与销量的回归直线方程=x+;(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)附:==,=-.4.(2016·河北衡水一模)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ-2sin θ,直线l的参数方程为(t为参数,a为常数).(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1∶2,求实数a的值.5.(2016·河南开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a<0.(1)证明:f(x)+f(-)≥2;(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.。
高考数学二轮复习中档大题规范练4数列文
(四)数列1．(2017 ·全国Ⅱ ) 已知等差数列{ a n} 的前n项和为S n，等比数列 { b n} 的前n项和为T n，a1＝－1，b1＝ 1，a2＋b2＝ 2.(1)若 a3＋b3＝5，求{ b n}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.解设{ a n} 的公差为d，{ b n}的公比为 q，则 a n＝－1＋( n－1)· d， b n＝q n－1.由 a2＋ b2＝2，得 d＋q＝3.①(1)由 a3＋b3＝5，得2d＋ q2＝6.②d＝3，d＝1，联立①和②，解得(舍去)，q＝0q＝2.n n n－ 1所以 { b } 的通项公式 b ＝2 .(2)由 b1＝1， T3＝21，得 q2＋ q－20＝0.解得 q＝－5或 q＝4.当 q＝－5时，由①得 d＝8，则 S3＝21.当 q＝4时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6.2．(2017 ·河北省衡水中学二模 ) 已知数列 { a } 知足a＝ 1， a ＋3＝a*＋ 3＋ 2，n∈ N .n1n＋ 1n(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2) 设以 2 为公比的等比数列{ b n} 知足4log2b n·log2b n＋ 1＝a n＋12n＋11(n∈N* )，求数列{ b n－log 2b n} 的前n 项和S n.解(1) 由题意知，数列{a n＋3}是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，∴a n＋3＝2＋2( n－1)＝ 2n，故a n＝ 4n2－3.n － 1(2) 设等比数列 { b n } 的首项为 b 1，则 b n ＝ b 1×2 ，依题意有 4log 2 n ·log 2 n ＋ 1＝ 4log 2( nn1＋ － 1)(log21＋)b 1×2－1) ·log2( 1×2) ＝ 4(log2bbb bnb n＝ 4(log 21 221212b ) － 4log b ＋4×(2log b － 1) n ＋ 4n＝ 4n 2＋ 12n ＋ 8，4× 2log 2b 1－ 1 ＝ 12，即2解得 log 2b 1＝ 2， b 1＝ 4，n － 1 n ＋ 1故 b n ＝4×2＝ 2 .∵ b n － log 2b n ＝ 2n ＋1 －( n ＋ 1) ，22 1－ 2nn 2＋n ＋ 1n ＋2n n ＋3.∴ S n ＝－＝ 2－ 4－1－ 2223． (2017 届辽宁省锦州市质检 ) 已知等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ， 1＝ 1， 6＝93.nn(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝1＋ log 2a n ，求数列 { a n b n } 的前 n 项和．解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，由 a 1＝ 1，S 6＝ 9S 3 知， q ≠1，1－ q 6 9 1－ q 3 故 1－ q ＝1－ q ，即 33＝ 3(1 －q )(1 ＋ q ) 9(1 － q ) ，即 1＋ q 3 ＝9，即 q 3＝8，解得 q ＝ 2，则 a n ＝ a 1·q n － 1＝ 2n －1.(2) b n ＝ 1＋log 2a n ＝ 1＋log 22n－1＝ 1＋ n － 1＝ n ，n － 1∴ a n b n ＝ n ·2 ，n 2 n －1，① ∴ T ＝ 1＋2·2＋3·2 ＋ ＋ n ·22 n － 1n2T n ＝1·2＋2·2 ＋ ＋ ( n －1) ·2 ＋ n ·2，② 由②－①，得n2n －1T ＝ n ·2－(1 ＋ 2＋ 2 ＋ ＋ 2 )nnnn＝ n ·2－(2 － 1) ＝ ( n －1) ·2 ＋1.4． (2017 届湖南省长沙市雅礼中学模拟) 已知在数列 { n } 中， a 1＝ 1， 3＝ 9，且 n＝ n － 1＋ λna a a a － 1( n ≥2， n ∈ N * ) ．(1) 求 λ 的值及数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝( － 1) n ( a n ＋n ) ，且数列 { b n } 的前 2n 项和为 S 2n ，求 S 2n .解(1) ∵ a 1＝ 1， a 3＝ 9，*且 a n ＝ a n － 1＋ λ n － 1( n ≥2， n ∈ N ) ，∴ a 2＝ 2λ， a 3＝ 5λ － 1＝ 9，解得 λ ＝2， ∴ a n － a n －1＝ 2n －1( n ≥2， n ∈ N * ) ．∴ a n ＝ (2 n － 1) ＋ (2 n － 3) ＋ ＋ 3＋ 1＝n 2n －1＋1＝ n 2.2(2) b n ＝ ( －1) n ( a n ＋ n ) ＝ ( － 1) n ( n 2＋ n ) ，b 2n － 1＋ b 2n ＝－ [(2 n －1) 2＋ (2 n － 1)] ＋ [(2 n ) 2＋ 2n ] ＝4n ，n n ＋12S 2n ＝4×＝ 2n ＋ 2n .*5．(2017 ·湖南省衡阳市联考) 已知在数列 { a n } 中， a 1＝ 2，a n － a n － 1－2n ＝ 0( n ≥2， n ∈ N ) ．(1) 写出 a 2， a 3 的值 ( 只写出结果 ) ，并求出数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b ＝ 1＋ 1＋ 1 ＋ ＋1，不等式 t2t1恒建立， 务实an ＋ 1an ＋ 2a n ＋3，若对随意的正整数－ 2 ＋ >n n数 t 的取值范围．