抽样定理简介
抽样定理
抽样定理
定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的
时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一
个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后
的信号就包含原连续的全部信息。抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号
进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时
间间隔为T<=1/2f m
的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？
什么是A/D转换和D/A转换？
一。什么是a/d.d/a转换：
随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。压力。位移。图像等),要使计算机或数字仪表能识别。处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。随着集成技术的发展，现已研制和生产出许多单片的和混合集成型的a/d和d/a转换器，它们具有愈来愈先进的技术指标。
第3节 抽样定理
∞
fx fx h ( x , y ) = ℑ rect ( ) rect ( ) 2 Bx 2By = 4 B x B y sinc (2 B x x ) sinc (2 B y y )
−1
于是: 可以得到插值公式: g(x, y) = XY ∑
∞ n=−∞ m=−∞
1 1 若 最 允 的 样 隔 取 大 许 抽 间 ,即 = X ,并 Y = 且 ,则 2Bx 2By
g(x, y) = ∑
∞
n=−∞ m=−∞
∑
∞
n m n m , )sinc 2Bx (x − ) sinc 2By ( y − ) g( 2Bx 2By 2Bx 2By
×
x
-1/2Bx
0
1/2Bx
⇔
||
-BX 0 BX
fx
∞ n n g ( x) = ∑ g 2 B sinc 2 Bx x − 2b −∞ x x
G (fx)
⇔
x -BX 0 BX fx
严格来说，频带有限的函数在物理上并不 存在。任何在空域上分布在有限范围内的信号 （函数）的频谱在频域的公布都是无限的。但 是这些函数的频谱随着频率提高，到一定程度 后会大大减小。实际应用时，可以把它们近似 看做限带函数，而忽略高频分量引起的误差。
抽样定理
抽样定理
抽样的分类：
（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；
（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀
抽样定理；
（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理
抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。这一点与量化过程有本质区别。量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明
设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即
()()()s T m t m t t δ=
假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。按照频域卷积定理，
1()[()()]2s T M M ωωδωπ
=
因为 2()()T S n n T πδωδωω∞
=-∞=-∑ 2S T
πω=
所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞
=-∑
由卷积关系，上式可写成
1()()s s n M M n T ωωω∞
=-∞
=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
抽样定理
抽样定理
我们所熟知的抽样，是在数学数据处理中的从总体中抽样。抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。
抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0~之内（fh为模拟信号的最高频率）。为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为=6800Hz，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率=8000Hz，这样就留出了8000-6800=1200Hz 作为滤波器的防卫带。应当指出，抽样频率不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低），所以只要能满足，并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为～，带宽。如果，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，若，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108kHz）就属于带通型信号。
对于低通型信号来讲，应满足的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这个抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无
疑太高了（因为带通信号的高），将降低信道频宽的利用率，这是不可取的。
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。此外，V。A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。1933年，苏联工程师科特尔尼科
夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
抽样定理
式中 XY 表示函数在空域覆盖的面积, Bx B y 表示函数在频 域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为 XYBx By 的抽样值来近似表示。 问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？ 空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积 之积： SW XYB B x y 15
f H f x , f y rect x 2 Bx
的位于原点的矩形函数为
fy rect 2B y
滤波过程可写作
f Gs f x , f y rect x 2 Bx
fy rect 2B y
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分 布在平面 x, y上在 x ， y 两方向上间距为 X 和 Y 的 函数 与该函数的乘积 任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数 的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。 换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值
