解某些特殊稀疏线性系统的数值解法
求解绝对值方程组稀疏解的两种算法
第５ 期
天 津 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＴＬ ＮＪ Ｄ ＵＮⅣ ＥＲＳ Ｉ ＴＹ ｏＦ ＴＥＣＨＮｏＬｏＧＹ
Ｖｏ １ ． ３ １ Ｎｏ ． ５
０ｃ ｔ ． ２ ０ｌ ５
２ ０ １ ５年 １ ０月
文章编号 ： １ ６ ７ ３ － ０ ９ ５ Ｘ（ ２ ０ １ ５） ０ ５ — ０ ０ ５ ７ — ０ ４
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ０ ７ ２ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
了该 方法实质上是 求解一个线性规 划问题 ； 其二是重新加权的 ｚ 方法彳４ 用一 个凹函数 来逼近 ｌ ｌ ｌ ｌ 。 ， 并且 对该 凹函数 进行线性化近似 ， 通过求解一 系列的线性规 划 问题来找到绝对值方程组 的稀疏 解． 文 中给 出了两种方法的联 系． 数值 试
验 的结果表 明： 两种算法均是 求解 绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法．
关 键 词 ：绝对 值 方 程 组 ； 稀疏解 ； ２ １ 方法； 凹极 小 化 ； 重新加权的 ｆ １ 方法
中图分类号 ： Ｏ ２ ２ １ ． ２
文献标识码 ： Ａ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ０ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ — ０ ９ ５ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ５ ． ０ １ ２
ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ．Ｔ ｈ ｅ ｍａ ｉ ｎ ｐａ ｒ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈｉ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｉ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ａ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐｒ ｏｇ ｒ ａ ｍ ｍｉ ｎ ｇ ．Ｔｈ ｅ ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｗｏ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄｓ
求解大规模稀疏线性方程组的新方法与实现
求解大规模稀疏线性方程组的新方法与实现大规模稀疏线性方程组是数学、科学和工程领域中的一个重要问题，它比较复杂，需要使用高级数学和计算技术才能求解。
传统的直接求解方法在大规模稀疏线性方程组中遇到了困难。
因此，寻找一个更加高效的方法是求解大规模稀疏线性方程组面临的一个挑战。
目前，有许多大规模稀疏线性方程组求解的方法，其中比较常用的是迭代法和预处理法。
但是这些方法在求解复杂问题时，可能存在一些缺陷。
比如，它们可能需要长时间的计算，或者需要更多的存储空间。
因此，研究者们一直在努力寻找更加高效的方法，以更快、更准确、更稳定地求解大规模稀疏线性方程组。
最近，一些新方法被开发出来，以解决大规模稀疏线性方程组的困境。
其中一种是迭代refinement方法。
此方法是在先前已解过的方程组解的基础上进行计算，如此反复迭代直到满足精度要求。
该方法能够快速收敛、具有更小的内存需求，特别适用于求解非对称稀疏线性方程组的生产问题。
该方法最显著的优势是可以并行化实现，能够方便快捷地应用于大型计算机上的并行计算。
另外，还有一种名为基于Galerkin加权的矩阵预处理技术，该技术旨在加速迭代解法的收敛速度，例如，双共轭梯度法。
此方法也是利用预处理因子的方式减少方程组求解的计算量。
通过构造适当的矩阵加权器，可以在计算中快速抑制方程组的振荡。
矩阵加权器的构造具有很好的自适应性，因此，能够适应复杂问题求解的需要。
为了实现这些新的求解方法，需要有适合的算法，并且需要使用高性能的计算硬件。
另外，还需要使用并发、分布式和云计算等技术，以处理和分析大型数据规模和计算负载。
特别是在生产环境中，各种方法和算法的实现和部署需要紧密合作，才能实现更高效的目标。
总之，由于计算机科学和数学的进步，现在已经可以开发出更高效的大规模稀疏线性方程组求解方法。
这些方法不仅能够提高求解的速度和精度，与此同时还可以节省计算和存储资源，从而为更广泛的应用提供更多的可能性。
关于稀疏线性方程组求解
稀疏线性方程组求解法稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
在高层建筑、桥梁、水坝、防洪堤的结构设计中，需对变形与应力情况进行模拟；在油气资源探测与分析、数值天气预报、飞行器的动力学分析中，需利用流体力学方程组进行模拟;在进行恒星大气分析与核爆实验时，常需利用辐射流体力学与粒子统计平衡等规律进行模拟。
在对这些问题进行分析模拟时，通常利用偏微分方程建立数学模型。
在对偏微分方程的离散求解过程中，稀疏线性方程组求解算法扮演着十分重要的角色。
在许多不以偏微分方程建模的问题中，稀疏线性方程组求解同样发挥了重要的作用。
在空中交通控制、电力线路中的最优电流问题中，需利用数学规划求解;在对采纳某项政策时在某给定条件下对国内、国际多个区域的相应经济指标进行预测时，需利用CGE模型进行分析；在可靠性分析、排队网络分析与计算机系统性能评估中，常利用具有大量状态的离散Markov链进行模拟。
在这些问题的求解中，稀疏线性方程组的求解都占有重要位置，并且往往是整个计算过程中的性能瓶颈，稀疏线性方程组的高效求解是计算数学和工程应用中十分重要的课题之一。
解稀疏线性方程组的方法包括直接法(direct method)与迭代(iterative method)两类。
直接法指在不考虑计算舍入误差的情况下，通过包括矩阵分解和三角方程组求解等有限步的操作求得方程组的精确解，因此又称精确法;迭代法指给定一个初始解向量，通过一定的计算构造一个向量列(一般通过逐次迭代得到一系列逼近精确值的近似解)，向量列的极限为方程组理论上的精确解。
迭代法对存储空间的需求低，在求解高阶非病态（求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵A的条件数K(A)=‖A-1‖*‖A‖的大小,其中‖‖表示对矩阵取某一种范数。
K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
用MKL求解稀疏线性系统
用MKL 求解稀疏线性系统并行直接求解器pardiso(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a, ia, ja, perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error)线性系统为: {a, ia, ja}x = b输入： {a, ia, ja}: 定义一个以行为主存储的稀疏矩阵b: 数组，线性系统的右边mtype ：矩阵{a, ia, ja}类型：实数／复数，对称／非对称／Hermitian ，正定／非正定phase: 求解阶段。
