2010届高三数学周练11：圆锥曲线

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高中数学圆锥曲线难题练习题带答案

高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（）A．2B．4C．3D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．B．2C．3D．43．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（）A．1B．2C．3D．44．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（）A．2B．C．D．7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．1B．C．2D．8．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点（2，3），若F1、F2为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点A（6，8），则当|P A|+|PF2||取最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝k（x﹣）过点F2，且与双曲线C在第一象限交于点P，若（）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝（a+1）|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝2，则e1的值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则＝（）A．1B．2C．3D．412．已知双曲线，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0，y0）为双曲线C上一点，且位于第一象限，若△PF1F2为锐角三角形，则y0的取值范围为（）A．B．C．D．13．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若F A＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．14．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（1，]C．（1，2]D．（1，2）15．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．416．设双曲线C：（a＞0，b＞0），M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若k PM•k PN＝4，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．517．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．318．已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M 位于第一象限，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．419．已知椭圆，圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（﹣2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．B．C．D．20．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[3，]D．[，3]二．填空题（共10小题）21．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是．22．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为．23．椭圆C：和双曲线的左右顶点分别为A，B，点M为椭圆C的上顶点，直线AM与双曲线E的右支交于点P，且，则双曲线的离心率为．24．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为k（k＞0）的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为r1，△BF1F2的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为：；若r1＝3r2，则k＝．25．已知双曲线的一条渐近线为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝8与l交于A，B两点，若△ABM是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．26．（文科）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以F为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于P，Q两点（O为坐标原点），△OPQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率的平方为．27．已知P是椭圆＝1上任意一点，AB是圆x2+（y﹣2）2＝1的任意一条直径（A，B为直径两个端点），则的最小值为，最大值为．28．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为，＝．29．已知F1，F2分别是双曲线C：，b＞0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2的大小为；双曲线的离心率为．30．已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C 的离心率为．三．解答题（共10小题）31．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．32．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．33．已知椭圆的离心率为，且坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且与直线x＝3交于点P，使得|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．34．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为D．（Ⅰ）若点D的纵坐标为﹣，求直线AB的方程；（Ⅱ）线段AB的中垂线与直线x＝﹣4交于点E，若|AB|＝，求|DE|．35．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜5），与圆M：（x﹣5）2+y2＝16有且只有两个公共点．（1）求抛物线C的方程；（2）经过R（2，0）的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．36．曲线C：y2＝2px（p＞0）与曲线E：x2+y2＝32交于A、B两点，O为原点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线l1、l2，l1、l2的斜率分别为k1、k2，k1+k2＝2，l1、l2分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．37．已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD面积的取值范围．38．已知圆锥曲线+＝1过点A（﹣1，），且过抛物线x2＝8y的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为（，0）点E的坐标为0，），直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|•|EM|为定值．39．已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．40．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：k AD﹣k BD＝﹣2．（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线1交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．【解答】解：连接PF2，由题意可知|PF2|＝2|ON|，|NQ|＝|PF1|，所以|OQ|＝|ON|+|NQ|＝（|PF2|+|PF1|）＝×4＝2，由极化恒等式可知，所以＝3，（极化恒等式：）．故选：C．2．【解答】解：依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵四边形OF AB为平行四边形，∴y1＝y2，又，，∴x2＝﹣x1，又F A∥OB，且直线F A的倾斜角为，∴．∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，．得A（﹣1，），将A的坐标代入椭圆方程，可得，①又a2﹣b2＝4，②联立①②解得：，．故选：B．3．【解答】解：双曲线C：（b＞0）的渐近线方程为y＝±，右焦点（，0）到其一条渐近线的距离等于，可得，解得b＝2，即有c＝，由题意可得＝1，解得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，如图，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2：x＝﹣1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC＝MA+MF，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2＝MA+MC＝MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F（1，0）到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离为．∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2．故选：B．4．【解答】解：如图，设M（x0，y0），则N（﹣x0，﹣y0），∵A（a，0），且线段AM的中点为B，∴B（，），由B，F，N三点共线，得，依题意，F（1，0），∴，，即．又y0≠0，解得a＝3，∴b2＝32﹣12＝8．可得C的方程为．故选：C．5．【解答】解：由|AF|＝4，得a﹣c＝4，设线段AN的中点为P，M（m，n），则N（﹣m，﹣n），又A（a，0），∴P （，），F（a﹣4，0），∵点M、F、P在同一直线上，∴k MF＝k FP，即，化简即可求得a＝6，∴c＝2，则b2＝a2﹣c2＝32．故椭圆方程为．故选：C．6．【解答】解：由题意知：a2＝1+4＝5，∴椭圆T：．设P（x0，y0），∵l1⊥l2，且M（0，1），∴，又，∴＝．﹣1≤y0≤1，∴当时，d12+d22的最大值为，故选：D．7．【解答】解：由抛物线方程，可得直线方程为x＝﹣，F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（，y1），N（﹣），∴，得，①，得，②又直线AB过焦点F，∴，③联立①②③得，p4＝（16﹣p2）（9﹣p2），解得p＝（p＞0）．设抛物线准线交x轴于K，则FK＝p＝．在Rt△MKF中，可得cos∠MFK＝，由抛物线的性质，可得∠AMF＝∠AFM＝∠MFK，则∠AFK＝2∠MFK，∴cos∠AFK＝，则cos，∴sin∠AFx＝，则tan．∴直线AB的斜率为．故选：D．8．【解答】解；由题意，可设双曲线C的方程为y2﹣3x2＝k（k≠0），将点（2，3）代入，可得32﹣3×22＝k，即k＝﹣3．故双曲线方程为．作出双曲线如图所示，连接PF1，AF1，由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2．∴|PF2|＝|PF1|﹣2，则|P A|+|PF2|＝|P A|+|PF1|﹣2≥|AF1|﹣2．当且仅当A，P，F1三点共线时等号成立，由A（6，8），F1（﹣2，0），得直线AF1的方程为y＝x+2．联立，得2x2﹣4x﹣7＝0．解得x＝1±．∵点P在双曲线的右支上，∴点P的坐标为（，）．故选：C．9．【解答】解：如右上图，由直线l：y＝k（x﹣）过点F2，可得F2（），由（）•＝0，可得OP＝OF2，取PF2的中点M，连接OM，则OM⊥PF2．又OM∥PF1，∴PF1⊥PF2．设PF2＝m，则|PF1|＝（a+1）|PF2|＝（a+1）m，由，解得．∴双曲线C的离心率为e＝．故选：C．10．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为a1，实半轴长为a2，即有e1＝，e2＝，设P为第一象限的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由∠F1PF2＝，可得4c2＝m2+n2﹣2mn cos，即为4c2＝3a12+a22，即有，又e2＝2，∴．故选：D．11．【解答】解：根据题意得F1（﹣，0）、F2（，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，则|P A1|＝|PB1|，|F1A1|＝|F1A|，|F2B1|＝|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝4，故|F1A|﹣|F2A|＝4，而|F1A|+|F2A|＝2，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|＝4可得（x+）﹣（﹣x）＝4，解得x＝2，故|OA|＝2，则△PF1F2的内切圆的圆心在直线x＝3上，延长F2B交PF1于C，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝（|PF1|﹣|PC|）＝（|PF1|﹣|PF2|）＝2，∴＝1．故选：A．12．【解答】解：由双曲线，得F1（﹣，0），F2（，0），∵P位于第一象限，∴∠PF1F2恒为锐角，又△PF1F2为锐角三角形，∴∠PF2F1，∠F1PF2均为锐角．由∠PF2F1为锐角，得2＜x0＜，∴（0，）．∵y0＞0，∴y0∈（0，），由∠F1PF2为锐角，得＞0，∴＞0，即＞0，又，∴＞0．即＞，又y0＞0，∴y0＞．综上所述，y0∈（）．故选：C．13．【解答】解：如图，由圆O的方程，得圆O的半径为OA＝OB ＝．过O作AB的垂线OH，则H为AB的中点，又F A＝BP，∴H为FP的中点，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则OH为三角形FF1P的中位线，可得OH∥PF1，则PF1⊥PF，由∠AOB＝120°，可得OH＝．∴，则PF＝，在Rt△PFF1中，由勾股定理可得：，整理得：．解得：e＝或e＝（舍）．故选：D．14．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，倾斜角设为θ，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c ﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，由θ为锐角，可得＝，即θ＝，可得直线AB的斜率为，而双曲线的渐近线的方程为y＝±x，由过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B 两点，可得＞，即b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，可得c＜2a，由e＝，且e＞1，则1＜e＜2，故选：D．