假设检验-方差分析及回归分析

12 ( n 1) 02.99 ( 25) 11.524
2 ( n 1) 2 2 2
拒绝 H0，即有显著差异。
（二） 两个总体 N ( 1 , 1 ) ， 2 2 2 N ( 2 , 2 ) ， 1 ， 2 1 ， 2
例1 某包装机包装葡萄糖，已知袋装 糖重量服从正态分布，当机器正常时， 其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015 公 斤，某日开工后为检验包装机是否正 常，随机抽取它所包装的糖 9 袋，其重 量为： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常？
右边检验与左边检验统称单边检验。
N ( , 2 ) ， 为已知，单边 对于正态总体 x 0 检验的统计量同双边检验的统计量z ， n
但拒绝域不同了，分述如下： 一、右边检验 H 0 : 0 ，H 1 : 0 拒绝域为
[ z , ) ，即当 z z 时，
2
均未知。 2 2 2 2 H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
s 检验统计量 F ， s
若 F F ( n1 1, n 2 1)
2
2 1 2 2
或 F F1 ( n1 1, n 2 1) ，
2
则拒绝 H0。
若
2 2
F1 ( n1 1, n2 1) F F ( n1 1, n2 1) ，
2
H 0 : 40 ， H 1 : 40 拒绝域为 [ z 0.05 , ) ， 查表得 z 0.05 1.645
解
即当 z
x 0
n 今 x 41.25 ， 2 ，n 25 ， 0 40 代入得 z 3.125 1.645 ，所以 在显著性水平 0.05 下拒绝 H 。即燃烧
§3 正态总体方差的假设检验 2 2 均未知。 （一）单个总体 N ( , ) ， 与
H0 : 0 （ 2 2 H1 : 0
2 2
2 0
为已知常数） ，
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
检验统计量 若
2 2 1

2

( n 1) s
02
2 2 2
2
( n 1) 或 ( n 1) ，
第八章 假设检验
第九章 方差分析及回归分析
第八章 假设检验
§1 假设检验
§2 正态总体均值的假设检验
§3 正态总体方差的假设检验
§5 分布拟合检验
§1 假设检验 实际推断原理 概率很小的事件在一
次试验中实际上可认为是不会发生的。本章 的内容，一是已知总体的分布类型，而对包 含的未知参数作某些假设，二是未知总体的 分布类型，而对总体的分布作出假设。 所谓假设检验就是提出假设后，根据实 际推断原理作出接受还是拒绝的判断。
P (犯第I类错误) P (拒绝H 0 H 0 为真 )
即
P{
x 0

n
k } ，其中
0
当 k 值满足等式 P{
x 0

n
k } ，其中
0 ，显然这样的 k 值也必满足上述不等 x 0 ~ N( 0,1) ，由 式，而当 0 时， n
x
z

x 0 n
与
0
无显著差异。统计量

称为检验统计量。
例 1 中的检验可表述为：在给定的显著性水平 下，检验假设 H 0 : 0 ，H 1 : 0
也可说成“在显著性水平 下，针对 H1 检验 H0” 。这样的假设检验称为双边假设检验。所谓 双边是指 H1 包含了两个不等式， 0 或
容量 n 的选择，这就是说，当样本容量 n 指 定的情形下，是无法控制犯第Ⅱ类错误的概 率，而只能控制犯第一类错误的概率，这个 犯第一类错误的概率不会超过预先给定的那 个 。另外，要说明的是：当样本容量固定 时，若要减少犯一类错误的概率，则必会增 大犯另一类错误的概率，要使犯两类错误的 概率都很小，只有增加样本容量。数 称为 显著性水平。通常 取 0.1,0.05,0.01,0.005 x 与 0 有显著差异， 当假设 H0 被拒绝时，则称 H0 被接受时，称
H0 称为原假设或零假设，H1 称为备择假设。
x 样本均值 的大小在一定程度上反映了 x ~ N ( , 2 ) ， x ~ N( , ) ， 由已知
2
的
大小。因此，若 H0 为真，则 x 0 不应太大，
x
n


x
n
n
~ N( 0,1) ，若 H0 为真，则有
~ N ( 0,1) ，如何确定一正数 k，使得，
2 2
s 9200 (小时 ) ，问能否推断这批电
2 2
池寿命的波动性较以往有显著差异？ （取 0.02 ）
解
H 0 : 2 5000 ， H 1 :
2
2
5000
计算
( n 1) s
2 0
2
( 26 1) 9200 46 5000
2 ( n 1) 02.01 ( 25) 44.314 ， 2
解 设这一天生产的袋装糖重量总体 x 的均值和标准差分别为 ， 。由以往 实践表明标准差 较稳定，于是就设 0.015 ，这样，当 0.5 时，说明 机器正常，而当 0.5 时，说明机器不
正常，为此，提出假设：
H 0 : 0 0 .5 , H 1 : 0
H 0 : 1 2 0 ， H 1 : 1 2 0 若 t t ( n1 n 2 2 ) ，则拒绝 H0 2 关于两个总体 N ( 1 , 1 ) ，
左边检验
N ( 2 , 2 ) ， 1 与 2 均已知的
2 2 2
情形在表 8.1 中。
2
的拒绝域为 ( ,1.96] [1.96, ) 临界点为-1.96，1.96 在有的假设检验问题中，备择假设 H1 仅是 一个不等式为宜，这儿分两种情形： 情形一： H0 : 0 H1 : 0 ， 称为右边检验 情形二： H0 : 0 H1 : 0 ， 称为左边检验
等式

