江苏省涟水中学苏教版高中数学必修一学案：3.4函数的零点(2)

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2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第2课时函数的零点(2)新学案

第2课时函数的零点(2)一、学习目标学会利用函数图象处理零点及方程解的个数问题.二、问题导引函数零点是什么?如何判断零点存在?三、即时体验1.(1) 函数y=3x-9的零点是什么?(2) 函数y=2x-9的零点是什么?2.f(x)=4x+x3在(-1, 0)上有零点吗?为什么?四、导学过程类型1一元二次方程根的所在区间问题【例1】已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0, 1)内,另一个根在区间(1, 2)内,求实数m的取值范围.类型2含参数的非二次函数零点问题【例2】若函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1, 0]上有零点,求实数k的取值范围.类型3分段函数的零点问题【例3】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在两个零点,求实数a的取值范围.五、课堂练习1.已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1, 1)内存在零点,则()A. <a<1B. a>C. a<-或a>1D. a<-2.若函数f(x)=ln x-m的零点在区间(1, e)内,则实数m的取值范围是.3.若4x2+(m-2)x+m-5=0的一个实数根在区间(-1, 0)内,另一个实数根在区间(0, 2)内,则实数m 的取值范围是()A. B.C. ∪(5, +∞)D.4.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是.六、课后作业1.若函数f(x)=3ax+1－2a在(－1, 1)内存在一个零点,则a的取值范围是()A. (－∞, －1)∪B.C. ∪(1, +∞)D.2.若函数f(x)=ln x－+a在(1, e)上存在零点,则实数a的取值范围是()A. (0, 2)B.C.D.3. (多选)已知定义在R上的函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,若a<b,且f(a)≠f(b),下列说法正确的是()A.若f(a)f(b)<0,则f(x)在(a, b)上一定有零点B. 若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a, b)上一定没有零点C. 若f(x)是定义在R的增函数,则f(x)在(a, b)上至多有一个零点D. 函数F(x)=f(x)－在(a, b)上有零点4.已知函数f(x)=2－x－cos x,则f(x)在[0, 2π]上的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.若关于x的方程x2+(a2－1)x+a－2=0的一根比1大,另一根比1小,则实数a的取值范围是.6.若关于x的方程x2－2mx+m2－1=0的两个根都在(－2, 4)内,则实数m的取值范围是.7.若函数f(x)=24ax2+4x－1在(－1, 1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是.8.已知函数f(x)=a x－x－a(a>0, a≠1),则函数f(x)的零点有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 至少1个9. (多选)函数f(x)=sinωx(ω>0)满足对任意x∈R, f(x)=f(x+π),则函数f(x)在[0, 2π]上零点个数可能为()A. 5B. 9C. 21D. 2310.若关于x的方程x2+(m－2)x+5－m=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数m的取值范围是.11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x∈(0, +∞)时,f(x)=x2－2x,若f(x)－m有三个零点,则实数m的取值范围是.12.已知函数f(x)=x2+ax+2, a∈R.(1) 若不等式f(x)≤0的解集为[1, 2],求不等式f(x)≥1－x2的解集;(2) 若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1, 2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.13.设函数f(x)=－sin2x－sin x+a+1,其中a∈R,讨论函数f(x)在上零点的个数.。

【学案导学设计】-学年高中数学 3.4.1第1课时函数的零点课时作业苏教版必修1

§3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系函数图象判别式Δ>0Δ＝0Δ<0与x轴交点个数方程的根无解2.一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的______．4．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一、填空题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x >0零点的个数为________．6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k二、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．§2.5 函数与方程 2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根横坐标 4．交点零点作业设计 1．2个解析方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac >0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个． 2．①②④解析对于①，可能存在根；对于②，必存在但不一定唯一； ④显然不成立．3．0，－12解析 ∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.4．4解析由图象可知，当x >0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y 轴对称，故此函数的零点至少有4个． 5．2解析 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x >0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，f (1)＝－2<0，f (e 3)＝1>0，∴f (1)f (e 3)<0， ∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f (x )在R 上有2个零点．6．(－∞，0)解析设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0. 7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．11．解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．3解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．13．解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f f f，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高中数学苏教版高一必修一学案 3.4.1 第1课时函数的零点

