第二章 误差分布与精度指标
第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
第2章 误差分布与精度指标
ji
i j 1,2,...,n
称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
相对误差：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误 差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误 差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测 量中经常将分子化为1。即
真误差 1 相对真误差＝ ＝ 观测值 N
10
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
2 /27
测量不确定度
主页
ห้องสมุดไป่ตู้
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
2.1 正态分布 2.2 偶然误差的分布特性
授课目的要求：了解偶然误差的分布规律; 熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念 。 重 点、难 点: 偶然误差的三个特性和两个 重要概念 。
2
n
0.798
或然误差: 或然误差ρ是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
18 /27
主页
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
2 观测向量的精密度指标 （1）n维随机向量的方差阵
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 T ...
则有
DL D E 2
由数学期望的定义，又可将方差和标准差分别表示为 ; 2 lim lim
测量平差资料
测量平差资料第⼀章绪论⼀、观测误差1、为什么要进⾏观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产⽣的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差、系统误差、偶然误差5、误差的处理办法⼆、测量平差的简史和发展三、测量平差的两⼤任务及本课程的主要内容第⼆章误差分布与精度指标⼀、偶然误差的规律性1、随机变量2、偶然误差的分布正态分布3、偶然误差的统计特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在⼀定的观测条件下，偶然误差的绝对值有⼀定的限值，即超过⼀定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较⼩的偶然误差⽐绝对值较⼤的偶然误差出现的概率⼤；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零⼆、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----⽅差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协⽅差3、协⽅差(a) 定义相关系数三、衡量精度的指标1、⽅差和中误差2、平均误差3、或然误差4、极限误差5、相对（中、真、极限）误差四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的⽅差-协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点4、互协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的⼤⼩。
1、精度：描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的⾼低。
2、准确度：描述系统误差和粗差，可⽤观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可⽤观测值的均⽅误差来描述，即：即观测值中只存在偶然误差时，均⽅误差就等于⽅差，此时精确度就是精度。
七、⼩结第三章协⽅差传播律⼏个概念1、直接观测量2、⾮直接观测量---观测值的函数⽔准测量导线测量三⾓形内⾓平差值3、独⽴观测值4、⾮独⽴观测值----相关观测值独⽴观测值各个函数之间不⼀定独⽴5、误差传播律6、协⽅差传播律⼀、观测值线性函数的⽅差设观测向量L及其期望和⽅差为：若观测向量的多个线性函数为三、两个函数的互协⽅差阵四、⾮线性函数的情况五、多个观测向量⾮线性函数的⽅差—协⽅差矩阵设观测向量的t个⾮线性函数为：对上式求全微分，得六、协⽅差传播律的应⽤1、⽔准测量的精度2、距离丈量的精度3、同精度独⽴观测值算术平均值的精度七、应⽤协⽅差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并⽤观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统⼀；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应⽤协⽅差传播律，得出所求问题的⽅差-协⽅差矩阵。
第二章 误差分布与精度指标
+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8
试根据Δi计算测角精度ˆ 2 ˆ 和
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型
E(x) xi pi i 1
连续型
E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
离散型 连续型
D(x) [xi E(x)]2 pi i 1
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
角度元素没有相对精度。
§2-4 衡量精度的指标
相对真误差＝ 真误差 ＝ 1 观测值 N
相对中误差＝ 中误差 ＝ 1 观测值 N
相对极限误差＝ 极限误差 ＝ 1 观测值 N
注意：
§2-4 衡量精度的指标
1.只有当n较多时， 才能够比较准确地反映测量的精度
2.当n较少时 比 更可靠反映测量的精度
误差分布与精度指标
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
误差传播定律
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2 n
E( x2
E( xn
) )
X
2 x1
x1x2
x1 xn
DXX E X E( X )X E( X )T
人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的 分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。
二、偶然误差的统计规律
1. 统计表
在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，
由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180°，根据（2-2-
1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1t2
te 2 dt
