高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课后演练提升北师大版
第二章 5离散型随机变量的均值与方差(一)
§5离散型随机变量的均值与方差(一)[学习目标]1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．[知识链接]1．某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答由于平均在每1 kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12kg、13kg和16kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值．2．已知随机变量ξ的分布列为则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.[预习导引]1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝P(Y＝ax i＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．三种常见的分布的数学期望(1)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np．(2)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nM N.要点一利用定义求离散型随机变量的数学期望例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135，故X的分布列如下：∴E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．规律方法求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．跟踪演练1在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，其中k ＝0，1，2，3. ∴P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 要点二 二项分布、超几何分布的数学期望例2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827. (2)法一 ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k (k ＝0，1，2，3，4)． ∴ξ的概率分布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴E (ξ)＝4×23＝83.规律方法 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键．二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪演练2 从4名男生和2名女生中任选3人参加纪念新中国成立65周年演讲活动，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望．解 (1)X 可能取的值为0，1，2.P (X ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2.∴X 的分布列为(2)法一 该题服从超几何分布，则EX ＝nM N ＝6＝1. 法二 由(1)知，X 的均值为 EX ＝0×15＋1×35＋2×15＝1.要点三 离散型随机变量均值的应用例3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )；(2)求η的分布列及期望E (η)．解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A －，则P (A )＝0.6＝0.216，∴P (A )＝1－P (A －)＝0.784.(2)由题意可知η可以取200，250，300，分布列如下∴E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.规律方法 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应数学期望．跟踪演练3 据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元(a ＞100)．问a 如何确定，可使保险公司期望获利？解 设X 表示“保险公司在参加保险人身上的收益”， 则X 的取值为X ＝100和X ＝100－a ， 则P (X ＝100)＝0.99. P (X ＝100－a )＝0.01，所以E (X )＝0.99×100＋0.01×(100－a )＝100－0.01a ＞0， 所以a ＜10 000.又a ＞100，所以100＜a ＜10 000.即当a 在100和10 000之间取值时保险公司可望获利.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．2解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2．若随机变量ξ～B (n ，0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 答案 C解析 ∵ξ～B (n ，0.6)，E (ξ)＝3，∴0.6n ＝3，即n ＝5.故P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k (k ＝0，1，2，…，300)，则E (X )＝________. 答案 100解析 由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k ， 可知X ～B (300，13)，∴E (X )＝300×13＝100.4．A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y .(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．解(1)X，Y的可能取值分别为3，2，1，0.P(X＝3)＝23×25×25＝875，P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P(X＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875；P(Y＝2)＝P(X＝1)＝25，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝325.X的分布列为Y的分布列为(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝23 15.1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式求出均值．2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从超几何分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.一、基础达标1．(2013·广东理)已知离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )等于( )A.32B ．2C.52D ．3答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32，故选A.2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是 ( )A ．0.7B ．6C ．4.2D ．0.42答案 C解析 总得分X ～B (6，0.7)，E (X )＝6×0.7＝4.2.3．已知ξ～B (n ，12)，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于 ( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案 B解析 ∵E (ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30， ∴η～B (30，13)，∴E (η)＝30×13＝10.4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为 ( )A.13B.23C ．2D.83答案 D解析 X ＝2，3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.故E (X )＝2×13＋3×23＝83.5．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________． 答案 10解析 次品率为p ＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E (X )＝np ＝150×115＝10.6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝________. 答案 1.75解析 P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.7．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． (1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．解 (1)X ＝3，4，5，6，P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 25C 14C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121，所以X 的分布列为(2)X 的数学期望E (X )＝42＝9121.二、能力提升8．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是( )A.43B.139C.53D.137答案 B解析 试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×(23＋13)＝19. 所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.9．(2013·湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75答案 B解析 根据题意易知X ＝0，1，2，3.分布列如下所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125 ＝150125＝65.故选B.10．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖．答案二解析选对题的个数X～B(30，0.8)，所以E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能得到二等奖．11．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的均值．解法一(1)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.由等可能性事件的概率公式得P(ξ＝0)＝(23)4＝1681，P(ξ＝1)＝C14·2334＝3281，P(ξ＝2)＝C24·2234＝827，P(ξ＝3)＝C34·234＝881，P(ξ＝4)＝(13)4＝181.从而ξ的分布列为(2)由(1)得ξ的均值为E(ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.法二(1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B(4，13)，即有P(ξ＝k)＝Ck4(13)k(23)4－k，k＝0，1，2，3，4.ξ的分布列如法一．(2)E(ξ)＝4×13＝43.12．(2013·天津理)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175. 三、探究与创新13．(2013·福建理)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解 (1)由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则A 事件的对立事件为“X ＝5”，∵P(X＝5)＝23×25＝415，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝11 15，所以这两人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知：X1～B(2，23)，X2～B(2，25)∴E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，∴E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.∵E(2X1)>E(3X2)他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．。
高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3
x(0≤x≤0.29)．
依题意，EX≥4.73，即 4.76－x≥4.73，
解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
1．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测， 消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等 方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质 (1)Ec＝c(c 为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b 为常数)； (3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b 为常数).
