山东建筑大学2011-2012-2线性代数B卷

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2012-2013线性代数B 期末试卷 4(第二学期版)

队别__________
教学班次___________ 学号___________
姓名____________
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
武汉大学数学与统计学院 2012‐2013 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷
1．设有三个不共面的向量α = (a1, a2 , a3 ) , β = (b1,b2 ,b3 ) ,γ = (c1, c2 , c3 )
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
姓名____________
教学班次___________ 学号___________
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
x4 x4
= =
1 2
⎪⎩ x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3
2 1 41
12．计算 D = 3 −1 2 1
1 2 32 5 0 62
队别__________
评卷人
试卷第 1 页（共 2 页）
得分
二、证明（1 小题，共 6 分）
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
证明：存在唯一一个向量 x ，使 x ⋅α = 1, x ⋅ β = 2, x ⋅γ = 3.
试卷第 2 页（共 2 页）
2⎞

山东建筑大学07-08代数A+答案

2007-2008学年第二学期线性代数试题（A 卷）一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分）1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（） (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变; (D)若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号. 2．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（） (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ;(C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，1η和2η是其任意2个解，则下列结论错误的是（） (A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B)121122ηη+是Ax=b 的一个解; (C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-（，，）, 2764α=（，，），3000α=（，，），则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关; (C) 可能线性相关，可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的特征值为（）(A) 1,1,2 ； (B) 1,2,2 ； (C) 1,2,4 ； (D) 2,4,4.二、填空题（每小题4分，本大题共20分） 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ，则矩阵=3A .3. 设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为 . 4．二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、（本题10分）计算行列式efcfbfde cd bd ae ac ab---.四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵.五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（本题12分）求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.2007-2008学年第二学期线性代数试卷A 参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A ； 4. A ； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、4444⎛⎫⎪⎝⎭；3. 1 ；4．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ；5．正数. 三、（本题10分）计算行列式efcfbfde cd bd ae ac ab ---.解：efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecb ec b e c b adf---……….…….…..…………（3分）=111111111---adfbce……………………………………………………………………………….（6分）=abcdef 4……….………………………………………………………....……（10分）四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.解：,21⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 85-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分）五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00000175100172021211117847246373542A ………………………..（4分）于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（8分）所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（12分）六、（本题12分）解：A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ，……………..………....（2分）故A 的特征值为21=λ，132==λλ. ……………..………………….……..（5分）(1) 对于特征值21=λ，得到齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ，它的基础解系是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100，所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….（7分）(2) 对于特征值132==λλ，得到齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121，所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...（9分）因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分）七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分）则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分）八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明：必要性：因为秩（A ）=1，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.……………………..….（2分）得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A =)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ，)(21n b b b =1)001(-Q 。

山建修订线性代数作业答案

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）=baca cb cb accc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（2）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2 4 1 3；（2）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（3）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为2)1(-n n .（3）逆序数为)1(-n n . 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：解(1)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(2)ef cf bfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e cb adf--- =111111111---adfbce =abcdef 4(3)dcb a10110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5、证明：(1)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bxaz zbx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bx az yz bz ay x a 分别再分bzay yxbyax x z bxaz z y b +++zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z y zy x b yxzx z yz y x a (2) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d d d c c c b bb a a a(3) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d ac ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a-----))((d c b a d c +++-(4) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=)1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)nna a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221 ++nn n a a a a a a a a -------000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑+==ni in a a a a(4) nnnnnd c d c b a b a D 00011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 000000011111111----展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式： 222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij-=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n7.用克莱姆法则解下列方程组：解11213513241211111----=D 812073503211111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=112123313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14238100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=42611135232422115113-=----=D14202132132********4=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ, 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1﹑已知两个线性变换,zz y z z y z z y ,yy y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32331221132133212311323542322 求从变量321z ,z ,z 到变量321x ,x ,x 的线性变换。

