直线圆的重难点题目回顾和拓展

直线圆的重难点题目回顾和拓展

1.圆9)3()3(2

2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为2的点有 2 个； 拓展：

圆9)3()3(2

2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为d 的点有2个；则()__1,5__d ∈ 若有3个则_1_d = ，若有4个 ()__0,1__d ∈

2. 由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=

拓展：（1）由直线y x a

=+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则a =

（2）求证切线长公式：圆外一点00(,)P x y

到圆220x y Dx Ey F ++++=的切线长 （3）22(3)1x y -+=上的点到直线1y x =

+的距离的范围为____________

(4) 22(3)1x y -+=上的点到直线y 的点的距离的最小值为___________.

3. 过圆x 2+y 2=4外一点P (4，2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5

拓展：过圆222

x y r +=外一点()00,x y 作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是()()000x x x y y y -+-=

4．M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为相离 （填相切、相交、相离）

归纳：（1）M(为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为___________

（2）M(为圆上一点，则直线与该圆的位置关系为______________

拓展：若称为（关于圆的极线（称为极点。试解释的意义。

并证明若点A 的极线经过点B ，则点B 的极线经过点A.

5．已知圆的方程是222()()x a y b r -+-=，求证：经过圆上一点00(,)M x y 的切线l 的方),00y x )0(222>=+a a y x 200a y y x x =+),00y x )0(222>=+a a y x 200a y y x x =+),00y x )0(222>=+a a y x 2

00a y y x x =+200a y y x x =+),00y x )0(222>=+a a y x ),00y x 200a y y x x =+

程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=

变式题已知圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=，求证：经过圆上一点00(,)M x y 的切线l 的方程为()()000011022

x x yy D x x E y y F ++++++= 6. 直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的确定的三角形一定是 直角三角形

变式题：直线()00≠=++ab c by ax 截圆222x y r +=所得弦长等于l ，若以|a |、|b |、|c |

为边长的确定的三角形一定是直角三角形（|c |为斜边），求证：2

2

14l r =+ 7. 设圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l :2x -3y =0的距离最小的圆的方程.（根据97高考改遍） 分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.

解：设圆心为P(a ,b ),半径为r ,则点P 到x 轴,y 轴的距离分别为│b │,│a │.

由题设圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P 截x

r 2=2b 2

又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有r 2=a 2+1.从而得2b 2-a 2=1.

又点P(a ,b )到直线230x y -=的距离为d =所以13d 2=│2a -3b │2=4a 2+9b 2-12ab=4a 2+9b 2-2≥4a 2+9b 2- 22982a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

=b 2-12a 2=12

当且仅当3a =4b 时上式等号成立,此时13d 2=12

,从而d 取得最小值. 由此有解此方程组得由于r 2=2b 2知3r =于是,所求圆的方程是:

(

2292x y ⎛-+-= ⎝⎭或(2292x y ⎛+++= ⎝⎭ 8. 已知点B （－1，0），C （1，0），动点A 使得∠BAC ＝135°，求点A 的轨迹方程 r =

答案：点A 的轨迹方程为x 2＋y 2＋2y －1＝0（y ＞0）或x 2＋y 2－2y －1＝0（y ＜0）

提升：已知点B （－a ，0），C （a ，0），a>0动点A 使得∠BAC ＝α，求点A 的轨迹方程

答案：点A

的轨迹方程为()()2222cot sec 0x y a a y αα+-=>）或()()2222cot sec 0x y a a y αα++=<

总结：对最值问题如果能判定最值点；对轨迹问题如果能判定轨迹。则解法简便！

9.已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD

的面积的最大值为________．答案 5

提炼本质：已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，

（1） 求证：22

20AC BD +=

（2） 求20AC BD +=的最大值。