4．已知 X～B100，12，则 E(2X＋3)＝________. 103 [EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]
5．某运动员投篮投中的概率 P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数 ξ 的均值；
(2)求重复 5 次投篮时投中次数 η 的均值．
[解] (1)ξ 的分布列为：
2．均值的性质 (1)若 X 为常数 C，则 EX＝_C_. (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EY ＝E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b___.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称
参数
超几何分布
N，M，n
二项分布
n，p
均值 M nN
_n_p__
思考：两点分布与二项分布有什么关系？
[母题探究 1] 本例条件不变，若 Y＝2X－3, 求 EY.
高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3
• 所以总费用为30＋60＝90(万元)；
8分
• ④若联合采取甲、乙两种预防措施，
• 则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，
• 发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，
• 损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)， • 所以总费用为75＋6＝81(万元).11分
• 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，选择联 合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少. 12
【错解】 试验次数 ξ 的可能取值为 ξ＝1,2,3， P(ξ＝1)＝23， P(ξ＝2)＝13×23＝29，
P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，
所以 ξ 的概率分布为：
ξ
1
2
3
P
2 3
2 9
2 27
所以 Eξ＝43.
【错因】 上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 ξ 取值的意义，ξ＝1 表示第一次试验就成功，ξ＝2 表示第一次 失败，第二次成功，由于实验最多进行 3 次，所以 ξ＝3 表示前 两次失败，第三次可能成功也可能失败．
为46×46＝49，故至少出现 4 点或 5 点的概率为 1－49＝59，
∴X～B10，59.∴EX＝10×59＝590.
答案：
50 9
4．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示，据 统计，随机变量 ξ 的概率分布如下表：
ξ 0 1 23 P 0.1 0.3 2a a (1)求 a 的值和 ξ 的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求 该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率．
a
，
则 EX＝( )
A．
4 5
B．
1 2
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课件新人
[变式训练] 已知随机变量 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1
P
1 2
1 3
m
若 η＝aξ＋3，E(η)＝73，则 a＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以 m＝16. 所以 E(ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 所以 E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－13a＋3＝73， 得 a＝2. 答案：B
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝
4.( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋n …＋xn.(
)
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量， 是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机 变量的均值反映随机变量取值的平均水平．(3)正确，由 均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn.
解析：(1)抛掷骰子所得点数 ξ 的分布列为：
ξ123456
P
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
所以 E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16
＝3.5.