解 (1) a 2＝ 6， a 3＝ 12，当 n ≥2时， a n ＝ a 1＋( a 2－ a 1) ＋ ( a 3－a 2) ＋ ＋ ( a n － a n － 1) ＝ 2(1 ＋2＋ 3＋ ＋ n ) ＝ n ( n ＋ 1) ，当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 也知足上式，∴ a n ＝ n ( n ＋ 1) ．(2) b ＝ 11 ＋ 1 ＋ ＋1＋na＋ 1a ＋ 2a ＋ 3a 2n nnn111＝n ＋ 1 n ＋ 2＋n ＋ 2 n ＋ 3＋ ＋2n 2n ＋ 1＝1 － 1 ＋ 1 －1＋ ＋1－ 1n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 2 n ＋3 2n 2n ＋ 111＝n ＋ 1－2n ＋ 1.n ＋1n1 － 1 1 － 1∵ b－ b ＝＋＋－ n ＋ 12n ＋ 1n 2 2n 3 1＋ 1 1 1 ＝ ＋＋ － n ＋ 1＋2n ＋ 3n2 2n 13n ＋33n ＋ 4 ＝2n 2＋ 5n ＋2－2n 2＋ 5n ＋ 3－ 2n 2－ 2n ＋ 1＝2n 2＋ 5n ＋ 2 2n 2＋ 5n ＋ 3<0，∴ b n ＋1<b n ，则数列 { b n } 是单一递减数列．1∴(b n)max＝ b1＝6.21n2 1 1 2t <0或 t >2，∴ t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．∴ t－ 2t＋6>b ? t－ 2t＋6>6? t－ 2t >0?。
考前三个月2016高考二轮复习数学(江苏专用理科) 中档大题规范练 中档大题4
中档大题4 数 列1.数列{a n ｝中,a 1＝1，S n 为数列{a n ｝的前n 项和,且满足错误!＝1 （n ≥2)。
求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列｛a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 错误! (其中p 为非零常数，n ∈N ＊）。
(1）求数列{a n }的通项公式;（2）令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.（2015·徐州模拟）设等差数列{a n }的公差为d ,点（a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上（n ∈N *).若a 1＝1,函数f （x )的图象在点(a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2－错误!，求数列{a n b 错误!｝的前n 项和S n 。
4.(2015·南京模拟)设数列｛a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n＋1＋1,n∈N*,且a1＝1，设数列{b n}满足b n＝a n＋2n.(1)求证数列｛b n}为等比数列，并求出数列{a n｝的通项公式；(2）若数列c n＝错误!，T n是数列{c n｝的前n项和，证明：T n<3.5.(2015·泰州模拟）已知数列{a n｝中,a2＝p（p是不等于0的常数)，S n为数列{a n｝的前n项和，若对任意的正整数n都有S n＝错误!. (1）证明：数列{a n}为等差数列；(2）记b n＝错误!＋错误!，求数列｛b n}的前n项和T n；(3)记c n＝T n－2n，是否存在正整数N使得当n〉N时，恒有c n∈错误!。
若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列｛a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.（1）若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项,求i的值；(2)设b n＝错误!，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m 对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题4 数列1。
(京津专用)高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(二)数列(理)
(二)数 列1．(2018·三明质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n .解 (1)因为a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， 所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5. 所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，② ①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1， 所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3， 又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1， 所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)， 所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n2.又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)．所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2).2．(2018·葫芦岛模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3，S 52，S 4成等差数列，可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，① 由a 5＝3a 2＋2a 1－2，② 得4a 1－d －2＝0，由①②，解得a 1＝1，d ＝2， 因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)令c n ＝a n b n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，③12T n ＝1·12＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，④③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 －(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝ 3－2n ＋32n ，∴T n ＝6－2n ＋32n －1(n ∈N *)．3．