z ，即小概率事件在一次试
2
n
验中竟然发生了。这与实际推断原理不符， 于是原假设 H0 不真。
x 若由一次试验得到的观察值
满足
x 0

n n
1 z ，则大概率 事件
2
x 0
z 在一次试验中发生了，此时就
2
没有理由拒绝原假设 H0，只好接受 H0，这同 样有犯错误的可能性，这类错误的性质是 H0 实际上不真，却作出了接多 H0 的判断，称这 类“存伪”的错误为第Ⅱ类错误，犯第一类 错误（ “弃真”错误）的概率是可以预先加以 控制的，而犯第Ⅱ类错误的概率则依赖于样本
x 0
当 满足
x 0

n
k 时，就拒绝 H0，
而
x 0

n
k 时，就接受 H0。
由于作出判断的资料是一个样本，当 H0 为真时，有可能作出拒绝 H0 的判断，这是一 种错误，称为第Ⅰ类错误，自然希望犯这类 错误的概率控制在一定限度之内，即给出一 个较小的数 ( 0 1) ，使得：
标准正态分布分位点的定义得：
k z
2
因而，若观察值 满足
x
x 0

n
z
2
时，拒绝H0，而若
x 0

z
2
n
时接受 H0 。 对于本例，若取 0.05 ，则z 0.025 1.96 ，
n 9 ， 0.015 ， x 0.511 ， 0 0.5 ，
则接受 H0。 右边检验， H 0 :
2 F F ( n1 1, n 2 1) ，则拒绝 H 。 若 0
2 1 2
2 H 1 : 12 2 ，
上述检验法称为 F 检验法。
§5 分布拟合检验
（一） 检验法
2 2
n1 , x , s 12 分别为第一总体的样本容量， 记
样本均值，样本方差；
n 2 , y , s 分别为第二总体的样本容量，
样本均值，样本方差； H 0 : 1 2 0 ， H 1 : 1 2 0 检验统计量 t
2 2
x y
sw
1 1 n1 n 2
其中 s w
0

1.645 时，拒绝 H0。
率有显著提高，此时犯（第一类）错误的 5% 。 概率不会超过
若取 0.005 ， 查表得
z 0.005 2.57 ， 仍有 z 3.125 2.57 ， 所以在显著性水平 0.005 下
也拒绝 H0，从而可断定犯错误的概率 不会超过 0.5% 。
§2 正态总体均值的假设检验
（一）单个总体 N ( , )
2
1
已知（u 检验法） H 0 : 0 ，H 1 : 0
2

检验统计量 u
x 0

n
，
根据样本资料算出 u 值， 若 u z ，则拒绝 H0 2
u z ，则接受 H0 2
右边检验 检验统计量
拒绝 H0，从而接受 H1 H0 : 0 H1 : 0 二、左边检验 ， 拒绝域为
( , z ]
，即当
z z
时，
拒绝 H0，从而接受 H1
例 2 某工厂生产的固体燃料推进器
的燃烧率服从正态分布 N ( 40 , 2 ) ， 现采用新方法生产了一批推进器，从 中任取 n=25 只，测得燃烧率的样本 均值 x 41 .25 ，设新方法下总体标 准差仍为 2，问这批推进器的燃烧率 是否有显著的提高？（ 0.05 ）
( n1 1) s ( n2 1) s ， n1 n2 2
2 1 2 2
若 t t ( n1 n 2 2) ，则拒绝 H0
2
右边检验
H 0 : 1 2 0 ， H 1 : 1 2 0
若 t t ( n1 n 2 2 ) ，则拒绝 H0
则拒绝 H0
2 12 ( n 1) 2 ( n 1) ,则接受 H0 若 2 2 2
上述检验法称
检验法。
例 1 某厂生产某型号电池，其寿命已 知服从方差 5000 (小 时 ) 的正态 分布，现有一批这种电池，从其生产情 况来看，寿命的波动性有所改变，现随 机取 26 只电池，测得样本方差
H 0 : 0 ，H 1 : 0
u
x 0

，
n
若 u z ，则拒绝 H0
左边检验
u z ，则接受 H0 H0 : 0
，
H1 : 0
若 u z ，则拒绝 H0
u z ，则接受 H 0
注 右边检验的 H0 改写为 则拒绝域不变
H0 : 0
，
未知（t 检验法） H 0 : 0 ，H1 : 0 x 0 检验统计量t n
2
2
若 t t ( n 1) ，则拒绝 H0
2
单边检验列在表 8.1(P.205)中。
(二）两个总体 N ( 1 , ) ， N ( 2 , ) ， 2 未知。
0 使检验统计量 z 拒绝原假设 H 所取值 0
的范围称该检验的拒绝域。拒绝域的边界点称 为临界点（值）例 1 中的拒绝域为z z ， 2 即 ( , z ] [ z , ) 2 2
而 z 与 z 为临界点。
2 2
若取 0.05 ，则 z z 0.025 1.96 ，此时
代入有：
x 0

2.2 1.96
n
于是拒绝 H0，即接受 H1： 0.5 ，所以 这天包装机工作不正常。
在上述推理过程中，用到了实际推断原 理，因为 总取得较小，因而若 H0 为真，
x 0

z 是一个小概率事件，今由一次
2
n x 0
x 试验（抽一个样本）得到的观察值 满足不