15．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH 中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．16．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1），∴k PM•k PN＝•＝，∵，，∴两式相减可得，即，∵k PM•k PN＝4，∴，则e＝＝．故选：C．17．【解答】解：如图所示，l1：y＝，l2：y＝﹣，F2（c，0），则过焦点F2平行于l1的直线方程为y＝．由，解得P（）．∴|OP|＝．由|+|＝|﹣|，得F1P⊥F2P，即P在以线段F1F2为直径的圆上．则|OP|＝c＝，即e＝．故选：C．18．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），再设PQ的方程为x＝my+1，联立，得y2﹣4my﹣4＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则．|PM|•|QN|＝（|PF|﹣1）（|QF|﹣1）＝（x1+1﹣1）（x2+1﹣1）＝x1x2＝1，则≥2＝2．∴的最小值为2．故选：B．19．【解答】解：由圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，得．作出椭圆C与圆A的图象如图，F（﹣2，0）为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F′（2，0），则|PQ|+|PF|＝|PQ|+2×4﹣|PF′|＝8﹣（|PF′|﹣|PQ|），圆A过点F′，要使|PQ|+|PF|最小，则|PF′|﹣|PQ|需要取最大值为圆的直径．∴|PQ|+|PF|的最小值为8﹣．故选：D．20．【解答】解：如图，由题意，A（c，），|F1F2|＝2c，则tan．由，得≤≤1，即2≤≤．∴e＝∈[]．故选：A．二．填空题（共10小题）21．【解答】解：由已知可得2b＝2，即b＝1，∵△F1AB的面积为，∴（a﹣c）b＝，得a﹣c＝；∵a2﹣c2＝b2＝1；∴a＝2，c＝．可得椭圆方程为；∴＝＝．令|PF1|＝m，则．∴＝，∵≤m≤，∴1≤﹣m2+4m≤4；∴1≤≤4．故答案为：；[1，4]．22．【解答】解：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣c，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为P为OF的中点，所以P（﹣，0），因为，所以（﹣c﹣x1，﹣y1）＝2（x2+c，y2），所以可得y1＝﹣2y2，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得：（a2+m2b2）y2﹣2b2mcy+b2c2﹣a2b2＝0，所以y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣，所以A，B的中点坐标（﹣，），所以线段AB的中垂线方程为：y﹣＝﹣m（x+），令y＝0，可得x＝，由题意可得﹣＝，可得a2（1+m2）＝（2+m2）c2，①由，可得：9m2c2＝（1+m2）a2②，由①②可得：9m2＝2+m2，解得m2＝，将m2＝代入①可得a2＝c2，所以＝，故答案为：．23．【解答】解：如图，由已知可得：A（﹣3，0），B（3，0），M（0，）．则，AM所在直线方程为y＝，设P（x0，y0），则，消去x0，y0，解得b2＝6．则c＝．∴双曲线的离心率为e＝．故答案为：．24．【解答】解：△AF1F2的内切圆圆心为O1，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，得|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，则|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记O1的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同理可得内心O2的横坐标也为a，则有直线O1O2的方程为x＝a；设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2O2＝，∠O1F2O＝90°﹣，在△O1EF2中，tan∠O1F2O＝tan（90°﹣）＝，在△O2EF2中，tan∠O2F2O＝tan＝，由r1＝3r2，可得3tan ＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，则直线的斜率为tanθ＝＝．∴k＝．故答案为：a；．25．【解答】解：双曲线的一条渐近线l的方程为y＝，圆M：（x﹣a）2+y2＝8的圆心M（a，0），半径为r＝2，由△ABM为等腰直角三角形，可得AB＝r＝4，设OA＝t，由，可得OB＝5t，AB＝4t，由4t＝4，得t＝1，过M作MD⊥AB，且D为AB的中点，OD＝3，AB＝4，AD＝2，M到直线l的距离为MD＝，在直角三角形OMD中，MD2＝OM2﹣OD2，在直角三角形AMD中，MD2＝AM2﹣AD2，即有a2﹣9＝8﹣4，解得a＝，即有MD＝2＝，解得b＝，c＝，∴e＝．故答案为：．26．【解答】解：如图所示OP＝OQ，且△OPQ的一个内角为60°，则△OPQ为等边三角形，∴OP＝PQ，设圆与x轴交于G，连接PF，PG，则∠OPG＝90°，由∠POG＝30°，可得∠OGP＝60°，可得PG＝PF＝FG＝c，由OG＝2c，可得OP＝c，PQ＝c，则PH＝c，可得OH＝c，故P（c，c），又P为双曲线上一点，∴，由b2＝c2﹣a2，e＝，且e＞1，可得9e4﹣16e2+4＝0，解得e2＝．故答案为：．27．【解答】解：设圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心为C，则＝（）•（）＝（﹣﹣）•（）＝＝．∵P是椭圆＝1上的任意一点，设P（x0，y0），，即．∵点C（0，2），∴＝＝．∵y0∈[﹣1，1]，∴当y0＝1时，取得最小值1，当时，取得最大值．∴的最小值为0，最大值为．故答案为：0；．28．【解答】解：由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，得﹣，即p＝2．∴抛物线C的方程为x2＝4y；圆x2+y2﹣2y＝0为x2+（y﹣1）2＝1，则圆心与抛物线的焦点M重合，圆的半径为1．如图，联立，得4y2﹣17y+4＝0．解得：，y F＝4．∴|AB|＝|AM|﹣1＝|AA1|﹣1＝；|EF|＝|MF|﹣1＝|FB1|﹣1＝4，则＝．故答案为：x2＝4y；16．29．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b ﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由△＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．30．【解答】解：如图，由题意可得，直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|＝b，由双曲线的定义可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，∵|MN|＝|NF2|+|OF2|，且|OF2|＝c，∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，又b2＝c2﹣a2，联立解得4c＝5a，即e＝．故答案为：．三．解答题（共10小题）31．【解答】解：（1）设切点A（m，n），可得m2＝4n，x2＝4y即y＝的导数为y′＝x，可得切线l1的斜率为m，对椭圆+＝1两边对x求导，可得+＝0，即有y′＝﹣，则椭圆C2在点A处的切线l2的斜率为﹣，由题意可得率为m•（﹣）＝﹣1，化为b2＝a2，则e＝＝＝＝；（2）假设存在椭圆C2，使得S1＝2S2．由抛物线C1在点A处的切线l1的方程为mx＝2（y+n），与椭圆方程x2+2y2＝2b2联立，消去x可得（4+2m2）y2+8ny+4n2﹣2b2m2＝0，则n+y P＝﹣＝﹣，解得y P＝﹣，可得|y P﹣n|＝|﹣﹣n|＝，又椭圆C2在点A处的切线l2的方程为mx+2ny＝2b2，与抛物线方程x2＝4y联立，可得nx2+2mx﹣4b2＝0，可得mx Q＝﹣，即x Q＝﹣＝﹣＝﹣，y Q＝x Q2＝•＝，所以|y Q﹣n|＝，由S1＝2S2，可得＝2•，即为2n2＝1+2n，解得n＝+（负的舍去），则2b2＝m2+2n2＝4n+2n2＝4+3，所以存在椭圆C2，且方程为+＝1，使得S1＝2S2．32．【解答】解：（1）由已知，，∴，化简得动点M的轨迹E的方程：；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，此时△＞0，∴，，由直线BC的方程：，得：，令y＝0，则＝＝＝＝，∴直线BC过点P（﹣2，0），即P，B，C三点共线．33．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，且a2﹣b2＝c2，则a＝2b，c＝b，坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为，可得••a＝•b•c，解得b＝1，a＝2，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）假设存在满足题意的直线l，显然其斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2﹣k2x+k2﹣4＝0，由题意，可得△＝16（k2+1）＞0恒成立，又x1+x2＝，x1x2＝，由|P A|＝|3﹣x1|，|PB|＝|3﹣x2|，|AB|＝|x1﹣x2|，且|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，可得|3﹣x1|+|3﹣x2|＝2|x1﹣x2|，即6﹣（x1+x2）＝2，所以6﹣＝2＝2•，即52k2+15＝4，解得k＝±，所以存在这样的直线满足题意，且直线l的方程为y＝x﹣或y＝﹣x+．34．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，F（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．∴．点D的纵坐标为，解得m＝2或m＝．当m＝2时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0；当m＝时，直线AB的方程为3x﹣2y﹣3＝0．∴直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0或3x﹣2y﹣3＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．∴|AB|＝＝．令，解得m＝±1．从而可得D的纵坐标为，横坐标为．∵DE⊥AB，于是|DE|＝．35．【解答】解：（1）联立方程，得x2+（2p﹣10）x+9＝0，∵抛物线C与圆M有且只有两个公共点，则△＝（2p﹣10）2﹣36＝0，解得p＝2或p＝8（舍去）．∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）假设直线y＝2上存在定点Q（m，2），当直线l的斜率不存在时，A（2，），B（2，），由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，即恒成立．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x ﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2﹣4（k2+1）x+4k2＝0，则，x1x2＝4，由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，∴＝＝＝．整理得：（m2﹣4）k﹣2（m+2）＝0．∵上式对任意k成立，∴，解得m＝﹣2．故所求定点为Q（﹣2，2）．36．【解答】解：（1）由对称性可知：A、B关于x轴对称，可设A（a，a），a＞0，则a2＝2pa⇒a＝2p，把A（2p，2p）代入曲线C得：（2p）2+（2p）2＝32⇒p＝2；（2）证明：由（1）得曲线C的方程为y2＝4x，即有M（1，2），设N（x1，y1），P（x2，y2），则，同理，（*），若直线NP斜率为0，直线NP的方程设为y＝t0，代入曲线C，仅有一解，不合题意，舍去；当m存在时，设直线NP的方程设为x＝my+t，把x＝my+t代入y2＝4x 整理得：y2＝4（my+t）⇒y2﹣4my﹣4t＝0，且16m2+16t＞0，得，代入（*）式，得：﹣4t＝4⇒t＝﹣1，故直线NP的方程为x＝my﹣1，可得直线NP恒过定点（﹣1，0）．37．【解答】解：（1）抛物线的准线：x＝﹣，由抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．可得得p＝2，所以．（2）设点P坐标为（x0，y0），满足．由题意可知切线斜率不会为0，设切线PC为（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，由△＝0可得①，设切点C（x1，y1），所以y1＝2m1，代入①可得②．设切线PD为（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切点D（x2，y2），同理可得③．由②③可知y1，y2是方程y2﹣2y0y+4x0＝0的两根，所以y1+y2＝2y0，y1•y2＝4x0，又，，所以代入②③可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x﹣2y0y+4x0＝0的两根，即CD直线方程为4x﹣2y0y+4x0＝0．∴，∴，S△PCD＝＝＝，又因为且x0∈[﹣2，0]，．38．【解答】解：（1）抛物线x2＝8y的焦点B（0，2），将点A（﹣1，），B（0，2）代入方程得：，解得，∴圆锥曲线的标准方程为；证明：（2）由（1）可知，该圆锥曲线为椭圆，且D（），E（0，2），设椭圆上一点P（x0，y0），则直线PD：，令x＝0，得，∴|EM|＝|2+|；直线PE：，令y＝0，得，∴|DN|＝||．∴|DN|•|EM|＝||•|2+|＝||•||＝|•|＝||．∵点P在椭圆上，∴，即．代入上式得：|DN|•|EM|＝||＝||＝．故|DN|•|EM|为定值．39．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．40．【解答】解：（1）设D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），得（x≠﹣2），（x≠2），∵k AD﹣k BD＝﹣2，∴，整理得：x2＝2y（x≠±2）；（2）存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．证明如下：由题意，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，得x2﹣2kx﹣4＝0．则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．＝．则＝．直线OP：y＝，取y＝﹣1，得，直线OQ：y＝，取y＝﹣1，得．则|x M﹣x N|＝||＝||＝＝＝．∴．∴S△OPQ＝4S△OMN．故存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．第21页（共21页）。