求解时，用不同的phase 值调用pardiso 多次。
nrhs: 同时求解多个类似的线性系统：{a, ia, ja}（1x ，1x …nrhs x ） =（1b ，1b …nrhs b ）输出： x: 数组，解向量注：a ，b ，x 均以双精度存储详见非对称稀疏系统求解函数。
稀疏矩阵存储格式：1. 以行为主的存储格式：｛values, columns, rowIndex ｝ values: 非零元素值数组 columns: 整型数组，columns[i]为values[i]所在列号（索引）。
注意：首列索引(列号)为1（而不是0）rowIndex: 整型数组，rowIndex[i]为第i 行元素首个非零元素在values 中的索引，即values[rowIndex[i]]为第i 行首个非零元素值例：A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0.50.00.00.80.00.00.70.20.00.40.40.60.40.00.00.00.00.00.50.20.00.30.00.10.1int rowIndex[ 6] = { 1, 4, 6, 9, 12, 14 };int columns[13] = { 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 2, 5 };double values[13] = { 1.0, -1.0, -3.0, -2.0, 5.0, 4.0, 6.0, 4.0, -4.0, 2.0, 7.0, 8.0, -5.0 };2.以列为主的存储格式。
关于稀疏线性方程组求解
稀疏线性方程组求解法稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
在高层建筑、桥梁、水坝、防洪堤的结构设计中，需对变形与应力情况进行模拟；在油气资源探测与分析、数值天气预报、飞行器的动力学分析中，需利用流体力学方程组进行模拟;在进行恒星大气分析与核爆实验时，常需利用辐射流体力学与粒子统计平衡等规律进行模拟。
在对这些问题进行分析模拟时，通常利用偏微分方程建立数学模型。
在对偏微分方程的离散求解过程中，稀疏线性方程组求解算法扮演着十分重要的角色。
在许多不以偏微分方程建模的问题中，稀疏线性方程组求解同样发挥了重要的作用。
在空中交通控制、电力线路中的最优电流问题中，需利用数学规划求解;在对采纳某项政策时在某给定条件下对国内、国际多个区域的相应经济指标进行预测时，需利用CGE模型进行分析；在可靠性分析、排队网络分析与计算机系统性能评估中，常利用具有大量状态的离散Markov链进行模拟。
在这些问题的求解中，稀疏线性方程组的求解都占有重要位置，并且往往是整个计算过程中的性能瓶颈，稀疏线性方程组的高效求解是计算数学和工程应用中十分重要的课题之一。
解稀疏线性方程组的方法包括直接法(direct method)与迭代(iterative method)两类。
直接法指在不考虑计算舍入误差的情况下，通过包括矩阵分解和三角方程组求解等有限步的操作求得方程组的精确解，因此又称精确法;迭代法指给定一个初始解向量，通过一定的计算构造一个向量列(一般通过逐次迭代得到一系列逼近精确值的近似解)，向量列的极限为方程组理论上的精确解。
迭代法对存储空间的需求低，在求解高阶非病态（求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵A的条件数K(A)=‖A-1‖*‖A‖的大小,其中‖‖表示对矩阵取某一种范数。
K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
求解绝对值方程组稀疏解的两种算法
求解绝对值方程组稀疏解的两种算法廖芸;刘晓红;李文娟【摘要】本文给出了提出了求解绝对值方程组稀疏解的两种算法：其一是l 1方法。
利用‖x‖1来逼近‖x‖0，文中证明了该方法实质上是求解一个线性规划问题；其二是重新加权的l 1方法。
利用一个凹函数来逼近‖x‖0，并且对该凹函数进行线性化近似，通过求解一系列的线性规划问题来找到绝对值方程组的稀疏解。
文中给出了两种方法的联系。
数值试验的结果表明：两种算法均是求解绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法。
%In this paper, two methods for solving sparse solution of absolute value equations are proposed. One of these methods is l1 method in which ‖x‖1 is used to approximate ‖x‖ 0 . It is proved that in fact l1 problem is a linear programming. The other method is a reweighed l1 method in which a concave function is used to approximate‖x‖0 . By using linearization technique to the concave function, an algorithm for finding sparse solution of absolute value equations is proposed. The main part of this algorithm is solving a series of linear programming. The collections between the two methods are given. The results of the numerical experiments about these two methods are given which showthat the two methods are all very efficiently in finding sparse solution of absolute value equations.【期刊名称】《天津理工大学学报》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】4页(P57-60)【关键词】绝对值方程组;稀疏解;l1方法;凹极小化;重新加权的l1方法【作者】廖芸;刘晓红;李文娟【作者单位】天津大学理学院数学系，天津 300072;天津大学理学院数学系，天津 300072;天津大学应用数学中心，天津 300072【正文语种】中文【中图分类】O221.2绝对值方程组（AVE）具有如下形式：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量.对于绝对值方程组是一类特殊的非线性、非光滑方程组，它与互补问题之间有着紧密联系，互补问题可以说是绝对值方程的主要来源之一.Mangasarian及Rohn[1-2]指出了在一定条件下，绝对值方程组与线性互补问题是等价的，这是非常重要的一个结果.互补问题属于运筹学和计算数学的交叉领域，在力学、工程、经济、交通等诸多领域都有着广泛的应用.从这个角度讲，绝对值方程组具有重要的应用价值.另外，绝对值方程组还涵盖了线性规划、二次规划、双矩阵对策等许多方面的问题，在金融、工程等许多领域有着广泛的应用.