3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点)；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P91－93，完成下面问题：知识点一函数的零点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．【预习评价】思考函数的零点是点吗？提示函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点三函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．【预习评价】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确．①若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()②若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()③若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()④若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()提示①×可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＞0，但其存在两个解{－1,1}”，故①不正确；②×对于②可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＜0，但其存在三个解{－1,0,1}”故②不正确；③√；④×由零点存在性定理可知④不正确．题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．解(1)方法一令f(x)＝0，即x2－x－6＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，∴方程x2－x－6＝0有两个不相等的实数根x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点是x1＝－2，x2＝3.方法二由f(x)＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点为x1＝－2，x2＝3.(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，∴令f(x)＝0得x(x－1)(x＋1)＝0.∴f(x)的零点为x1＝0，x2＝1，x3＝－1.(3)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝(12x－1)(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.规律方法根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数y＝x－1的零点是________．解析令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.答案 1题型二函数零点存在性定理及应用【例2】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．规律方法由函数给定的区间[a，b]分别求出f(a)和f(b)，判断f(a)f(b)＜0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f(a)f(b)＞0，并不说明函数在[a，b]上没有零点．【训练2】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x 12345 6f(x)1510－76－4－5则函数f(x)解析根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点．答案 3题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．解函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．规律方法判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【训练3】函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．答案 2互动题型四零点的应用探究【探究1(0,1)与(1,2)内，试求k的取值范围．解由题意可知，方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y＝7x2－(k＋13)x－k＋2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2＞0，7－(k ＋13)－k ＋2＜0，28－2k －26－k ＋2＞0.解之得－2＜k ＜43.故k 的取值范围是(－2，43)．【探究2】已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a ＝1. 答案 1【探究3】已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围是________．解析对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符合题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＞0，得a ＜1，又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点， f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a ，当－1a ＞0，即a ＜0时，图象开口向下，与x 轴正半轴有一交点，满足题意；当－1a ＜0，即a ＞0时，图象开口向上，与x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，a 的取值范围是(－∞，0)．答案 (－∞，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)求解探究2这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课堂达标1．函数f (x )＝1－x 21＋x 的零点是________．解析由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，又f (x )单调递增， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．答案 ③3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，并且α，β(α＜β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________．解析函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a ＜α＜β＜b . 答案 a ＜α＜β＜b4．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．解析二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )＜0，由图象知f (m ＋1)＞0，∴f (m )·f (m ＋1)＜0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点．答案 15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两零点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13. ∴a 的取值范围为(－∞，－13)．课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。

江苏省涟水县高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.4 函数的应用函数的零点(1)学案(

函数的零点（1）一、教学重、难点一元二次方程的根与对应的二次函数图象的关系，根的存在性定理.二、新课导航1. 问题情境：（1）作二次函数322--=x x y 的图象并观察：x 取哪些值时，0y =？方程0322=--x x 根的与其对应的二次函数的图象有什么关系？什么是二次函数322--=x x y 的零点？ 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++>的零点，二次方程20(0)ax bx c a ++=〉的根，以及二次函数2(0)y ax bx c a =++〉图像有什么关系？3．函数()y f x =的零点及其求法：（1）零点：把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点．（2）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根．从图象上看，函数()y f x =的零点，就是它的图象与x 轴交点的．（3）函数()y f x =的零点求法：4．函数零点存在性定理及理解：函数零点的存在性定理：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条的曲线，且()()0f a f b <，则函数()y f x =在区间(,)a b 上必有零点。

（1）有多少个零点？唯一吗？（2）反之，若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则必有()()0f a f b <吗？（3）对一元二次函数呢？三、合作探究活动1 求证：一元二次方程07322=-+x x 有两个不同的零点；．活动2 判断函数()122--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点．思考：如果0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，则()0)(<n f m f 一定成立吗？活动3 求证：函数()123++=x x x f 在区间)1,2(--上存在零点．四、提高拓展1．课本P93第3题：五、知识网点。