压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题11圆锥曲线压轴题的处理策略从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入园锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考.○热○点○题○型1齐次化解决圆锥曲线压轴题○热○点○题○型2极点极线处理圆锥曲线压轴题○热○点○题○型3定点定值问题的处理策略1．已知拋物线2:2(0)C y px p =>，F 为焦点，若圆22:(1)16E x y -+=与拋物线C 交于,A B两点，且AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 为圆E 上任意一点，且过点P 可以作拋物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .求证：MF NF ⋅恒为定值.（2）令()()0011,,,,P x y M x y N 抛物线在点M 处的切线方程为(1x x m -=与24y x =联立得2114440y my my x -+-=由相切()211164440m my x ∆=--=得4my 代入①得12y m=故在点处的切线方程为()1112y x x y y -=-同理：点N 处的切线方程为222yy x x =+而两切线交于点()00,P x y ，所以有010*******,22y y x x y y x x =+=+，则直线MN 的方程为:00220x y y x -+=，由2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩得200240y y y x -+=于是()()221212||||1116y y MF NF x x ⋅=++=+()22001x y =-+，又点()00,P x y 在圆22:(1)16E x y -+=上，所以()2200116x y -+=,即||||16MF NF ⋅=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直线MN 的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.2．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30,90FAP AFP ∠∠=︒=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为k 的直线过点(0,3)D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为(0,2)，探究：是否存在λ，使得DM DN λ=，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由.由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标得32p =，所以轨迹C 的方程为2y =（2）假设存在λ，使得DM 由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：k 而(0,2)k ∈，2(63)k ∆=+2121221126((2)x x x x x x x x +++==于是21142k k λλ+=++，令因此1174λλ+>，又0λ>所以存在1(0,)(4,4λ∈⋃+∞【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，解的点.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：()2210,0a b a b-=>>的右焦点为F ，离心率为2，且过点()2,3P ．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)设过原点O 的直线1l 在第一、三象限内分别交双曲线E 于A ，C 两点，过原点O 的直线2l 在第二、四象限内分别交双曲线E 于B ，D 两点，若直线AD 过双曲线的右焦点F ，求四边形ABCD 面积的最小值．4．如图，已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，O 为坐标原点，过点F 作直线1l 与双曲线的渐近线交于P ，Q 两.点，且点P 在线段FQ 上，OP PQ ⊥，|||||OP OQ PQ +.(1)求C 的方程；(2)设12,A A 是C 的左､右顶点，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与2A N 的交点S 是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k⎛⎫≤≤⎪⎝⎭的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求||||ABMN的取值范围．(1)若第一象限的点P ，Q 是抛物线C 与圆的交点，求证：点F 到直线PQ 的距离大于1；(2)已知直线l ：()1y k x =+与抛物线交于M ，N 两点，()0A t ，，若点N ，G 关于x 轴对称，且M ，A ，G 三点始终共线，求t 的值.7．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>，焦点到渐近线20x y -=的距离为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交双曲线C 于点,M N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 做直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值13-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G .若不存在，请说明理由.8．已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且34AB OM k k ⋅=（O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的离心率；(2)若直线l 不经过双曲线C 的右顶点()2,0N ，且以AB 为直径的圆经过点N ，证明直线l 恒过定点E ，并求出点E 的坐标.）因为双曲线的右顶点()2,0N ，所以双曲线C 的标准方程为2243x y -34AB OM k k ⋅=，所以直线l 的斜率一定存在，并且3,//2AB OM ±，这不可能）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程)(222841203k xkmx m ---=()(2222Δ644344k m k m =---2430k -+>，21212284,3434km m x x x x k -+=⋅=--因为以AB 为直径的圆经过点N ，NA NB ⊥，所以0NA NB ⋅=，又因为()(1122,,2,NA x y NB x =-=- ()()121222NA NB x x y y ⋅=--+又因为()()1212y y kx m kx m k =++=()(21212NA NB k x x km ⋅=++- )()2241212343m km k --+⨯+-⨯-化简得2216280m km k ++=，即(m 14m k =-或2m k =-，且均满足9．已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于1-，求OMN 的面积的取值范围．F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值以及此时直线l 的方程.11．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>，焦点为12,F F ，其中一条渐近线的倾斜角为150 ，点M 在双曲线上，且124MF MF -= .(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设椭圆M 以双曲线C 的顶点为焦点，焦点为顶点，直线():01l y kx m m =+<<交M 于,A B 两点（均不在坐标轴上），若AOB 的面积为1，求222k m -的值.设()()1122,,,A x y B x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x kmx m +++-=则()2216140k m ∆=+->，即2214m k <+，122814km x x k ∴+=-+，21224414m x x k -=+，设l 与y 轴交于点T ，则()0,T m ，(1211122AOB AOT BOT S S S m x x m x ∴=+=⋅-=⋅+ 2222222141414121414m k m m k m k k+-=⋅=⋅+-=++，()2222214144k k mm +∴+-=，即()222412k m ⎡⎤+-=⎣⎦整理可得：22122k m -=-.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求三角形的面积.12．如图，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作直线l 交E 于A ，B 两点，点A ，B 在x 轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．13．已知椭圆：22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B 的周长为(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．123((2,2M M M -⎭中恰有两个点在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若C 的上顶点为E ，右焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点（与椭圆顶点不重合），直线EA ，EB 分别交直线40x y --=于P ，Q 两点，求EPQ △面积的最小值．⊥两点，O为坐标原点，OA OB(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k.若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||AB=(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EA FA分别交准线于点,M N，求||||BMBN的值．17．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2:12+=E y 的右顶点､下顶点､右焦点分别为A ，B ，F .(1)若直线BF 与椭圆E 的另一个交点为C ，求四边形ABOC 的面积；(2)设M ，N 是椭圆E 上的两个动点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，若点P 满足：2OP OM ON =+.问：是否存在两个定点G ，H ，使得PG PH +为定值？若存在，求出G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交C 于M ，N 两点，交x 轴于点A ，线段MN 的垂直平分线交x 轴于点D ，若||||2||AM AN AD ⋅=，证明：直线l 过四个定点()()()()3,0,1,0,1,0,3,0--中的一个．19．已知过点()1,e 的椭圆E ：()2210x y a b a b+=>>的焦距为2，其中e 为椭圆E 的离心率．(1)求E 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，直线l 与E 交于,A C 两点，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，且点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．20．已知椭圆Γ：(210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．(1)若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是2，求实数m 的值；(2)若1m k ==，求BEG 的面积；(3)设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切, 则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）62.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l , 点A l ∈, 线段AF 交C 于点B , 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =(A).2 (B). 2 (C).3 (D). 33.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =u u u r u u u r, 则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 右顶点为A , 点B 在椭圆上, 且BF x ⊥轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r, 则椭圆的离心率是（）A ．3 B ．22 C ．13 D ．125.点P 在直线:1l y x =-上, 若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点, 且|||PA AB =, 则称点P 为“点”, 那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =8.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切, 则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点, F 为C 的焦点。