因此，绝对值方程组问题是具有重要实际应用背景、非常值得研究的问题，近年来国内外学者对绝对值方程组的求解及其它的性质有着浓厚的兴趣，得到了不少好的研究成果[1-8].其中，Mangasarian领导的研究组工作非常突出[2-5].“稀疏”是目前优化领域比较热的话题，越来越多的国内外学者来研究各种问题的稀疏解.在现有的研究成果中，更多的是关于线性方程组稀疏解的研究.寻找线性方程组的最稀疏解，就是求解如下的优化问题：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量，‖x‖0指x中非零分量的个数.由于（2）是NP难的问题，国内外学者设计了各种效用函数来逼近‖x‖0，通过求解（2）的近似优化问题找到线性方程组的最稀疏解.其中常用的一个效用函数就是‖x‖1，由于‖x‖1是‖x‖0在区域{x：‖x‖∞＜1}上的凸包，因此（2）转换为如下的l1问题：可以证明：（3）实质上是一个线性规划问题（LP），因此它的求解非常容易.关于l1方法，除了算法方面的研究成果，还有很多文献研究了RIP，NSP等各类精确恢复条件，可以参见文献[9-14].文献[14]中用到的一类效用函数是满足一定要求的凹函数，利用凹函数的线性化近似，（2）转换为一个线性规划问题.在文献[14]的算法中，是通过求解一系列的线性规划问题来找到线性方程组的稀疏解的，该算法实质上是一个加权的l1算法.本文研究的绝对值方程组的稀疏解.寻找绝对值方程组的最稀疏解，就是求解如下的优化问题：其中A∈Rn×n，b∈Rn是给定的n阶矩阵和n维向量.目前关于绝对值方程组稀疏解的研究成果并不多，文献[15]是其中之一.受到求解线性方程组稀疏解时所用方法的启发，本文分别用‖x‖1和一个凹函数逼近‖x‖0，得到求解绝对值方程组稀疏解的两种算法.文中证明了：相应的问题实质上仍然是一个线性规划问题.相应的凹函数极小化方法仍然是求解一系列的线性规划，其实质依然是一个加权的方法.数值试验的结果表明，两种算法均是寻找绝对值方程组稀疏解的非常有效的算法. 用‖x‖1作为效用函数逼近‖x‖0，得到求解绝对值方程组稀疏解的l1算法，相应的l1问题如下：考虑下的线性规划问题：有以下结论.也就是说，如果找到中使得‖x‖1最小的x，则是（l1）″的最优解；反之，如果是（l1）″的最优解，则x是（l1）问题的最优解.由（l1）′和（l1）″的等价性得定理的结论.注：将（l1）问题转化为上述线性规划问题具有重要的理论价值，它为进一步讨论绝对值方程组稀疏解的精确恢复条件，如RIP条件、RSP条件等奠定了良好的基础.算法1（求解绝对值方程组稀疏解的l1算法）求解线性规划问题（l1）′.在本部分中，首先给出一个凹函数来逼近‖x‖0，然后利用该凹函数的一阶泰勒展式，用一个线性函数来近似该凹函数.文中用到如下的凹函数：其中p∈（0，1），ε＞0.在文献[16]中，作者提出了一类凹函数来逼近，上述函数是其中之一.接下来的推导说明：可以用类似于文献[16]的算法框架来求解绝对值方程组的稀疏解.引理1 时，fε（x）是凹函数；并且fε（x）关于每个分量xi都是严格单调增的. 证明：容易得到：对于任意的中非负向量的集合），fε（x）的梯度和海塞阵的表达式如下：由此可以得到结论.利用凹函数fε（x）逼近‖x‖0，得到如下的（l0）问题的逼近问题：定理2 式（7）等价于如下优化问题：证明：由引理1，时，fε（x）关于每个分量xi都是严格单调增的.因此在最优解处处，一定有v=，则（8）等价于：从而容易看到（7）和（8）的等价性.在点vk处，对fε（v）进行一阶泰勒展开：利用线性函数fε（vk）+▽fε（vk）T（v-vk）近似fε（v），从而（8）被近似为如下的线性规划：求解（9），得到下一个迭代点（xk+1，vk+1）.求解绝对值方程组稀疏解的重新加权的l1算法如下：算法2（求解绝对值方程组稀疏解的重新加权的l1算法）步骤1：选取α，ε*，ε0∈（0，1），初始点（x0，v0）∈令k=0.步骤2：在当前的迭代点（xk，vk），求解线性规划（3.6）得到下一个迭代点（xk+1，vk+1）.步骤3：如果‖vk+1-vk‖＜ε*或者εk＜ε*，终止计算，输出xk+1；否则，令εk+1=αεk及k=k+1，进行步骤2.注意到（l1）′和（9）均为线性规划，两个问题的约束条件一样，仅是目标函数不同.（l1）′的目标函数为的目标函数为▽fε（vk）Tv=由此可以看到：重新加权的l1算法中，当迭代点（xk，vk）中vk各个分量的值相同时，求解的线性规划（9）即为（l1）′.尤其是当选取初始点（x0，v0）时，如果v0各个分量的值相同，则求解的第一个线性规划即为（l1）′.本部分中，通过数值试验结果说明上述两种算法的有效性.首先，随机地产生A∈R250×250，b∈R250以及k稀疏的向量x∈R250（即非零分量的个数至多为k个）.令A中的元素，以及x的非零分量均值为零，方差为1的i.i.d高斯随机变量.生成x之后，令接下来，分别用文中的算法1和算法2求解，算法中的线性规划用CVX（一个用于求解凸规划的工具）求解.在算法2中，参数如下选取：α=0.5，ε0=0.01，ε*= 10-5.对于给定的k稀疏向量x，通过某算法得到的解是xk，当满足下述要求时，认为通过该算法成功地恢复了x：对于给定的k，随机地产生200个问题，通过成功恢复的比例（恢复率）来对算法1和算法2进行比较，数值试验结果如表1所示.本文将求解线性方程组稀疏解的l1算法和重新加权的l1算法延伸来求解绝对值方程组的稀疏解.对两种算法，文中作了理论推导，并且作了数值试验.数值试验的结果表明：当k值不太大时，算法1和算法2的恢复率都非常高，因此它们都是求解绝对值方程组稀疏解很好的算法.从恢复率上看，两种算法的计算效果相近，没有显著区别；对于算法1和算法2，随着k的增大，恢复率都在减小；对于算法2，p的取值对算法的计算效果有影响，但没有太大区别.虽然从恢复率上看，算法1和算法2具有相近的计算效果.但是，从计算时间上看，对于同一个问题，由于算法1只需要求解一个线性规划，而算法2往往需要求解多个线性规划，因此一般来讲，算法1需要花费的时间要比算法2少些.总体来看，算法1要优于算法2.【相关文献】［1］Rohn J.A theorem of the alternatives for the equation Ax+=b）［J］．LinearandMultilinearAlgebra，2004，52（6）：421-426．［2］Mangasarian O L，Meyer R R.Absolute value equations［J］．Linear Algebra and its Applications，2006，419（5）：359-367．［3］Mangasarian O L.Absolute value programming［J］．Computational Optimization and Applications，2007，36（1）：43-53．［4］Mangasarian O L.Absolute value equation solution via concave minimization ［J］．Optimization Letters，2007，1（1）：3-8．［5］Mangasarian O L.A generalized newton method for absolute value equations ［J］．Optimization Letters，2009，3（1）：101-108．