山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2010~2011-2-线代A卷+答案

1 2 1 r 1 2 1 r 0 1 1 r 0 1 1
1 1 2
2 1 1
0 0 0
0 0 0
1 得基础解系： 3 1 ； 1
分）
单位化得
1
3
p3
1
3 1
3
；
………………（10
1
2
得到正交矩阵
P
1 2
0
1 6
1
6 2
6
1
3
1
3 1
3
量的个数为
。
５．已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (k 1)x12 (k 1)x22 (k 3)x32 正定，则数 k 的
取值范围为________。三、综合题（60 分）
1 234 2341 1.（10 分）计算行列式： D 3412 4123
姓名装订线
班级
考场装订线
4. 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 A2 1 必有一个特征值等于
（
）
装订线
山东建筑大学试卷
3.（10 分）设向量组
共 4 页第 2 页
1 2,3,1,2T ,2 1,1,4,0T ,3 3,3,12,0T ,4 5,10,1,6T ；
求该向量组的秩 R1 , 2 , 3 , 4 ，并求出该向量组的一个最大无关组.
学号
1 0 1
2．（10 分）设 A 和 B 都是 3 阶方阵 AB E A2 B ，若 A 0 2 0 ，
4.解
A,
b
1
1
1
3 r 1
1
1
3
1 1 1
1 1
1 0
1 1

山东建筑大学概率论与数理统计_试卷(含答案)11-12-1-B.doc

2011至2012学年第一学期考试时间：120 分钟课程名称：概率论与数理统计(B)卷考试形式：(闭卷)年级：10 专业:全校相关专业:层次：(本)•、填空题(每小题分，共分)1、设A, B 为两随机事件，P(A) = 0.5,P(A — B) = 0.2,则P(AB) = __________________2、设X〜N(O,1), F = 4X+1,则随机变量Y〜.3、设X 〜P(2), / = 3X+4,贝iJEK =.4、设随机变量X的分布函数为F(x) = A + Barctanx, - oo<x<+oo则系数A=: B=.5、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2 ,则随机变量3X - 2Y的方差为.6、设X服从[1,4〕上的均匀分布，对X进行三次独立试验，则至少有两次观测值大于2的概率为.7、设随机变量X与Y相互独立，旦有同一分布列8、假设一批产品中一、二、三等品各占6()%、3()%、10%,从中任意取出一件，结果不是三等品，贝U取到的是一等品的概率为.3 9、设X和Y为两个随机变量，且P{X NOyzON,,4P{X > 0) = P(y > 0}=-,则P{max(X,y)>0}=.7[>2) x>01()、设总体x的概率密度为/{ 一八，而X|,x°,・・・x〃是0 x<0 ~来白总体X的简单随机样本，则未知参数0的矩法估计量为.二、选择题(每题2分，共20分)11、设随机变量A与B互不相容，且P(A)〉O, P(B)〉O,则下列关系成立的是( ).(A) A与B相互独立；(B) A与B不相互独立；(C) A与B互为对立事件；(D) A与B不互为对立事件.12、设X是一个离散型随机变量，则( )可以成为X的分布列.(A)(P是任意实数)(B)则随机变量e~3y e~3y(C)P{X=i} = —(i = l,2,・・・)；(D)P{X=i} = — (i = 0,1,2,…);1 1).(B) F(-a) = S 一 J (p(x)dx :(D) F(-«) = 2F(tz)-l.13、设F. (x),旦")为两个分布函数，其相应的概率密度函数为/i (%), f 2 (%)是连续函数，则必为概率密度的是().(A) ； (B) 2F 2(x\f^x);(0 £(对旦(x);(D) /, (X )F 2 (x) + F } (x)/2 (x)・14、设随机变量X,K 相互独立,且研X ), E (Y )存在，记U=max{X,Y}, V = min{X,r},则E (t/V )等于()・19、将一枚硬币重复掷〃次，以X 和K 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 与K 的相关系数等于().(A) -1;(B) 0; (C) (D) 1.220、设％, X 2,・・・X 〃是来自正态总体N(/iq2)的简单随机样本，京是样1 〃_ I n_本均值，记 S ；=——£(Xj_X)2 , s ； =一£(X,.—X)2 ,〃 T i=in i=i1 n] 〃s ；=——Z(x,—")2, s ： =-£(x,—〃)2，则服从自由度为〃一i的/〃 T ,•=】〃，=1分布的随机变量是((A)E (t/)E (V ); (B)E (X )E (y); (C) E(U)E(Y); (D)E (X )E (V ). 15、设随机变量X 服从正态分布N(y),则随b 的增大，概率 P(|X-//|<a)是().(A)单调增大； (B)单调减少； (C)保持不变； (D)增减不定.16、设随机变量X 的密度函数为f(x),且f(-x) = /(x), F(x)是X 的分布函数，则对任意实数Q,有( (A)F(-6Z )= 1 _ J (p{x)dx ； (C) F(-a) = F(a)；17、设二维随机变量(X,K )服从N (//,3,3,0),则日优涅)等于( ). (A)+CT 2)； (B) //(// + cr) ； (C) +cr 2 ； (D)-<T 2).18、设X 〜e(/l), J1E (X2)= 98,则参数人等于().(A) 7;(B)(C) 6; (D)76三、求解题(共60分)21、(8分)一盒乒乓•球有6个新球，4个旧球.不放回抽取，每次任取一个，共取两次.(1 )求第二次才取到新球的概率；(2)发现其中之一是新球，求另一•个也是新球的概率.22、(10分)设随机变量X与V相互独立，且均服从[0,2]上的均匀分布，令U =\X-Y\f试求D(U)。