(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币 正面向上的概率为 1－122＝34，且 X～B2，34，
所以均值是 2×34＝32. 答案：(1)C (2)32
归纳升华 求数学期望的步骤是： (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用数学期望公式进行计算．
[变式训练] 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现 播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值讲义
2．3.1 离散型随机变量的均值知识点离散型随机变量的均值或数学期望1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝□01x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了02平均水平．离散型随机变量取值的□2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量；(2)E(aX＋b)＝□03aE(X)＋b.知识点两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝□01p.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝□02np.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论：(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)若随机变量η的分布列为则η的数学期望E (η)＝________.(2)设随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则p ＝________.(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为67，则口袋中白球的个数为________．答案 (1)1.3 (2)14(3)3解析 (1)由题意可知m ＝0.5，故η的数学期望E (η)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3. (2)若随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则16p ＝4，所以p ＝14.(3)设口袋中有白球n 个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是n7，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×n 7＝67，所以n ＝3.探究1 求离散型随机变量的均值例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望．[解] 取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P (ξ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (ξ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (ξ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (ξ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.拓展提升求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定ξ的可能取值； (2)计算出P (ξ＝k )； (3)写出分布列；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．[跟踪训练1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．解 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.金版教程|数学·选修2－3[A]第二章 随机变量及其分布 探究2 均值性质的应用例2 已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3.(1)求b ； (2)求a ；(3)若η＝2ξ－3，求E (η)．[解] (1)由随机变量的分布列的性质，得 0．5＋0.1＋b ＝1. 解得b ＝0.4.(2)E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.解得a ＝7.(3)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b得E (η)＝E (2ξ－3)＝2E (ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6. 拓展提升求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解．对于求aX ＋b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量(aX ＋b )的分布列，再用定义求解．[跟踪训练2] 已知随机变量ξ的分布列为若η＝a ξ＋3，E (η)＝73，则a ＝________.答案 2解析 由分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，即m ＝16，所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.则E (η)＝E (a ξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝73，即－13a ＋3＝73，得a ＝2.探究3 离散型随机变量均值的实际应用例3 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解] (1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. ∴P (ξ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (ξ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2300－100ξ，∴E (η)＝E (2300－100ξ)＝2300－100E (ξ)＝2300－100×2＝2100. 即所求变量η的数学期望为2100元． 拓展提升解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．[跟踪训练3] 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2，P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25， P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1.求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( )A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22答案 B解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.2．已知随机变量ξ的分布列为若E(ξ)＝7.5，则a等于( )A．5 B．6 C．7 D．8答案 C解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧0.3＋0.1＋b ＋0.2＝1，4×0.3＋a ×0.1＋9b ＋10×0.2＝7.5，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.4，a ＝7.3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望为________．答案509解析 一次试验成功的概率为1－4×46×6＝59，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，59，因此X 的数学期望为509. 4．随机变量ξ的概率分布列如下表：尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E (ξ)＝________.答案 2解析 设“？”处的数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E (ξ)＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2.5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．解 设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)． 所以由题意得P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.所以E (ξ)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185.又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E (η)＝E (ξ)－5＝185－5＝－75.。
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。
高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差课件北师大版选修23
离散型随机变量的方差
【例2】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中记上0号的有10
个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
求ξ的分布列、均值和方差.
分析先列出随机变量的分布列,然后根据方差的计算公式进行计算.
第十五页，共36页。
探究(tànjiū)
一
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟 求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时题中已给出,有时可以省略);
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
第十七页，共36页。
探究
(tànjiū)一
探究
(tànjiū)二
X 2 的分布列为
X2
P
80
60
40
2
3
1
6
1
6
1
2
6
3
1
2
1
DX 2 =(40-60)2 × +(60-60)2 × +(80-60)2 ×
6
3
6
1
6
X 2 的均值为 EX 2 =40× +60× +80× =60,
X 2 的方差为
=
400
.
3
因为两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案 2 奖励额的
第三页，共36页。
一
二
名师点拨随机变量的分布相同,则它们(tā men)的均值一定相同;有相
同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值.从上
高中数学 2.5 第1课时 离散型随机变量的均值课件 北
●重点难点 重点：离散型随机变量的均值与方差的概念． 难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或方差． 均值与方差有它的特定意义．教学中可以先提出问题， 引导学生解决问题．在解决问题的过程中，逐步得出均值、 方差的概念，再结合例题进而巩固概念，让学生学会应用， 这样不仅突破了难点，又让学生掌握了重点内容．
(1)若 X 为常数 C，则 EX＝ C .
