辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学理试题含解析

辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试

数学理试题

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心

知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、

三视图、导数、简单的线性规划、数列、三角函数的性质等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

【题文】1．若复数(21a -)＋(1a -)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( )

A ．±1

B ．－1

C ．0

D ．1

【知识点】复数的基本概念与运算L4

【答案解析】B 因为复数a2-1+（a-1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，所以a2-1=0且a-1≠0，

解得a=-1．故选B ．

【思路点拨】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a 的值即可．

【题文】2. 已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2x

N y y x M ==∈，则M N = ( )

A ．{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜1

2＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2}

【知识点】集合及其运算A1

【答案解析】B 对于集合：M ：由x ＞x2，解得0＜x ＜1，∴M={x|0＜x ＜1}．∵0＜x ＜1，∴1

＜4x ＜4∴.12＜42x ＜2．∴N={y|12＜y ＜2}．∴M ∩N={x|1

2＜x ＜1}．故选B ．

【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M ，N ．再利用交集的

运算即可得出．

【题文】3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )

A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若2

1x =，则1x ≠”．

B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.

C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.

D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”． 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2

【答案解析】C 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”．所以，选项A 不正确；

由x=-1，能够得到x2-5x-6=0．反之，由x2-5x-6=0，得到x=-1或x=6．所以，“x=-1”是“x2-5x-6=0”

的充分不必要条件．所以，选项B 不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真命题，所以其逆否命

题也为真命题．所以，选项C 正确；命题“∃x0∈R ，x02+x0+1＜0”的否定是“对∀x ∈R ，

x2+x+1≥0”．所以，选项D 不正确．故选C ．

【思路点拨】题目给出的四个命题，A 是写出一个命题的否命题，既要否定条件，又要否定结

论；B 是分析充要条件问题，由x=-1，一定能得到x2-5x-6=0，反之，由x2-5x-6=0，得到的x

的值还可能是6；C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假；D 是考查特称命题的否定，特称

命题的否定式全称命题．

【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++108

1311a a a a （ ）

A. 27

B.3

C. 1-或3

D.1或27

【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3

【答案解析】A ∵13213,,22a a a 成等差数列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0

∵q ＞0∴q=3∴=++1081311a a a a =q3=27故选A

【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而

=++1081311a a a a =q3，代入即可求解.

【题文】5. 函数)(x f 的定义域为]1,0(，则函数)2(lg 2x x f +的定义域为

( )

A ．]4,5[-

B ．)2,5[--

C ． ]4,1[]2,5[ --

D ．]4,1()2,5[ --

【知识点】函数及其表示B1

【答案解析】D 函数)(x f 的定义域（0,1）所以0<

2lg 2x x +≤1，0<22x x +≤10 则14x <≤或52x -≤<-故选D. 【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。

【题文】 6. 已知

33)6cos(-=-

πx ,则=-+)3cos(cos πx x

( ) A ．33

2- B ．332± C ．1- D ．1±

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2

【答案解析】C

∵cos （x- 6π）=-，∴cosx+cos （x- 3π）=cosx+cosxcos 3π+sinxsin 3π

=32

cosx+

cosx+12sinx ）

（x-6π）

（

-）=-1故选C ．

【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos （x-3π

（x-6π

）即可．

【题文】7. 已知x ，y 满足记目标函数2z x y =+的最小值为1，最大值为7，则,b c 的值分别为 （ ）

A. -1，-2

B. -2，-1

C. 1，2

D. 1，-2

【知识点】简单的线性规划问题E5

【答案解析】A 由题意得知，直线x+by+c=0经过274x y x y +=⎧⎨+=⎩和211x y x +=⎧⎨=⎩

的交点，即经过（3,1）和（1，-1）点，所以3010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩

则b=-1,c=-2. 【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出b,c.

【题文】8．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且

25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，

2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）

A ．n(2n －1)

B ．(n ＋1)2

C ．n2

D ．(n －1)2

【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3

【答案解析】C 由等比数列的性质可得an2=a5•a2n -5=22n ，=（2n ）2，

∵an ＞0，∴an=2n ，故数列首项a1=2，公比q=2，

故log2a1+log2a3+…+log2a2n -1=log2a1•a3•…•a2n -1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n -2 =log22n•2(022)

2n n +-=log22n+n2-n=log22n2=n2，故答案为C.

【思路点拨】由题意可得an=2n ，可得数列首项a1=2，公比q=2，进而可得原式=log2(a1)nq0+2+4+…+2n -2，代入由对数的性质化简可得答案．

【题文】9.已知x ∈⎝⎛⎭

⎫0，π2，且函数f(x)＝1＋2sin2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g(x)＝⎩⎨⎧ －1⎝⎛⎭⎫π4＜x ＜π28x2－6bx ＋4⎝

⎛⎭⎫0＜x≤π4，则不等式g(x)≤1的解集为 ( )