新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明 4. 角平分线三角形中的角平分线》教案_15

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(完整word版)北师大8下数学第一章三角形的证明

第一章三角形的证明知识点一：等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形,两底角相等（等边对等角)。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合.( “三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。

2、等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。

知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等,三个内角都相等,且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立;②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论;③假设不成立；④原命题成立.知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角：直角三角形，两锐角互余。

②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：①角：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。

）3、特殊的直角三角形：在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等.(注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角.)知识点五:垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

知识点六：角平分线（点到边）1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角平分线判定定理：在一个角的内部,到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

立足教材,追寻本质,发展思维——“角平分线”例题的教学与思考

-083-2021年第19期（总第271期）一、例题呈现北师大版教材八年级数学下册第一章《三角形的证明》第4节角平分线例3：如图1，在∆ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，AD 是∆ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。

（1）已知CD =4 cm，求AC 的长；（2）求证：AB =AC +CD 。

二、功能分析（一）联系旧知，巩固新知本例题是在学生学习了角平分线的概念、角平分线的性质和全等三角形的基础上进行教学的，学生通过联系已有知识解答本例题，加深了对角平分线性质的理解，有效地巩固应用了新学知识。

解题回顾，本例题具备利用角平分线性质的条件，即∆ACD 和∆AED 以AD 所在直线为对称轴成轴对称图形，有过角平分线上一点向角两边作垂线，因此可得全等和等线段。

一般来说，我们可以把过角平分线上一点向角两边作垂线的方法叫作角分线边垂线法[1]，基本图形如图2。

（二）通过变式，挖掘价值从知识的学习运用、挖掘例题的思想方法出发，可以使例题发挥更大的作用。

在教学设计中，笔者将例题里的一个条件隐藏，题目如下。

变式1：如图3，在∆ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，AD是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。

（1）已知CD =4 cm，求AC 的长；（2）求证：AB =AC +CD 。

学生在解答时，需要分析题目中已知条件，联系以前学过的方法。

已知中含有构成三角形全等的部分条件，结合本节课学习的角平分线性质，辅助线添加顺理成章。

证法1：利用角平分线的性质，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E （见图4）。

不难看出，用原例题的解答方法即可完成证明。

帮助学生梳理与角平分线性质的相关内容，可以帮助学生进一步巩固全等三角形的性质和判定，培养学生合理联系已学知识，作辅助线的学习迁移能力。

从解题方法上看，这是间接利用截长补短的方法来解决线段的和差问题，即通过作垂线，将长线段AB 分割成两部分，利用全等得到线段AE =AC ，相当于在AB 上截取AE =AC ，再证明EB =CD ，问题迎刃而解。

北师大版八年级下册数学课本目录

北师大版八年级下册数学课本目录北师大版数学教材是八年级数学教师进行教学、学生进行学习的最主要媒介,教材目录是哪些内容你知道吗?整理了关于北师大版八年级下册数学课本的目录，希望对大家有帮助!北师大版八年级下数学课本目录第一章三角形的证明1. 等腰三角形2. 直角三角形3. 线段的垂直平分线4. 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 不等关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1. 图形的平移2. 图形的旋转3. 中心对称4. 简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1. 认识分式2. 分式的乘除法3. 分式的加减法4. 分式方程回顾与思考复习题第六章平行四边形1. 平行四边形的性质2. 平行四边形的判定3. 三角形的中位线4. 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践⊙生活中的“一次模型”综合与实践⊙平面图形的镶嵌总复习北师大版八年级下册数学知识点：三角形的证明一、全等三角形的判定定理：三边分别相等的两个三角形全等.(SSS)定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(SAS)定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(ASA)定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)二、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.三、等腰(边)三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.(等边对等角)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.四、等腰(边)三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边) 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.五、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.六、直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.七、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.八、线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.九、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.十、互逆命题和互逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.备注：一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.十一、尺规作图的应用已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形.。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明4 第2课时三角形三条内角的平分线

你能证明以上两个结论吗？结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
1 三角形的内角平分线
证明结论
已知：如图，在△ABC 中，角平分线
BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P
分别作 AB，BC，AC 为 D，E，F.
的垂线，垂足分别
D N
求证：∠A 的平分线经过点 P，且
PD = PE = PF.
的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A 的平分线经过点 P.
归纳总结
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°，
AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
B
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 12 .
OP
A
DM C
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边
的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的
是(B )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点