2010届高三数学精品讲练：圆锥曲线

2010届高三数学精品讲练：圆锥曲线一、典型例题例1、根据下列条件，求双曲线方程。

（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）；（2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。

分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±= 令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1b y a x 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=- 法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22 ∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴1k42k 16)23(22=+-- 解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=- 评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。

与双曲线1b y a x 2222=-共焦点的双曲线为1kb y ka x 2222=--+（a 2+k>0，b 2-k>0）。

比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。

2010届高考数学复习强化双基系列课件__《圆锥曲线—圆锥曲线的应用》

例4.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这两点,求证: 抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切. 物线的准线相切. 分析: 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. [思维点拨]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相思维点拨] 类似有: 切.类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离; 线相离;以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相以上结论均可用第二定义证明之. 交.以上结论均可用第二定义证明之. 变式:求证:以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与变式:求证:以双曲线的任意焦半径为直径的圆, 以实轴为直径的圆相切. 以实轴为直径的圆相切.
的两焦点,P是椭圆上任一点, 从任一焦点引的两焦点, 是椭圆上任一点, 为( A .圆 ) B.椭圆 C.双曲线
x2 y2 变式练习: a>b>0) 变式练习:F1,F2是椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) a b
∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q的轨迹的外角平分线的垂线,垂足为Q
D.抛物线
二,例题: 例题:
例题1 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行, 例题1:设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行, 地球恰好位于椭圆轨道的焦点处, 地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离地球相距万千米和万千米时,经过地球和慧星的直球相距万千米和万千米时, 线与椭圆的长轴夹角分别为, 线与椭圆的长轴夹角分别为,求该慧星与地球的最近距离. 最近距离. 说明( 在天体运行中, 说明(1) :在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点, 轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点, 该椭圆的两个焦点,一个是近地点, 该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点, 远地点,这两点到恒星的距离一个是 a c ,另一个是 a + c.