苏教版高中数学必修一函数的零点学案

2012高一数学函数的零点学案学习目标1、理解和掌握二次函数的图像与性质，2、会用多种方法求解一元二次方程，3、理解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系。

教学过程 1、复习旧知（1）一元二次方程实根个数的判定方法（2）如何求一元二次方程的根 2、问题情景已知函数322--=x x y ，指出x 取哪些值时，0=y ？ 3、问题解决问题1、二次方程0322=--x x 实根在二次函数322--=x x y 中有什么意义？问题2、从图形上看二次方程0322=--x x 的实根有什么意义？小结：问题3、根据以上讨论，完成下列表格（0>a ）函数零点的定义：小结：（1）函数零点的代数意义：（2）函数零点的几何意义：例题分析：例1、求证：二次函数722-+=x x y 有两个不同的零点。

例2、判断函数)(x f 122--=x x 在区间)3,2(上是否存在零点。

零点存在性定理：例3、求证函数)(x f 132++=x x 在区间)1,2(--上存在零点。

4、课堂练习：P76 练习1，25、课后小结课后作业基础训练1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.2. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+；（3）220y x x =-++；（4）22()(2)(32)f x x x x =--+.3、函数223y x x =--的零点是4、关于x 的不等式220ax bx ++<的解集是11(,)(,)23-∞-+∞U ，则ab 等于 5、在区间[3,5]上有零点的函数是（）A ．()2ln(2)3f x x x =--B ．()24xf x =-C ．2()35f x x x =--+ D ．1()2f x x=-+提升训练 6、方程21lg 22x x -=的实数根的个数为 7、已知不等式250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<-，则不等式2650x x b -+>的解集为____________． 8、函数222)(-=x x f 的零点是 9、函数x x x f 3)(3-=的零点是10、已知函数123)(+-=a ax x f 在区间[-1,1]上有零点，则a 的取值范围是 11、若二次函数3)(2+++=m mx x x f 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是12、若函数a x x x f --=|4|)(2的零点个数为3，则=a13、已知一个二次函数)(x f y =，当2=x 时有最大值16，它的图象截x 轴所得的线段为8．（1）求该函数的解析式；（2）试证明方程0)(=x f 有两个不等的实数根，且两根分别在区间)1,3(-和)7,5(内；（3）求出该函数的零点．14、已知函数142)3(2)(2++++=m x m x x f 的一个零点大于2，另一个零点小于1，求实数m 的取值范围。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》89

函数的零点江苏省涟水中学秦昌胜一、知识回顾1．函数的零点的定义：使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点。

注：函数的零点⇔方程的根⇔函数图像与x 轴交点的横坐标2．函数的零点的存在性定理：()f x 在区间[a ，b ]上连续，且fa ·fb <0；则()f x 在(),a b 上存在零点。

注：只能判断存在零点，但不能判断零点个数。

3．常见求解方法1直接求零点；2零点的存在性定理；3用数形结合法：①将原函数分离为两个较为简单的函数，观察两个函数的交点个数；②分离参数得a ＝f ，再画＝f 与＝a 常数函数的图象；③对原函数进行分类讨论。

二、牛刀小试1若一次函数()b ax x f +=有一个零点2，那么函数()ax bx x g -=2的零点是2设方程42=+x x 的根为0x ，若()0,1x k k ∈+，则整数k =3函数()sin lg f x x x =-的零点个数为4方程21x x a --=有四个不同的实根，则a 的取值范围为二、热点探究＝2＋，g ＝＋og 2，h ＝3＋的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为________．例2 已知函数f ＝错误!2－a n a ∈R ，若()y f x =有零点，求a 的取值范围。

变：①若()y f x =有两个零点，求a 的取值范围。

②讨论()y f x =在上的零点个数。

例3设定义在R 上的函数f ＝错误!若关于的方程f 2＋af ＋b ＝0有5个不同实数解，求实数a 的取值范围．变：若()()0ff x a -=有5个不同实数解，求实数a 的值。

