第二讲几何之五大模型及其应用

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几何的五大模型课件

特性平行线永不相交。
欧几里得几何的应用
01
02
03
建筑学
欧几里得几何在建筑设计中广泛应用，如确定建筑物的位置、方向和尺寸等。
工程学
在机械工程、航空航天和交通运输等领域，欧几里得几何用于指导实际物体的设计和制造。
日常生活
在日常生活中，人们常常利用欧几里得几何知识解决实际问题，如测量距离、计算角度等。
定义
连续性
等价关系
不变性
拓扑几何是研究图形在连续变形下保持不变的性质和不变量的几何分支。
拓扑变换是连续的，不改变图形的基本性质。
同胚的图形被视为等价，具有相同的拓扑性质。
某些拓扑性质在连续变形下保持不变。
拓扑几何的应用
网络分析
拓扑几何用于分析网络结构，如社交网络、互联网等。
数据可视化
通过拓扑结构表示复杂数据，帮助理解数据内在关系。
欧几里得几何的局限性
现实世界的复杂性
欧几里得几何在描述现实世界的一些现象时存在局限性，如弯曲的空间、微观粒子的运动等。
非绝对性
无法解释某些自然现象
在解释一些自然现象，如地壳运动、电磁波传播等方面，欧几里得几何显得力不从心。
欧几里得几何基于一些假设和公理，其绝对性和客观性存在争议。
CHAPTER
对初学者的挑战
解析几何需要较高的数学基础和思维能力，对于初学者来说可能存在学习难度。CHAPTER定来自与特性微分几何模型的定义
微分几何模型是一种使用微积分和线性代数工具来研究形状、曲线和曲面几何特性的数学模型。
微分几何模型的特性
微分几何模型强调局部性质，通过研究曲线和曲面的切线、法线、曲率等局部几何量来描述物体的形状和运动规律。

平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。

模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：等积变化原理之四边形应用S 4S 3s 2s 1O DC BA141423213S S =S S S S DO OB S S +==+模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b2（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；（4）141423213S S =S S S S DO OB S S +==+ :模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2︰A 2hh H cb a CB Aac b HC B模型五：燕尾定理F ED CBAS △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

几何的五大模型

几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1：S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABC= S△BAD反之，如果S△ABC= S△BCD，则可知直线AB平行于CD （AB∥CD）二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC：S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。

证明：图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2△ABE中S△ADE：S△ABE=AD：AB同理S△ADE：S△ABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2 所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ADE：S△ABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明（1）：在△ABD中，S1：S2=DO:OB在△DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

几何之五大模型

几何之五大模型在小学奥数知识体系中，几何五大模型是几何专题中非常重要的一块知识点，方法性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题意同时运用多种模型，从而更好的解决问题！PS:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供大家有针对性学习巩固，相信大家对于应用题的攻克将不在话下！一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ABE：S△CBE=AE：CE所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC因此S△ADE：S△ABC =（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

几何五大模型

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S精品字里行间精品文档图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

几何的五大模型学习资料

2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨（SΔABG+ SΔACG）： SΔBGC=AG:GE
3） BECFAD1 CE AF BD
例题：等积变换
例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是多少平方厘米？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
O
S2 S4
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
S3
3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们
D
EbF
C
可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数
4、 ∵ a：b=3:1，∴S2=S4=3份，S1=9份
5、想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系
5
1G
2
E
43
B
C
F
想想？ΔHBE与ΔHAB、 ΔHBF与ΔHBC、 ΔHDG与ΔHCD之间的比例关系
都存在1:3的关系
所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12×12÷3=48
例题：鸟头（共角）模型
例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC 至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积
C
A
O
E
B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题：等积变换模型
例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
分析：正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为
三等分点，想想？可采用什么模型

