抽样定理简介
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解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
4、思考：
谢谢！
同时感谢相关资料未名提供者，互联网等。
附录1. 周期脉冲抽样
y
m 2By
可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必 要的条件)
物联网技术基础知识系列 ——抽样定理简介
Dr. SHEN
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题1
采样(抽样)：将连续信号转换为离散信号，便于采 用数字系统进行处理.连续信号被取样后，是否保 留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从 取样的信号还原出原始信号？
函数插值重建
采样信号
傅里叶（1768-1830）在《热的解析理论》一文中，发展了热
流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的 想法。
TDM时分复用在电报通信中被首次提出，但距抽样定理的理 论形成还有距离。
Whittaker（数学家）第一个对所有带限信号的抽样定理做了 阐述，从这点上来看应该是抽样定理的先驱。
Nyquist发表了著名的《电报信号无失真传输理论》，首次提
用频域中宽度 Bx 和 By 的位于原点的矩形函数为
H fx , f y
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
滤波过程可写作
Gs
fx,fy
rect
fx 2B
x
rect
fy 2B
y
G
fx,fy
原函数的复原(1)
做反变换就可直接得到原函数
根据卷积定理，在空间域得到
gs x, y hx, y gx, y
4.带通信号的抽样定理
负频 谱
M( )
正频 谱
－fH －fL
O
fL fH
f
(a)
T( )
－fs
正，－ 2fs
负，－fs
正，－fs
O
fs
f
(b)
负，零
Ms( ) 正，零 负，fs
正，fs 负，2fs
－fs －fL
－fs＋fL －fH －fL
O
fL fH fs－fL
(c)
fs＋fL
f
带通信号的抽样：需要保证采样信号频谱不发生混叠。
j)
2
TS
n
Sa
ns
2
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F (
j) *
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F[
j(
ns )]
附录2. 实验
附录3. 高维抽样定理
最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘
如果被抽样的函数为 gx, y，抽样函数可表示为 gs x, y
gs
x,
3T 2T T 0 T 2T 3T
t
ss ()
(s )
(s ) (s )
(s )
(s )
2s s
0
s
2s
1.抽样过程
抽样脉冲序列为周期冲激序列时， 称为理想抽样
f (t)
fs (t)
抽样器
fs (t) f (t) T s (t)
Ts (t) (t nTs ) n
2.抽样定理的推导
时
频
对上式左边两个因子分别进行化简有
gs
x,
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
XY gnX , mY x nX , y mY
n m
hx,
y
F rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
4Bx By
sin
c2Bx xsin
c
2By
y
结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和
原函数的复原(2)
回忆学过的知识： 卷积定理：
• 卷积定理 • 冲激串性质 • 冲激串的频谱
f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1() F2 ()
冲激串的频谱
T (t)
(t nT )
n
s ( ns ) n ss ()
T (t )
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
只要其抽样时间间隔Ts
1
2 fm
(s) 。
f(t)
fs(t)
t
-T 0 T 2T
历史： CLAUDE ELWOOD SHANNON, HARRY NYQUIST
大致时间 1765年 1807年
1840年代 1915年 1928年
1933年 1939年
事件
备注
拉格朗日（1736-1813）用常数和正余弦来对函数插值进行逼 近。
G
n m
fx
n X
,
fy
m Y
抽样函数的原函数的复原图
奈奎斯特（NYQUIST）抽样间隔
假如函数 g(x, y)是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个
有限区域内不为零
若包围该区域的最小矩形在
fx和
f y 方向上的宽度分别为
B
和
x
By
欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使
1 X
域
域
抽
周
样
Ts
相
s
卷
s
期 重
复
乘
积
信号恢复
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
0
t
0
t
1 Fs ( ) Ts
s m
m
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
F( j)
1
m0 m
m c s m
时域抽样定理
在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限
信号f(t) ，由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定，
问题2 只知道连续函数等间隔的样本点，能否通过内
插完全恢复出原函数，实现函数重建。
方法1：最小二乘法、卡尔曼滤波？……
方法2：应用傅里叶变换来分析和解决上述问题， 即通过分析采样信号的频谱来回答该问题。
本节主要内容
0、抽样过程 1、抽样过程 2、时域抽样定理及其推导 3、频域抽样定理 4、带通信号抽样定理 5、思考问题 6、附录材料
2Bx
或者说抽样间隔必须满足
1 Y
2By
X 2Bx
Y
2By
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
原函数频谱的复原
要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 Bx 和 By ,位于 原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。 在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”
第n-1次移位
第n次移位
即得到：
带通连续信号抽样定理
2fH n
fs
2fL n -1
5.思考和复习
1、混叠误差与截断误差
...
s
Fs ( j)
1 T
m
0 m
s
Fs ( j)
F ( j)
1
... 0
F1( j)
1
...