(2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，
且 EY＝E(aX＋b)＝ aEX＋b
.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称 参数
均值
超几何分布 N，M，n
M nN
二项分布 n，p
np
求离散型随机变量的均值
袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球，从中任 取 2 个球，每取到一个黑球记 0 分，每取到一个白球记 1 分， 每取到一个红球记 2 分，用 ξ 表示得分数．
刻画的是 X 取值的“ 中心位置 ”．
离散型随机变量均值的性质
【问题导思】 1．若随机变量 X 为常数 b，则 EX＝？ 【提示】 ∵EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn ∴当 X＝b 时，E(X)＝bp1＋bp2＋…＋bpn ＝b(p1＋p2＋…＋pn)＝b. 2．若随机变量 X 的均值为 EX，Y＝ax(a 为常数)写出求 EY 的过程． 【提示】 EY＝E(ax)＝ax1p1＋ax2p2＋…＋axnpn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＝aEX.
当 ξ＝3 时，即取到 1 个红球和 1 个白球， 则 P(ξ＝3)＝C1C3·C29 12＝16； 当 ξ＝4 时，即取到 2 个红球，则 P(ξ＝4)＝CC2229＝316. 所以 ξ 的分布列为
ξபைடு நூலகம்01 2 3 4
2020_2021学年高中数学第二章概率2_5_1离散型随机变量的均值一课件北师大版选修
(2)X 的所有可能值为 0，10，20，50，60，
且 P(X＝0)＝CC16022＝13，P(X＝10)＝CC311C0261＝25， P(X＝20)＝CC13022＝115，P(X＝50)＝CC111C0261＝125， P(X＝60)＝CC111C0231＝115.故 X 的分布列如下.
X 0 10 0 50 60
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值E(X)．
【思路】 本题(1)可直接用古典概型求概率，也可从其对 立事件“2张都不中奖”考虑，间接求解；
(2)可以设中奖的奖品价值为随机变量X，然后写出X的所有 可能的取值及X的分布列，进而求出E(X)．
【解析】 (1)方法一：设“该顾客中奖”为事件A， 则P(A)＝1－P(－A )＝1－CC16022＝1－1455＝23. 方法二：P(A)＝C41CC611＋ 02 C42＝3405＝23. 即该顾客中奖的概率为23.
由数学期望公式，可得
E(ξ) ＝ 1×(a ＋ b) ＋ 2×(2a ＋ b) ＋ 3×(3a ＋ b) ＋ 4×(4a ＋ b) ＝
30a＋10b.
∴30a＋10b＝3.②
由①，②联立，解得 a＝110，b＝0，∴a＋b＝110.
【答案】
1 10
题型三 两点分布的均值 例3 某运动员投篮命中率为P＝0.8. (1)求一次投篮时命中次数ξ的期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．
◎思考题 3 在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分．如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得 分 X 的均值是多少？
【解析】 显然这里的得分X服从参数p＝0.7的二点分布， ∴E(X)＝0.7.
高中数学 第1部分 第二章 §5 第一课时 离散型随机变量的均值课件 北师大版选修23
1．随机变量X的均值(数学期望)
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概 率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为
P(X＝ai)＝pi (i＝1,2，…，r)， 则X的均值EX＝ a1p1＋a2p2＋…＋arpr .
(2)均值的意义 均值刻画的是随机变量 X 取值的“ 中心位置 ”． 2．两种特殊随机变量的均值 (1)当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其均值 为 np . (2)当随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布时，
解：X 的所有可能取值有 6,2,1，－2，则 P(X＝6)＝122060＝0.63，
ห้องสมุดไป่ตู้
P(X＝2)＝25000＝0.25，P(X＝1)＝22000＝0.1，P(X＝－2)＝2400＝
0.02.