(完整)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

06-07-2线性代数试题及答案山东建筑大学

2006-2007学年第二学期线性代数试题A 卷一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101的特征值，则=a _____________2、已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 3、设5200210000120011A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则1_______A -=. 4、设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B .二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中【】．()A . 必有一列元素全为0；()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有【】．()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．3．设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【】(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. 4．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是【】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.三．计算行列式（本题满分6分）11111110000011000011---=n D四．（本题满分12分）设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+．⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位．⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ．五．（本题满分14分）当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六．（本题满分12分）求矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300121103A 的特征值和特征向量，并回答A 是否能对角化？为什么？七．（本题满分12分）问λ取何值时，二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型？八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基下的坐标．九．（本题满分12分）设n 维向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,m αααβ线性相关，试用两种．．不同的方法证明β可由12,,,m ααα线性表示，且表示法唯一.。

山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化013-2014-1线性代数试题B

考场班级姓名学号订线装订线装订线课程名称：线性代数（B ）卷考试形式：（闭卷）年级： 2011 专业：；层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.(A);2. (D) ;3.（B ）；4.（A ）5. （A ）二. 填空题(每题4分,共20分)1.1≠x 且2≠y ；2. 3；3. 0； (4) 12-； (5)14k k =-=或。

三、综合题1．解：11213141112131411234143111321432-+++=-+-=-M M M M A A A A ………………(2分)123406650102666--………………………………………………………………(6分)66566510210266661--=--= ……………………………………(8分)2.解由2AB =A+B ，得()2-=A E B A …………………………（2分）101211010012-=-=-≠A E 2∴-A E 可逆()1013012110110012014⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭A EA 2132101301011211001223r r r r ⎛⎫- ⎪---- ⎪+ ⎪-⎝⎭100522010432001223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭即 522432223--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B …………………………（10分）3.解：1121112112101423110464a a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A …………………………（2分） 1121014202220a a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪++⎝⎭…………………………（4分）由于()2R =A ，所以1,2a b =-=-。