高中数学圆锥曲线知识点整理

高三数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹)方程.它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系),侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形,重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d|PF ||P ，其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ∉，如图.因为三者有统一定义，所以,它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e 〉1时，点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+｜PF2|=2a，2a〉|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线｛P｜|｜PF1|—｜PF2｜｜=2a，｜F1F2|〉2a〉0，F1，F2为定点}.(3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质,不因为位置的改变而改变。

①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点,两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称.②定量：(4)圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法(△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

高三数学：圆锥曲线中的新定义解析

“九省联考”新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

解题策略求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。

一、单选题1已知曲线Γ的对称中心为O，若对于Γ上的任意一点A，都存在Γ上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题【答案】B【分析】设出椭圆、双曲线方程及点A,B,C的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点A的坐标求出直线BC 方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.【详解】椭圆是“自稳定曲线”.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a2≠b2,a2>0,b2>0)，令A(x0,y0)，则b2x20+a2y20=a2b2，设B(x1,y1),C(x2,y2)，由O是△ABC的重心，知x1+x2=-x0y1+y2=-y0，直线BC过点M-x02,-y02，当y 0=0时，若A (a ,0)，直线y =-a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，若A (-a ,0)，直线y =a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，则当y 0=0，即A (±a ,0)时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，同理，当x 0=0，即A (0,±b )时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，当x 0y 0≠0时，b 2x 21+a 2y 21=a 2b 2b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 ，两式相减得b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0，直线BC 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 0a 2y 0，方程为y +y 02=-b 2x 0a 2y 0x +x 02 ，即y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0，由y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0b 2x 2+a 2y 2=a 2b2消去y 并整理得：x 2+x 0x +a 24-a 2b 2y 20=0，Δ=x 20-a 2+4a 2b 2y 20=-a 2b 2y 20+4a 22b 2y 20=3a 2b2y 20>0，即直线BC 与椭圆交于两点，且O 是△ABC 的重心，即当x 0y 0≠0时，对于点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 的重心，综上，椭圆上任意点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 重心，①为真命题；双曲线不是“自稳定曲线”.由对称性，不妨令双曲线方程为x 2m 2-y 2n2=1(m >0.n >0)，令A (t ,s )，则n 2t 2-m 2s 2=m 2n 2，设B (t 1,s 1),C(t 2,s 2)，假设O 是△ABC 的重心，则t 1+t 2=-t s 1+s 2=-s，直线BC 过点-t 2,-s2，当s =0时，直线x =-m 2或直线x =m 2与双曲线x 2m 2-y 2n2=1都不相交，因此s ≠0，n 2t 21-m 2s 21=m 2n 2n 2t 22-m 2s 22=m 2n2 ，两式相减得n 2(t 1-t 2)(t 1+t 2)-m 2(s 1-s 2)(s 1+s 2)=0，直线BC 的斜率s 1-s 2t 1-t 2=n 2t m 2s ，方程为y +s 2=n 2t m 2s x +t 2 ，即y =n 2t m 2s x +n 22s ，由y =n 2t m 2sx +n 22sn 2x 2-m 2y 2=m 2n2消去y 并整理得：x 2+tx +m 24+m 2n 2s 2=0，Δ =t 2-a 2-4m 2n 2s 2=m 2n 2s 2-4m 2n 2s 2=-3m 2n2s 2<0，即直线BC 与双曲线不相交，所以不存在双曲线，其上点A 及某两点B ,C ，O 为△ABC 的重心，②是假命题.故选：B【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.2数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e =ω(其中ω=5-12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1，(a >b >0)，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作⊙O ,P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ,B ，直线AB 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点，则b 2|OM |2+a 2|ON |2=()A.1ωB.ωC.-ωD.-1ω【答案】A【分析】根据题意O 、A 、P 、B 四点在以OP 为直径的圆上，可设点P 坐标为P x 0,y 0 ，从而得出四点所在圆的方程为x x -x 0 +y y -y 0 =0，利用两圆方程之差求得切点A 、B 所在直线方程，进而求得M 、N 两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB 四点共圆，设点P 坐标为P x 0,y 0 ，则该圆的方程为：x x -x 0 +y y -y 0 =0，将两圆方程：x 2+y 2=b 2与x 2-x 0x +y 2-y 0y =0相减，得切点所在直线方程为l AB :xx 0+yy 0=b 2，解得M b 2x 0,0 ，N 0,b 2y 0，因为x 20a 2+y 20b2=1，所以b 2|OM |2+a 2|ON |2=b 2b 4x 20+a 2b 4y 2=b 2x 20+a 2y 2b 4=a 2b 2b 4=a 2b 2=11-ω2=25-1=1ω.故选：A3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论：①曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P 的横坐标的取值范围是-3,3 ；③OP 的取值范围是1,3 ；④△PF 1F 2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1 B.2C.3D.4【答案】D【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断①；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定∠F 1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，②正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，③正确；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，④正确.综上，正确结论的个数为4个.故选：D【点睛】关键点点睛：②③通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.4在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给定下列四个命题：p 1：对于任意的三点A ，B ，C ，总有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；p 2：若点P 3,1 ，直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；p 3：满足d (O ,M )=C C >0 的点M 的轨迹为正方形；p 4：若点F 1(-c ,0)，F 2c ,0 ，则满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 的点M 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，讨论|x -3|，|2-2x |的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；④讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，如图，结合三角形的相似可得d (C ,A )，d (C ,B )，d (A ,B )为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则d (C ，A )+d (C ，B )=d (A ，B )；若B ，C 或A ，C 对调，可得d (C ，A )+d (C ，B )>d (A ，B )；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；故①正确；设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，由|x -3|≥|2-2x |，解得-1≤x ≤53，即有d (P ,Q )=|x -3|，当x =53时，取得最小值43；由|x -3|<|2-2x |，解得x >53或x <-1，即有d (P ,Q )=|2x -2|，d (P ,Q )的范围是3,+∞ ∪43,+∞ =43,+∞ ，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于C 的点设为x ,y ，则max x ,y =C ，若y ≥x ，则|y |=C ；若|y |<|x |，则|x |=C ，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)，动点P (x ,y )满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a (2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c -(c -x )=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =-a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a ，即为x +c -y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选：D .【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值；理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.5定义：若直线l将多边形分为两部分，且使得多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a，b为常数)和其左右焦点F1,F2，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形AF1BF2与三角形PF1F2有相同的“等线”l．则对于下列四个结论：①PA=PB；②等线l必过多边形的重心；③l始终与3x2a2-3y2b2=1相切；④l的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P x0,y0的切线方程，再与渐近线方程联立可求出A,B的横坐标，然后与x0比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形AF1BF，其重心H必在△AF1F2与△BF1F2重心连线上，也必在△AF1B与△AF2B重心连线上，△PF1F2重心设为G，则l即为直线GH，然后由重心的性质可证得GH∥AB，从而可得结论.【详解】解：①：设P x0,y0，当y0>0时，设y>0，则由x2a2-y2b2=1，得y=bax2-a2，所以y =bxa x2-a2，所以切线的斜率为k=bx0a x20-a2，所以切线方程为y-y0=bx0a x20-a2(x-x0)，因为点P x0,y0在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，得x20-a2=aby0，b2x20-a2y20=a2b2，所以y-y0=bx0a⋅aby0(x-x0)=b2x0a2y0(x-x0)，所以a2y0y-a2y20=b2x0x-b2x20，所以b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，所以x0xa2-y0yb2=1，同理可求出当y0<0时的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，当y0=0时，双曲线的切线方程为x=±a，满足x0xa2-y0yb2=1，所以过P点切线方程为x0xa2-y0yb2=1，渐近线方程为y=±b a x联立两直线方程得x A=ax0a-y0b，x B=ax0a+y0b故有x A+x B=2x0x02a2-y02b2=2x0，故PA=PB②：设多边形顶点坐标为x i,y i，其中i=1,2,3⋯n设“等线”方程为y -kx -b =0，则x i ,y i 到等线的距离为：d i =y i -kx i -b1+k 2又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d 上部分=y i -kx i -b1+k 2d 下部分=-y i -kx i -b1+k 2d 上部分= d 下部分从而ni =1y i -kx i -b1+k2=0整理得1n ni =1y i =k ⋅1n ni =1x i +b即等线l 必过该多边形重心．