高考一轮复习极限知识点归纳总结

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各类极限知识点总结

一、函数的极限

1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋

于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim⁡(x→a)⁡f(x)=L。通

常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。

2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。比

如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。

3. 一些特殊函数的极限：

（1）常数函数的极限；

（2）幂函数的极限；

（3）指数函数和对数函数的极限；

（4）三角函数的极限；

（5）复合函数的极限等。

二、无穷大和无穷小

1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的

无穷小。

2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有

界性的关系、无穷小的运算规律等。

3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：

（1）常数函数的无穷大和无穷小；

（2）幂函数的无穷大和无穷小；

（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；

（4）三角函数的无穷大和无穷小；

（5）复合函数的无穷大和无穷小等。

三、极限的运算规律

1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。比如两个函数的极限之和

等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。

极限基础知识点总结

一、极限的概念

1.1 极限的概念

极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。

1.2 极限的符号表示

当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。常用符号表示：

1.3 极限的定义

数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。

函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。

1.4 极限的性质

（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。

（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。

二、极限的求解

2.1 函数在无穷远处的极限

当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。

2.2 无穷小的性质与判定

无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：

2.3 函数的极限存在性判定

对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。

2.4 极限存在性的定理

弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是

2024年高考数学第一轮复习知识点总结

一、函数与方程（约占25%）

1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。

3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。

5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。

6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。

7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。

二、空间与向量（约占15%）

1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。

2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。

3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。

4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。

三、导数与微分（约占15%）

1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。

2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。

3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。

4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。

四、概率与统计（约占15%）

1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。

2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。

2006年高考第一轮复习数学：13.2 数列的极限

13.2 数列的极限

●知识梳理

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.

注：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim

=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞

→n lim a n =a , ∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

∞

→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞

→n lim

n n b a =b

（b ≠0）. 特别提示

（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.

●点击双基

1.下列极限正确的个数是

①∞→n lim αn 1

=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞

→n lim

n n 3

232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数）

A.2

B.3

C.4

D.都不正确解析:①③④正确. 答案:B

2. ∞→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于

A.0

B.1

C.2

D.3

解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2

+n ）］

=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2

++n n ］ =∞→n lim 22+n n

高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用

解：S= b· 2+b· 2+b· 2+…+b· 22·
= ·ab
= ·ab= ab.
培养能力
6.求y=fx= 的不连续点.
解：易求fx的定义域为{x|x≠－1,0,1},所以fx的不连续点为x=－1,x=0和x=1.
7.2002年春季上海某公司全年的纯利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩工作业绩均不相同从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后将余额除以n发给第2位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
3.若fx、gx都在点x0处连续,则fx±gx,fx·gx, gx≠0也在点x0处连续.若ux在点x0处连续,且fu在u0=ux0处连续,则复合函数fux在点x0处也连续.
特别提示
1连续必有极限,有极限未必连续.
2从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.
●点击双基
1证明{an}是等比数列；
2求 a1+a2+…+an的值.
1证明:记rn为圆On的半径,
则r1= tan30°= l.
=sin30°= ,∴rn= rn－1n≥2.
于是a1=πr12= , = 2= ,
∴{an}成等比数列.
2解：因为an= n－1·a1n∈N,

高考一轮函数知识点总结

高中数学中的函数是一个重要的概念，也是高考中常见的考点之一。函数作为数学中的一种关系，具有广泛的应用和深厚的理论基础。在高考中，对函数的理解和掌握是考生们取得好成绩的重要基础。下

面就来总结一下高考中一轮函数知识点。

1. 函数的定义与性质

函数是一种将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。函

数的定义包括自变量、因变量、定义域和值域等要素。同时，函数还

具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。

2. 基本初等函数

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三

角函数和反三角函数等。这些函数在数学和物理等领域具有广泛的应用，考生需要掌握它们的图像、性质和基本运算法则。

3. 函数的运算

函数的运算包括加减乘除、函数的复合和函数的逆等。加减乘除

是函数之间最基本的运算，函数的复合是将一个函数的输出作为另一

个函数的输入进行运算，函数的逆是一个与原函数互为反函数的函数。

4. 函数的图像与性质

函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过观察函数的图像，可以了解函数的性质。例如，当函数的图像在整个定义域上单调递增