可见用sinc函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要 满足必要的条件)
10
抽样定理的意义
1 9 0 6
抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不 知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式 抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。 也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不 丢失任何信息 ——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么 讲也不过分
§3.11 抽样定理
TS
c c
o m
S
F Fs H f t f s t ht
H
TS
S m
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域解释
C o C
F
1
mo m
退出 退出
时域运算
以理想抽样为例 时域： f s ( t ) f ( t ) T ( t )
§3.11抽样定理
主要内容 抽样定理 由抽样信号恢复原信号（§5.9） 时分复用（§5.11)
重点
抽样定理
难点 由抽样信号恢复原信号
BUPT EE
退出 开始
一.抽样定理
1 F
（1）抽样前滤波→有限频
mo m
P
（2）抽样率足够高
S
S
o
S
（3）抽样后接理想低通滤 波器，滤除高频分量
退出
退出
c f t Ts 上式表明：
n
f (nT ) Sa t nT
s c s
连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数 的系数等于抽样值f(nTs)。也可以说在抽样信号fs(t)的每 个抽样值上画一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，由此合 成的信号就是fs(t) 。
抽样定理
抽样定理
词义
就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值
分类
时域抽样定理、频域抽样定理
基本定义
所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）
内的时间连续信号f（t），如果以
小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它
进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍
抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
第3章-3.7抽样定理
X 1 ( )
IFT
0 0 0
1
0
x1 (t )
TM T0
0
t
3.7 抽样定理
频域抽样小结
时域抽样：x(t)是带宽 s 2M ；
频域抽样： ( ) 是时限 T0 2π 2TM 。 X 带限信号x(t)可利用矩形窗实现。 时域理想周期抽样对应频域离散、周期， 反之亦然。
0
3.7 抽样定理
作业
习题3 3-29 3-30 3-31 3-32
频带宽度为
M / 2 8 / 2 4 rad/s
奈奎斯特频率 2 / 2 8 rad/s N M 奈奎斯特间隔 2 TN s N 4
3.7 抽样定理
解 （2）
N 2M 2 8 16 rad/s
2 TN s N 8
T (t )
3.7 抽样定理
解 （1）
1 f (2t ) F1 ( ) F ( ) 2 2
频带宽度为
2M 2 8 16 rad/s
奈奎斯特频率 N 2 2M 32 rad/s 奈奎斯特间隔 T 2 s N N 16
f (t / 2) F2 ( ) 2 F (2 )
)
1 Fs 2 ( ) TN
n
F ( 16n)
信号与系统§3.11 抽样定理
2
，
m
则
有
c
m
, Ts
2
s
c
此时f t f (nTs )Sa c t nTs
n
抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻 上。就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不 产生“串扰” 。
当s 2m时，只要选择m c s m 即可正确恢
频域：H T0s
c c
时域：ht Ts
c
Sa c
t
f t
f s (t) ht
f
n
(nTs
)
(t
nTs
)
Ts
c
Sa c
t
Ts
c
f (nTs )Sa c
n
复f t波形。
当s 2m时，不满足抽样定理，fs t 的频谱出现混叠，
在 时 域 图 形 中 ， 因Ts过 大 使 冲 激 响 应Sa函 数 的 各 波 形 在 时
间 轴 上 相 隔 较 远 ， 无 论如 何 选 择 c 都 不 可 能 使 迭 加 后 的 波
形恢复f t。
由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的 系统都相当困难，因而在数字通信系统中广泛采用零阶 抽样保持来产生和传输信号，在收端利用补偿滤波器恢 复连续时间信号。
4-9 抽 样 定 理
F(ω)
－ωm ωm
ω
P(ω)
－ωs ωs >2ωm
ωs
ω
Fs(ω) ω
－ωs
ωs
瞬时抽样（平顶抽样）：(Sampling with a
zero—order hold)
f(t) fs1(t)
T t
1
h0(t)
fs(t) τ
Fs Sa Ts 2
e
§ 4－ 9
抽
样
定
理
（The Sampling Theorem）
一、什么是抽样？
所谓“抽样”就是利用抽样脉冲序列从连 续信号中“抽取”一系列的离散样值，这种离 散信号通常称为“抽样信号”。 抽样是连续时间信号与离散时间信号之间 的一座桥梁。 时域抽样：连续信号用f(t)表示，抽样脉冲 序列用p(t)表示，抽样信号用fs(t)表示： fs(t)＝f(t)p(t)
2、脉冲编码调制（ＰＣＭ）： (pulse—code modulation) f(t) fs(t) 抽样 量化编码 发 送 端 fD(t)
至数字信道
fD(t)
自数字信道
fs(t)
D/A
1/Sa(ωτ/ 2)补偿
f (t)
接 收 端
思考题：
1、信号f1(t) = Sa(1000πt), f2(t) = Sa(2000πt),
抽样定理实验原理
抽样定理实验原理
抽样定理是统计学中的一项重要原理，它可以帮助研究者在分析数据时得出准确的结论。抽样定理的实验原理是通过从总体中随机抽取一部分样本，并对这些样本进行观察和分析，从而推断出总体的性质。
实际操作中，研究者需要按照一定的规则从总体中选择样本。这种选择需要具备随机性，确保每个样本都有被选择的机会，并且不会受到任何外部因素的干扰。通过随机抽样，可以减小样本选择的偏差，提高对总体的推断准确性。
在实验开始前，研究者需要确定样本的大小。通常情况下，样本越大，推断总体特征的准确性就越高。然而，样本大小的选择也需要考虑实际操作的可行性以及经济成本等因素。
当样本被选定后，研究者可以对样本进行观察和测量。通过对样本数据的分析，可以获取有关总体的统计信息，如均值、方差等。同时，抽样定理指出，样本均值的分布会逐渐接近总体均值，而样本方差的分布也会逐渐接近总体方差。