(2018·厦门质检)已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝4n2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ， 令n ＝1,2,3，得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k4，∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3， 即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)， 又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)． 方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ， 则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )， ∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d ) ＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于∀n ∈N *均成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝4n2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1，得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋1＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＋n＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．(2018·天津河东区模拟)已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝n 2，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，得a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，所以q ＝3. 又由已知a 2n ＝3a 2n ， 得a 1q2n －1＝3a 21q2n －2，所以q ＝3a 1，所以a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)当n ＝1时，b 1a 1＝1，b 1＝1， 当n ≥2时，b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝n 2，① 所以b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n －1a n －1＝(n －1)2，② 由①－②得b n a n＝2n －1， 所以b n ＝(2n －1)3n －1，b 1＝1也符合， 综上，b n ＝(2n －1)3n －1(n ∈N *)．所以T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)3n －2＋(2n －1)·3n －1，①3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)3n －1＋(2n －1)3n，②由①－②得－2T n ＝1×30＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝1×30＋2×3×3n －1－13－1－(2n －1)·3n＝1＋3n－3－(2n －1)3n＝(2－2n )3n－2， 所以T n ＝1＋(n －1)3n (n ∈N *)．5．(2018·宿州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和K n . 解 (1)由T n ＝2S n －n 2，得a 1＝S 1＝T 1＝2S 1－1， 解得a 1＝S 1＝1，由S1＋S2＝2S2－4，解得a2＝4.当n≥2时，S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－2S n－1＋(n－1)2，即S n＝2S n－1＋2n－1，①S n＋1＝2S n＋2n＋1，②由②－①得a n＋1＝2a n＋2，∴a n＋1＋2＝2(a n＋2)，又a2＋2＝2(a1＋2)，∴数列{a n＋2}是以a1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋2＝3·2n－1，即a n＝3·2n－1－2(n∈N*)．(2)∵b n＝3n·2n－1－2n，∴K n＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－2(1＋2＋…＋n)＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－n2－n.记R n＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，③2R n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，④由③－④，得－R n＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴R n＝(n－1)·2n＋1.∴K n＝3(n－1)2n－n2－n＋3(n∈N*)．。
2022年新教材高考数学一轮复习规范答题增分专项3高考中的数列问题含解析新人教版
规范答题增分专项三 高考中的数列问题1.(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=4,a 3-a 1=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和.若S m +S m+1=S m+3,求m.2.(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b m 为{a n }在区间(0,m ](m ∈N *)中的项的个数,求数列{b m }的前100项和S 100.3.在①a 1=-8,a 2=-7,a n+1=ka n +1(n ∈N *,k ∈R );②若{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 7=-2;③设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =12n 2-172n (n ∈N *)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.