③④：考察△PF 1F 2重心，设P x 0,y 0 ，则重心G x 03,y 03．对于四边形AF 1BF ，其重心H 必在△AF 1F 2与△BF 1F 2重心连线上，也必在△AF 1B 与△AF 2B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设△AF 1F 2与△BF 1F 2重心分别为E ,F ，则OE EA=OF FB =12，所以EF ∥AB ，因为G 为△PF 1F 2的重心，所以OE EA=OGGP ，所以EG ∥AB ，所以E ,F ,G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过G x 03,y 03，因为直线AB 为x 0x a 2-y 0y b 2=1，所以直线AB 的斜率为k =b 2a 2⋅x0y 0，所以直线GH 的方程为y -y 03=b 2a 2⋅x 0y 0x -x 03 ，整理得3x 0x a 2-3y 0y b 2=1，所以直线l 方程3x 0xa 2-3y 0yb 2=1，由①的求解过程可知该方程为3x 2a 2-3y 2b2=1切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥曲线)的离心率为e =cos βcos α．比如，当α=β时，e =1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点S (0,0,2),M (0,1,1)，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N (0,0,1)，则过点M ,N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E (-2,-2,0),F (2,2,0)，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O 【答案】BCD【分析】根据情境，由题可知cos α=cos π4，再对每个选项，求出过点M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦，即cos β的值，代入e =cos βcos α求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．【详解】对于A ：只有过点M ，N 且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，其他情况均不是圆，故A 不正确；对于B ：由题得底面圆O 的半径为2，则OD =2，OS =2，则M 为SD 中点，易知AB ⊥平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，所以SD ⊥AB ，又SD ⊥OM ,OM ∩AB =O ,OM ⊂平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，所以SD ⊥平面MAB ，又易知OM =SM =MD ，所以平面MAB 与旋转轴OS 所成角为∠SOM =π4，∠OSD =π4，即β=π4,α=π4，所以e =cos βcos α=1，所以平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B 正确；对于C ：E (-2,-2,0),F (2,2,0),M (0,1,1)，则EF =22,22,0 ,MF=2,2-1,-1 ，设平面MEF 的一个法向量为m=x ,y ,z ，则EF ⋅m =22x +22y =0MF ⋅m=2x +2-1 y -z =0，取x =1，则y =-1,z =1，故m=(1,-1,1)，所以sin β=cos m ,OS =m ⋅OSm OS =23×2=33,∴cos β=63，故e =cos βcos α=63cos π4=6322=233∈(1,+∞)，所以平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C 正确；对于D ：若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则cos βcos α=cos β22=2,∴cos β=1,∵β∈0,π2 ,∴β=0，所以平面γ⎳OS ，故平面γ不经过原点O ，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线(圆锥曲线)的离心率的定义，结合空间向量法即可得解.7法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12,P 为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是()A ．过点P 作椭圆C 的两条切线PA ,PB ，则有PA ⊥PB .B ．过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ,B ,O 为原点，则OP ,AB 的斜率乘积为定值k OP ⋅k AB =-43.C ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则S △APB 的取值范围97,167.D ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ,O 为原点，则S △AOB 的最大值为3.【答案】ACD【分析】对于A ，由题意求出蒙日圆的方程，讨论切线斜率是否存在，结合联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系化简，即可判断；对于B ，求出切点弦AB 的方程即可得其斜率，化简即可判断；对于C ，D ，联立切点弦AB 的方程和椭圆方程，求出弦长|AB |，求出相应三角形的高，即可求得三角形面积的表达式，结合函数的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.【详解】由题意知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为e =12，故a =2,c a =12,∴c =1,b 2=a 2-c 2=3，则椭圆方程为x 24+y 23=1，“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=7；对于A ，假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB 斜率不存在，则不妨设PB 过椭圆的右顶点，则PB 方程为x =2，则P 点坐标为P (2,±3)，显然此时A 点取椭圆的短轴顶点(0,±3)，则PA 方程为y =±3，此时满足PA 与椭圆相切，且PA ⊥PB ；当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y =kx +m ,(k ≠0)，设P x 1,y 1 ，则m =y 1-kx 1,x 21+y 21=7，联立y =kx +mx 24+y 23=1，整理得4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =0，即m 2=4k 2+3，将m =y 1-kx 1代入上式，得关于k 的方程x 21-4 k 2-2x 1y 1k +y 21-3=0，则Δ=4(3x 21+4y 21-12)>0，(P 在椭圆x 24+y 23=1外)，k PA ,k PB 为该方程的两个根，故k PA ⋅k PB =y 21-3x 21-4=7-x 21-3x 21-4=-1，即PA ⊥PB ，A 正确；对于B ，设A (x 2,y 2),B (x 3,y 3)，则PA 的方程为x 2x4+y 2y 3=1，PB 的方程为x 3x4+y 3y 3=1，两切线过点P x 1,y 1 ，故x 2x 14+y 2y 13=1，x 3x14+y 3y 13=1，即点A ，B 在直线xx 14+yy 13=1上，因为两点确定一条直线，故直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，则k AB =-3x14y 1，而k OP =y 1x 1，故k OP ⋅k AB =-34，B 错误；对于C ，由于直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，联立x 24+y 23=1，得3x 21+4y 21 x 2-24x 1x +48-16y 21=0，Δ =24x 1 2-43x 21+4y 21 48-16y 21 =64y 213x 21+4y 21-12 >0，则x 2+x 3=24x 13x 21+4y 21,x 2x 3=48-16y 213x 21+4y 21，故|AB |=1+(k AB )2⋅(x 2+x 3)2-4x 2x 3=1+9x 2116y 21×8|y 1|3x 21+4y 21-123x 21+4y 21=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又点P 到直线AB 的距离为d =|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21，故S △APB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21=(3x 21+4y 21-12)3x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △APB =t 3t 2+12=11t+12t3，令f (t )=1t +12t 3，显然f (t )在[3,4]上单调递减，故y =11t+12t3在[3,4]上单调递增，则(S △APB )min =1f (3)=2721=97,(S △APB )max =1f (4)=6428=167，即S △APB 的取值范围97,167，C 正确；对于D ，由C 的分析可知|AB |=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，而点O 到直线AB 的距离为d =|-12|9x 21+16y 21,故S △AOB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|-12|9x 21+16y 21=123x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △AOB =12t t 2+12=12t +12t，而t +12t ≥212=43，当且仅当t =12t，即t =23∈[3,4]时等号成立，故S △AOB =12t +12t ≤1243=3，即S △AOB 的最大值为3，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的相关知识，涉及到蒙日圆的问题，综合性强，计算量大，难点在于计算相关三角形的面积，要注意切线方程的应用，计算需要十分细心.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P 的横坐标的取值范围是-3,3C.OP 的取值范围是1,2D.△PF 1F 2的面积的最大值为1【答案】ABD【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断A ；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断B ；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断C ；由基本不等式、余弦定理确定∠F1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断D .【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，A 正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，B 正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，C 错误；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：B ,C 通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.9如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β【答案】BC【分析】由截口曲线的含义可判断A ；过N 作NG ⊥PC 1于点G ，求出而|C 1N |=a sin (α+β)cos α，|C 2N |=a sin (β-α)cos α，即可判断B ；根据图形的几何性质求得椭圆的a ,c 之间的关系式，即可求得离心率，可判断C ，D .【详解】由截口曲线知，当β<α时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A 错.对于B ，过N 作NG ⊥PC 1于点G ，而∠C 1A 1N =α+β,NA 1 =a ，所以|NG |=a sin α+β ，而∠C 1NG =α,∴|C 1N |=a sin (α+β)cos α，同理过N 向PC 2作垂线，可得|C 2N |=a sin (β-α)cos α，∴|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin (β+α)sin (β-α)cos 2α，B 正确；对于C ，D ，设圆锥上部球O 1与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆O 1，半径为r ，球O 1与A 1A 2的切点为椭圆左焦点F ，设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ,∴θ=β-α2①，φ=π-(α+β)2,|A 1F |=a -c =r tan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ,∴a +c a -c =tan φtan θ=1+e1-e ,解得e =tan φ-tan θtan φ+tan θ=sin (φ-θ)sin (φ+θ)，而φ-θ=π2-βφ+θ=π2-a，故e =sin π2-β sin π2-α =cos βcos α，故C 正确，D 错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得a ,c 之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ，结合图形的几何性质，得到|A 1F |=a -c =rtan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ，即可求解.102021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o .设计师的灵感来源于曲线C ：x |n + y |n=1.