基于抽样定理的实验原理，研究者可以运用统计学中的各种方法，如假设检验、置信区间估计等，来推断总体的特征。这些方法可以帮助研究者对数据进行分析和解释，进而得出科学结论。
总之，抽样定理的实验原理是通过随机抽样和样本观察来推断总体性质的一种统计学原理。它在现实应用和科学研究中扮演
着重要角色，帮助研究者从有限的样本中获取对总体的准确认识。
抽样定理文档
抽样定理
什么是抽样定理？
抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了当样本数量足够大时，从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。抽样定理广泛应用于各个领域的统计研究中，为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。
抽样定理的背景
抽样定理最早由俄国数学家切比雪夫在1874年提出。他证明了当总体为无限大且服从一定规律时，从总体中随机抽取的样本均值的分布将逐渐趋近于正态分布。这个定理被广泛应用于概率论、数理统计以及其他与随机变量有关的领域中。
抽样定理的假设
抽样定理的有效性基于以下几个重要的假设：
1.总体是无限大的；
2.样本的抽取是随机的；
3.样本之间是相互独立的；
4.样本的大小足够大。
这些假设是抽样定理成立的前提条件，只有在满足这些条
件的情况下，我们才能应用抽样定理进行推断统计。
抽样定理的应用
抽样定理为统计学的推断统计提供了有力的工具。通过从
总体中随机抽取样本，我们可以利用抽样定理来估计总体的参数。例如，我们可以根据样本均值来估计总体的均值，根据样本标准差来估计总体的标准差等。
除了参数估计，抽样定理还可以用于假设检验。通过计算
样本均值与总体均值之间的差异，在一定的统计显著性水平下，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相差显著。
抽样定理的局限性
尽管抽样定理在统计学中有着广泛的应用，但我们也需要
注意它的局限性。抽样定理仅适用于样本数量足够大的情况下，当样本数量较小时，抽样定理可能并不成立。此外，抽样定理假设总体分布为正态分布，然而实际情况中总体的分布并不总是正态分布，这也是抽样定理的一大限制。
信息光学07-抽样定理
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
G(fx) fx Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅在 -Bx 0 频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
§1.4 抽样定理 二、函数的抽样
抽样后函数gs(x,y)的频谱
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m 如果G (fx, fy)频带无限制, 则这
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
§1.4 抽样定理
3、空间带宽积
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
• 空间物体的自由度数或自由参数数N
g(x)
comb(x/X)
gs(x)
x
抽样定理
抽样定理是什么?
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
扩展资料
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax 的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍；采样定理又称奈奎斯特定理。
如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足采样率标准时，完美重建仍然是可能的。在某些情况下（当不满足采样率标准时），利用附加的约束允许近似重建。这些重建的保真度可以使用Bochner定理来验证和量化。
问题：
[多选] 抽样定理的分类描述正确的有哪些（）。
A . 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理
B . 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，抽样定理分均匀抽样定理和非均匀抽样定理
C . 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，抽样定理分理想抽样定理和实际抽样定理
D . 以上都不对
参考答案： A, B, C
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用
一、抽样和抽样定理
数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
4、思考：
谢谢！
同时感谢相关资料未名提供者，互联网等。
附录1. 周期脉冲抽样
y
m 2By
可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必 要的条件)
物联网技术基础知识系列 ——抽样定理简介
Dr. SHEN
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题1
采样(抽样)：将连续信号转换为离散信号，便于采 用数字系统进行处理.连续信号被取样后，是否保 留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从 取样的信号还原出原始信号？
函数插值重建
采样信号
傅里叶（1768-1830）在《热的解析理论》一文中，发展了热
流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的 想法。
TDM时分复用在电报通信中被首次提出，但距抽样定理的理 论形成还有距离。
Whittaker（数学家）第一个对所有带限信号的抽样定理做了 阐述，从这点上来看应该是抽样定理的先驱。
Nyquist发表了著名的《电报信号无失真传输理论》，首次提
用频域中宽度 Bx 和 By 的位于原点的矩形函数为
H fx , f y
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
滤波过程可写作
Gs
fx,fy
rect
fx 2B
x
rect
fy 2B
y
G
fx,fy
原函数的复原(1)
做反变换就可直接得到原函数
根据卷积定理，在空间域得到
gs x, y hx, y gx, y
4.带通信号的抽样定理
负频 谱
M( )
正频 谱
－fH －fL
O
fL fH
f
(a)
T( )
－fs
正，－ 2fs
负，－fs
正，－fs
O
fs
f
(b)
负，零
Ms( ) 正，零 负，fs
正，fs 负，2fs
－fs －fL
－fs＋fL －fH －fL
O
fL fH fs－fL
(c)
fs＋fL
f
带通信号的抽样：需要保证采样信号频谱不发生混叠。
j)
2
TS
n
Sa
ns
2
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F (
j) *
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F[
j(
ns )]
附录2. 实验
附录3. 高维抽样定理