［6］Rohn J.An algorithm for solving the absolute value equation［J］．Electronic Journal of Linear Algebra，2009，18：589-599．［7］Rohn J.On unique solvability of the absolute value equation［J］．Optimization Letters，2009，3（4）：603-606．［8］Hu S L，Huang Z H.A note on absolute value equations［J］.Optimization Letters，2010，4（3）：417-424.［9］Candes E，Romberg J，Tao T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59（8）：1207-1223.［10］CandesE，RombergJ，TaoT.Robustuncertainty principles：Exactsignalreconstructionfromhighlyincompletefrequency information［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.［11］Donoho D，Elad M.Optimality sparse representation in general（non-orthogonal）dictionaries via l1minimization［J］. Proceeding of the National Academy of Sciences of the U-nited States of America，2003，100（9）：2197-2202.［12］Donoho D，Huo X.Uncertainty principles and ideal atomic decomposition ［J］.IEEETransactionsonInformationTheory，2001，47（7）：2845-2862.［13］ZhangY.Theoryofcompressivesensing via l1-minimization：A Non-RIP analysis and extensions［J］.Journal of the Operations Research Society of China，2013，1（1）：79-105.［14］Zhao Y B，Li D.Reweighted l1-minimization for sparse solutions to underdetermined linear systems［J］.SIAM Journal on Optimization，2012，22（3）：1065-1088.［15］Zhang M，Huang Z H，Li Y F.The sparsest solution to the system of absolute value equations［J］.Journal of the Operations Research Society of China，2015，3（1）：31-51.。
pbgs方法
pbgs方法标题：PBGS方法详解及其应用一、引言PBGS，全称为“Preconditioned Bi-Conjugate Gradient Stabilized”（预条件双共轭梯度稳定法），是一种在数值线性代数领域广泛应用的迭代解法，主要用于求解大型稀疏线性系统Ax=b。
这种方法结合了BiCGstab算法和预处理技术的优点，有效提高了求解效率和稳定性，尤其在大规模科学计算和工程问题中表现出色。
二、PBGS方法原理PBGS方法是基于Krylov子空间理论的一种迭代算法，通过构造一系列与系数矩阵A相关的向量子空间，逐步逼近原问题的解。
相较于传统的共轭梯度法，它在处理非对称或病态线性系统时具有更好的收敛性和稳定性。
而预处理技术则通过构造一个与原矩阵相似但条件数更优的矩阵，进一步改善了算法的性能。
三、PBGS方法步骤1. 初始化：设置初始猜测解x0和残差r0=b-Ax0，以及相应的搜索方向p0=r0。
2. Krylov子空间迭代：对于k=0,1,2,...，在预处理后的Krylov子空间上进行迭代计算，包括搜索方向更新、残差估计以及解的更新等步骤。
3. 预处理：在每一步迭代过程中，利用预处理矩阵对搜索方向和残差进行操作，以改善系统的条件数。
4. 收敛判断：当满足预设的收敛精度或者达到最大迭代次数时，停止迭代，并输出当前的解作为近似解。
四、PBGS方法的应用PBGS方法广泛应用于流体力学、电磁场仿真、结构力学、图像处理、优化问题等领域中的大型稀疏线性方程组求解。
例如，在有限元分析中，模型的离散化通常会产生大规模稀疏线性系统，采用PBGS方法可以高效准确地求解这些系统。
五、结论PBGS方法以其优良的收敛特性、高效的计算性能以及对大型稀疏线性系统出色的适应能力，在众多科学计算领域中扮演着重要角色。
随着计算机科学与工程技术的发展，PBGS方法的研究与应用将更加深入，为解决各类复杂问题提供有力的数学工具支持。
有限元法与偏微分方程的数值解法
有限元法与偏微分方程的数值解法在现代科学技术中，物理和工程问题通常涉及到方程的解析解。
然而，有很多复杂的问题，没有精确的解析解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法来解决问题。
其中，有限元法（Finite Element Method，FEM）被广泛应用于求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的数值解法。
有限元法是一种数值解法，用于解决连续介质（如固体、液体和气体）的差分方程。
它通常涉及将整个计算域分成许多小区域，称为有限元。
这些有限元被视为形状简单的几何单元（如三角形、四边形、六边形等），并且为每个元素分配了未知值。
在有限元方法中，偏微分方程被转换为一个离散方程，其中未知数在局部有限元中定义。
该方法通常涉及将初始有限元网格粗略地分配到整个计算区域，以构建数值解的近似值。
我们可以使用数学方法，如高斯消元法或迭代方法，来求解这个离散的线性系统。
有限元方法在许多领域中发挥着重要作用，包括结构力学、流体力学、电磁学、信息学和生物工程等。
它可以用于求解几乎所有类型的PDE，例如：椭圆、双曲和抛物型等。
在有限元方法中，解取决于网格的精度。
对于较小的网格，精度较高，但计算时间较长；反之亦然。
因此，在选择网格时需要进行权衡。
此外，一个好的网格应该是稳定的，能够保证数值解的收敛性和精度。
一些常见的有限元方法包括：显式和隐式欧拉方法、二阶Runge-Kutta 方法和高阶方法等。
这些方法主要涉及将初始条件和边界条件应用到整个计算区域。
作为一种广泛使用的数值解法，有限元法已经成为许多计算机辅助工程计算软件的主要工具，例如有限元分析软件 ANSYS 等。
此外，计算机的性能提高了许多，使得我们能够处理更多的网格和更大的计算域。
结论有限元法是一种强大的数值解法，可用于求解广泛的物理和工程问题。
然而，对于不同的应用，有不同的适用条件和精度要求。
因此，在设计计算方案之前，需要进行仔细的分析和权衡，以确保最终的数值解具有良好的收敛性和精度。
稀疏线性方程组求解方法的实现与比较
信 息 通 信
Ｉ ＮＦ ＯＲＭ ＡＴ １ ０Ｎ ＆ Ｃ０Ｍ Ｍ ＵＮＩ ＣＡＴ Ｉ ＯＮ Ｓ
２Ｏ１ ４