1t2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
表 2-2
误差的 区间 〃
△为负值
个数 频率 i / n
i i / n d
0.00~0.20
40
0.095 0.475
0.20~0.40
34
0.081 0.405
第二章 误差分布与精度指标讲解
P( k x k )
1
2
k k exp
t 2
2
dt
2
2
k 0
exp
t2 2
dt
§2-2 正态分布 二、N 维正态分布
服从N维正态分布的随机向量 X ( x1, x2 ,, xn )T
的概率密度函数是：
f (X)
离散型 连续型
D(x) [xi E(x)]2 pi i 1
D(x) [x E(x)]2 f (x)dx
§2-1 随机变量的数字特征
三、协方差
xy {[ X E(X )][Y E(Y )]}
四、相关系数
xy x y
§2-2 正态分布
§2-3 偶然误差的规律性
二、偶然误差的规律特性
前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一 定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从 无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分 布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。
一、一维正态分布
f(x)
1
2
exp
(
x 2 2
)2
x
其中 和 是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
0 0.4 0.6 0.8
误差理论与测量平差基础第二章 误差分布与精度指标
或然误差的计算： 1 通过中误差计算 2 误差按绝对值大小排列，取中数 教材：例 2－1
第二章 误差分布与精度指标
中误差、平均误差和或然误差都可以作 为衡量精度的指标，但由于 中误差具有明确的几何意义（误差分布 曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理 论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡 量精度的指标，我国也统一采用中误差 作为衡量精度的指标。
x1xn x2 xn 2 xn
第二章 误差分布与精度指标
互协方差阵
X Z Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
T
DXY
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x y x y n 2 n1
x1 yn x2 y n xn y n
T
DXY E X E( X )Y E(Y ) DYX
互协方差阵是表达两组观测值间两两观测值相关程度的指标
习题：2.6.18，2.6.19
第二章 误差分布与精度指标
小结：
1、几个名词
1 f () exp ( ) 2 , 2 2 2 1
式中： 和 为参数。
第二章 误差分布与精度指标
由密度函数 1 1 2 f () exp ( ) , 2 2 2 知，偶然误差 为一维正态随机变量。所以又称偶然 误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：
第二章 误差分布与精度指标
§2-2 正态分布
当偶然误差的个数 n 时，偶然误差出现的频 率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限 缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两 条光滑的曲线。
《测量误差与数据处理》课程标准
《测量误差与数据处理》课程标准一、课程定位本课程是测绘地理信息技术专业学生在完成高等数学、测绘基础、控制测量等课程的学习任务后开设的专业基础课之一。
学生完成该课程学习后，能够应用测量平差知识解决控制网平差计算问题。
二、课程目标通过《测量误差与数据处理》课程的学习，使学生具备使用测量误差基本知识，并掌握对数据进行平差的基本能力。
为今后学习和掌握专业知识和职业技能打下基础。
1.知识目标（1）了解本课程的任务及内容；（2）掌握误差分类及误差来源；（3）了解数学期望、方差和、协方差和相关系数的含义；（4）掌握随机变量的数字特质；（5）掌握最小二乘原理及误差传播定律的应用方法；（6）掌握条件平差原理及应用方法；77）了解附有参数的条件平差原理及应用方法；（8）掌握间接平差原理及应用方法；99）了解附有限制条件的间接平差原理及应用方法；（10）掌握误差椭圆和相对误差椭圆元素计算；10能力目标（1）会进行期望、方差和协方差的计算；（2）具有应用误差、权倒数、协因数传播率解决测量中实际问题的能力；（3）能应用条件平差完成控制网平差计算；（4）能应用附有参数的条件平差完成控制网平差计算；（5）能应用间接平差完成控制网平差计算；（6）能应用附有限制条件的间接平差完成控制网平差计算；（7）具有准确计算误差椭圆、相对误差椭圆的三个参数并画出略图的能力；（8）具有应用平差软件进行控制网平差的能力；11素质目标（1）具有诚实敬业、专研业务、精益求精的敬业精神和职业道德；（2）具备一定的计划、组织与沟通、协作的能力；（3）具备一定的个人专研能力；（4）具备自主学习、独立学习的能力三、课程设计1.设计思想I、本课程的设计总体要求是：以务实基础、适应岗位为目标，以能力为本位，尽可能形成模块化的专业课程体系。
2、本课程通过典型控制网的平差项目案例分析，以学生的职业能力培养为核心，按工作过程组织教学，设计教学情境。
2.课时分配课程单元描述课程单元（一）《测量误差与数据处理》课程评价及方式说明学生的成绩评定以主要根据理论知识的掌握（为总结性考核，占40%）、平时表现（占20%）,作业（占10%）、项目（占20%）,素质考核（占10%）等六方面构成。
张卡第2章-误差分布与精度指标
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
21
一、衡量精度的指标
能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标。
1、方差和中误差
随机变量X的方差定义： X D( x) E[( x E ( x)) ] [ x E ( X )] f ( x)dx
n ,1
~ L1 L ~ 1 L 2 L2 n ,1 ~ Ln L n
~ n ,1 n ,1
则有， L L
若以观测量的数学期望表示其真值 E ( L) E ( L ), E ( L ),, E ( L )
6
二、n维正态分布
设随机变量X= (X1,X2,…,Xn)T，若X服从正态分布，则X为n为正态随机向量。 其
1 2 n
1 (2 ) D
1
n 2 1 2 XX
1 exp{ ( x ) D ( x )} 2
T 1 X XX X
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
例1的误差分布直方图
例1的误差分布曲线
例2的误差分布直方图
例2的误差分布曲线
- σ2 -σ1 0 0 σ1
σ2
结论：如果误差分布较密集， 即离散度较小时，则表示观测 质量较好，即观测精度较高； 观测质量好坏又反 反之，误差分布较分散、离散 映了什么呢？有什 度较大，则观测质量较差、精 么衡量指标吗？ 度较低 。
f(△)
P(-△)＝P(△)
P(-△)
第二章误差分布与精度指标
第二章误差分布与精度指标在机器学习中，通过建立模型来预测目标变量或进行分类的过程中，会产生误差。