…………………………（6分）4.解 1231110(,,,)1113111λλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭αααβ r 1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭………………………（.6分）（1）当0λ≠且3λ≠-时，()123123,,(,,,)3R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一； …………………………….（8分）（2）当3λ=-时，()123123,,(,,,)2R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式不唯一； …………………………….（10分）（3）当0λ=时，()123,,1R =ααα，123(,,,)2R =αααβ，β不能由123,,ααα线性表示且表达式不唯一 …………………………….. （12分）5.解: 记()12345,,,,=αααααA ，对矩阵A 施行初等行变换12102032210003100000r --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， ………………………………（4分）（1）()R A 3= ……………………（6分）（2）A 的列向量组的最大无关组含3个向量，124,,ααα就是A 的列向量组的一个最大线性无关组。

山建成人高等教育线性代数期末考试复习题及参考答案

三.计算题（本大题共5小题，每小题11分，共55.
3.(11分)设，，求 .
4.(11分)求矩阵的逆矩阵.
5.(11分)设矩阵 .求 .
2019-2020学年第2学期类别：函授
课程名称：线性代数层次：高起本
年级：2019级专业：机械电子工程学号：姓名：考场：
山建成人高等教育线性代数期末考试复习题及参考答案
课程名称：线性代数
年级：2019级
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。）
1.矩阵，则下列运算可行的是（）
A． B.
C． D.
2.若，则下列说法正确的是（）
A．A可逆B.
一.单项选择题
3.矩阵，则下列运算可行的是（）
A． B.
C． D.
4.若，则下列说法正确的是（D）
A．A可逆B.
C． D.A不可逆
3.行列式的值为( )
A. -1B.2
C.3D.5
4.A,B为n阶方阵，则下列运算不正确的是（B）
A． B.
C． D.
5.设，则 ( )
A.10B.8
C.6D.14
二.填空题
1.已知，，则
2.设，则 adf
3.设 ,则 =
4.已知，则
5.方阵可逆，-1是的一个特征值，则可以求得的一个特征值为__________
三.计算、证明题
1.计算行列式
解：—21；
2.解：或
3.
4.求矩阵的逆矩阵.
解：
所以
5.
C． D.A不可逆
3.行列式的值为()
A. -1B.2

山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2010~2011-2-线代B卷+答案

(2)存在可逆矩阵
Q
1 1
0 0
-1 1
0
，使得
0
0 1 0 1
1 0 0 0
Q1 AQ
0
1
0
0
……...…………(15 分)
0 0 -1 0
0 0 0 -1
可知 ( A 2E)1 1/ 2
1/ 2
1/
2
．
2 0 1
分）进而
…………………………（8
1 0 0 3 0 0 3 0 0
B ( A 2E)1 A 1/ 2
1/ 2
1/
2
1
4
1
1
2 1 ．
……
2 0 1 2 0 3 4 0 3
（10 分）
法二．因为 AB A 2B ，所以 (A 2E)B A ，………………………………(2 分)
分）
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
由
1
2
10
1
0
0
2
1 1
1
0
0
2
01
1
1
2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1
1 0 0 1 0 0
0
1
0 1/ 2
1/ 2
1/
2
0 0 1 2 0 1
1 0 0
(A) A 的列向量组的秩等于零；
(B) A 中必有两个列向量对应成比例；
(D) —3。
（C） k1 (1
2 ) k2 (1
2)
1
2 2
；
（D） k1 (1

山东建筑大学线性代数期末试题

06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵()234,,,A αγγγ=，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则行列式=+B A （）（A ） 5；（B ） 4；（C ） 50；（D ） 40。

2．设A 为3×3矩阵，B 为4×4矩阵，且1=A ，2-=B ，则=A B （）。

（A ） 2-；（B ） 4-；（C ） 8-；（D ） 1。

3．设A 是n 阶方阵，且n r R <=)(A ，则在A 的n 个行向量中（）. （A ）必有r 个行向量线性无关（B ）任意r 个行向量线性无关（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关组（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示4．若齐次方程组0=AX 有无穷多解，则非齐次方程组B AX = ( )()A 必有无穷多解； ()B 可能有唯一解 ()C 必无解； ()D 有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A 的三个特征值为λ10=, λ23=, λ36=-，对应于1λ的特征向量为 ()Tx 1011-=,,，对应2λ的特征向量为()Tx 1122,,=，记向量213x x x +=，则( ).()A 3x 是对应于特征值λ10=的特征向量. ()B 3x 是对应于特征值λ23= 的特征向量. ()C 3x 是对应于特征值λ36=-的特征向量. ()D3x 不是A 的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）11．设n 维向量组)(,,,,n s s s <+121αααα 线性无关，则向量组s ααα,,, 21 的秩为 .已知矩阵A 与2035B ⎛⎫=⎪-⎝⎭相似，则矩阵A 的特征值为。