1 T
s m
0 m s
.m.. 0 m
2、三个条件总结:
抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵 循抽样定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来 表征。
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在
平面 x, y上在
数的乘积
x， y两方向上间距为 X 和
Y的
函数 与该函
任小”何要函被数该与函函数数在相乘函的数结位果置仍上然的是函数函值数所，调只制是。换函句数话的说“，大每 个 函数下的体积正比于该点函数的数值
冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期 脉冲抽样，其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t) F PTs
(t)
F[
fs (t)]
1
2
F (
出在一根模拟传输线上传输信号时，当抽样率大于一定值后， 可以近乎无失真地还原信号。
Kotelnikov（科捷利尼科夫）第一个证明了低通信号和带通信 号的抽样定理。
H.Raabe在博士论文中阐述了抽样定理，后被Bennet引用
1948年
Shanno（香农）引用了Bennet论文，并总结，从而被广泛接 受。同期的Someya（日本人）在《信号传输》中阐述了抽样 定理，所有也叫Someya抽样定理。
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离
散化必须满足三个条件： 1. 带限于m ；
1 Fs () Ts
2. s 2m ；
3. m c s m
可取c＝ s /2
s m
m来自百度文库
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
3、例题
已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
最后卷积的结果,愿函数为
gx, y Bx By XY gnX , mY sin cBx x - nX sin c By y mY n m
若取最大允许的抽样间隔，即
X
2Bx
，并且Y
2By
，则
gx,
y
n
m
g
n 2Bx
,
m 2By
s
inc
2Bx
x
-
n 2B x
s
inc
2By
抽样函数
抽样函数的频谱
利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频
谱
Gs fx ,f y
F comb
x X
comb
y Y
G
fx,fy
XYcombXfx comb Yfy G f x , f y
n m
fx
n X
,
fy
m G Y
fx,fy
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
4、思考：
谢谢！
同时感谢相关资料未名提供者，互联网等。
附录1. 周期脉冲抽样
y
m 2By
可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必 要的条件)
物联网技术基础知识系列 ——抽样定理简介
Dr. SHEN
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题1
采样(抽样)：将连续信号转换为离散信号，便于采 用数字系统进行处理.连续信号被取样后，是否保 留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从 取样的信号还原出原始信号？
函数插值重建
采样信号
傅里叶（1768-1830）在《热的解析理论》一文中，发展了热
流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的 想法。
TDM时分复用在电报通信中被首次提出，但距抽样定理的理 论形成还有距离。
Whittaker（数学家）第一个对所有带限信号的抽样定理做了 阐述，从这点上来看应该是抽样定理的先驱。
Nyquist发表了著名的《电报信号无失真传输理论》，首次提
用频域中宽度 Bx 和 By 的位于原点的矩形函数为
H fx , f y
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
滤波过程可写作
Gs
fx,fy
rect
fx 2B
x
rect
fy 2B
y
G
fx,fy
原函数的复原(1)
做反变换就可直接得到原函数
根据卷积定理，在空间域得到
gs x, y hx, y gx, y
4.带通信号的抽样定理
负频 谱
M( )
正频 谱
－fH －fL
O
fL fH
f
(a)
T( )
－fs
正，－ 2fs
负，－fs
正，－fs
O
fs
f
(b)
负，零
Ms( ) 正，零 负，fs
正，fs 负，2fs
－fs －fL
－fs＋fL －fH －fL
O
fL fH fs－fL
(c)
fs＋fL
f
带通信号的抽样：需要保证采样信号频谱不发生混叠。
j)
2
TS
n
Sa
ns
2
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F (
j) *
(
ns
)
Ts
n
Sa
ns
2
F[
j(
ns )]
附录2. 实验
附录3. 高维抽样定理
最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘
如果被抽样的函数为 gx, y，抽样函数可表示为 gs x, y
gs
x,
3T 2T T 0 T 2T 3T
t
ss ()
(s )
(s ) (s )
(s )
(s )
2s s
0
s
2s
1.抽样过程
抽样脉冲序列为周期冲激序列时， 称为理想抽样
f (t)
fs (t)
抽样器
fs (t) f (t) T s (t)
Ts (t) (t nTs ) n
2.抽样定理的推导
时
频
对上式左边两个因子分别进行化简有
gs
x,
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
XY gnX , mY x nX , y mY
n m
hx,
y
F rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
4Bx By
sin
c2Bx xsin
