三角函数图像与性质复习学案

《三角函数的图像与性质》复习

【知识梳理】

当x ＝____________________________________时，取最大值1；

当x ＝____________________________________时，取最小值－1.

3．余弦函数y ＝cos x

当x ＝__________________________时，取最大值1； 当x ＝__________________________时，取最小值－1.

【考点巩固训练】

考点1 三角函数的单调性

例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

π4－x 的单调递减区间．

跟踪练习

(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π

3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫

π6－x 4的周期及单调区间．

考点2 三角函数的值域与最值

例2 求函数y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π

2

]的值域：

跟踪练习 求下列函数的值域： (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2； (2)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .

例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π

2

]，函

数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．

跟踪练习 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，

试确定g (x )＝b sin(ax ＋π

3

)的周期．

《三角函数的图像与性质》参考答案

例1 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．

解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 2sin()4

x π

=--，设u ＝4x π- 则2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤4

x π-≤2k π＋π

2 (k

∈Z )，

得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π

4 (k ∈Z )，

即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递减区间为[2k π－π4,2k π＋3π

4

](k ∈Z )

变式迁移 解 (1)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，

又x ∈[－π，π]，

∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，11

12π≤x ≤π.

∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为

⎣⎡⎦⎤－π，－712π，⎣⎡⎦⎤－π12，512π，⎣⎡⎦

⎤1112π，π.

(2)函数y ＝3tan ⎝⎛⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪

⎪

－14＝4π. 由y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， 由－π2＋k π

3

π＋4k π，k ∈Z ，

∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫

π6－x 4的单调递减区间为

⎝⎛⎭

⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )．

例2y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π

6

)

所以函数y ＝3cos x －3sin x ，（x ∈R ）的值域为[－23，23]．

互动探究 ∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π

3

，

∴－12≤cos(x ＋π6)≤32

∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．

变式迁移 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－1

2

，cos x ∈[－1,1]． 当cos x ＝1时，y max ＝4，

当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－1

2

，4]．

(2)令t ＝sin x ＋cos x ＋

4

π

)，则－2≤t ≤2s ，且. in x cos x ＝t 2－1

2

∴y ＝t ＋t 2－12＝1

2

(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；

当t ＝2时，y max ＝12＋ 2. ∴函数值域为[－1，1

2

＋2]．

方法总结：

1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值． 2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．

例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)