（ Ｓ ｕ ｍ ． Ｎ ｏ １ ３ ８ ）
稀疏线性 方程 组求解 方法 的实现与 比较
景 杨， 余 超， 陈 艳， 匡 恒
选主元 Ｌ Ｕ分 解 法 是 求 解 线 性 方 程 组 的 直 接 方 法 ， 其 本 质
阵Ａ Ａ和 ｎ维列 向量 ｂ ， 分别用选主元 Ｌ ｕ分解法 、 Ｓ ＯＲ法 、 共 轭梯度法进行求解， 对 求解 误差 、 运 行 时 间和 迭 代 的 次 数 进 行
记录， 形成 表 １ 。 一 表 １三种求解方法对 比参数
时选 取 共 轭 梯 度 法 将 更 为妥 当。
关键 词： 对称正定稀疏矩 阵； 选主元 Ｌ Ｕ分 解法 ； Ｓ Ｏ Ｒ法 ； 共轭梯度 法 中图分类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ ． １ １ ３ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ — ０ ０ ３ １ — ０ ２ 计 并实现 了 Ｓ Ｏ Ｒ求解程序 。
非零向量组ｐ ， ｐ ， …， Ｐ ∈ ， 对任意的 ｉ ≠ ｊ ， ， Ｐ ｉ 和ｐ ｊ 是共轭的， ㈩ 则称 ｐ ， ｐ ， …， Ｐ 是矩阵 Ａ 的一个共轭 向量组 。
ｌ 三种 求解 方法 的 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ实现
１ ． １选主 元 Ｌ Ｕ 分解 法
三＝ ） ） 一 （ ）
其 中 Ａ是 ｎ ￣ ｎ 非奇异方 阵， ｘ 、 ｂ是 ｎ 维 向量 。 而在实 际问 共轭梯度法 的基本思想是寻找一组所谓 的共轭梯度方 向： 题 中， 矩阵 Ａ的元素 内含有大量零元 ， 非零元 的个数 比零 元的 Ｐ 。 ， ｐ （ １ ， …， Ｐ ㈦， 使得进行 ｋ次一维搜索后 ， 求得近似解 ｘ （ ｋ ） ， 文 个数少得多 ， 我们称这种零元素 占优势 的矩 阵为稀 疏矩 阵， 而 献［ ２ 】 给 出了具体求解方法 。本文基于该方法设计并实现 了共 相应 的线性方程组称为稀疏线性方程组 。 轭梯度 法求 解程序 。 本文基于 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ设计实现用选主元 Ｌ Ｕ分解法、 逐次超松 弛法 （ Ｓ ＯＲ法 ） 、 共轭梯度法进行求解稀疏线性方程 组， 通过对 ２ 三种求解 方 法的 比较 我们 以 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ为操 作平 台利 用函数随机生成 ｎ阶稀疏矩 比误差、 运算时 间、 迭代次数等参数分析 比较三种方法 的优劣 。
朴素贝叶斯算法的稀疏数据处理方法(Ⅱ)
朴素贝叶斯算法的稀疏数据处理方法朴素贝叶斯算法是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它被广泛应用于文本分类、垃圾邮件过滤等领域。
然而，当面对稀疏数据时，传统的朴素贝叶斯算法存在一些问题，比如参数估计不准确，分类效果不佳等。
因此，如何处理稀疏数据成为了朴素贝叶斯算法的一个重要研究方向。
稀疏数据处理方法一：平滑技术在传统的朴素贝叶斯算法中，当某个特征在训练集中没有出现时，其条件概率会被设为0，这样就会导致整个样本的概率为0。
为了解决这个问题，可以采用平滑技术。
平滑技术是通过给概率加上一个很小的数值来解决零概率的问题，常用的平滑技术包括拉普拉斯平滑、Lidstone平滑等。
这些方法可以有效地处理稀疏数据，提高了朴素贝叶斯算法的分类准确率。
稀疏数据处理方法二：特征选择在处理稀疏数据时，特征选择是一种常用的方法。
特征选择是指从原始特征中选择出最具代表性的特征，从而降低维度、减少计算复杂度、提高分类准确率。
在朴素贝叶斯算法中，特征选择可以通过计算每个特征的信息增益、信息增益比等指标来实现。
通过特征选择，可以剔除一些无用的特征，保留对分类有用的特征，从而提高算法的性能。
稀疏数据处理方法三：集成学习集成学习是一种将多个分类器集成在一起的方法，它通过结合多个分类器的预测结果来得到最终的分类结果。
在处理稀疏数据时，朴素贝叶斯算法可以与其他分类器进行集成，比如决策树、支持向量机等。
通过集成学习，可以弥补朴素贝叶斯算法在处理稀疏数据时的不足，提高分类准确率。
稀疏数据处理方法四：特征转换特征转换是一种将原始特征映射到一个新的特征空间的方法，它可以通过一些数学变换来减小特征的维度，从而降低模型的复杂度。
在处理稀疏数据时，可以采用特征转换的方法，比如主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等。
通过特征转换，可以减小原始特征的维度，提高算法的计算效率，同时保持原特征的信息。
结语在处理稀疏数据时，朴素贝叶斯算法可以采用平滑技术、特征选择、集成学习、特征转换等方法来提高分类准确率。
用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法
用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法高斯消去法是一种用于求解线性方程组的经典方法，但是当方程组很大且稀疏时，高斯消去法的效率会变得非常低。
为了解决这个问题，可以采用一种改进算法，称为稀疏高斯消去法。
稀疏高斯消去法的基本思想是利用方程组的稀疏性质，尽量减少计算的量，以提高求解效率。
在讲解稀疏高斯消去法之前，我先介绍一下稀疏矩阵。
稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为零的矩阵。
在实际问题中，很多矩阵都是稀疏的，例如线性方程组的系数矩阵。
稀疏矩阵通常具有以下两个特点：1）非零元素的数量相对于矩阵的总元素数量来说很小；2）非零元素的位置分布比较随机。
在稀疏高斯消去法中，主要有两个改进步骤：1）稀疏高斯消元；2）回代求解。
1）稀疏高斯消元稀疏高斯消去法的第一步是进行稀疏高斯消元。
在传统的高斯消去法中，我们需要对每一行中的所有元素进行高斯消去，这样做的复杂度是O(n^3)。
而在稀疏高斯消去法中，我们只对非零元素所在的行进行高斯消去。
这样可以大大减少计算量。
具体来说，稀疏高斯消元的做法是，首先找到第一个非零元素所在的行，然后对该行进行消去操作，将该行前的元素都变为零。
然后再找到下一个非零元素所在的行，对该行进行消去操作，以此类推，直到所有的非零元素都被消为零。
2）回代求解稀疏高斯消去法的第二步是进行回代求解。
在进行稀疏高斯消元的过程中，我们已经将方程组化简为上三角形式，即矩阵的下半部分都是零。
这样，在进行回代求解时，我们只需要从最后一行开始，逐行求解即可。
而不需要对每一行的所有元素进行回代。
总结一下，稀疏高斯消去法的改进算法可以通过两个步骤来减少计算量：稀疏高斯消元和回代求解。
首先，通过精确地找到非零元素的位置，并只对这些行进行消去操作，减少计算量。
然后，在回代求解时，只处理上三角矩阵的非零元素。
这样一来，可以大大提高求解大型稀疏方程组的效率。
当然，稀疏高斯消去法也有其局限性。
由于稀疏高斯消去法需要寻找非零元素的位置，如果矩阵的非零元素位置分布比较密集，那么稀疏高斯消去法的效率就会降低。
是解大型稀疏方程组的有效方法
是解大型稀疏方程组的有效方法解决大型稀疏方程组一直是数学和工程领域的重要问题之一。
由于大型稀疏方程组具有庞大的规模和大量的零元素，常规的数值求解方法往往无法高效地解决这类问题。
因此，我们需要寻找一种有效的方法来解决大型稀疏方程组。