北师大版八年级数学下册教材分析

独田中心学校新北师大版八年级数学下册教材分析胡家平杨仕如一、本册教材内容简析本学期教学内容共计六章。

第一章《三角形的证明》本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。

第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。

第三章《图形的平移与旋转》本章将在小学学习的基础上进一步认识平面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。

第四章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。

第五章《分式与分式方程》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。

第六章《平行四边形》本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。

二、各章教学目标及重点难点第一章、三角形的证明目标：1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力。

2、进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，掌握综合法的证明方法；结合具体实例体会反证法的含义。

3、证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质及定理和判定定理。

4、证明判定三角形全等的“角角边”定理，探索并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理。

5、结合具体例子了解原命题与逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。

北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习

三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？（1）三角形三条边的垂直平分线的性质（2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线

新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明章节全部知识框架

判定
③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。（等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线）
垂直平分线
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。（可用于证明点在直线上或三线共点的问题）三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线尺规作图
判定
③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（不能直接使用结论证
直角三角形等边三角形等腰三角形
性质
③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形）
④“三线合一” ：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。
全等三角形
一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS
判定
两直角三角形全等的判定定理： HL 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。 ②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明基础拔高讲义(角平分线的性质和判定、角平分线模型)(含答案)

（授课内容：角平分线的性质和判定、角平分线模型）（一）知识回顾1、角平分线的性质和判定2、角平分线模型模型I ：角平分线加平行线必出等腰三角形．模型II ：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III ：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．FCDE××○○×M Q'O ONP123（二）例题讲解1、角平分线的性质和判定（1）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥，3cm DE =，5cm BD =，则BC =__________．（2）（14—15年嘉祥期末）在ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，若点P 是ABC △的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是_____________．【解析】（1）8cm ；（2）1（提示：过点P 作三边的垂线，利用面积进行求解）．（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．（2）（14年—15年金牛区期末）如图，ABC △的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若=80BAC ∠︒，则=CAP ∠____________．【解析】（1）如图，在ABC △中，设BAC ∠、ABC ∠的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF E DCBA第19题第CAE DBBEABPIF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI 、BI 都是角平分线， ∴ID IE =，ID IF =， ∴IE IF =，∴CI 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．（2）50°（提示：过点P 向三边作垂线，证明AP 是BAC ∠的外交角平分线） 2、角平分线模型（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．（2）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．（3）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：①12BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠ 90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）6；（2）3cm ；（3）①③④．H FGABC DEBAEF CDA GDFE（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．图4-1 图4-2【解析】（1）5；（2）4cm ；4cm ．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，易证AEC EHC △≌△；由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，则有EH EA AF ==；又可证AGF BHE △≌△，则1248AG EB ==-=，则844BG =-=，4GE =．如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．ABF EADCF E GADCFE GHABDC12ABDC12E【解析】过D 作DE AB ⊥于MON ∠，∵AD BD =，DE AB ⊥， ∴ADE BDE △≌△， ∴12AE BE AB AC ===， ∵12∠=∠，∴ADE ADC △≌△， ∴90ACD AED ∠=∠=︒，∴DC AC ⊥．如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．【解析】延长CE 、BA 相交于F ，在BEC △和BEF △中，12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△ ∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=︒-∠B ACEDAEDF 123同理390F ∠=︒-∠，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△ ∴BD CF =，∴12CE BD =．如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解析】（1）=120AOC ∠︒；（2）在AC 上截取AT ，使AT AE =，连接OT ，在AOE △和AOT △中，AT AEOAT OAE AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOE AOT △≌△，∴60AOT AOE ∠=∠=︒，∴60COT COD ∠=∠=︒ 在COT △和COD △中， 60COT COD OC OCOCT OCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)COT COD △≌△，∴CT CD =， ∴AE CD AT CT AC +=+=．AECOAECOT已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF//BC ，交AB 于F ，则32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵1112(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，1(1802)802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC △≌△，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．