四、自我评价已知函数f ＝错误!3－a 2＋a 2－1，且方程f ＝0有三个不同零点，求a 的取值范围。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4 函数的应用》

2021年高中数学晒课教学设计课题：《分段函数的考点探索》授课人：顾金花学校：启东市吕四中学授课时间：2021年5月分段函数的考点探索教学设计授课人：顾金花学校：启东市吕四中学【教案背景】1.课题：分段函数的零点2.教材版本：苏教版本数学必修一第二章2.5.3.函数的零点3.课时：3课时【教学分析】本节课的主要内容是分段函数的零点。

分段函数的零点是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角f x=的实数根，从函数的图形看，函度看，就是使函数值为0的实数x，从方程的角度看，即为相应方程()0f x与x轴交点的横坐标。

函数的零点从不同的角度将数与形，函数与方程有机的联系在一数的零点就是函数()起。

本节课是函数应用的第三课时，因此教学时应站在函数应用的高度来引入较为适宜。

【教学目标】1.知识与能力：能利用一些简单函数的图象，判断根的个数；了解函数零点与相应方程的根的联系，与图像交点的联系。

2.过程与方法：渗透数与形的结合，转化与化归的思想。

3.情感态度价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识和科学精神。

【教学重难点】重点：分段函数的零点的分解难点：含参函数的多个零点问题【教学策略】以问题为主线贯穿始终，以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律处罚进行启发式教学，引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。

【教学过程】。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》11

《函数的零点》教学设计一、教学目标1、知识与技能：理解函数零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。

2、过程与方法：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。

3、情感态度价值观：让学生体会函数与方程相互转化的思想，体会数形结合的数学思想。

二、教学重点、难点重点：函数零点的概念以及求法；难点：利用函数的零点作图，函数与方程的转化。

三、教学方法采用学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法。

四、教学过程（一）创设情境，感知概念1一元二次方程的根与二次函数图像的关系1问题1结论？由特一般性的归纳表2问题2：一元二次方程的根相应的二次函数的图象间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。

2、一般函数的图象与方程根的关系问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论方程f＝0有几个根，＝f的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念1概念：对于函数＝f，把使f＝0的实数叫做函数＝f的零点．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f＝0的根。

2.归纳函数的零点与方程的根的关系方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数f有零点．小试牛刀：1函数)4()(2-=xxxf的零点为（）A)00(， ,)02(， B 0，2 C)02(，-)00(， D -2，0，22函数)(x f设计意图：1及时矫正“零点是交点”这一误解．2使学生熟悉零点的求法3二次函数的零点个数如何判断？4函数零点的性质？学生讨论后，得出结论。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》05

课题：函数的零点数学教研组毕巧艳【内容解析】本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性定理。

函数的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数；从方程的角度看，即为相应方程f=0的实数根；从函数的图形表示看，函数的零点就是函数f与轴交点的横坐标。

函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度将数与形、函数与方程有机的联系在一起。

【目标设置】1、知识与技能（1）结合二次函数的图象，认识方程的根与函数的零点的本质联系；（2）理解函数零点的存在条件，会判断函数在某区间内是否有零点。

2、过程与方法通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识和科学情神。

教学重点：零点的概念及零点存在性定理教学难点：函数零点存在定理的条件的发现。

【学情分析】从学生学习的角度看，学生在学完指数函数、对数函数和幂函数之后紧接着就学习这一节内容，知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

教师在函数的零点这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

【策略选择】教师创设情境，激发兴趣，引出课题引导学生分析实例，给出定义探究引入情景的问题的解决方案，探索函数零点存在的条件给出函数零点存在定理，并对定理条件的充分进行理解和辨析定理的简单应用，回应本课开头的问题知识小结练习反馈【主题思考】一、情境引入问题：（1）求使得方程0322=--x x 成立的x 的值；（2）求使得方程032=-x 成立的x 的值；（3）求使得方程062ln =-+x x 成立的x 的值；追加问题：（1）方程的根存在吗？有几个？（2）对于引例（3），能否大概求出,方程根的取值范围？或者它的近似值二、建构新知探究一、一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？一般函数的图像与对应方程的根有什么关系？【学生活动】画出引例中（1）（2）的图象。