平面几何五大基本模型

平面几何五大基本模型平面几何是几何学中的一个分支，它研究平面内的各种形状和性质。

在平面几何中，有五大基本模型，即：点、直线、线段、角和平行线。

首先，让我们从点开始说起。

点是平面几何中最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。

可以想象成一个没有任何维度的数学点，用来描述平面上的位置。

点在几何上用大写字母来表示，如点A、点B 等。

接下来，我们来说说直线。

直线是由无限多个点组成的，它没有宽度，可以延伸到无穷远。

直线在几何上用一条带箭头的线段来表示，如AB线段。

直线具有无数个点和方向，可以通过两个点确定一条直线。

线段是由两个端点和端点之间的所有点组成的，它有固定的长度和方向。

线段在几何上用两个点之间用线段符号来表示，如CD线段。

线段是直线的一部分，它有起点和终点。

角是由两条共同起点的射线组成的部分，它有大小和方向。

角可以用两条线段之间的夹角来描述，如∠ABC。

角的大小可以通过数值的度量来确定，范围从0度到360度。

最后，让我们来看看平行线。

平行线是在同一个平面上，永远不相交的直线。

这意味着它们始终保持相同的距离。

平行线在几何上用两个竖线符号来表示，如∥。

平行线的性质和定理在几何学中有着广泛的应用。

综上所述，平面几何的五大基本模型分别是点、直线、线段、角和平行线。

熟悉和理解这些基本模型对于深入学习和掌握平面几何的知识是至关重要的。

通过对这些模型的研究和运用，可以帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。

因此，我们应该加强对这五大基本模型的学习和掌握，为在几何学中取得更好的成绩打下坚实的基础。

全国通用六年级下册数学试题-小升初：第二讲几何之五大模型及其应用(解析版)

第二讲几何之五大模型及其应用1．回顾几何图形中的倍比关系；2．精讲五大模型及其应用。

【例1】★★★（思维训练导引）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

ABCDEF解：BC×14=CD×16，BC ：CD=16：14，BC+CD=，BC=×=20 752752161614ABCD 面积=14×20=280（平方厘米）【例2】★★★（小学数学奥林匹克）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为（）【解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF，EG，BD。

设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，由KF∥EG∥BD，S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为S,则S= S △KGE + S △DEG = S △FGE + S △BGE = S BEFG正方形BEFG 的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以S BEFG =3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。

【例4】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。

已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，则有：GH 的长度为：312341221a a a -=++所以，阴影部分的面积为××b=××10=(平方厘米)12221a 122211021【解法2】如图，S 阴影=S △ABH -S △ABG =S 长方形ABFP -S 长方形ABOE 1212长方形ABFP=×长方形ABCD=×10334+37长方形ABOE=×长方形ABCD=×10112+13S 阴影=×（×10-×10）=(平方厘米)1237131021【点评】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。

六年级下册数学试题-小升初：第二讲几何之五大模型及其应用(解析版)全国通用

第二讲几何之五大模型及其应用1．回顾几何图形中的倍比关系； 2．精讲五大模型及其应用。

【例1】 ★★★（思维训练导引）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

解：BC ×14=CD ×16，BC ：CD=16：14， BC+CD=752，BC=752×161614=20 ABCD 面积=14×20=280（平方厘米）【例2】 ★★★（小学数学奥林匹克）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为（）【解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12 x=67.ABCDE F233212123223dc bax平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分～16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳，本讲重点研讨几何问题中直线型面积问题，尤其强调奥数几何题中的五大模型及应用。

教学目标专题回顾【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF，EG，BD。

设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，由KF∥EG∥BD，S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为S,则S= S△KGE+ S△DEG= S△FGE+ S△BGE= S BEFG正方形BEFG的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以S BEFG=3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。

【例4】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

几何五大模型

精选一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

精选四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型 ①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

几何的五大模型

解析：
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。

小学奥数几何五大模型

奥数几何模型
一、等积模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
S△ABD=S△ABC
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
h1为公共的高，所以
S△ABC：S△ADC= AB：AC
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比h1:h2；
AB为公共边，所以
二、相似模型
相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
④S的对应份数为(a+b)2
四、鸟头模型（共角定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
S△ABC：S△ADE=(AB*AC)：(AD*AE)；
五、燕尾模型
△ABC，AD、BE、CF 交于同一点O,
S△AOB：S△AOC=BD：CD；
S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，
S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型。
六、共边模型：
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，
1、金字塔模型2、沙漏模型
注意: 都含有BC平行DE这样的一对平行线！
三、风筝模型
1、风筝模型（任意四边形）：
S1*S3=S2*S4，
S1:S4=S2:S3=AO:CO,
S1:S2=S4:S3=DO:BOS1:S3=a2:b2
③S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab
则:S△PAB：S△QAB=PM：QM；