3．行列式dc b a D 000321200503== . 4．设()T9753,,,=α，()T0251,,,-=β，向量γ满足βγα523=-，则=γ .5．设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=*AA . 三、(8分) 计算1+n 阶行列式xxx x x a a a a D n n 0000002101--=+四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 五、（8分）设向量组321ααα,,线性相关，向量组432ααα,,线性无关，证明 (1) 1α能由32αα,线性表示； (2)4α不能由321ααα,,线性表示.2 六、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ，问λ取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。

山东建筑大学理论力学试卷A

山东建筑大学试卷太虚创世第1页 2011 至 2012 学年第一学期考试时间： 120 分钟课程名称：理论力学（理）（A ）卷考试形式：（闭卷）年级：太虚创世专业：光电、光信；层次：（本科）题号一二三四五六七八总分分数一、填空（每空2分，共20分） 1．在稳定平衡位置，质点的势能函数取极值。

2．在讨论圆轨道的稳定性时，我们引入了等效势能函数U(r)，平衡条件为dU/dr =0，稳定条件为。

3．在非惯性系中引入的概念后，可以把质点在非惯性系中的运动当做在惯性系中的运动来处理。

4．采用了表观重力的概念后，质点在地面坐标系中受到的主要惯性力是。

5．质点组中各质点相对于质心的动量之和恒等于零的根本原因是。

6．在质点组的基本定理中，需要考虑内力作用的是定理。

7．刚体定点转动的自由度数为。

8．以为坐标轴时，惯量矩阵是对角化的。

9．在理想约束情况下，力学体系的平衡条件用广义力表述为。

10．哈密顿函数以广义坐标和广义动量为状态变量，而拉格朗日函数则以为状态变量。

二、简答(每题5分，共20分) 1．考虑刚体的定轴运动，在轴上选定坐标原点，一般情况下刚体的角速度和对原点的角动量方向是否一致？改变坐标原点在转轴上的位置，刚体对原点的角动量是否改变？ 2．刚体作平面平行运动时，能否对瞬心应用角动量定理写出它的动力学方程？为什么？ 3．什么是虚位移？在稳定约束和不稳定约束条件下，虚位移和实位移分别有什么关系？ 4．什么是循环坐标？什么是循环积分？循环坐标的多少与广义坐标的选取有无关系？考场班级姓名学号装订线装订线装订线三、 (10分) 某质点在xy 面内运动，已知其运动规律为：y =bt ，θ=ct ，θ为位矢与x 轴的夹角，b 和c 都是非零常数。

要求：①写出质点轨道的极坐标方程；②用极坐标表示出质点的速度和加速度。

四、(10分) 一质点质量为m ，在有心引力-k /r 3作用下运动。

信计09级数值计算A 试题 A卷

4.迭代格式局部收敛的充分条件是取值在。
5.已知是三次样条函数，则 =， =， =。
6 _____________， ________________。
7.求方程根的牛顿迭代格式是__________________。
8.乘幂法可求出实方阵的特征值及其相应的特征向量。
9.标准四阶龙格－库塔法的绝对稳定域的实区间为。
10.为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 __________， __________。
山东建筑大学试卷共3页第2页
三、（10分）已知方程组，写出Jacobi迭代公式，并判别迭代法的收敛性。
四、（10分）定义内积
试在中寻求对于的最佳平方逼近多项式。
五、（10分）已知数据如下：
xi
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
yi
0.931
0.473
0.297
0.224
0.168
求形如拟合函数。
山东建筑大学试卷共3页第3页
六、（10分）设初值问题 .
写出用改进的Euler法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。
七、（15分）已知一元方程。
1）求方程的一个含正根的区间；
山东建筑大学试卷共3页第1页
2011至2012学年第2学期考试时间：120分钟
课程名称：数值计算AA卷考试形式：（闭卷）
年级：09专业：信息与计算科学；层次：（本科）
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
分数
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.