误差分布是指在不同的预测结果中，误差值的分布情况。
误差分布的分析和评估对于理解模型的表现和改进模型的精度都至关重要。
因此，本章将介绍误差分布的基本概念和精度指标的计算方法。
1.误差分布的基本概念在机器学习中，误差是指模型预测结果与真实值之间的差异。
具体来说，误差可以用公式表示为e = y - y_hat，其中e表示误差，y表示真实值，y_hat表示模型的预测值。
误差分布是指在一组预测结果中，误差值的分布情况。
通常来说，我们可以通过观察误差分布来判断模型的表现是否良好，以及可能存在的问题。
例如，如果误差分布呈现正态分布，则说明模型的预测结果与真实值的差别符合正态分布的规律，这可能意味着模型的表现较好；如果误差分布呈现偏态分布，则说明模型的预测结果在一些方向上存在较大的偏差，这可能意味着模型存在一定的问题。
2.精度指标的计算方法为了评估模型的表现和对比不同模型之间的优劣，我们需要引入一些精度指标。
下面介绍几个常用的精度指标及其计算方法：- 平均绝对误差（MAE）是最简单和最直观的误差度量方法。
它表示了预测结果与真实值之间的平均差异，计算公式为： MAE = 平均(，y - y_hat，)。
对于MAE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方误差（MSE）是一个比较常用的精度指标。
它表示了预测结果与真实值之间的均方差，即差异的平方的平均值，计算公式为：MSE = 平均((y - y_hat)^2)。
对于MSE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方根误差（RMSE）是MSE的平方根，计算公式为：RMSE =sqrt(MSE)。
与MSE类似，RMSE的数值越小表示模型的表现越好。
-决定系数（R^2）是用来描述模型对样本数据的解释能力的指标，计算公式为：R^2=1-(SSR/SST)，其中SSR代表回归平方和，SST代表总平方和。
《误差理论与数据处理》课程教学大纲
《误差理论与数据处理》课程教学大纲【课程代码】：13319608【英文译名】：Error Theory and Surveying Adjustment 【适用专业】：地理信息系统【学分数】：4 【总学时数】：64一、本课程教学目的和课程性质误差理论与数据处理是地理信息系统专业的工程技术基础必修课之一、通过学习本门课程，使学生能够应用概率和数理统计方法来分析观测数据，采用最小二乘法作为处理观测数据的基本原则，合理计算处理，以得到更接近真值的结果。
在内容上，主要讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的最新研究成果。
二、本课程的基本要求通过本门课程的学习,掌握平差课程的任务和研究对象,并很好的掌握几种主要的平差方法.在了解了近代平差基本理论和最新的研究成果基础上，在后续的课程中灵活应用对数据的处理和误差分析，为以后的工作和进一步深造打下良好的基础。
三、本课程与其他课程的关系前修课程:测量学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计；后续课程:GPS原理、摄影测量学、遥感原理与应用。
四、课程内容《误差理论与数据处理》是研究误差的一门学科，通过学习本门课程，使学生能正确处理测量数据，合理计算处理，以得到理想的结果。
本课程要求：基本知识的掌握，掌握误差的基本概念，不同性质误差的变化规律及处理方法。
权的概念及不等精度测量的数据处理方法，误差的合成及分配，回归、相关等。
本课程内容安排如下：第一章绪论基本内容：主要介绍有关误差的一些基本概念，观测误差及测量平差理论研究的对象。
属于了解内容。
第二章误差分布及精度指标环境与资源学院基本内容：本章节主要介绍有关平差的含义、观测条件、系统误差、偶然误差的概念。
及偶然误差的统计规律性及精度、方差、中误差的概念。
重点：掌握概念：观测条件、系统误差、偶然误差；难点：偶然误差的规律性以及所服从的分布；第三章协方差传播律及权基本内容：本章节主要介绍有关协因数传播率的概念及应用领域，使学生掌握协因数、协因数阵、权阵的概念；掌握协因数传播律的一般形式与特殊形式权倒数传播律。
衡量精度的指标
f ( ) d
lim
n
n
f ( ) d 2 f ( ) d 2
0 0
2
1 2
e
2 2
2
d
2
de
0
2 2 2
2 2 2 2 e 0
1 用相对误差。相对误差没有单位，测量中一般将分子化为 1，即用 N 表示。对应的，真
误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。
思考 及 作业
教学 效果 分析
可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精 度，结果相同。同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。 二、极限误差 极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的， 不大可能出的误差绝对值。 根据标准正态分布概率积分表， 落入区间 （- ， ） 、 （-2 ， 2 ） 、 （-3 ， 3 ） 的概率分别为：68.3%、95.5%、99.7%。由此可见，出现绝对值大于 2-3 倍中误差的偶 然误差属于小概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测 量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核 的标准，超过即视为不合格。 三、相对误差 观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。一般而言， 一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常
日期 星期 班级 节次 教学课题 知识目标： 计划学时
技能目标： 教学目标
其它能力目标：
课堂类型
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DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
§2.1
正态分布
偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规 律，表现出随机性，每个误差对总体的影响 很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计 规律。
§2.1
正态分布
X1
（1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么 分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限 的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是 均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随 机变量。 （2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。
c11 c21 c c22 12 T C n m c1n c2 n cn1 cn 2 cnm
矩阵转置的性质：
(1)C D , 则：D C
T
T
(2)( A ) A
T T
(3)( A B) A B
T T
T
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 观测值的观测质量 的好坏.