∵1=2∠∠，BD 为公共边，∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵1111(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴180(1)180(10020)60ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒． ∵DF DE =，∴DFC DEC △△≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒．∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．ABDCAD CFE1233ABDCFE124ABDCE12F延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF △△≌ ． ∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒．∵BE BF =，120∠=︒．∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED △≌△． ∴ED AD =．∴BC BE BD AD ==+．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥．（1）求证：BE CF =；（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ．求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．【解析】（1）由题意得，90BAC EAF ∠=∠=︒，∴90BAE CAF CAE ∠==︒-∠，在ABE △和ACF △中， 45BAE CAF AB ACABE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ABE ACF △≌△， ∴BE CF =．（2）①作ET AB ⊥于点T ，则DE TE =， ∴22BM DE TE ==，45ABE BET ∠=∠=︒， ∴TE TB =，2BM TB =，TB TM TE ==，B AMFND C∴ME BC ⊥②由①得，ME BC ⊥，AD BC ⊥，∴AD//ME ，∴22.5MEA NAE MAE ∠=∠=∠=︒， ∴ME MA =，∴CM 平分ACB ∠，即22.5ACN DCN ∠=∠=︒，在ADE △和CDN △中， 9022.5ADE CDN AD CDDAE DCN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴(ASA)ADE CDN △≌△ ∴DE DN =．（三）作业设计1、（1）如图1-1，ABC △的周长是22，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．（2）如图1-2，ABC △的B ∠、C ∠的外角平分线交于点D ．求证：AD 是BAC ∠的平分线．图1-1 图1-2【解析】（1）∵O 点为ABC △的两内角平分线的交点，∴O 点到三边距离相等． ∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△BADCOABCDABC DF EG1()3332AB BC AC =⨯++⨯=．（2）分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分CBE ∠，DE BE ⊥，DF BC ⊥， ∴DE DF =．同理DG DF =， ∴DE DG =，∴点D 在EAG ∠平分线上， ∴AD 是BAC ∠的平分线．2、（1）如图2-1，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为_____．（2）如图2-2，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE//BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?图2-1 图2-2【解析】（1）9；（2）如图所示中仍有两个等腰三角形BED △、CDF △，从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-．3、如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，A ∠的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：（1）AE BE ⊥；（2）AD BC AB +=．图4GFDCA EBAB C ENMADECBADECBF【解析】（1）∵//AD BC ，∴22180EAB EBA ∠+∠=︒∴90EAB EBA ∠+∠=︒，∴AE BE ⊥．（2）在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，在ADE △和AFE △中， DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ED EF =，ADE AFE ∠=∠ ∵//AD BC ，∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒，∴EFB C ∠=∠ 在EFB △和ECB △中， EBF EBC EFB CBE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△， ∴EF EC =，∴DE CE =， ∴AD BC AF BF AB +=+=．4、如图所示，在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠，ABCE12ABCE12M 354∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =， ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE =，又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠， ∴553C C ∠+∠+∠=∠， ∴5C ∠+∠，∴MB MC =， ∴2AC AB BE -=．5、如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =， ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=︒，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE =， ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+．方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒, ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．ABCDABCDEABCDF6、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）求证：CE CF =．（2）将图6-1中的ADE △沿AB 向右平移到'''A D E △的位置，使点'E 落在BC 边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：'BE 与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．图6-1 图6-2【解析】（1）相等（2）如图，过点E 作EG AC ⊥于G ．又∵AF 平分CAB ∠，ED AB ⊥，∴ED EG =．由平移的性质可知：''D E DE =，∴''D E GE =． ∵90ACB ∠=︒．∴90ACD DCB ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥于D ．∴90B DCB ∠+∠=︒∴ACD B ∠=∠, 在Rt CEG △与Rt ''BE D △中，∵GCE B ∠=∠，''CGE BD E ∠=∠，''GE D E =， ∴''CEG BE D △△≌，∴'CE BE =，由（1）可知'CF BE =．图1FEDC BAE‘图2GD′A′FE DCBA。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明4 第1课时角平分线的性质

应用格式：
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
P
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. O
E
B
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上
，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且
DE = DF，求 DE 的长.
A
E F
B
D
C
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗?
对此你能得出什么结论？动手证一证.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
则 PE = ___4___cm.
B D
M P
A
EC
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
2 角平分线的判定

新北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》教学课件

M
C
D
A
B
N
教学过程——新知探究
第一章三角形的证明
学以致用
做一做
B
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．DE垂
直平分AB，交AC于点E，连接BE．若AE=5，
BC=3．则DE的长为（D ）
A
A.

B.

C.

D.