或递减时，可以推断函数的单调性；当函数的图像关于某一直线对称时，可以推断函数的奇偶性。

5. 函数的应用

函数在各个学科中都有广泛的应用。在物理中，速度函数、加速

度函数和位移函数等描述物体运动的规律；在经济学中，收益函数、

成本函数和利润函数等描述企业生产的规律；在生物学中，生长函数、衰变函数和变异函数等描述生物体的数量变化规律。

6. 解函数方程

解函数方程是高考中常见的考点之一。函数方程是一个方程中含

大学数学一轮复习知识点总结

1. 微分与积分

- 一阶导数与单变量函数的微分

- 高阶导数与多变量函数的偏导数

- 不定积分与定积分

- 定积分的应用：求面积、弧长、体积等

2. 极限与连续

- 函数极限的定义与性质

- 极限的运算法则

- 无穷大与无穷小

- 连续函数的定义与性质

- 闭区间上连续函数的性质

3. 函数与数列的收敛性

- 函数收敛与发散的判断方法

- 函数单调性及其性质

- 数列的极限与收敛性

- 常见数列的性质与收敛性判断

4. 一元函数的微分学

- 微分的定义与性质

- 函数的增减性与极值点

- 函数的凸凹性与拐点

- 经济学中的应用：边际分析、最优化等

5. 一元函数的积分学

- 不定积分与定积分的基本性质

- 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法

- 分部积分与定积分的应用：曲线图像分析、面积计算等

6. 多元函数的微分学

- 偏导数的定义与性质

- 多元函数的全微分与导数

- 多元函数的极值与最值

- 线性回归与多元函数的应用

7. 多元函数的积分学

- 重积分与累次积分的关系

- 重积分的换序与应用

- 曲线面积与曲面面积的计算

- 牛顿-莱布尼茨公式的推广

8. 常微分方程

- 一阶常微分方程的解法与应用

- 二阶常微分方程的解法与应用

- 高阶常微分方程的解法与应用

- 模拟与分析：数值解法与稳定性分析

以上是大学数学一轮复习的知识点总结。希望对你的学习有所帮助！

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31030数列与函数的极限(1).

g3.1030数列与函数的极限（1）

一、知识回顾

1、数列极限定义

（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。

对前任何有限项情况无关。

*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。

2、几个常用极限

①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01

lim

=∞→n

n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞→n q n

=0；;1

lim ,1==∞

→n n q q ,1-=q 或n

n q q ∞

→>lim ,1不存在。若无穷等比数列1,,,,1

1<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项

的和）为：q

a s s n n -=

=∞

→1lim 1

3、数列极限的运算法则如果lim

2015年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限

13.3 函数的极限

●知识梳理

1.函数极限的概念：（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,

那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞

→x lim f （x ）

=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0

lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）

→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0

lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限

趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0

lim x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：

如果0

lim x x → f （x ）=a , 0

lim x x →g （x ）=b ,那么

lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0

lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0

lim

x x →)()(x g x f =b

（b ≠0）.

特别提示

（1）上述法则对x →∞的情况仍成立；（2）0

k52006年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限

13.3 函数的极限

●知识梳理

1.函数极限的概念：（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷

大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞

→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

lim x x →f （x ）=a ,也可

记作当x →x 0时，f （x ）→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0

lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0

右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0

lim x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：

如果0

lim x x → f （x ）=a , 0

lim x x →g （x ）=b ,那么

lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0

lim x x →[f （x ）

·g （x ）]=a ·b ; 0

lim x x →)

()(x g x f =

a （

b ≠0）.

特别提示

（1）上述法则对x →∞的情况仍成立；（2）0

高考数学一轮总复习导数与极限的综合应用

高考数学一轮总复习导数与极限的综合应用在高考数学中，导数和极限是重要的数学概念和工具。导数和极限的综合应用涉及到各种数学问题的解决方法。在本文中，我们将探讨高考数学中导数和极限的综合应用，并通过例题来加深理解。

导数和极限是微积分的核心概念。导数衡量了函数在某一点处的变化率。极限是指函数在自变量趋于某个数时的边界值。导数和极限可以相互应用，帮助我们解决各种实际问题。

一、函数极值问题

函数极值问题是导数和极限的综合应用中常见的问题。我们通过求导数、分析导函数的零点和导函数的变化趋势，来确定函数的极大值和极小值。

例题：已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求f(x)的极值，并判断极值点的性质。

解题思路：

1. 求导数：f'(x) = 3x² - 6x + 2。

2. 求导函数的零点：3x² - 6x + 2 = 0。

3. 解方程得到x的值：x = (-(-6) ± √((-6)² - 4*3*2))/(2*3)。

4. 求得x的值为x₁ ≈ -0.34，x₂ ≈ 2.34。

5. 分析导函数的变化趋势：当x < -0.34时，f'(x) < 0；当-0.34 < x < 2.34时，f'(x) > 0；当x > 2.34时，f'(x) < 0。

6. 根据极值的性质，得到极小值点x₁ ≈ -0.34对应的函数值f(x₁) ≈ 1.79为极小值。

7. 结合函数的图像，可以得出函数f(x)的极值为极小值。

二、曲线的切线和法线

曲线的切线和法线问题是导数和极限的综合应用中的另一类问题。通过求导数和运用切线和法线的性质，我们可以确定曲线上任意一点处的切线和法线的方程。

常用极限知识点归纳总结

一、极限的定义

1. 函数在某个点的极限

设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义（除$x_0$本身可以无定义），如果对任意一个实

数$\varepsilon>0$，总存在一实数$\delta>0$，使得当$x$满足不等式$0<|x-

x_0|<\delta$时，相应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称A是当x

趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \]