二、精度指标：
1、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位 阵，一般用E、I表示。
(6)若aij=aji，则称A为对称矩阵。
(7)转置矩阵
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n c c c 22 2n C 21 m n c c c mn m1 m 2 将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置矩阵, 记为CT
§2.2 偶然误差的统计规律性
实验表明：
（1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说 超出一定界限的闭合差出现的概率为零； （2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现 的概率要大； （3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。
§2.2 偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定 的限值（界限性 ）；
由概率论知道:
k
k
( x E ( x))2 f ( x)dx exp dx 2 k 2 2 1
k
p( x ) 0.683
p( 2 x 2 ) 0.955
(4)( kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
（6）若 A A
T
,则A为对称矩阵。
(8)逆矩阵
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行 列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则 为奇异矩阵
2 x 1 x2 x1 xn x1
E ( x1 xn ) E ( x 2 x n ) 2 E ( xn )
x1 x2 2
x2
xn x2
x x 1 n x x 2 n 2 xn
p( 3 x 3 ) 0.997
限 2或3
5、相对误差
p( ) 68.3% p( 2 2 ) 95.5% p( 3 3 ) 99.7%
中误差与观测值之比，用1/N表示。
2
[] n
3、或然误差
p( ) 50%
f()
2 3
1
50%
1
0
闭合差
4、极限误差
正态随机变量出现在给定区间 ( k , k ) 内的概率是：
P( k x k )
§2.4 方差—协方差阵
二、观测值向量的方差-协方差阵：
观测值向量
n1
X:
X 的自协方差阵： 观测值向量 n 1
D XX E X E ( X )X E ( X )T E X X T nn
x1 x2 E xn x1 x1 x1 x2 x1 E x x n 1 x1 x2 x2 x2 xn x2 x1 xn x2 xn xn xn
国际上选用中误差作为精度评定指标
矩阵知识
（1）由m n 个数有序地排列成m行n列的数表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A m n am1 am 2
a1n a2 n amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、 a22……ann 称为对角元素。
x1 x2 ＝E y1 xn
y2
ym
x1 y1 x2 y1 E x y n 1
§2.4 方差—协方差阵
E ( x1 y1 ) E ( x1 y 2 ) E ( x2 y1 ) E ( x2 y 2 ) ＝ E ( x y ) E ( x y ) n 1 n 2 E ( x1 y m ) E ( x2 y m ) E ( xn y m )
n 2
1 T 1 X X exp X X D XX 2
N维正态随机变量的数学期望和方差是:
E ( X ) f ( X ) XdX X
D( X ) E X E ( X ) f ( X )X E ( X ) dX DXX
中误差：
[] lim n n
2
面积为1
2 1
-0.8 -0.6 -0.4 0 0.4 0.6 0.8
1 2
闭合差
提示： σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相 反，精度越低。
方差的估值：当观测值n有限时,
[] n
1
1
矩阵的基本运算：
（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
A B
（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。 （3）A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵, C=AB，C的阶数为 m×n。
OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，
E ( x) f ( x) xdx
D( x) E x E ( x) f ( x)x E ( x) dx 2
2 2
§2.1
f (X )
正态分布
1 D XX
1 2
服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：
2
(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。
n (4)对于 n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为 对角 矩阵。如：
a11 0 0 a 22 A mn 0 0 0 0 diag (a11 amn a22 ann )
E( )
f ()d lim
n
n
与中误差的关系：
4 5
[] n
2、方差/中误差
f()
方差：
[] lim D() E (2 ) n n
2
2 1 f () e 2 2
2
2 f ()d