苏教版高中数学必修一学案：3.4函数的零点(2)

§32 函数的零点(2)主备：韩梅花审核：马佩珊做题：姜荣华一、教学重、难点利用函数图象研究二次方程根分布情况二、新课导航1. 练习：已知方程06)3(2=+++-m x m x 有两个不相等的正根，求m 取值范围.2. 二次函数根的分布与对应函数图象关系：以二次函数2(0)=++>y ax bx c a 为例．小结：要考察四个方面：（1）二次项系数符号（2）判别式（3）对称轴（4）端点值符号思考：若0<a三、合作探究活动1 如果方程0)6()3(2=+++-m x m x 的两个根都在（2，4）之间，求m 的范围．活动2 如果0)6()3(2=+++-m x m x 的两个实根一个小于2，一个大于2，求m 范围．活动3 如果方程0)6()3(2=+++-m x m x 的两个根21,x x 满足)6,4(),2,1(21∈∈x x ，求m 范围．四、提高拓展1．当m 取什么实数时，方程07)2(2=--+--m x m x 的两个不等实根中，仅有一个根在（0，2），求m 取值范围．五、知识网点§32 函数的零点(2)作业班级姓名学号得分日期一、填空题1．若关于x 的方程0=--a x a x有两个解，则实数a 的取值范围是．2．设关于x 的方程03422=--k x kx 有两个实根，且一根大于1，另一个根小于1，则实数k 的取值范围是．二、解答题3．已知方程2)2)(1(k x x =+-，其中k 为实数且0≠k ，不解方程证明：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程的一个根大于1，另一个根小于2-．4. 求证：方程25710x x --=的根一个在区间(1,0)-上，另一根在区间(1,2)上．5．已知方程014)62()1(2=+--+-a x a x a 的两根分别为βα,且βα<<<-11，求实数a 的取值范围．6．已知一个二次函数)(x f y =，当2=x 时有最大值16，它的图象截x 轴所得的线段为8．（1）求该函数的解析式；（2）试证明方程0)(=x f 有两个不等的实数根，且两根分别在区间)1,3(-和)7,5(内；（3）求出该函数的零点．三、错题剖析。

苏教版数学高一必修1教案 3.4.1函数与方程(2)

3.4.1函数与方程（2）教学目标1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．教学重点用二分法求方程的近似解；教学难点二分法原理的理解．教学方法讲授法与合作交流相结合．教学过程一、问题情境1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；（2）给出函数f (x)＝lg x＋x－3存在零点的区间；2．问题：如何求方程lg x＝3－x的近似解？二、学生活动用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．三、建构数学1．对于区间上连续不断，且f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定f(a) f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a) f(x1)＜0，则零点x1∈(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．四、数学运用例1求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．例2借助计算器用二分法求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．练习1．确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(k∈Z)：（1）函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是．（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．（4）函数f (x)＝lg x＋x－3有零点的区间是．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．五、要点归纳与方法小结1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．六、作业P96练习第1，2，3题．。