最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘
如果被抽样的函数为 gx, y，抽样函数可表示为 gs x, y
gs
x,
3T 2T T 0 T 2T 3T
t
ss ()
(s )
(s ) (s )
(s )
(s )
2s s
0
s
2s
1.抽样过程
抽样脉冲序列为周期冲激序列时， 称为理想抽样
f (t)
fs (t)
抽样器
fs (t) f (t) T s (t)
Ts (t) (t nTs ) n
2.抽样定理的推导
时
频
对上式左边两个因子分别进行化简有
gs
x,
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
XY gnX , mY x nX , y mY
n m
hx,
y
F rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
4Bx By
sin
c2Bx xsin
c
2By
y
结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和
原函数的复原(2)
回忆学过的知识： 卷积定理：
• 卷积定理 • 冲激串性质 • 冲激串的频谱
f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1() F2 ()
冲激串的频谱
T (t)
(t nT )
n
s ( ns ) n ss ()
T (t )
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
只要其抽样时间间隔Ts
1
2 fm
(s) 。
f(t)
fs(t)
t
-T 0 T 2T
历史： CLAUDE ELWOOD SHANNON, HARRY NYQUIST
大致时间 1765年 1807年
1840年代 1915年 1928年
1933年 1939年
事件
备注
拉格朗日（1736-1813）用常数和正余弦来对函数插值进行逼 近。
G
n m
fx
n X
,
fy
m Y
抽样函数的原函数的复原图
奈奎斯特（NYQUIST）抽样间隔
假如函数 g(x, y)是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个
有限区域内不为零
若包围该区域的最小矩形在
fx和
f y 方向上的宽度分别为
B
和
x
By
欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使
1 X
域
域
抽
周
样
Ts
相
s
卷
s
期 重
复
乘
积
信号恢复
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
0
t
0
t
1 Fs ( ) Ts
s m
m
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
F( j)
1
m0 m
m c s m
时域抽样定理
在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限
信号f(t) ，由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定，
问题2 只知道连续函数等间隔的样本点，能否通过内
插完全恢复出原函数，实现函数重建。
方法1：最小二乘法、卡尔曼滤波？……
方法2：应用傅里叶变换来分析和解决上述问题， 即通过分析采样信号的频谱来回答该问题。
本节主要内容
0、抽样过程 1、抽样过程 2、时域抽样定理及其推导 3、频域抽样定理 4、带通信号抽样定理 5、思考问题 6、附录材料
2Bx
或者说抽样间隔必须满足
1 Y
2By
X 2Bx
Y
2By
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
原函数频谱的复原
要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 Bx 和 By ,位于 原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。 在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”
第n-1次移位
第n次移位
即得到：
带通连续信号抽样定理
2fH n
fs
2fL n -1
5.思考和复习
1、混叠误差与截断误差
...
s
Fs ( j)
1 T
m
0 m
s
Fs ( j)
F ( j)
1
... 0
F1( j)
1
...
1 T
s m
0 m s
.m.. 0 m
2、三个条件总结:
抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵 循抽样定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来 表征。
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在
平面 x, y上在
数的乘积
x， y两方向上间距为 X 和
Y的
函数 与该函
任小”何要函被数该与函函数数在相乘函的数结位果置仍上然的是函数函值数所，调只制是。换函句数话的说“，大每 个 函数下的体积正比于该点函数的数值
冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期 脉冲抽样，其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t) F PTs
(t)
F[
fs (t)]
1
2
F (
出在一根模拟传输线上传输信号时，当抽样率大于一定值后， 可以近乎无失真地还原信号。
Kotelnikov（科捷利尼科夫）第一个证明了低通信号和带通信 号的抽样定理。
H.Raabe在博士论文中阐述了抽样定理，后被Bennet引用
1948年
Shanno（香农）引用了Bennet论文，并总结，从而被广泛接 受。同期的Someya（日本人）在《信号传输》中阐述了抽样 定理，所有也叫Someya抽样定理。
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离
散化必须满足三个条件： 1. 带限于m ；
1 Fs () Ts
2. s 2m ；
3. m c s m
可取c＝ s /2
s m
m来自百度文库
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
3、例题
已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
最后卷积的结果,愿函数为
gx, y Bx By XY gnX , mY sin cBx x - nX sin c By y mY n m
若取最大允许的抽样间隔，即
X
2Bx
，并且Y
2By
，则
gx,
y
n
m
g
n 2Bx
,
m 2By
s
inc
2Bx
x
-
n 2B x
s
inc
2By
抽样函数
抽样函数的频谱
利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频
谱
Gs fx ,f y
F comb
x X
comb
y Y
G
fx,fy
XYcombXfx comb Yfy G f x , f y
n m
fx
n X
,
fy
m G Y
fx,fy