在解决大型稀疏方程组的方法中，稀疏矩阵的特殊性质被广泛利用。
稀疏矩阵是指其中绝大部分元素为零的矩阵。
与稠密矩阵相比，稀疏矩阵具有更高的计算效率和存储效率。
因此，我们可以利用这一特点来设计高效的求解方法。
一种常用的方法是迭代法。
迭代法通过迭代求解逼近解的过程来解决方程组。
对于大型稀疏方程组，迭代法可以通过只考虑非零元素的方式来减少计算量，从而提高求解效率。
常见的迭代方法包括雅可比法、高斯-赛德尔法和共轭梯度法等。
雅可比法是最简单的迭代方法之一。
它通过将方程组的每个未知数的值替换为其当前估计值，并使用当前估计值来计算其他未知数的更新值。
这个过程不断重复，直到未知数的更新值满足收敛条件为止。
雅可比法的优点是简单易实现，但对于某些情况下的方程组可能收敛速度较慢。
高斯-赛德尔法是雅可比法的改进版。
它在更新每个未知数的值时，使用最新计算出的更新值来替代之前的估计值。
这样做的好处是能够更快地收敛，但这也增加了每次迭代的计算量。
共轭梯度法是一种基于方程组的特征值分解的迭代方法。
它通过求解连续的一维子问题来逼近解向量。
共轭梯度法在求解大型稀疏方程组时具有较高的速度和精度，并且不需要存储整个矩阵。
因此，它被广泛应用于计算机图形学、计算流体力学等领域。
除了迭代法外，还有其他一些方法可以用来解决大型稀疏方程组。
这包括基于LU分解的直接求解方法、使用快速傅里叶变换的方法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的性质选择合适的求解方法十分重要。
综上所述，解决大型稀疏方程组需要选择合适的方法。
迭代法是一种常见而有效的方法，尤其是雅可比法、高斯-赛德尔法和共轭梯度法。
除此之外，还有其他一些方法可以考虑。
在实际求解中，需要根据问题的特点和求解的要求来选择最适合的方法。
关于奇异线性系统和矩阵方程若干问题的数值解法研究
关于奇异线性系统和矩阵方程若干问题的数值解法研究关于奇异线性系统和矩阵方程若干问题的数值解法研究一、引言奇异线性系统和矩阵方程在数学和工程领域中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常遇到需要求解这些方程的情况。
本文旨在研究奇异线性系统和矩阵方程的数值解法，探讨其适用性和效果。
首先，我们将简要介绍奇异线性系统和矩阵方程的定义和性质，然后重点讨论数值解法，最后给出一些数值实验结果。
二、奇异线性系统和矩阵方程的定义和性质奇异线性系统和矩阵方程是线性代数中的重要概念。
奇异线性系统是指系数矩阵的行列式为零的线性方程组。
矩阵方程则是形如A*X = B的方程，其中A为系数矩阵，X和B为未知矩阵。
对于奇异线性系统，其解有可能不存在，也有可能存在无穷多解。
这取决于方程组的特征。
而对于矩阵方程，其解也有可能不存在或者有无穷多解。
在实际问题中，我们常常需要求解这些方程，以解决实际问题。
三、数值解法为了求解奇异线性系统和矩阵方程，我们需要使用数值解法。
这是因为在实际问题中，我们通常无法直接求得精确的解析解。
下面我们将介绍几种常见的数值解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，它也可以用于求解奇异线性系统和矩阵方程。
该方法通过矩阵的初等变换，将方程组转化为行阶梯形式，从而求得方程的解。
然而，当遇到奇异线性系统和矩阵方程时，高斯消元法可能会遇到一些问题，例如无法求解、有多解等情况。
2. 奇异值分解法奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，可以用于求解奇异线性系统和矩阵方程。
该方法将矩阵分解为三个矩阵的乘积，使得系数矩阵的奇异值被分散到对角矩阵中。
通过选取适当的截断奇异值，我们可以得到一个近似的解。
3. 正则化方法正则化方法是一类通过引入正则化项来解决奇异线性系统和矩阵方程的数值方法。
正则化项可以通过最小二乘问题来定义，从而可以将原问题转化为一个正则化问题。
通过调整正则化参数的大小，可以得到不同程度的正则化解。
稀疏编码的解码与恢复算法
稀疏编码的解码与恢复算法稀疏编码是一种重要的数据压缩和信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、机器学习等领域。
在稀疏编码中，如何进行解码和恢复是一个关键的问题。
本文将探讨稀疏编码的解码与恢复算法。
稀疏编码的基本思想是利用信号的稀疏性进行压缩。
在信号处理中，稀疏性指的是信号在某个基向量系统下的表示中，只有很少的系数是非零的。
稀疏编码通过选择适当的基向量系统，将信号表示为尽可能少的非零系数的线性组合，从而实现信号的压缩。
在解码和恢复稀疏编码信号时，需要找到合适的算法来还原原始信号。
最常用的算法之一是基于贪婪算法的迭代阈值算法。
该算法通过迭代地选择最相关的基向量，并将其对应的系数设为非零值，同时将其他系数设为零值。
这样，逐步地恢复出原始信号。
迭代阈值算法的核心思想是通过不断地选择最相关的基向量，逐渐逼近原始信号。
在每一次迭代中，算法首先计算当前信号与基向量的相关性，然后选择相关性最大的基向量，并将其对应的系数设为非零值。
接着，算法通过更新当前信号，将该基向量对应的分量从信号中减去。
这个过程不断重复，直到满足一定的停止准则。
除了迭代阈值算法，还有其他一些解码和恢复稀疏编码信号的算法。
例如，基于最小二乘的解码算法可以通过最小化原始信号与稀疏编码信号之间的误差来恢复信号。
此外，还有基于压缩感知的解码算法，该算法利用信号的稀疏性和测量矩阵的特殊结构，实现对信号的高效恢复。
在实际应用中，选择合适的解码和恢复算法对于稀疏编码的性能至关重要。
不同的算法具有不同的优势和适用范围。
因此，根据具体的应用场景和需求，选择适合的算法是非常重要的。
总结起来，稀疏编码的解码与恢复算法是稀疏编码领域中的关键问题。
迭代阈值算法是其中常用的一种算法，通过迭代地选择最相关的基向量，逐步地恢复出原始信号。
此外，还有其他一些算法可供选择，如基于最小二乘的解码算法和基于压缩感知的解码算法。
在实际应用中，根据具体需求选择合适的算法是至关重要的。
大型稀疏结构线性系统的快速算法研究
大型稀疏结构线性系统的快速算法研究大型稀疏结构线性系统的快速算法研究随着科学技术的不断发展，大型稀疏结构线性系统的快速算法研究越来越受到人们的关注。
这些稀疏结构线性系统广泛应用于众多领域，如计算机图形学、机器学习、图像处理等。
然而，由于这些系统通常具有大规模、高维度的特点，它们的求解过程常常面临着巨大的计算复杂度和内存开销。
在传统的线性系统求解方法中，常用的是直接求解法，如Gauss消元法和LU分解法。
然而，这些直接法在面对大型稀疏结构线性系统时，由于计算复杂度较高，往往会导致计算时间过长甚至无法求解。
因此，我们需要寻求一种更高效的求解方法来处理这些问题。
近年来，快速算法在大型稀疏结构线性系统求解中得到了广泛应用。
快速算法通过利用矩阵的特殊结构和性质，将问题转化为更小规模的子问题。
这样一来，我们可以利用更小规模的问题来替代原问题的求解，从而大大降低了求解的计算复杂度。
其中一种常见的快速算法是多重网格方法。
多重网格方法通过层次化的思想，将问题分解成不同尺度上的子问题，并通过多个层次的迭代来逐步逼近真解。
在每个层次的迭代中，通过使用更粗糙的网格来近似原问题，从而加速收敛。
这种方法不仅可以降低计算复杂度，还可以充分利用问题的结构特点，提高求解的效率。
另外一种常见的快速算法是迭代法，如共轭梯度法和GMRES（Generalized Minimum RESidual）法。