六年级下册数学试题-小升初：第二讲几何之五大模型及其应用(解析版)全国通用

第二讲几何之五大模型及其应用1．回顾几何图形中的倍比关系； 2．精讲五大模型及其应用。

【例1】 ★★★（思维训练导引）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

教学目标专题回顾【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF，EG，BD。

设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，由KF∥EG∥BD，S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为S,则S= S△KGE+ S△DEG= S△FGE+ S△BGE= S BEFG正方形BEFG的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以S BEFG=3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。

【例4】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

中考数学复习指导：几何五大模型归纳总结

几何五大模型归纳总结一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。

一半模型平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。

一、模型归纳总结1、等面积变换模型(1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；::ABD ACD S S BD CD =△△如图BDC BADCB A图A 图B(3)一半面积关系S 4S 3S 2S 1ABCDDCA12S S =阴影长方形 1324S S S S +=+【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一内接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几?第8题【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？BCGH【例4】、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____DCBF二、不规则图形求面积的常用方法【例5】、右图中两个半径为1的14圆扇形'A O B''与AOB叠放在一起，POQO'是正方形，则整个阴影图形的面积是。

小学数学五大几何模型总结

五大模型（二）知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A B C DO ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

几何中的五大模型

1 BC ，F 是 AC 的中点， 2
拓展图
3
例3
四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O（如图所示）。如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的
1 ，且 AO＝2，DO＝3, 那么 CO 的长度是 DO 的长度的__________倍。 3
例3图
例4
图中四边形 ABCD 是边Fra bibliotek为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？
掌握： ① S2 =S4 ② S1 S3 S2 S4 了解： ① S1 : S3 a 2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b2 : ab : ab ； ③梯形 S 的对应份数为 a b 。
2
四、相似模型相似三角形性质：
金字塔模型沙漏模型 AD AE DE AF ① ；（即为相似比） AB AC BC AG ② S△ADE : S△ABC AF 2 : AG 2 。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
2
五、燕尾定理模型
S△ABG : S△AGC S△BGE : S△EGC BE : EC S△BGA : S△BGC S△AGF : S△FGC AF : FC S△AGC : S△BCG S△ADG : S△DGB AD : DB 典型例题精讲例1 一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 0.15 倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

第二讲几何之五大模型及其应用

第二讲几何之五大模型及其应用1．回顾等积变形与倍比关系； 2．精讲五大模型及其应用。

一、等积变形【例1】 ★★★三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

二、倍比关系【例2】 ★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2S 4S 3s 2s 1ba模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ；S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例3】 ★★★★（北京市“迎春杯”刊赛）如下左图.将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 边延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F.如果三角形ABC 的面积等于l ，那么三角形DEF 的面积是_____.FEDCBA【例4】 ★★★（奥数研究中心）如图，△ABC 中AE=14AB ，AD=14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米。

几何五大模型

、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图S 1 : S 2二a: b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S ACD =s ° BCD ；反之，如果S A ACD =S^BCD ，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在△ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上（如图 2），则S A ABC : S A ADE =（AB AC ） : （AD AE ）五大模型其它常见的面积相等的情况fiI ）图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”：蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”）① S 1 : S 3 r a 2 : b 2② S 1 : S 3 : S 2 : S 4 = a 2 : b 2 : ab : ab ;2③ 梯形S 的对应份数为（a +b ）。

3① S ’ ： S 2 二S 4 : S 3 或者S四、相似模型相似三角形性质:BE cS A ABG ：S A AGC -S ^BGE S EGC -BE : EC S A BGA : S ^BGC =S A AGF : S A FGC =AF : FC S A AGC : S A BCG =S A A DG ： S A DGB =AD : DB典型例题精讲3—个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的21平方厘米。

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