线代第一章-线性代数山东建筑大学

a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT
a12
a22
an2
a1n a2n ann
转置行列式
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D DT
6
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
例：
3 4 7 r1 r2 135
xi x j ni j1
数学归纳法
证毕
29
例6
a n (a 1)n (a n)n
a n1 (a 1)n1 (a n)n1
Dn1
a
a 1 a n
1
1
1
(a i) (a j) (i j)
1
n(n1) a (1) 2
a n1 an
1
a 1 (a 1)n1 (a 1)n
0 16 2 7
0 0 10 15
0 0 8 10
00 0 5 2
40 [注]：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其
化为上（下）三角形行列式。
14
3111
例2：计算 D 1 3 1 1
1131 1113
6666
解: D r1 r2 r3 r4 1 3 1 1
1131 1113
1111
an1 an2 ann
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain 23

山东建筑大学线性代数试题及答案

2011 至 2012 学年第二学期试题答案及评分标准课程名称：线性代数（A ）卷考试形式：（闭卷）年级： 2010 专业：；层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.（C ）2.（C ）3.（B ）4.(C)5.( D)二. 填空题(每题4分,共20分)6. 1或3；7.2127a ； 8. 212223111213311132123313⎛⎫⎪ ⎪⎪+++⎝⎭a a a a a a a aa a a a ； 9.230-≠ab ；10.21+λλ。

三、综合题（60分）11．解：14342241244101012021202105201030140117117-----r r r r …………………………………(3分)411012210314--=-- ……………………………………………………(5分)21312249181000101734-----=--c c c c ………………….………………………….(8分)12.解 ()A E B xx -=-T……………………………………………..…(2分)由于0111012011E B --=--=≠-,所以E B -可逆……………………………(4分) ()1A xxE B -=--T………………………………………………(6分)()1111222111222111222E B -⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭…………………………………….………(9分)11122211111111112222111111222A ⎛⎫--⎪-⎛⎫⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭…………………….………(12分)13.解系数行列式()()2222254110245----=------λλλλλ， ……………………(2分)(1) 当1≠λ且10≠λ时，由于方程组有惟一解；…………………………..…….(4分) (2) 当10=λ时，由于增广矩阵 8221254225420111245110023B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭r ()()A B ≠R R ，所以方程组无解。

山东建筑大学结构力试卷答案与评分标准

山东建筑大学试卷答案与评分标准共 2页第1页2012 2013 学年第 1 学期考试时间： 120 分钟课程名称：结构力学A2 （A √、B ）卷考试形式：（√闭卷、开卷）年级：辅修2011级专业：土木工程；层次：（√本、专科）题号一二三四五总分分数一、用力矩分配法计算图示结构，作出弯矩图。

EI = 常数。

（20分）- /8/8- /32-5 /32=1- /16/16=4/32分 ()2分 ()2分 ()5 /32/16图M 6分 ()i i Pl Pl Pl Pl Pl Pl Pl Pl Pl 1/21/29/64计算分配系数 6分固端弯矩 2分分配传递 6分弯矩图 6分二、用矩阵位移法，求图示连续梁的总刚度矩阵和节点荷载列矩阵。

（20分）EI 20kNm20kNm80kN4m4m3m3m2EI EI编号、坐标系 2分定位向量 2分等效荷载 4分最后荷载矩阵 4分1233020226033402033EI EI EIEI EI EI EI θθθ⎡⎤⎢⎥-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、图示梁自重不计，W EI ==⨯⋅2002104kN kN m 2,，求自振圆频率。