c
2By
y
结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和
原函数的复原(2)
回忆学过的知识： 卷积定理：
• 卷积定理 • 冲激串性质 • 冲激串的频谱
f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1() F2 ()
冲激串的频谱
T (t)
(t nT )
n
s ( ns ) n ss ()
T (t )
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
只要其抽样时间间隔Ts
1
2 fm
(s) 。
f(t)
fs(t)
t
-T 0 T 2T
历史： CLAUDE ELWOOD SHANNON, HARRY NYQUIST
大致时间 1765年 1807年
1840年代 1915年 1928年
1933年 1939年
事件
备注
拉格朗日（1736-1813）用常数和正余弦来对函数插值进行逼 近。
G
n m
fx
n X
,
fy
m Y
抽样函数的原函数的复原图
奈奎斯特（NYQUIST）抽样间隔
假如函数 g(x, y)是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个
有限区域内不为零
若包围该区域的最小矩形在
fx和
f y 方向上的宽度分别为
B
和
x
By
欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使
1 X
域
域
抽
周
样
Ts
相
s
卷
s
期 重
复
乘
积
信号恢复
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
0
t
0
t
1 Fs ( ) Ts
s m
m
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
F( j)
1
m0 m
m c s m
时域抽样定理
在频率fmHz以上没有频率分量的连续时间带限
信号f(t) ，由它在均匀间隔上的抽样值唯一地决定，
问题2 只知道连续函数等间隔的样本点，能否通过内
插完全恢复出原函数，实现函数重建。
方法1：最小二乘法、卡尔曼滤波？……
方法2：应用傅里叶变换来分析和解决上述问题， 即通过分析采样信号的频谱来回答该问题。
本节主要内容
0、抽样过程 1、抽样过程 2、时域抽样定理及其推导 3、频域抽样定理 4、带通信号抽样定理 5、思考问题 6、附录材料
2Bx
或者说抽样间隔必须满足
1 Y
2By
X 2Bx
Y
2By
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
原函数频谱的复原
要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 Bx 和 By ,位于 原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。 在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”
第n-1次移位
第n次移位
即得到：
带通连续信号抽样定理
2fH n
fs
2fL n -1
5.思考和复习
1、混叠误差与截断误差
...
s
Fs ( j)
1 T
m
0 m
s
Fs ( j)
F ( j)
1
... 0
F1( j)
1
...
1 T
s m
0 m s
.m.. 0 m
2、三个条件总结:
抽样定理给出了连续信号离散化的理论依据。遵 循抽样定理，一个连续时间信号就可以由其样本值来 表征。
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在
平面 x, y上在
数的乘积
x， y两方向上间距为 X 和
Y的
函数 与该函
任小”何要函被数该与函函数数在相乘函的数结位果置仍上然的是函数函值数所，调只制是。换函句数话的说“，大每 个 函数下的体积正比于该点函数的数值
冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期 脉冲抽样，其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t) F PTs
(t)
F[
fs (t)]
1
2
F (
出在一根模拟传输线上传输信号时，当抽样率大于一定值后， 可以近乎无失真地还原信号。
Kotelnikov（科捷利尼科夫）第一个证明了低通信号和带通信 号的抽样定理。
H.Raabe在博士论文中阐述了抽样定理，后被Bennet引用
1948年
Shanno（香农）引用了Bennet论文，并总结，从而被广泛接 受。同期的Someya（日本人）在《信号传输》中阐述了抽样 定理，所有也叫Someya抽样定理。
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离
散化必须满足三个条件： 1. 带限于m ；
1 Fs () Ts
2. s 2m ；
3. m c s m
可取c＝ s /2
s m
m来自百度文库
0
s
Ts
H ( j)
c 0 c
3、例题
已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
最后卷积的结果,愿函数为
gx, y Bx By XY gnX , mY sin cBx x - nX sin c By y mY n m
若取最大允许的抽样间隔，即
X
2Bx
，并且Y
2By
，则
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y
n
m
g
n 2Bx
,
m 2By
s
inc
2Bx
x
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n 2B x
s
inc
2By
抽样函数
抽样函数的频谱
利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频
谱
Gs fx ,f y
F comb
x X
comb
y Y
G
fx,fy
XYcombXfx comb Yfy G f x , f y
n m
fx
n X
,
fy
m G Y
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