在数列{a n }中, .记T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 20.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.(2)设{b bb b5.已知{a n}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①a1=2,②a1=1,③a1=3{a n}存在,并在此存在的数列{a n}中,试解答下列两个问题:(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足b n=(-1)n+1b b2,求数列{b n}的前n项和T n.6.已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 满足a n =√b b +√b b -1(n ≥2). (1)求证:{√b b }为等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)记数列{1b b b b +1}的前n 项和为T n ,若对任意的n ∈N *,不等式4T n <a 2-a 恒成立,求实数a 的取值范围.7.(2020天津,19)已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,a 1=b 1=1,a 5=5(a 4-a 3),b 5=4(b 4-b 3). (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求证:S n S n+2<b b +12(n ∈N *);(3)对任意的正整数n ,设c n ={(3b b -2)b bb b b b +2,b 为奇数,bb -1b b +1,b 为偶数.求数列{c n }的前2n 项和.8.将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数阵:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16……其中a 2=4,a 17=10,a 14=12,且数阵中的第一列数a 1,a 2,a 5,a 10,…构成等差数列,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数.表中每一行正中间的项a 1,a 3,a 7,a 13,…构成的数列记为{b n }.(1)求数列{b n }的前n 项和S n ;(2)记集合M={n|(n+1)b n ≥λ,n ∈N *},若M 的元素个数为4,求实数λ的取值范围.规范答题增分专项三 高考中的数列问题1.解(1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1. 由已知得{b 1+b 1b =4,b 1b 2-b 1=8,解得a 1=1,q=3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1. (2)由(1)知log 3a n =n-1,故S n =b (b -1)2.由S m +S m+1=S m+3,得m (m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m 2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6. 2.解(1)设等比数列{a n }的公比为q. 由题设得a 1q+a 1q 3=20,a 1q 2=8. 解得q=12(舍去),q=2.因为a 1q 2=8,所以a 1=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n.(2)由题设及(1)知b 1=0,且当2n≤m<2n+1时,b m =n. 所以S 100=b 1+(b 2+b 3)+(b 4+b 5+b 6+b 7)+…+(b 32+b 33+…+b 63)+(b 64+b 65+…+b 100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.3.解若选择①,因为a n+1=ka n +1,所以a 2=ka 1+1, 即-8k+1=-7,解得k=1,则a n+1-a n =1,即数列{a n }是首项为-8,公差为1的等差数列, 故a n =n-9; 若选择②,设等差数列{a n }的公差为d , 因为a 3=-6,a 7=-2, 所以a 1+2d=-6,a 1+6d=-2,解得a 1=-8,d=1,故a n =a 1+(n-1)d=n-9; 若选择③,因为S n =12n 2-172n ,所以a 1=S 1=12−172=-8, 当n ≥2时,S n-1=12(n-1)2-172(n-1)=12n 2-192n+9,则a n =S n -S n-1=n-9(n ≥2),因为a 1=-8也满足上式,所以a n =n-9. 由a n ≥0,得n ≥9,故T 20=(-a 1)+(-a 2)+(-a 3)+…+(-a 8)+a 9+a 10+a 11+…+a 20=-(a 1+a 2+a 3+…+a 8)+(a 9+a 10+a 11+…+a 20)=-(-8-1)×82+(0+11)×122=102.4.解(1)依题意得{3b 1+3×22b +5b 1+4×52b =50,(b 1+3b )2=b 1(b 1+12b ),解得{b 1=3,b =2.故a n =a 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即a n =2n+1. (2)由题意可知b b b b=3n-1, 则b n =a n ·3n-1=(2n+1)×3n-1.故T n =3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1,①3T n =3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n, ②由①-②,得-2T n =3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n =3+2×3×(1-3b -1)1-3-(2n+1)×3n=-2n ·3n ,故T n =n ·3n.5.解(1)若选择条件①,当第一行第一列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=2,a 2=6,a 3=7,不是等差数列,a 1=2,a 2=9,a 3=8,不是等差数列;当第一行第二列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=2,a 2=4,a 3=7,不是等差数列,a 1=2,a 2=9,a 3=12,不是等差数列;当第一行第三列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=2,a 2=4,a 3=8,不是等差数列,a 1=2,a 2=6,a 3=12,不是等差数列,则将a 1=2放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{a n }都不存在. 