（20分）EI WABC2m2m由于对称，跨中无转角，求刚度 k k EI k k ,/,114322610===⨯kN /m(15分 )ω=-542.s 1 (5分 )∆2m=1k 1考场班级姓名学号线装订线装订线山东建筑大学试卷答案与评分标准共2页第2页四、求图示刚架的临界荷载。

（20分）PlllEIEI O OEI简化为轴压杆，下端转动刚度 r k =6EIl。

（ 10 分） P crABδk r θθ小挠度，中性平衡，A M =∑0 ，P δθ-⋅=r k 0 ，θδδ=-⋅=lP k lr,()0 ，cr δ≠==062,P kl EI lr（ 10 分）五、图示梁的截面极限弯矩为M u 。

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则（ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ，求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。

2012-2013-2线性代数试题B

山东建筑大学试卷
装订线 2012 至 2013 学年第二学期课程名称：考试时间： 120 分钟
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2 2 2 5. 若二次型 f x1 , x2 , x3 5x1 x2 ax3 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定
线性代数
（ B ）卷考试形式：（闭卷）；层次：（本）
a12 a22 a32
a13
4a11
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
（C） 24 ；
a13 a23 （ a33
）是
1. 矩阵
a31
装订线姓名
a23 1 ，则 4a21 a33 4a31
（B） 12 ；）
1 4 0 0 1 1 A 3 10 y 2 7 1
中 M ij 是行列式位于第 i 行、第 j 列的元素的余子式）。学号
1 1 2 1 1 ， R A 2 ，求 a , b 的值。 3. （6 分）设 A 1 a 2 3 1 b 1
装订线姓名
3 0 1 2.（10 分）设矩阵 A 1 1 0 ，且满足 AB = A + 2 B ，求矩阵 B 。 0 1 4
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山东建筑大学《高等数学》2021-2022学年期末试卷(1)

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30 分）1.过点M (1,2,3)且与平面x y z -+=2350垂直的直线方程是 .2. 微分方程y y y ''-'+=320的通解是 .3. 3lim 23x y xy y →→∞-= . 4. 已知向量AB →=1,0,2}{且点B 坐标为(1,2,3)，则点A 坐标为． 5. 幂级数11+=∞∑n n x n n 的收敛半径R = ． 6. 若函数=+++32(,)2f x y x y ax y 在点-(1,1)处取得极值，则a = ．7. 曲线z y x 2==⎧⎨⎩绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 .8. 若a →=1,2,2,}{ 则a →= ． 9. 已知幂级数1=∞∑a x n n n的收敛区间为-(1,1)，则幂级数=∞∑-1(2)a x n n n 的收敛区间为．10. 已知=+-x z xy y 223，则z y∂∂= ．山东建筑大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷二、求解下列各题(共10道小题，每小题5分，共50分）1.求微分方程x y 2=''的通解.2.求函数222z y x u ++=在点)32,1(，处的全微分.3. 设D 是由曲线122=+y x 及422=+y x 所围的环形闭区域，计算二重积分 σd y xD ⎰⎰+)(22.4.求通过点)32,1(，且与直线321121-=-+=z y x L ：和直线122012-+==-z y x L ：都平行的平面方程. 5 .已知L 是直线x y =上点O )0,0(与点B )1,1(之间的一段弧，计算ds x L⎰.6 .一曲线通过点)2,1(，且曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程.7. 计算dxdy z ⎰⎰∑+）（1，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的上侧. 8. 判断级数∑∞=13n n n 的敛散性. 9. 计算⎰-Lxdy ydx ,其中L 为三顶点分别为O )0,0(、A )0,3(和B )2,3(的三角形正向边界(可使用格林公式).10.计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由三个坐标面、平面1=x 、平面1=y 及平面1=z 所围成的闭区域.三、应用题（本大题2道题，每小题10分，共20分）1. 要造一个体积为8个单位的长方体有盖的水池，应如何选择水池的长x 、宽y 和高z ，方可使它的表面积最小.2.计算曲面Σ：2222y x z --=上点)4,1,1(-M 处的切平面以及该切平面和三坐标面所围成立体的体积.。