2. 函数的无穷大极限

如果对于任意一个正数$M$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有

$|f(x)|>M$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷大，记作\[ \lim_{x

\rightarrow x_0} f(x) = \infty \]

3. 函数的无穷小极限

如果对于任意一个正数$\varepsilon$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|<\varepsilon$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷小，记作

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \]

二、极限的性质

1. 有界性

若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，并且$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = B$，则

高中数学极限知识点

极限

一、数列的极限：

对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为

)(lim ∞→→=∞

→n A x A x n n n 或式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的

二、函数的极限

1.当∞→x 时函数的极限

2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限

得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞

→+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限

4.当+→0x x 或-→0x x 时函数的极限

得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0

0 三、极限的运算法则

（1）极限的唯一性如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B

（2）极限的运算法则

设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有

（1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim

（2）[]B A x v x u x v x u ∙=∙=∙)(lim )(lim )()(lim

（3）当0)(lim ≠=B x v 时，B

A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim

高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用

高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用绝对值是数学中常见的概念，它的应用广泛且重要。在高考数学一轮总复习中，不等式与绝对值的联系及数列极限与绝对值的应用是我们需要重点掌握的知识点。本文将介绍绝对值不等式的解法与数列极限的关系，并探讨绝对值的应用。

1. 绝对值不等式的解法

绝对值不等式是一种形式特殊的不等式，它的解法与普通的不等式有所区别。下面介绍几种常见的解法：

1.1 分类讨论法

当绝对值中的表达式包含不同情况时，可以通过分类讨论的方式来解决。例如，对于不等式|2x+3|≥5，可以分别讨论2x+3的取值范围，然后求解得出满足条件的x的值。

1.2 倍角法

倍角法是解决绝对值不等式的常用方法之一。例如，对于不等式|sinx|>0.5，可以通过考虑sinx和cosx的正负性来得出满足条件的x的取值范围。

1.3 区间法

对于一些特殊的不等式，可以利用区间的性质来进行求解。例如，

对于不等式|2x-1|<3，可以通过构造区间[-3,3]，然后确定满足条件的x

的取值范围。

2. 数列极限与绝对值的应用

数列极限是高中数学中的重要知识点，与绝对值的应用有紧密的联系。下面介绍两种常见的相关应用：

2.1 极限定义的证明

在数列极限的证明中，常常需要使用到绝对值的性质。例如，证明

数列{an}的极限是A，需要证明对于任意给定的误差ε>0，存在正整数N，使得当n>N时就有|an-A|<ε成立。这里的绝对值就是用来限制误差

范围的。

2.2 极限计算的辅助工具

在一些求极限的过程中，需要用到绝对值的性质来简化计算。例如，求极限lim(x→∞)|x-1|/x，可以利用绝对值的非负性质，将|x-1|替换为x-1，从而得到简化后的表达式1-1/x。

高考第一轮复习数学知识点

随着高考的逐渐临近，第一轮复习也已经开始，数学作为高考必考科目之一，需要我们提前进行系统性的复习。下面将为大家详细介绍高考第一轮复习数学知识点。

1.函数与极限

函数是数学中最基本的概念，是解决各种问题的基础，高考中对函数的考察也十分重要。重点关注函数的性质、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等。

极限是高等数学中最基本的概念之一，包括极限的定义、存在性、唯一性、极限运算法则等。同时，需要重视初等数学常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等中涉及到的极限。

2.微积分

微积分是数学中最重要的分支之一，也是高考数学中的重点内容。需要理解微分的概念、基本公式、运算法则、应用等；同时也需要掌握积分的概念、基本公式、基本性质、变量代换、分部积分等内容。

3.数列与数学归纳法

数列在高考中也经常出现，需要重视各种数列的通项公式、求和公式、递推公式、极限等；同时还需要掌握数学归纳法的基本思想、基本步骤、典型例题等。

4.平面几何

平面几何作为高考数学中最基础也是最重要的考点之一，需要掌握各种定理、公式，各种角的性质、直角三角形中的三角函数等内容。

5.解析几何

解析几何是高考数学中比较难的一部分，也是很多学生认为比较抽象的一部分。需要学习二维坐标系、一般式方程、斜率、距离公式、圆的方程等内容，同时也要掌握各种几何问题的解法，如角平分线、垂线定理、相交线定理等。

6.概率与统计

概率与统计在高考数学考试中所占比重较大，需要掌握各种概率计算方法、常见的概率分布、概率统计中的参数估计、假设检验、线性回归分析等内容。

极限重要知识点总结

一、极限的定义

1.1 函数的极限

在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：

对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，

总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在

x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 数列的极限

除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作

lim(n→∞)an=a。

1.3 极限的重要性

极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。在

实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。

二、极限的性质

2.1 极限的唯一性

如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。这意味着在某一点的极限值是

确定的，不会有多个不同的极限值。

2.2 极限的有界性

如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。在

实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。