反比例综合

1. 如图，在直角坐标平面内，函数m

y x

=

（0x >，m 是常数） 的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结， AD DC CB ，，

． ⑴若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；

⑵若DC AB ∥，当AD BC =时，求直线AB 的函数的解析式．

【答案】⑴∵函数(0m

y x x

=

>，m 是常数）图象经过(14)A ，， ∴4m =．

设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4B a a ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，，

D 点的坐标为40a ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，，

E 点的坐标为41a ⎛⎫

⎪⎝

⎭

，

∵1a >，

∴DB a =，44AE a

=-

． 由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

得3a =，

∴点B 的坐标为433⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，．

⑵∵DC AB ∥，

∴当AD BC =时，有两种情况：

①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形， 由AE CE BE DE ==，，得，1BE AE

a DE CE

==-， ∴11a -=，得2a =．

∴点B 的坐标是22（，）．

设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入， 得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨

=⎩

，

∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．

②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则BD AC =， ∴4a =，

∴点B 的坐标是

41（，）． 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入， 得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15

k b =-⎧⎨

=⎩，

∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．

综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．

2. 如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线k y x

=

交于()20353A B a ⎛

⎫- ⎪⎝⎭，，，两点.

AD x ⊥轴于点D ，BE x ∥轴且与y 轴交于点E .

⑴求点B 的坐标及直线AB 的解析式；

⑵判断四边形CBED 的形状，并说明理由.

【答案】⑴∵双曲线k y x =过2033A ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，，

∴20k =.

把()5B a -，代入20y x

=, 得4-=a .

∴点B 的坐标是()54--，.

设直线AB 的解析式为y mx n =+，

将()203543A B ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭，，，代入得，

⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=n

m n

m 5433

20， 解得：4833m n ==，. ∴直线AB 的解析式为：4833

y x =

+ ⑵四边形CBED 是菱形.理由如下:

点D 的坐标是()30，

，点C 的坐标是()20-，. ∵

BE x ∥轴， ∴点E 的坐标是()04-，

. 而55CD BE ==，，且BE CD ∥.

∴四边形CBED 是平行四边形.

在Rt OED △中，222ED OE OD =+， ∴

5ED ， ∴.ED CD =

∴四边形CBED 是菱形.

3. 阅读理解：对于任意正实数a 、b

，∵

2

0，≥

∴0a b -≥

．∴

a b +≥a b =时，等号成立．

结论：在a b +≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p

，则a b +≥有当a b =时，a b +

有最小值 根据上述内容，回答下列问题：

⑴ 若0m >，只有当m =__________时，1

m m

+

有最小值_______． ⑵ 探索应用：已知()()3004A B -，，，，点P 为双曲线()12

0y x x

=

>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．

【答案】阅读理解：m =1（填

1

m

不扣分）， 最小值为 2 ；

探索应用：设12()P x x ，, 则12

(0)(0)C x D x ，

，，, ∴12

34CA x DB x =+=+，，

∴1112

(3)(4)22ABCD S CA DB x x

=⨯=+⨯+四边形

化简得：9

2()12S x x

=++

∵90,

0x x

>>

∴96x x +=≥

，只有当9

,3x x x

==即时，等号成立．

∴261224S ⨯+=≥，

∴ABCD S 四边形有最小值24.

此时，()()()3430045P C D AB BC CD DA ====，

，，，，， ∴四边形ABCD 是菱形．

4. 已知：反比例函数2y x =

和8

y x

= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB y ∥轴，与2

y x =的图象交于点B ，

AC BD 、与x 轴平行，分别与2y x =

、8

y x

=的图象交于点C D 、. ⑴若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；

⑵若点A 的横坐标为m ，比较OBC △与ABC △的面积的大小，并说明理由；