迭代法通过迭代更新解向量，逐步逼近真解。
这些方法通常利用问题矩阵的特征值和特征向量来加速收敛过程。
对于大型稀疏结构线性系统，迭代法具有计算复杂度低、内存占用小等优点。
此外，还有基于快速变换的快速算法，如快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）和快速多极子算法（Fast Multipole Method, FMM）等。
这些算法利用了快速变换的特性，将问题的求解转化为基于快速变换的计算过程，从而大大提高了计算效率。
朴素贝叶斯算法的稀疏数据处理方法(Ⅲ)
朴素贝叶斯算法的稀疏数据处理方法朴素贝叶斯算法是一种基于概率统计的分类方法，被广泛应用于文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等领域。
然而，当数据量庞大且维度较高时，朴素贝叶斯算法往往会面临稀疏数据的问题，即特征值大部分为0。
如何有效处理稀疏数据成为提高朴素贝叶斯算法性能的关键之一。
一、稀疏数据的问题在实际应用中，许多特征的取值往往为0，导致特征矩阵非常稀疏。
这样的数据特点会影响朴素贝叶斯算法的分类效果，因为概率计算将会受到严重影响。
因此，如何处理稀疏数据成为优化朴素贝叶斯算法的关键。
二、拉普拉斯平滑在处理稀疏数据时，拉普拉斯平滑是一种常用的方法。
在朴素贝叶斯算法中，当某个特征在某个类别中没有出现时，传统的朴素贝叶斯算法会将该特征的概率直接设为0，导致整个样本的概率为0。
而拉普拉斯平滑通过对概率进行加权，避免了概率为0的情况。
这样可以有效地处理稀疏数据，提高了朴素贝叶斯算法的分类准确率。
三、特征选择在面对稀疏数据时，特征选择是另一个重要的处理方法。
通过筛选出对分类任务影响较大的特征，可以有效地减少特征的维度，从而降低数据的稀疏性。
常见的特征选择方法包括卡方检验、信息增益等。
这些方法可以帮助剔除对分类任务没有贡献的特征，提高朴素贝叶斯算法的运行效率。
四、基于稀疏表示的优化算法除了上述方法外，基于稀疏表示的优化算法也是一种有效处理稀疏数据的方法。
这类算法通过对特征空间进行映射，将原本的稀疏特征表示为一种密集的形式。
这样可以减少原始特征矩阵的稀疏性，提高朴素贝叶斯算法的性能。
五、结语综上所述，朴素贝叶斯算法在面对稀疏数据时，需要采取一定的处理方法来提高分类准确率。
拉普拉斯平滑、特征选择和基于稀疏表示的优化算法都是有效的处理稀疏数据的方法，可以帮助提高朴素贝叶斯算法的性能。
同时，不同的数据特点可能需要采用不同的处理方法，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的处理方法。
朴素贝叶斯算法在稀疏数据处理方面仍有许多挑战，希望未来能有更多的研究能够提出新的有效方法，进一步提高算法的性能。
大规模稀疏线性方程组的GMRES-GPU快速求解算法
大规模稀疏线性方程组的GMRES-GPU快速求解算法1. 引言介绍大规模稀疏线性方程组求解问题的背景和意义，简述传统的求解方法的不足，介绍GPU技术的优势，提出本篇论文要研究的问题和目标。
2. 相关工作详细介绍与本篇论文相关的GPU加速线性方程组求解的相关工作，包括基于GPU的传统迭代法和基于GPU的预处理技术，分析不同方法在求解效率、精度和收敛性上的差异和优劣。
3. GMRES-GPU算法的设计和实现详细阐述本文提出的基于GPU的GMRES快速求解算法的设计和实现过程，包括基于GPU的矩阵向量乘法、迭代过程中的Krylov子空间的构建和正交化、重启技术、预处理技术以及通过GPU加速的算法实现。
4. 算法性能实验和分析通过一系列实验验证本文提出的GMRES-GPU算法的求解效率、精度和收敛性。
分析实验结果，并与其他GPU加速线性方程组求解方法进行比较，展示本文算法的优越性。
5. 结论和展望总结本文的研究成果和贡献，概括本文提出的基于GPU的GMRES快速求解算法的优点和不足，探讨未来改进和发展的方向和前景。
第1章节：引言在现代科学和工程中，经常需要解决大规模稀疏线性方程组的求解问题。
传统的直接解法可能会因为存储代价过高和计算复杂性太高而无法应用于大规模问题，这就需要寻找高效的迭代方法来求解这些问题。
同时，随着GPU技术的发展和普及，通过GPU加速线性方程组求解方法具有了更大的发展潜力。
本文旨在研究大规模稀疏线性方程组的GMRES-GPU快速求解算法，探究这种方法能够如何利用GPU技术的优势，在迭代求解过程中提高计算效率和降低存储与传输的代价。
本文提出了充分利用GPU加速和分布式存储的方法，可以大幅提高迭代求解速度与效率。
本章节将首先介绍本文研究的背景和意义，然后简述当前求解方法的不足，再介绍GPU技术的优势，最后明确本文的研究目标。
1.1 研究背景在现代科学和工程领域，稀疏线性方程组求解问题是一个普遍存在的数学问题。
稀疏线性方程组求解中的预处理技术综述
稀疏线性方程组求解中的预处理技术综述随着互联网技术的发展，解决稀疏线性方程组求解问题已经成为许多研究者所关注的重要课题。
它主要用于大规模优化问题的求解，在模式识别、人工智能、数据挖掘等多个领域有广泛应用。
稀疏线性方程组求解中的预处理技术可以改善算法的收敛性，提高问题求解的效率。
本文将从稀疏线性方程组的结构特性、预处理的目标和基本原理出发，综述稀疏线性方程组求解中的预处理技术。
稀疏线性方程组在结构上与常规线性方程组有很大不同，它一般由几万个及以上的方程组成，变量数量往往远大于方程数量。
因此，在求解过程中，需要实现系统的高效稀疏性，以提高求解的效率。
预处理技术是实现这一目标的有力手段。
预处理技术的目标是改变稀疏线性方程组的结构，使其变得更加稀疏，并有利于算法的收敛性。
一般而言，预处理技术有三个基本原理：一是降低方程的维度，以更少的变量解决同一问题；二是消元，即使用简单的正交变换来消除某些变量；三是化简，即通过调整方程的结构，让它更容易求解。
针对稀疏线性方程组求解问题，已有许多研究者提出了多种不同的预处理技术。
其中，稳定型预处理技术可以把稀疏线性方程组变换成稳定的形式，使稀疏线性方程组更加容易求解。
稳定型预处理技术包括正交变换、因子分解和独立变量提取等。
另外，还有改进型预处理技术，它可以改善稀疏线性方程组的解的质量。
改进型预处理技术包括缩减型、划分型和组合型等。
最后，还有一种分段稳定预处理技术，它可以进一步提高求解效率。
总而言之，稀疏线性方程组求解中的预处理技术是实现高效求解的重要手段，各种预处理技术的发展也为模式识别、人工智能、数据挖掘等多个领域的应用带来了重要的帮助。
而在未来，预处理技术也将得到进一步发展，以满足不断增长的应用需求。
综上所述，稀疏线性方程组求解中的预处理技术具有很强的普适性和实用性，并且在应用中取得了良好的效果。
随着互联网技术的不断发展，未来预处理技术也将继续受到重视，并取得更好的发展。
稀疏优化算法求解.ppt
Min
x 0
s.t. Aeq x beq .
xij
xij 0
100000000
1
0.50.500000000
2
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3
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4
0.50.20.10.10.100000000
5
已知提示数目34
芬兰数学家设计的世界“最难”数独。
• 作业:
1. 编程得到关于数独求解的线性方程组
2. 将问题1的数独形式推广到任意阶的情形, 如16*16, 25*25等.