若选择条件②,则放在第一行第二列,结合条件可知a 1=1,a 2=4,a 3=7, 则公差d=a 2-a 1=3, 所以a n =a 1+(n-1)d=3n-2.若选择条件③,当第一行第一列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=3,a 2=6,a 3=7,不是等差数列,a 1=3,a 2=9,a 3=8,不是等差数列;当第一行第二列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=3,a 2=4,a 3=7,不是等差数列,a 1=3,a 2=9,a 3=12,不是等差数列;当第一行第三列为a 1时,由题意知,可能的组合有:a 1=3,a 2=4,a 3=8,不是等差数列,a 1=3,a 2=6,a 3=12,不是等差数列,则将a 1=3放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{a n }都不存在.综上可知,a n =3n-2.(2)由(1)知,b n =(-1)n+1(3n-2)2.当n 为偶数时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =b 12−b 22+b 32−b 42+…+b b -12−b b 2=(a 1+a 2)(a 1-a 2)+(a 3-a 4)(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )(a n-1-a n )=-3(a 1+a 2+a 3+…+a n )=-3×b (1+3b -2)2=-92n 2+32n ;当n 为奇数时,T n =T n-1+b n =-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n 2-32n-2. 故T n ={-92b 2+32b ,b =2b ,b ∈N *,92b 2-32b -2,b =2b -1,b ∈N *. 6.(1)证明因为a n =√b b +√b b -1(n ≥2), 所以S n -S n-1=√b b +√b b -1. 由数列{a n }的各项均为正数, 得√b b −√b b -1=1,所以数列{√b b }是首项为√b 1=√b 1=1,公差为1的等差数列,得√b b =n. 所以a n =√b b +√b b -1=n+(n-1)=2n-1(n ≥2),当n=1时,a 1=1也适合,所以a n =2n-1. (2)解因为1b b b b +1=1(2b -1)(2b +1)=12(12b -1−12b +1),所以T n =12(1-13+13−15+…+12b -1−12b +1)=12(1-12b +1). 即T n <12.要使不等式4T n <a 2-a 恒成立,只需2≤a 2-a 恒成立,解得a ≤-1或a ≥2,故实数a 的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).7.(1)解设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q.由a 1=1,a 5=5(a 4-a 3),可得d=1,从而{a n }的通项公式为a n =n.由b 1=1,b 5=4(b 4-b 3),又q ≠0,可得q 2-4q+4=0,解得q=2,从而{b n }的通项公式为b n =2n-1.(2)证明由(1)可得S n =b (b +1)2,故S n S n+2=14n (n+1)(n+2)(n+3),b b +12=14(n+1)2(n+2)2,从而S n S n+2-b b +12=-12(n+1)(n+2)<0,所以S n S n+2<b b +12.(3)解当n 为奇数时,c n =(3b b -2)b bb b b b +2=(3b -2)2b -1b (b +2)=2b +1b +2−2b -1b;当n 为偶数时,c n =b b -1b b +1=b -12b.对任意的正整数n , 有∑b =1b c 2k-1=∑k =1n(22b 2b +1−22b -22b -1)=22b2b +1-1,和∑b =1bc 2k =∑b =1b 2b -14b=14+342+543+…+2b -14b.①由①得14∑b =1bc 2k =142+343+…+2b -34b+2b -14b +1.②由①-②,得34∑b =1bc 2k =14+242+243+…+24b −2b -14b +1=24(1-14b )1-14−14−2b -14b +1,从而得∑b =1bc 2k =59−6b +59×4b .因此∑b =12bc k =∑b =1b c 2k-1+∑b =1bc 2k =4b2b +1−6b +59×4b −49.所以数列{c n }的前2n 项和为4b2b +1−6b +59×4b −49.8.解(1)根据题意可知,第一列构成的等差数列的公差d=b 17-b 23=10-43=2,所以a 1=2,所以第n 行的第1项为2n.由此可知第4行的第1项a 10=8,又a 14为第4行的第5项, 所以每行的公比q=(b 14b 10)14=(116)14=12. 由题意可知,第n 行共有2n-1项,且b n 为第n 行的中间项, 所以b n 为第n 行的第n 项,得b n =2n (12)b -1=b 2b -2.S n =12-1+22+321+…+b -12b -3+b 2b -2, ①则12S n =120+221+322+…+b -12b -2+b 2b -1,②由①-②,得12S n =12-1+12+121+122+…+12b -2−b 2b -1,12S n =2×(1-12b )1-12−2b 2b=4-2b +42b,得S n =8-4b +82b.(2)设c n =(n+1)b n =b (b +1)2b -2,则c n+1-c n =(b +1)(b +2)2b -1−b (b +1)2b -2=(b +1)(2-b )2b -1,可得c 2-c 1>0,c 3-c 2=0,即c 2=c 3>c 1,当n ≥3时,c n+1<c n .由于c 1=4,c 2=c 3=6,c 4=5,c 5=154,即c 2=c 3>c 4>c 1>c 5,当n>6时,c 5>c n ,因为集合M={n|(n+1)b n ≥λ,n ∈N *}的元素个数为4,所以c 5<λ≤c 1,即实数λ的取值范围为(154,4].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(四)数 列
