平面解析几何二 圆

平面解析几何（二）圆
1、圆的方程：
⑴圆的标准方程：()()2
2
2
x a y b r -+-=。

5a <
⑵圆的一般方程：2222
0(D E 4F 0)
＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22
D E
-
-，半径为221
42
D E F +-的圆（二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2
2
40D E AF +->））； ⑶圆的参数方程：
{cos sin x a r y b r θ
θ
=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方
程的主要应用是三角换元：
222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；
22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。

【练习】若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2
2y x +的最小值是__ ⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程 【练习】
（1）圆C 与圆2
2
(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为_____
（2）（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （3）已知(1,3)P -是圆
{
cos sin x r y r θθ
==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程
为________，P 点对应的θ值为_____，过P 点的圆的切线方程是____
（4）（4）直线l 将圆：x 2
+y 2
-2x-4y=0平分，且不过第四象限， l 的斜率的取值范围是 _ （5）方程x 2
+y ２
－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____ （6）（6）若{
3cos {(,)|
3sin x M x y y θθ
===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，
若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________
2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()2
2
2
C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点M 在圆C 外()()2
22
00CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；
（2）点M 在圆C 内⇔()()22
2
00CM r x a y b r <⇔-+-<；
（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()2
2
0y b r +-=。

如点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2
=1的内部,则a 的取值范围是______
3、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()2
2
2
C ：x a y b r -+-=
()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则
d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

如（1）圆1222
2=+y x 与直线sin 10(,2
x y R π
θθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系
为____
（2）若直线30ax by +-=与圆22
410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____ （3）直线20x y +=被曲线22
62x y x y +--150-=所截得的弦长等于
（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2
+(y-3)2
=1上的最短路程是 （5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆2
2
2
:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2
:l ax by r +=，则
A ．//m l 且l 与圆相交
B ．l m ⊥且l 与圆相交
C ．//m l ，且l 与圆相离
D ．l m ⊥，且l 与圆相离；
（6）已知圆C ：2
2
(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。

①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若17AB =，求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60
或120
③最长：1y =，最短：1x =）
4、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为
12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1
212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两
圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含。

如双曲线22
221x y a b
-=的左焦点为F 1，
顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为
5、圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆
222
()()x a y b R -+-=上一点
00(,)
P x y 圆的切线方程是：
200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的
距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为
220000x y Dx Ey F ++++（22200()()x a y b R -+--）；如设A 为圆1)1(2
2=+-y x 上动
点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为_________ （2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半
1
2
a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2
2
2
1()2
r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.。

5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!。