D
E
C
教学过程——典例精析
第一章三角形的证明
听一听
E
B
F
D
C
教学过程——典例精析
第一章三角形的证明
听一听
证明：连接AF，
∵AD⊥BC，D为线段CE的中点，
∴AC=AF.
A
∵EF是线段AB的垂直平分线，
E
∴BF=AF.
∴AC=BF.
B
F
D
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第23页“随堂练习”.
第一章三角形的证明
教学过程——课堂小结
第一章三角形的证明
两端点距离相等的点的问题. 根据题目要求可知，点P
为线段AB的垂直平分线与公路的交点.
解：点P的位置如图所示，
A
B
∙
P
教学过程——典例精析
第一章三角形的证明
听一听
例2 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC
于点E，交AB于点F，AD⊥BC于D，若点D为线段CF
的中点．
求证：AC=BF．
A
记一记
本节课学习了线段垂直平分线的性质和判定.
定理线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.

信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大

四、练习巩固
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

B
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
A 30° C
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上
的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°，
CD 是腰 AB 上的高，求证：CD ＝ 1 AB.
∴ CD＝ 1 AB. 2
D A
B
C
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ AB ． 4
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = AB， ∠B = 60°． 2
∴∠BCD = 30°． ∴ BD = CB .
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵ AB＝BC， ∴△ABC 是等腰三角形，又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC＝60°. 又∵ DF∥ BA， ∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°. ∴△ABC 是等边三角形.
1
求证： BC = 2 AB.
A
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
30°
30° 30°
转化
B
C
“线段相等”问题
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
A
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
30°
∴△ABC≌△ADC (SAS).
三角形的证明
新知一览

北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》(第2课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形三条内角的平分线》是北师大版数学八年级下册1.4的内容，本节课主要介绍三角形三条内角的平分线的性质及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解三角形三条内角的平分线的作用，掌握其性质，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。

但是，对于三角形内角平分线的性质和应用可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握三角形内角平分线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形三条内角的平分线的性质，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，学生能够发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

3.情感态度价值观：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.重点：三角形三条内角的平分线的性质。

2.难点：三角形内角平分线的应用。

五. 教学方法本节课采用讲授法、引导发现法、实践操作法等教学方法。

通过教师的讲解和引导，学生的观察和操作，以及合作交流，使学生能够主动探索和发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：PPT或者黑板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，如三角形的内角和、三角形的分类等。

然后，教师提出本节课的学习内容：三角形三条内角的平分线。

2.呈现（10分钟）教师通过展示三角形内角平分线的图片，引导学生观察和思考三角形内角平分线的性质。

教师引导学生发现三角形内角平分线的一些特点，如：交于一点、长度相等等。

3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，验证三角形内角平分线的性质。

学生可以使用三角板、直尺、圆规等工具，自己画出三角形，并测量其内角平分线的长度。

新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 1.4.1角平分线

新北师大版八年级上册数学第一章三角形的证明
制作人靳军强
学习目标
1、掌握角平分线的定理以及它的逆定理，并能正确应用；
2、能够用尺规作图作已知角的平分线，并能表达作图的作法；
3、弄清定理的条件和结论，充分运用综合分析法进行推理证明。
自学教材P33，完成相关问题：
1、角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？你能证明吗？ 2、性质定理的逆命题是什么？是真命题吗？你能证明吗？（请写出已知、求证、证明）
几何语言
2、逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离的点,在这个角的上.
A
Hale Waihona Puke 如图, ∵PD=PE, , (已知), ∴点P在∠AOB的平分线上( ). O
D 1 2 P C
E
B
老师提示:这个结论又是经常用来证明点
在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
3、请完成P34随堂练习题1（用符号语言表示结论及其理由） 4、已知:如图,在△ABE中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE
证明: A ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， D ∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中， 1 P O 2 ∵ ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， E PO＝PO（公共边）， B ∴△PDO≌△PEO（AAS）． ∴ PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．
，
4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D， CE⊥OB于E，若CD=CE，则 ∠COD+∠AOB=__________度. 5.如图（5），已知：OM是角POQ的平分线， MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.