故 X 的分布列为：
X6
2
1
－2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. 故1件产品的平均利润为4.34万元．
6．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已 知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、 2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元．设1件产 品的利润为X(单位：万元)． (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)．
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为 E1＝400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发 生突发事件的概率为1－0.9＝0.1， 损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝85(万元)；
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人
求两点分布、二项分布的均值的方法： (1)准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键，通常情况下，在 n 次独立重复试验中事件发生的次数 ξ 服从二项分布，直接代入公式即可求得数 学期望． (2)对于两点分布，要准确辨别成功率 p.
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期望．
－ Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3
1 5
11 6 20
∴E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×210＝－6125.
探究二 两点分布与二项分布的均值 [典例 2] 某运动员投篮命中率为 p＝0.6. (1)求投篮一次时命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时命中次数 η 的均值． [解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 服从两点分布，则 E(ξ)＝p＝0.6. (2)重复 5 次投篮，命中的次数 η 服从二项分布，即 η～B(5,0.6)． 则 E(η)＝np＝5×0.6＝3.
解析：设该车主购买乙种保险的概率为 p， 由题意知 p×(1－0.5)＝0.3，解得 p＝0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20. 所以 X 的期望是 20 人．
高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第1课时 离散型随机变量的均值课后演练提升
1课时离散型随机变量的均值课后演练提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1课时离散型随机变量的均值课后演练提升北师大版选修2-3 一、选择题1．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为( ) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:次品数ξ的分布列为Eξ＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!。
答案:B2．已知随机变量X的分布列为,且设Y＝X＋3，则Y的均值是（）A．错误!B．4C．－1 D．1解析：EX＝－1×12＋0×错误!＋1×错误!＝－错误!.EY＝E（X＋3)＝EX＋3＝－错误!＋3＝错误!。
答案：A3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6,现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A．2.44 B．3。
376C．2.376 D．2.4解析：ξ取0,1,2，3。
P(X＝3)＝0.6，P(X＝2）＝0。
4×0.6，P（X＝1）＝0.42×0。
6，P（X＝0)＝0。
43×0.6,∴EX＝3×0。
6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376。
选修2-3第二章第5节离散型随机变量的均值与方差(第1课时)
分析理解
问题2：设有12个西瓜，其中有4个重5Kg，3个重6Kg，5个重7Kg，
求西瓜的平均重量.
西瓜的平均重量 5 4 6 3 7 5 73 (Kg)
12
12
设X表示从这12个西瓜中任取1个西瓜的重量，则X的分布列为：
X
5
6
7
P(X) 4/12 3/12 5/12
X的均值= 73 5 4 6 3 7 5
12
12 12
12
问题解决 问题1：在10件产品中，有4件次品，从这10件产品中任取3件， 用X表示取出的3件产品中次品的件数，则X的分布列为：
X
0
P(X) 1/6
1
2
3
1/2 3/10 1/30
X的均值 0 1 1 1 2 1 3 1 1.2
aEX b
期望性质 二、数学期望的性质
若X为一个离散型随机变量，a, b为常数，则 E(aX b) aEX b
练习巩固
1.随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
1) 则Eξ= 2.4 .
2) 若η=2ξ+1，则Eη= 5.8
.
2.随机变量ξ的分布列是
练习巩固
ξ
4
7
P
0.3
a
为随机变量X的均值或数学期望。
概念解读
期望 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
注：
（1） EX是一个实数，由X的分布列唯一确定；
（2） EX的定义就是计算 EX的一种方法.
（3）均值 EX刻画了X取值的“中心位置”，它是
高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值323数学
=
5
.
2
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D.2
等于(
)
1
2
3
4
5
6
2设随机变量X~B(40,p),且EX=16,则p等于(děngyú)(
A.0.1
B.0.2
C.0.3 D.0.4
解析∵EX=40×p=16,∴p=0.4.
答案D
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)
1
2
3
4
5
6
为事件 B,“通过复审”为事件 C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件 D,则 D=A∪BC.