高中数学第三章函数的应用 3.4.1 第1课时函数的零

第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数．知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？梳理 (1)一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为____的实数x 称为函数y ＝f (x )的______． (2)方程、函数、图象之间的关系方程f (x )＝0____________⇔函数y ＝f (x )的图象________________⇔函数y ＝f (x )____________．知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的．如f (x )＝lg x ＋x .但函数值易求，如我们可以求出f (110)＝lg 110＋110＝－1＋110＝－910，f (1)＝lg 1＋1＝1.那么能判断f (x )＝lg x ＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1内有零点吗？梳理函数零点存在性定理一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且____________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．类型一求函数的零点例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．类型二判断函数零点所在的区间例 2 根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.类型三函数零点个数问题命题角度1 判断函数零点的个数例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数． (2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数．命题角度2 根据零点情况求参数范围例4 f (x )＝2x·(x －a )－1在(0，＋∞)内有零点，则a 的取值范围是________．跟踪训练4 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m 的取值范围是________．1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1零点的个数是________． 2．函数f (x )＝x 2－2x 的零点是________．3．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，对于下面的判断： ①f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点； ②f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点； ③f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点； ④f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点．正确的说法是________．(填序号)4．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 5．函数f (x )＝x 3－(12)x 零点的个数是________．1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学知识点一思考不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x )＝0的实数x .实际上是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．梳理 (1)0 零点(2)有实数根与x 轴有交点有零点知识点二思考能．因为f (x )＝lg x ＋x 在区间(110，1)内是连续的，函数值从－910变化到1，势必在⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1内某点处的函数值为0.梳理不间断 f (a )·f (b )<0 题型探究例1 x ＝1或x ＝10解析由(lg x )2－lg x ＝0，得lg x (lg x －1)＝0， ∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10. 跟踪训练1 4解析 f (x )＝(x ＋1)(x －1)(x ＋2)2(x －3)(x ＋1) ＝(x ＋1)2(x －1)(x ＋2)2(x －3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．例2 (1,2)解析令f (x )＝e x－(x ＋2)，则f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x－(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内．跟踪训练2 2解析 ∵函数f (x )＝3x －7＋ln x 在定义域上是单调增函数， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 在区间(n ，n ＋1)上只有一个零点．∵f (1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f (2)＝6－7＋ln 2<0，f (3)＝9－7＋ln 3>0， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(2,3)内， ∴n ＝2.例3 解方法一 ∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x )在(0,1)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，故函数f (x )有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．跟踪训练3 解方法一由于f (2)<0，f (3)>0，即f (2)·f (3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调增函数，所以它仅有一个零点．方法二通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数．由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点．例4 (－1，＋∞)解析由题意可得a ＝x －(12)x(x ＞0)．令g (x )＝x －(12)x，该函数在(0，＋∞)上为单调增函数，可知g (x )的值域为(－1，＋∞)，故当a ＞－1时，f (x )在(0，＋∞)内有零点．跟踪训练4 (－56，－12)解析函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f－＝2＞0，f ＝2m ＋1＜0，f ＝4m ＋2＜0，f＝6m ＋5＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．当堂训练 1．2解析 ∵Δ＝9－4×2×1＝1>0， ∴f (x )有两个零点． 2．0,2解析令x 2－2x ＝0，得x ＝0，x ＝2， ∴零点为0,2.3．③ 4.(－1,0) 5.1。

苏教版数学高一《函数的零点》名师导学案

执笔人：姚东盐审核人： 2011年 11月 *日
2.5.1函数的零点第 1 课时
【教师活动】【教学目标】会用函数图象的交根的意义；能结合二次轴的交点的个数，判断根的存在性及根的个数数的零点与方程根的联【教学重难点】
函数与方程的相互转化
【教学准备】多媒体
【教学活动】
1.问题情境
2.师生互动
3.建构数学概念
4.举例应用
5.课堂练习
6.小结作业【教学反思】
【学生活动】【学习目标】
会用函数图象的交点解释方程的根的意义；能结合二次函数的图象的个数，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数根的联系。

【课时安排】 1课时
【课前预习】
1、解下列方程；（1）0322
=--x x ；（2）0122=+-x x ；（3）0322=+-x x 。

2、画出下列函数图象（1）322--=x x y ；
（2）122+-=x x y ；（3）322+-=x x y 。

【课堂探究】一．问题情景设置一元二次方程02=++c bx ax 与一元二次函数c bx ax y ++=2二．师生互动三．数学建构 1、函数的零点：
2、根的存在性定理：
四．数学应用
例1 求证：二次函数7322-+=x x y 有两个不同的零点.
例2 判断函数12)(2--=x x x f 在区间（2,3）上是否存在零点。