其中星形线E ：x 23+y 23=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()A.E 关于y 轴对称B.E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C.E 上的点到原点距离的最小值为14D.曲线E 所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A 由(x ,y )、(-x ,y )均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式x 23+y 23≥2|xy |23即可判断；C 由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置关系判断.【详解】若(x ,y )在星形线E 上，则(-x ,y )也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由x 23+y 23=1≥2|xy |23=2|xy |13，则|xy |≤18当且仅当|x |=|y |时等号成立，B 正确；由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3=x 23+y 23 x 23+y 23 2-3(xy )23 =1-3(xy )23≥14，当且仅当|x |=|y |时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(±1,0)，(0,±1)，由|x |+|y |≥x 23+y 23=1，则x 23+y 23在|x |+|y |所围成的区域内部，而|x |+|y |=1所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有x 23+y 23≥2|xy |23，由x 2+y 2=x233+y 233及立方和公式求两点距离，利用x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置判断面积大小.11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小【答案】AC【分析】利用曲率半径公式的定义，A 中有圆上任一点R=R4R 2R 432=R ；B 、C 中由椭圆在(±a ,0)，(0,±b )处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D 中由公式得R =a -834+a 43-a-23432，构造f (a )=a -834+a 43-a-234，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【详解】A ：由题设知：圆的方程可写为x 2R 2+y 2R 2=1，所以圆上任一点P x 0,y 0 曲率半径为R =R4x 20+y 2R 432=R4R 2R 432=R ，正确；B 、C ：由x 2a 2+y 2b 2=1a >0,b >0 弯曲最大处为(±a ,0)，最小处为(0,±b )，所以在(±a ,0)处有R =a 2b 2a 2a 4+0b432=b 2a ，在(0,±b )处有R =a 2b20a 4+b 2b432=a 2b，即R ∈b 2a ,a 2b ，故B 错误，C 正确；D ：由题意，12,y 0 处的曲率半径R =a 214a 4+y 232，而y 20=1-14a 2，所以R =a 214a 4-14a 2+132=a -834+a 43-a -23432，令f (a )=a -834+a 43-a -234，则在a >1上有f (a )=a-1136(8a 4+a 2-4)>0恒成立，故R 在a >1上随着a 的增大而增大，错误；故选：AC .【点睛】关键点点睛：由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误.三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为点A x 1,y 1 到点B x 2,y 2 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点P 在圆x 2+y 2=1上，点Q 在直线2x +y -25=0上．在这个定义下，给出下列结论：①若点P 的横坐标为-35，则d (O ,P )=75； ②d (O ,P )的最大值是2③d (O ,Q )的最小值是2； ④d (Q ,P )的最小值是52其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】对于①，求出点P 的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设Q x ,25-2x ，表示出d (O ,Q )=x +2x -25 ，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d (Q ,P )，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断.【详解】对于①，若点P 的横坐标为-35，点P 在圆x 2+y 2=1上，则点P 的纵坐标为±45，则d (O ,P )=0-35 +0±45 =75，①正确；对于②，设点P (x ,y )，则x 2+y 2=1，d (O ,P )=|x |+|y |，因为(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≤1+x 2+y 2=2，故d (O ,P )=|x |+|y |≤2，当且仅当|x |=|y |=22时等号成立，即d (O ,P )的最大值是2，②正确；对于③，设直线2x +y -25=0上的一点为Q x ,25-2x ，则d (O ,Q )=x +2x -25 ；当x ≤0时，d (O ,Q )=-3x +25，此时d min =25；当0<x ≤5时，d (O ,Q )=-x +25，此时dmin =5；当x>5时，d=3x-25，此时d(O,Q)>5；∴当x=5时，d取得最小值5，即d(O,Q)的最小值为5，故③错误；对于④，设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]，Q x,25-2x，则d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，当x≥5-12sinθ时，x>1>cosθ，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ≥35-12sinθ-cosθ-25+sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当5-12sinθ>x>cosθ时，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-12sinθ-cosθ+25-sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当x≤cosθ时，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25=25-5sin(θ+β)≥5，(β为辅助角，sinβ=255,cosβ=55)，当θ+β=π2时取得等号；综上可知d(Q,P)的最小值是52，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查直线和圆的关系中新定义问题，解答时要根据新的定义去解答，难点在于④的判断，解答时要利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d(Q,P)，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可求解.13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x2x+2+y24=1x>-2，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C关于x轴对称②卵圆上不存在两点关于直线x =12对称③线段PO 长度的取值范围是[1,2]④△OAP 的面积最大值为1【答案】①③④【分析】利用点x ,y 和x ,-y 均满足方程，即可判断①；设x 0,y 0 和1-x 0,y 0 都在卵圆C 上，再解x 20x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1即可判断②；利用两点间的距离公式表示OP 2，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出S △OAP ，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设x ,y 是卵圆C 上的任意一个点，因为x 2x +2+-y 24=x 2x +2+y 24=1，所以点x ,-y 也在卵圆C 上，又点x ,y 和点x ,-y 关于x 轴对称，所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设x 0,y 0 在卵圆C 上，x 0,y 0 关于直线x =12对称的点1-x 0,y 0 也在卵圆C 上，则x 2x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1，解得x 0=-1y 0=0 或x 0=2y 0=0 ，所以卵圆上存在-1,0 ,2,0 两点关于直线x =12对称，故②错误；对于③，由x 2x +2+y 24=1，得x 2x +2=1-y 24，所以x2x +2≤1，又x >-2，所以-1≤x ≤2，设点P x ,y ,x ∈-1,2 ，则OP 2=x 2+y 2=x 2+41-x 2x +2 =x 3-2x 2x +2+4，令f x =x 3-2x 2x +2+4,x ∈-1,2 ，则fx =2x x 2+2x -4 x +2,x ∈-1,2 ，令f x =0，则x =0或-1±5，当-1<x <0或-1+5<x <2时，f x >0，当0<x <-1+5时，f x <0，所以函数f x 在-1,0 ,-1+5,2 上递增，在0,-1+5 上递减，又f -1 =1,f 0 =4,f -1+5 =26-105,f 2 =4，且26-105>1，所以f x min =1,f x max =4，即OP 2∈1,4 ，所以OP ∈1,2 ，故③正确；对于④，点P x ,y ,x ∈-1,2 ，S △OAP =12OA ⋅y =12×21-x 2x +2=1-x 2x +2，令g x =x 2x +2,-1≤x ≤2，则g x =x x +4 x +22,-1≤x ≤2，当-1<x <0时，g x <0，当0<x <2时，g x >0，所以g x 在-1,0 上递减，在0,2 上递增，所以g x min =g 0 =0，此时△OAP 的面积取得最大值1，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.14城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点O 0,0 ，点A 1,2 ，则d O ,A =3；②到点O 0,0 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A 1,2 ，点B 是抛物线y 2=x 上的动点，则d A ,B 的最小值是1；④若点A 1,2 ，点B 是圆x 2+y 2=1上的动点，则d A ,B 的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点B cos θ,sin θ ，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④.【详解】对于①，d O ,A =1-0 +2-0 =3，①对；对于②，设点P x ,y 满足d O ,P ≤1，即x +y ≤1.对于方程x +y =1，当x ≥0，y ≥0时，x +y =1；当x ≤0，y ≥0时，-x +y =1；当x ≤0，y ≤0时，-x -y =1；当x ≥0，y ≤0时，x -y =1.作出集合x ,y x +y ≤1 所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：平面区域是边长为2的正方形，该区域的面积为2 2=2，②错；对于③，设点B x ,y ，则d A ,B =x -1 +y -2 =y 2-1 +y -2 ，令f y =y 2-1 +y -2 .当y ≤-1时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34≥3，当-1<y <1时，f y =1-y 2+2-y =-y 2-y +3=-y +12 2+134∈1,134 ；当1≤y <2时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34∈1,3 ；当y ≥2时，f y =y 2-1+y -2=y 2+y -3=y +12 2-134≥3.综上所述，d A ,B ≥1，③对；对于④，设点B cos θ,sin θ ，则d A ,B =1-cos θ +2-sin θ =3-sin θ+cos θ =3-2sin θ+π4，所以，d A ,B 的最大值是3+2，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.15已知点A 1,-1 ．若曲线G 上存在两点B 、C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Ψ型曲线，给定下列四条曲线：①y =x +3-3≤x ≤0 ； ②y =x 2x ≥0 ；③y =2-x 20≤x ≤2 ； ④y =1xx <0 ．其中，属于Ψ型曲线的是(写出序号即可)【答案】①④【分析】线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，计算出cos ∠EAF 的值可判断①；设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切时切点为M ，计算出tan ∠OAM 可判②；记曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，计算出cos ∠PAQ 的值可判断③；数形结合可判断④.【详解】对于①，线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，则EF =32，AE =AF =17，cos ∠EAF =AE2+AF 2-EF 22AE ⋅AF=817<12，故∠EAF >π3，所以，线段y =x +3-3≤x ≤0 上存在B 、C 使得△ABC 为正三角形，故y =x +3-3≤x ≤0 是Ψ型曲线；对于②，设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切的直线的方程为y +1=k x -1 ，联立y =x 2y =kx -k -1k >0，可得x 2-kx +k +1=0，Δ=k 2-4k -4=0，因为k >0，解得k =2+22，设切点为点M ，则tan ∠OAM =k AO -k AE 1+k AO k AE =-3-221-2+22 =3+2222+1<3，故0<∠OAM <π3，所以，曲线y =x 2x ≥0 上不存在点B 、C ，使得△ABC 为正三角形，曲线y =x 2x ≥0 不是Ψ型曲线；对于③，由y =2-x 20≤x ≤2 可得x 2+y 2=2，曲线y =2-x 20≤x ≤2 表示圆x 2+y 2=2在第一象限内的圆弧(包括端点)，曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，。