0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09486 x
191
• 填充约束条件（每一个格子中的数必须是19之间的数，以第一行第一列的格子为列）
1
9
10
720
0
x
1
• 提示数字约束条件 依据已经给出的提出数字可以得出相应的约 束条件：
9
第2行可以写为：
பைடு நூலகம்
0981 I99 I99 I99 09567 x 191
9
• 列约束条件 第1列可以写为：
I99 0972 I99 0972 x 191
9
• 第2列可以写为：
099 I99 0963 099 I99 0963 x 191
9
• 小九宫格约束条件（以左上角的小九宫格开 始编号，编号为1，第一行小九宫格从左到右 编号，再到第二行小九宫格，再到第三行小 九宫格，右下角的小九宫格编号为9）
I99I99I99 0954 I99I99I99 0954 I99I99I99 09540 x 191
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厦门大学学位论文原创性声明
本人呈交的学位论文是本在导师指导下，独立完成的研
究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研
究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦
『’－ｊ大学研究生学术活动规范（试行）》。
另外，该学位论文为（
）课题（组）的研究成
果，获得（
）课题（组）经费或实验室的资助，在
第三章针对块三对角系统，给出了一种切频率过滤预条件子的变形．新的预 条件子是建立在块三对角矩阵的一种组合分解基础上，并满足特定的过滤性质得 到的，新的预条件子有着天然的并行性．我们简单分析了新的预条件子的一些性 质，在实际运用中，我们将所得的新的预条件子与传统的ＩＬＵ（Ｏ）按照某种乘法 的形式结合起来使用．数值试验详细比较了这种新的预条件子与传统的预条件子 的数值效果，给出了这种预条件子的优势和缺陷．
ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｔｗｉｓｔｅｄ Ｎｏ＆ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｃｅｒｔａｉｎ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｉｎ
ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ａｒｅ ｔｅｓｔｅｄ，ｗｈｉｃｈ
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ４，ｗｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｂａｓｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｂｙ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｗｏ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｔｈｅ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｂａｓｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ａ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｒｅｖｅａｌｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ａｎ ｓｔｅｐ－ｓｉｚｅ ｐａｒａｍ— ｅｔｅｒ ｉｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ ｓｔｕｄｉｅｄ．
关键词：Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法；位移线性系统；块三对角矩阵；Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ方程； 鞍点问题．
英文摘要
１１１
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｍａｎｙ ａｒｅａ，ｓｕｃｈ ａｓ ｆｌｕｉｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ， ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄｓ，ａｎｄ ＳＯ ｏｎ．
ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｗｉｓｔｅｄ ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｐｒｅ－ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ＩＬＵ（Ｏ）ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｉｎ ａ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｗａｙ．Ｔｈｅ
中文摘要
ｉｉ
在第五章，我们提出并且分析了对于一般鞍点问题的一种预条件子，这种预 条件子是建立矩阵分裂和最近提出的一种双参数的分裂迭代技术［Ｚ．Ｚ Ｂａｉ ａｎｄ Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ，ＩＭＡ Ｊ．Ｎｕｍｅｒ．Ａｎａｌ．，２７，（２００７），ＰＰ．１—２３】基础上的．我们详细分析 了预条件后矩阵谱的性质，并且通过数值试验验证了我们的理论和这种预条件子 的效率．
Ｃｈａｐｔｅｒ １ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎ，ｈｉｓｔｏｒｙ，ｓｔａｔｅ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈ－ ｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｎｄ ｗｅ ａｌｓｏ ｂｒｉｅｆｌｙ ｉｎｔｒｏ－ ｄｕｃｅ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．
Ｗｈｅｎ ｄｉｓｃｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ＰＤＥｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ，ｗｅ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｏｂｔａｉｎ
ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，Ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｉｓ ｏｆ ｖｉｔａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｓｏ，ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｍａｎｙ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｏｆｔｅｎ ｏｆ ｓｏｍｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｆｏｒｍｓ ｏｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ ｔｈｅ ｆａｓｔ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅ ｔｅｘｔ ｉｓ ｄｉｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏ ｆｉｖｅ ｃｈａｐｔｅｒｓ．
（
）实验室完成。 （请在以上括号内填写课题或
课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作
特别声明。）
声明人（签名）：毒垮畛
１年６月‘日
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英文摘要
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ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｅｃｏｎ— ｄｉｔｉｏｎｅｒｓ，ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｅａｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．
第一章介绍了大规模稀疏线性系统问题的来源、历史、发展现状以及本文所 涉及的几种特殊稀疏线性系统．
在第二章，我们给出了求解大规模稀疏位移线性系统的一种增广的重新启动 ＧＭＲＥＳ方法：每次重新启动时，将母系统所得到的多个误差向量添加到求解的 Ｋｒｙｌｏｖ子空间中去，在新的增广的空间中求解母系统，而子系统的解通过强行使 其残量和母系统的残量平行得到．这样不仅能使我们在同一个空间中求解子母系 统，还能加速求解位移线性系统重新启动ＧＭＲＥＳ方法的收敛速度，数值试验也 表明这种方法的高效性．
Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ，ａｎｄ ａ
厦门大学 博士学位论文 求解某些特殊稀疏线性系统的数值解法 姓名：王瑞瑞 申请学位级别：博士 专业：计算数学 指导教师：卢琳璋
20090601
中文摘要
摘要
大型稀疏线性系统来源于很多应用领域，譬如流体动力学，结构分析，电磁场 计算等等．将描述自然现象的偏微分方程离散后，通常就会得到一个稀疏的线性 系统．这样一来，实时高效的求解大型的稀疏线性系统对整个应用问题的解决有 着至关重要的作用．因此，近年来无论国内还是国外，大规模稀疏线性系统的求解 算法的研究已成为大规模科学与工程计算的一个重要研究领域．进一步，由于许 多实际问题产生的大规模稀疏线性系统，其系数矩阵往往都是具有某种特殊形式 或者某种特殊结构，因此本文主要研究的是一些特殊形式的稀疏线性系统快速、 有效的数值求解方法．全文共分为五章．
Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ３，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ—ｔｒｉｄｉａｇｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ａ ｖａｒｉａｎｔ ｏｆ ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｖａｒｉａｎｔ ｉｓ
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ２，ａ ｎｏｖｅｌ ｒｅｓｔａｒｔｅｄ ＧＭＲＥＳ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｓｐａｒｓｅ ｓｈｉｆｔｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｒｅｓｔａｒｔｉｎｇ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｂｙ ａｕｇｍｅｎｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｅｒｒｏｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｅｄ ｓｙｓｔｅｍ，ｗｅ ｆｉｒｓｔｌｙ ｓｅｅｋ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｕｇｍｅｎｔｅｄ Ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ａｃｑｕｉｒｅ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｄｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｖｅｃｔｏｒｓ ｐａｒａｌｌｅｌ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｓｅｅｄ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｎｉｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ａｌｌｏｗｓ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｅｄ ａｎｄ ａｄｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ ｏｎｅ ｓｕｂｓｐａｃｅ．Ａｎｄ ｉｔ ａｌｓｏ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｔａｒｔｅｄ Ｇ ＭＲＥＳ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｈｉｆｔｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ．