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线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

B MHSCA 图12. 等体积法例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）A 1 C 1 D1 H 4CB 123 B A Dθθ2θ1O C B A α例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

OαD AC B图4练习．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

A 1。

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4CB 123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

高中几何线面角的经典求解方法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。

（2）SC 与平面 ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。

A1C 1D1H4CB123BAD解：设点B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3S △AB 1C 1·h=1／3S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h／AB=4／5图23.利用公式cos θ=cosθ1·cosθ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角的求法总结

线⾯⾓的求法总结线⾯⾓的三种求法1．直接法：平⾯的斜线与斜线在平⾯内的射影所成的⾓即为直线与平⾯所成的⾓。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平⾯内的射影所组成的直⾓三⾓形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作⽤。

例1 （如图1 ）四⾯体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平⾯SAB 所成的⾓。

（2）SC 与平⾯ABC 所成的⾓。

解:（1）∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平⾯SAB 故 SB 是斜线BC 在平⾯SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平⾯SAB 所成的⾓为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,⼜∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平⾯SCM, ∴⾯ABC ⊥⾯SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平⾯ABC ∴CH 即为 SC 在⾯ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平⾯ABC 所成的⾓。

sin∠SCH=SH ／SC∴SC 与平⾯ABC 所成的⾓的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是⾯ SAB 的垂线，⼜是⾯ ABC 的斜线. 作⾯的垂线常根据⾯⾯垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平⾯垂直的平⾯，然后⼀⾯内找出或作出交线的垂线，则得⾯的垂线。

） 2. 利⽤公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平⾯所成的⾓， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到⾯的距离）既是关键⼜是难点，为此可⽤三棱锥的体积⾃等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与⾯ AB 1C 1D 所成的⾓。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与⾯ A B 1C 1D 所成的⾓为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与⾯AB 1C 1D 所成的⾓为arcsin 4／5 3. 利⽤公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平⾯的⼀条斜线，O 为斜⾜，OB 为OA 在⾯α内的射影，OC 为⾯α内的⼀条直线，其中θ为OA 与OC 所成的⾓，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的⾓，即线⾯⾓，θ2为OB 与OC 所成的⾓，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可⾃⼰证明），它揭⽰了斜线和平⾯所成的⾓是这条斜线和这个平⾯内的直线所成的⼀切⾓中最⼩的⾓（常称为最⼩⾓定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的⾓为60°, ，求直线OA 与⾯OBC 所成的⾓的余弦值。

线面角的求法总结

线面角的三种求法直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小.1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

线面角的求法总结

线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。

一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。

例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。

2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。

由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。

过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。

因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。

求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。

例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。

解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。

设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。

解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。

(完整word版)空间中线线角,线面角,面面角成法原理和求法思路

DBA C α空间中的夹角福建屏南一中李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝ PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

高中几何线面角的经典求解方法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。

（2）SC 与平面 ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。

线面角的求法(最全版)PTT文档

（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法：以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1 B (0 ,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
所成的角
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
掌握最小角定理并会B面与ABCDO所M成的所角成的角为
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么2 异面直线PA
OA与OM所成的角为
证明： 1
掌握最小角定理并会利用公式解决一些问题。
（同学们自己O推B导是三个斜角线度之O间A的在关系平）面内的射影。设OM
（2）直线与平面
所成的角
0
1
B
例2、1、在正正方三形棱是锥S平-ABC面中，内D为通的AB棱中过长点点为，1且O。SD的与B任C所意成角条为4直50，线则SD
2M
OA与OB所成的角为（2）直线与平面
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abcos a,b
斜线与平面所成的角
1、最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
说明：（1）实质：空间角——平面角；线面角——线线角；（2）线面角的范围：斜线直线
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法

线面角二面角线线角的公式

线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。

下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。

1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。

设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。

线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。

线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。

设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。

通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。

二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。

3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。

设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。

通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。

线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。

总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。

线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。

二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。

线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。

这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。

线面角的求法总结

线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）二利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 三. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

线面角的计算

线面角的计算
线面角是指一条直线与一个平面之间的夹角。

计算线面角的步骤如下：
1. 确定直线和平面：首先确定直线和平面的具体方程或者参数方程。

2. 求直线在平面上的一点：将直线方程代入平面方程中，求解出直线与平面的交点坐标。

3. 求直线与平面的法向量：根据平面的法向量方程，可以求得平面的法向量。

4. 求直线的方向向量：直线的方向向量可以由直线的参数方程求得。

5. 计算夹角：利用向量的内积公式，将直线的方向向量与平面的法向量进行内积运算，然后求出夹角的余弦值。

6. 求出线面角：通过夹角的余弦值，可以使用反余弦函数计算出线面角的度数。

(完整word版)简单的几何体中线面角的求法(word文档良心出品)

简单的几何体中线面角的求法山西省马志君斜线与平面所成角即斜线与它在平面内的射影所成的锐角，它是斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角，求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影，一般地是通过斜线上的某个特殊点作出平面的垂线来找角的，角的计算，一般是把已知条件归结到同一个三角形，或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的直角三形或斜三角形的问题例1（2008全国1）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A 、13 BCD 、23分析：要求AB 1与底面ABC 所成角的正弦值需过B 1作平面ABC 的垂线段并求出，再求出B 1A 的长。

要求出B 1A 的长，可在菱形A 1ABB 1中求。

解：作B 1E ⊥平面ABC 于E ，则B 1E=A 1O ，连AE ，则∠B 1AE 为AB 1与平面ABC 所成角设△ABC 的边长为a ，则AO=23a ·32=33a 在Rt △A 1OA 中，A 1O 2=a 2-（33a ）2 A 1O=32a ∴B 1E=32aC图1易知A 1ABB 1为菱形 ∴AB 1⊥A 1B又∵A 1B 2=A 1O 2+OB 2=A 1O 2+AO 2=A 1A 2=a 2 设AB 1∩A 1B=F ∴AF 2=AB 2-BF 2=a 2-（2a ）2=43a 2 ∴AF=23a ∴AB 1=2AF=3a ， ∴sin ∠B 1AE=11AB E B =32a ×a 31=32，故选B 。

点评：解本题的关键是求B 1A ，然后在三角形B 1AE 中解决问题。

A 1ABEC 1FB 1O例2、如图2，四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3。

线面角求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。