第六章最优控制-PPT精品
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最优控 u*(制 t)：满足上述条作 件用 u的 (t)。 控制 最优轨 x*(t线 )：在 u*(t)作用下状态方程的解。 最优指 J*： 标沿最优x*(轨 t)，线使性能J所 指达 标到的最
6.2 静态最优控制问题的解 （多元普通函数极值的解法）
静态最优化：J是一个多元普通函数
一、一元函数的极值：
第六章 最优控制
着重介绍最优控制系统的基本概念、基 本理论及其应用。
要点： 1 最优控制的概念 2 变分法 3 极小值原理 4 动态规划 5 线性最优控制器的设计
难点： 线性最优控制器的设计
6.1最优控制问题概述
一、最优控制
（一）最优控制目的
设计一个就某种性能指标或设计指标而言 是最好的系统。即利用u(t)使x(t)选择一条达到 目标的最好途径，即最优轨线。
（二）最优控制问题 一个系统在某些约束条件下寻找它的最好
的控制过程u(t)的问题。
最优控制问题包括：
1、描述受控系统的状方态程
x(t) f x(t),u(t),t
2、评价性能指标目 好标 坏泛 的函数
J＝[x(tf
)]
tf t0
L[x(t),u(t),t]dt
式中x(： t),u(t)是t的函数 J是， x(t),u(t)的函数
H
x H
u
H
f x f u
(g x
(g u
g (x,u
)T )T )0
0 0
[例 6－ 2]求J使 f(x,u)12xTQ1x12uTQ2u取极x值 *和 u的 *。 它满足约 g(x束 ,u)条 x件 Fud0，其 Q1， 中 Q2均为正 矩阵 F为 ，任意矩阵。
f x2
10 x2
2 x3
6
0
f x3 2 x3 2 x2 2 x1 0
x1 1, x2 1, x3 2
联立解得
故极值点为 x* 1 1 2T 。
又从 2fx 2xf2 得海赛矩阵
4 0 2
2f x2
0
10 2
2 2 2
是正定的x。 1 故 1 －2T为极小x值 *, f的 点极小 f* 值f(x*)0
（3）可变终端： x(t f ) f
其中 f
u(t) j ( x,u)0
是由约束条件 j (x,u) 0所形成的一个目标集。
（二）给出目标函数
1、性能指标表达式：
J
[x(t f )]
tf t0
L[x(t),u(t),t]dt
N 1
J [x(N)] L[x(k),u(k),k]
2、讨论： k0
2.控制作用域 （1）控制集U
U u(t) j (x,u)0
U是在Rr空间中，满足某些约条束件j (x,u) 0
( j 1,2, m)的点u(t)的集合。 （2）容许控制: 属于U的u(t)，即u(t) U
3、始端条件：
（1）固定始端：最优的 控初 制始时t刻 0和初始状x态(t0)都给定。
说明： （1）H称为拉格朗日函数是，一它个没有约束的函数 （2）用H所求的极值就是目数标的函极值。
因为可证明，将求x*， 出u的 *，*代入Tg(x,u) 0
（二）拉格朗日函数H极值的解法
H 存在极值的必要条件是
：
பைடு நூலகம்
（ 1） H 0，（ 2） H 0，（ 3） H 0
x
u
将必要条件展开得：
J是函数的函数函 ，数 称， 为简 泛称泛函。
（三）最优控制类型
1、静态最优控制：输出与输入关系为代数方程，目标函 数为普通函数。
2、动态最优控制：输出输入关系为微分方程，J为泛函数。
二、研究最优控制的前提条件 （一）已知约束条件：
1、受控系统的状态方程 连续时间系x(t统 )： f[x(t),u(t),t] 离散时间系x(k统1： ) f[x(k),u(k),k]
（2）自由始端：在给 t0情定况下， x(t0)可以任意取值，不制 受。 限
（3）可变始端x： (t0)0，x(t0)满足某些约束条件
j[x(t0)]0，j 1,2, ,m
相应的始端集0
u(t) j (x,u)0
4、终端条件：
（1）固定终端： t f 和x(t f )都给定
（2）自由终端： t f 给定，x(t f )可任意取值