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a11 8. 设 A a21 a 31
a13 0 1 0 1 0 0 a23 ， P1 1 0 0 ， P2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 a33

mn
， m n ，且 R A r ，那么 ( （B） A 的所有 r 阶子式都不为零；
T
课程名称：年级：题号分数学号
闭卷
2010
；层次：（本
（C） A B ；
（D） A E B E 。
二．填空题(每题 4 分,共 20 分)
z 0 kx 6. 如果 2 x ky z 0 有惟一零解，则 k 的应满足条件 kx 2 y z 0
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装订线 2011 至 2012 学年第线性代数专业：（二 B 学期）卷考试时间：考试形式：（ 120 分钟））总分
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5. 设 n 阶方阵 A 与 B 相似，则（）（A）存在对角矩阵，使得 A 与 B 都与相似；（B）存在正交矩阵 P ，使得 P AP B ；
2
学号
16.(5 分)判定二次型
f x1 , x2 , x3 5 x12 6 x22 4 x32 4 x1 x2 x1 x3
装订线姓名的正定性。
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（1）讨论该向量组的线性相关性，并求向量组的秩；（2）求出向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示其它向量。
x2 2 x3 3 x1 x1 1 x2 x3 x2 3 x3 3 3 1 x1
a33
a31
装订线姓名则 D1 （）
2 A
1
1 A* 3 a12 a22 a32
。
(A) D ； (B) 2 D ； (C) 2 D ； 2．设 A 是 n 阶方阵，则下列命题正确的是（）
2 2
(D) 3D 。
（A）若 A O ，则 A O ；（B）若 A A ，则 A O 或 A E ；（C）若 AX = AY ，且 A O ，则 X = Y ；（D）若 AX = AY ，且 A 0 ，则 X = Y 。班级 3. 设 A = aij
).
（A） r m ；
则 AP1 P2 __
_
__。
（C） A 中至少有一个 r 阶子式不为零；
（D） A 的标准形为
Er 。 O
).
9.已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量组 1 1 a 2 b 2 , ， 2 3
3 2 c 3 , 则 1 , 2 , 3
。（线性相关或线性无关）
4．设 A 是 n 阶方阵，且 R A r n ，那么在 A 的 n 个列向量中( 考场（A）必有 r 个列向量线性无关；装订线（C）任意 r 个列向量都是 A 的列向量组的一个最大无关组；（D）任意一个列向量都可以由其它 r 个列向量线性表示。（B）任意 r 个列向量线性无关；
。
一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
a11
1．设 D a21
a12 a22 a32
a13 a33
a32 a12
a31 2a21 3a31 a11
a23 ， D1 2a22 3a32
2a23 3a33 ， 7. 设 A 为 3 阶方阵， A * 是 A 的伴随矩阵,且 A a 0 ，则 a13
1 3 6
1 4 10
1 2 1 3
1 4 10 20
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12.(10 分)设
1 0 0 A 1 1 0 1 1 1
求矩阵 X ,满足矩阵方程 A X E 2 X O 。
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装订线 13.（12 分）设有线性方程组 14．（10 分）已知向量组
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1 1 3 2 1 2 , 2 0 , 3 4 , 4 2 2 1 3 1
问取何值时，线性方程组有惟一解？无解？无穷多个解？当有无穷解时，求出方程组的通解。
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装订线 15.（15 分）设方阵
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4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
（1）方阵 A 是否可以对角化？为什么？（2）如果 A 可以对角化，求可逆矩阵 P ，将 A 对角矩阵。（3）求 A 3E .
10．方阵 A 可逆，是 A 的一个特征值，且 A 1 ，则 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值为_________________。
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三．综合题（60 分）
1 1
11.（8 分）计算行列式