1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13
，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求{b n }的前n 项和．
解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13
，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.
(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13
的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13
＝32－12×3n －1. 2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．
(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；
(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2
k ，n ∈N *
，求证：∑n k ＝11T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2
n ＝a n a n ＋1，
c n ＝b 2
n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，
所以{c n }是等差数列．
(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )
＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝2d ·
n a 2＋a 2n 2 ＝2d 2n (n ＋1)．
所以∑n k ＝11
T k ＝12d 2∑n k ＝11k k ＋1 ＝12d 2∑n k ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2
. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n 2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①
由题意得S n －1·S n ≠0，
①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1
＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1
＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1
. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1
. 4．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．
(1)求q 的值和{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由已知，
有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，
即a 4－a 2＝a 5－a 3，
所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，
故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.
由递推公式得
当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2
k －1＝212n －； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝22
n . 所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 212n -，n 为奇数，22n
，n 为偶数.
(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2
n －1，n ∈N *. 设{b n }的前n 项和为S n ，
则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12
n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：
12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12
－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋2
2n －1，n ∈N *
. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋2
2n －1，n ∈N *.
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2
－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.
(1)求a n ，b n ；
(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，
∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，
∴3n b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，
∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13
n －1，又当n ＝1时，b 1＝3也符合， ∴b n ＝4n －13
n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13
n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13
n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n
＝3＋4·13 1－13n －1 1－13
－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3
n －1. T n －T n ＋1＝4 n ＋1 ＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－ 4n ＋3 3n <0. ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．
又T 3＝599<7，T 4＝649
>7， ∴T n <7时，n 的最大值为3.。