它取极值的必要必要条
件是 f 0 u
或函数的梯度为零向量
：
f f
fu
[ u1
, u2
,
f ]T ＝ 0 un
取极小值的充要： 条 uf ＝件 0， u2是 f2 0 即下列海德矩阵矩为阵正定
2 f
u12
2 f u2
2 fu
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2
2 f
u22
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
[例 6－1]设 f f ( x ) 2 x12 5 x2 2 x33 2 x2 x3 x3 x1 6 x2 3, 试求 f的极值点及其极小值。
解：由极值必要条件 f x 0得
f x1 4 x1 2 x3 0
设J f (u)为定义在闭区间[a,b]上的单值连续可微函数 则存在极值点u*的必要条件是 f (u) uu* 0 u*的极小值点充要条件是f (u) 0, f (u) 0
二、多元函数的极值
设 n 元函数 f f ( u )， u [ u 1 , u 2 u n ]T 为 n 维列向量。
（1）第一项为终端指数 标， 函称为终端项。在 保终 证端时t刻f 时，系统的终端状与 态给 能定的终端状态接 尽近 量。
（2）第二项为动态指数 标， 函称为积分项。系 保统 证的某些
综合性能。
（3）仅有终端项时， J为称终端型性能指标有 ，积 仅分项时，
称J为积分型性能指标。
小结： 最优控制问题可：供就选是择从的容U中 许， 控寻 制 控制向 u(t)， 量使受控系统[t0， 在tf ]时 内间 ，域 从x(初 t0) 转移到x(终 tf ) 态 f时，性能 J取指最标小（大）
三、具有等式约束条件极值的解法－－拉格朗日乘子法
将具有等式约束条件的极值问题化为约束条件的极值问
题来求解 （一）拉格朗日函数
已知
连续可微的目标函数为
J f (x,u) (1)x n维，u r维
等式约束条件为
g(x,u) 0 (2)gn维向量函数
用乘子向量 乘等式约束并与目 数标 相函 加，构成一个 数H新： HJ Tg f (x,u)Tg(x,u) 是与g同维的列向量。
6.2 静态最优控制问题的解 （多元普通函数极值的解法）
静态最优化：J是一个多元普通函数
一、一元函数的极值：
第六章 最优控制
着重介绍最优控制系统的基本概念、基 本理论及其应用。
要点： 1 最优控制的概念 2 变分法 3 极小值原理 4 动态规划 5 线性最优控制器的设计
难点： 线性最优控制器的设计
6.1最优控制问题概述
一、最优控制
（一）最优控制目的
设计一个就某种性能指标或设计指标而言 是最好的系统。即利用u(t)使x(t)选择一条达到 目标的最好途径，即最优轨线。
（二）最优控制问题 一个系统在某些约束条件下寻找它的最好
的控制过程u(t)的问题。
最优控制问题包括：
1、描述受控系统的状方态程
x(t) f x(t),u(t),t
2、评价性能指标目 好标 坏泛 的函数
J＝[x(tf
)]
tf t0
L[x(t),u(t),t]dt
式中x(： t),u(t)是t的函数 J是， x(t),u(t)的函数
H
x H
u
H
f x f u
(g x
(g u
g (x,u
)T )T )0
0 0
[例 6－ 2]求J使 f(x,u)12xTQ1x12uTQ2u取极x值 *和 u的 *。 它满足约 g(x束 ,u)条 x件 Fud0，其 Q1， 中 Q2均为正 矩阵 F为 ，任意矩阵。
f x2
10 x2
2 x3
6
0
f x3 2 x3 2 x2 2 x1 0
x1 1, x2 1, x3 2
联立解得
故极值点为 x* 1 1 2T 。
又从 2fx 2xf2 得海赛矩阵
4 0 2
2f x2
0
10 2
2 2 2
是正定的x。 1 故 1 －2T为极小x值 *, f的 点极小 f* 值f(x*)0
（3）可变终端： x(t f ) f
其中 f
u(t) j ( x,u)0