1 1
因为 P(A)= ×
2 2
3
P(C)=10,
=
1
1
,P(B)=2× ×
4
2
1
12
2
所以 P(D)=P(A∪BC)P(A)+P(B)P(C)=5.
2
(2)根据题意,X=0,1,2,3,4,且 X~B 4, ,
2
3
率分别为3 和 5.现安排甲组研发新产品
A,乙组研发新产品 B.设甲、
乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率(gàilǜ);
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,
预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
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§5 离散(lísàn)型随机变量的均值与方差
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第1课时 离散型随机变量(suí jī biàn liànɡ)的
均值
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2016-2017学年高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第1课时 离散型随机变量的均值课后演练提升 北师大版选修
2-3
一、选择题
1．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为( )
A ．310
B ．3
5 C ．215
D ．815
解析： 次品数ξ的分布列为
E ξ＝0×C 27C 210＋1×C 13C 17C 210＋2×C 2
3C 210＝3
5.
答案： B
2．已知随机变量X 的分布列为
，且设Y ＝X ＋3，则Y 的均值是( ) A ．83 B ．4 C ．－1
D ．1
解析： EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－1
3
.
EY ＝E (X ＋3)＝EX ＋3＝－1
3＋3＝83
.
答案： A
3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )
A ．2.44
B ．3.376
C ．2.376
D ．2.4
解析： ξ取0,1,2,3.
P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6， P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×0.6，
∴EX ＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42
×0.6＝2.376. 答案： C
4．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )
A ．4
B ．5
C ．4.5
D ．4.75
解析： X ＝3,4,5，其分布列为
∴EX ＝3×110＋4×310＋5×10＝4.5.
答案： C 二、填空题
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让
其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变量
X 的数学期望EX ＝________________.
解析： 由题意知P (X ＝0)＝ 13(1－p )2
＝ 112，
∴p ＝ 1
2
.
随机变量X 的分布列为：
EX ＝0× 112＋1× 13＋2× 512＋3× 16＝ 53
.
答案：5 3
6．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到____________等奖．
解析：选对题的个数X～B(30,0.8)，
所以EX＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能拿到二等奖．
答案：二
三、解答题
7．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：
(1)甲独立解出该题的概率；
(2)解出该题的人数X的数学期望．
解析：(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为(1－p)2，
由题意知，1－(1－p)2＝0.36，解得p＝0.2.
(2)解出该题的人数X的分布列为：
∴EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4
8．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)游客在一次游戏中获得奖金y的分布列及均值．
解析：(1)设5发子弹命中X(X＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(X＝5)＝C550.55＝1
32
.
(2)由(1)知X的分布列为
设游客在一次游戏中获得奖金金额为Y元，于是Y的分布列为
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值EY ＝(－2)×2632＋0×532＋40×1
32
＝－0.375(元)．
尖子生题库 ☆☆☆
9．如图形状的三个游戏盘中(圆形游戏盘的两个同心圆的半径之比是1∶2)，各有一个玻璃小球．依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
(2)一局游戏后，用X 表示小球停在阴影部分的次数与小球没有停在阴影部分的次数之差的绝对值，求X 的分布列及均值．
解析： (1)一局后，三个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A 1、A 2、A 3， 由题意A 1、A 2、A 3相互独立，且P (A 1)＝1
2
，
P (A 2)＝14，P (A 3)＝13
.
A 1∩A 2∩A 3表示三个盘中的小球都停在阴影部分． P (A 1∩A 2∩A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)
＝12×14×13＝124
. (2)一局后，小球停在阴影部分的次数可能取值为0、1、2、3，相应的小球没有停在阴影部分的次数可能取值为3、2、1、0，所以X 的可能取值为1、3.
则P (X ＝3)＝P (A 1∩A 2∩A 3)＋P (A 1∩A 2∩A 3) ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝12×14×13＋12×34×23＝724
. P (X ＝1)＝1－724＝1724
.
所以X 的分布列为：
∴EX ＝1×1724＋3×724＝19
12.。