高中数学苏教版必修一第3章 3.4 3.4.1 第1课时函数的零点

3.4函数的应用3.4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2.会求函数的零点．(重点、难点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[自主预习·探新知]1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．[基础自测]1．思考辨析(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[解析](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案](1)×(2)×(3)×2．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________.【导学号：48612214】[解析]令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.[答案]－1或－2(－1,0)，(－2,0)3．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．[解析]由f(x)在区间(2,5)上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．[答案] 1[合作探究·攻重难](1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R).【导学号：48612215】[思路探究]根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解](1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1,0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f (x )的零点为x ＝4.(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，得x ＝2.∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2.∴f (x )有零点2.当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2.∴f (x )的零点为1a ，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点1和4，则函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点为________．[解析] 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋4＝5，b ＝1×4＝4，∴g (x )＝4x 2－5x ＋1＝(4x －1)(x －1)，令g (x )＝0，则x ＝14或1，即g (x )的零点为14或1.[答案] 14或1________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. [思路探究] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．[解] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上． [答案] ③2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋3)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)【导学号：48612216】①(－1,0)；②[解析]设f(x)＝e x－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程e x－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．[答案]③[探究共研型][1．如何去求一个方程的零点？[提示](1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？[提示]解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f(x)＝2x－3x.图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．(1)函数f(x)＝e x－3的零点个数为________．(2)函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数是________．(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．[思路探究](1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．[解](1)令f(x)＝0，∴e x－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数为2.[答案](1)1(2)2(3)法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－25 4×(－1)＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a＞134时，方程没有实数根；②当a＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13.①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．母题探究：(变条件)若把(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题．[解] 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134， f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3.故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示：由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根；②当3＜a ＜134时，方程有两实数根；③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．[当堂达标·固双基]1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)图3-4-1[解析]②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．[答案]①2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________.【导学号：48612217】[解析]∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，由f(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.[答案] 33．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：[解析]∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．[答案] 44．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是________．[解析]设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．[答案] 15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.【导学号：48612218】[解] 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》88

函数的零点江苏省江阴长泾中学袁海峰一、教材分析：本节课内容选自苏教版高中数学必修1第节?函数与方程?第一课时，从数学知识体系来看本节内容是?数学分析?中的“介值定理〞的下放从中学教材结构看，起着承上启下的作用给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程数学思想的任务同时本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定，这两者显然是为“用二分法求方程近似解〞这一“函数的应用〞效劳的二、学情分析：学生在初中已经学过一次函数、二次函数和正反比例函数等一些函数，在高中又学习了一些根本初等函数如指,对,幂函数的图象和性质具备将一元二次方程的根这一“数〞和相应二次函数图像与轴的交点这一“形〞相结合及转化的意识三、教学目标：1．知识与技能目标：了解函数零点的概念；了解函数零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定方法2．过程与方法目标：培养学生的归纳概括能力；经历“类比—归纳—应用〞的过程；感悟由具体到抽象的研究方法3．情感与价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想的意义和价值，开展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用四、教学重点与难点：重点:理解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据难点:准确理解概念，探究发现函数零点存在的判定依据五、教法学法：1教法体验学习及问题探究教学方法，通过学生亲历教师预设的各种问题情景，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养学生的独立探究能力和态度。

2学法①注重由特殊到一般的直观归纳；②重视对概念的准确理解；③强化方程与函数之间的转化意识，掌握方程根的个数问题的一般处理方法。

六、教学过程：1创设情景、揭示课题问题1：方程有实数根吗你能用多少种方法解决这个问题方法1：计算的值；方法2：利用二次函数图象与轴是否有交点来判断问题2:方程的根与对应的函数有什么关系方程的根是使函数的值为0的实数,是函数的图象与轴交点的横坐标问题3:对于一般的一元二次函数与其对应的方程是否也具有相同的对应关系呢下面我们从开口向上的二次函数入手,完成以下表格:上述关系对任意的函数是否也成立函数零点的定义：一般地,我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点注意:函数的零点是实数，而不是点函数零点的意义：函数＝f〔〕的零点就是方程f〔〕＝0实数根，亦即函数＝f 〔〕的图象与轴交点的横坐标。