是由约束条件 j (x,u) 0所形成的一个目标集。
（二）给出目标函数
1、性能指标表达式：
J
[x(t f )]
tf t0
L[x(t),u(t),t]dt
N 1
J [x(N)] L[x(k),u(k),k]
2、讨论： k0
2.控制作用域 （1）控制集U
U u(t) j (x,u)0
U是在Rr空间中，满足某些约条束件j (x,u) 0
( j 1,2, m)的点u(t)的集合。 （2）容许控制: 属于U的u(t)，即u(t) U
3、始端条件：
（1）固定始端：最优的 控初 制始时t刻 0和初始状x态(t0)都给定。
说明： （1）H称为拉格朗日函数是，一它个没有约束的函数 （2）用H所求的极值就是目数标的函极值。
因为可证明，将求x*， 出u的 *，*代入Tg(x,u) 0
（二）拉格朗日函数H极值的解法
H 存在极值的必要条件是
：
பைடு நூலகம்
（ 1） H 0，（ 2） H 0，（ 3） H 0
x
u
将必要条件展开得：
J是函数的函数函 ，数 称， 为简 泛称泛函。
（三）最优控制类型
1、静态最优控制：输出与输入关系为代数方程，目标函 数为普通函数。
2、动态最优控制：输出输入关系为微分方程，J为泛函数。
二、研究最优控制的前提条件 （一）已知约束条件：
1、受控系统的状态方程 连续时间系x(t统 )： f[x(t),u(t),t] 离散时间系x(k统1： ) f[x(k),u(k),k]
（2）自由始端：在给 t0情定况下， x(t0)可以任意取值，不制 受。 限
（3）可变始端x： (t0)0，x(t0)满足某些约束条件
j[x(t0)]0，j 1,2, ,m
相应的始端集0
u(t) j (x,u)0
4、终端条件：
（1）固定终端： t f 和x(t f )都给定
（2）自由终端： t f 给定，x(t f )可任意取值
它取极值的必要必要条
件是 f 0 u
或函数的梯度为零向量
：
f f
fu
[ u1
, u2
,
f ]T ＝ 0 un
取极小值的充要： 条 uf ＝件 0， u2是 f2 0 即下列海德矩阵矩为阵正定
2 f
u12
2 f u2
2 fu
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2
2 f
u22
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
[例 6－1]设 f f ( x ) 2 x12 5 x2 2 x33 2 x2 x3 x3 x1 6 x2 3, 试求 f的极值点及其极小值。
解：由极值必要条件 f x 0得
f x1 4 x1 2 x3 0
设J f (u)为定义在闭区间[a,b]上的单值连续可微函数 则存在极值点u*的必要条件是 f (u) uu* 0 u*的极小值点充要条件是f (u) 0, f (u) 0
二、多元函数的极值
设 n 元函数 f f ( u )， u [ u 1 , u 2 u n ]T 为 n 维列向量。
（1）第一项为终端指数 标， 函称为终端项。在 保终 证端时t刻f 时，系统的终端状与 态给 能定的终端状态接 尽近 量。
（2）第二项为动态指数 标， 函称为积分项。系 保统 证的某些
综合性能。
（3）仅有终端项时， J为称终端型性能指标有 ，积 仅分项时，
称J为积分型性能指标。
小结： 最优控制问题可：供就选是择从的容U中 许， 控寻 制 控制向 u(t)， 量使受控系统[t0， 在tf ]时 内间 ，域 从x(初 t0) 转移到x(终 tf ) 态 f时，性能 J取指最标小（大）
三、具有等式约束条件极值的解法－－拉格朗日乘子法
将具有等式约束条件的极值问题化为约束条件的极值问
题来求解 （一）拉格朗日函数
已知
连续可微的目标函数为
J f (x,u) (1)x n维，u r维
等式约束条件为
g(x,u) 0 (2)gn维向量函数
用乘子向量 乘等式约束并与目 数标 相函 加，构成一个 数H新： HJ Tg f (x,u)Tg(x,u) 是与g同维的列向量。