第1章三角形的证明题型解读7 有关角平分线题型-北师大版八年级数学下册

《三角形的证明》题型解读7 有关角平分线题型【知识梳理】 1.概念-----平分角； 2.性质①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ②三角形的三条角平分线分交于一点（内心）；3.判定---在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；4.尺规作图------要求：会识别；依据：全等判定SSS 作法：①在OA 和OB 上分别截取OD ，OE 使OD=OE ；②分别以D ，E 为圆心，以大于以大于12 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内相交于点C ；③作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的角平分线【方法梳理】1.利用“角平分线的轴对称性”来构造全等三角形：(角分线，分两边，对称全等要记全) 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形2.利用角平分线的性质构造全等三角形来解题(分线点，垂两边)121221C OABOA BC C BA O图3图2图1基础图形：∠1=∠2，若OA=OB 或还有一组对应角相等，则OAC≌OBCC E DA BOOBA3.构造等腰三角形来解题：角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。

4.出现两条角平分线时的解题思路①利用典型数学模型求角度：两条角平分线与第三角的角度关系②.利用三条角平分线相交于一点添辅助线解题【典型例题】BA OC 21BA OC 21BAOC2112C O A B图3图2图1基础图形：∠1=∠2，有、补或作垂线，则OAC≌OBC2BA OC 21B AOC 211ABD C 图3图2图1基础图形：∠1=∠2，①若AB ⊥OC ，则AOB 是等腰三角形，如图1； ②若AC//OB ，则AOC 是等腰三角形，如图2； ③若OC//AB ，则AOC 是等腰三角形，如图3；(3)“两外角角平分线”∠P=90° - 12∠A(1)“两内角角平分线”∠P=90°+12∠A(2)“一内一外角角平分线”∠P=12∠AABCPABCPPCBA G FE DC AB DC A B 图1图2基础图形：若AD 、BD 是角平分线，①连CD ，则CD 也是角平分线，如图1； ②作垂线，则DE=DG=DF ，如图2；例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S∆DAC：S∆ABC=1：3A. 1B. 2C. 3D. 4解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D例2.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A. a=bB. 2a+b=﹣1C. 2a﹣b=1D. 2a+b=1解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选B例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是____解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB•DE=12×15×4=30．例4．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于．解析：考查角平分线性质、30度角直角三角形边角关系，数学典型模型“角平分线+平行线=等腰”，过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝12PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．例5.证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出不完整的已知和求证。

三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案

三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案
一、知识要点
1.角平分线的定义和性质；
2.角平分线定理：如果一条直线同时平分一个角的两个邻角，则这条直线称为这个角的角平分线，且它们所在的两条线段相等；
3.角平分线定理的应用。

二、教学过程
1. 导入
通过展示一张三角形的图片，引导学生回忆三角形中的各个角的特点，并提问：如何在三角形中找到一条直线，同时平分一个角的两个邻角？
2. 讲解
1.形式化定义：角平分线是指如果一条直线同时平分一个角的两个邻角，则这条直线称为这个角的角平分线。

2.角平分线定理：一条直线为三角形中某个角的角平分线，当且仅当这条直线与这个角的另外两个邻边相交于两个点，使得这条直线被分割成两条线段，这两条线段长度相等。

3. 讲解示意图
引入一张三角形和角平分线的示意图，通过让学生标注图中的各个角和线段，加深学生对角平分线的理解。

4. 计算练习
讲解角平分线的计算练习，如求角平分线的长度等操作。

5. 角平分线定理应用
引入角平分线定理的应用，让学生通过练习题熟悉角平分线定理的应用方法。

6. 总结
温习本节课所讲知识点，引导学生总结学习成果。

三、教学重点
1.角平分线的定义和性质；
2.角平分线定理的应用。

四、教学难点
学生可能会混淆角平分线和角的平分线的概念，需要通过示意图加以区分。

五、教学评估
通过课堂讨论和练习题进行课堂评估，了解学生对于角平分线的掌握程度，并根据评估结果进行调整，做到因材施教。

以上是三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案。

北师大八年级下三角形的证明第4讲：角平分线

角平分线1、掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质；2、掌握角平分线的判定及角平分线的画法；3、熟练运用角的平分线的性质解决问题。

角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。

1、如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF 分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AD与EF相交于点O.求证:AD⊥EF3、如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：BE＝CF。

4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，求CD的长度.5、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，求点P到BC的距离。

6、如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB。

7、已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF ＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由。

8、如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．9、如图、在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O，求证：AE+CD＝AC。

角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB1、如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分∠BAC．2、如图,AB=CD,S△PAB=S△PCD,求证:OP平分∠BOD。

八年级下册数学知识点大总结(北师大版)

北师大版八年级下册数学知识点大总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL 直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。