高中数学：圆锥曲线常考题型解析

高中数学：圆锥曲线常考题型解析今天给大家汇总了圆锥曲线的常考题型，一起来看看！圆锥曲线11大常考题型如下：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例1：例2：例3：例4：例5：例6：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值。

例7：答案：解析：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D 解析：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

高中数学-圆锥曲线练习题含答案[1]

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圆锥曲线专题练习一、选择题1。

已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为（ )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0二. 填空题7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________.三。

2010年高考数学圆锥曲线压轴题跟踪演练系列一

备战2010高考数学圆锥曲线压轴题跟踪演练系列一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+()222222212123222221322222a ab ac x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a abc a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+()()()2222221112121132344-2324622222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 为定值此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1,n n n A a a +在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式11202111111n n nn a a n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点()1,n n n A a a +代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)

14. 已知双曲线的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围
由消去得： ①
，
而
由方程①知＞＜
，＜＜， .
7.解：解：令
则即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.

高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率2e =，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=． ----------- 4分（2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． --------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 c =22243b ac =-=．所以椭圆的方程为223144x y +=． …………4分（2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+，则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=．可得P ，(Q ．因为以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =．所以 222+=，解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =．故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分（2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+．当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分解法2：由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (10)分设与直线AB 平行的直线为0x m ++=，由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=，由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±． (11)分若m =2y =-，x =；若m =2y =，x =． …12分故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵222c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分（2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*）有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*）有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值． 9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分（2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=，（2分）化简得24x y =. （2分）（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分）代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分）设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+，所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-kh k kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t ，经检验，符合题意综上所述：2=t 或332=t13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

2010高三数学高考冲刺：精彩十五天(第8天)第八章圆锥曲线方程学案

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从大纲课标、考纲回归到课本，这是考前每一位高三学生的必经之路。

为此，我们重点关注考试内容、考试要求、知识结构和知识要点与主要思想方法四大内容，在高考前15天，引领高三学子，每天温习一个章节的双基知识，期待在相应的思想方法上有更多的历练和提升。

2010届高三冲刺数学：精彩十五天第8天——5月29日第八章圆锥曲线方程一、考试内容：1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．二、考试要求：1、掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．2、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4、了解圆锥曲线的初步应用．三、知识要点及重要思想方法：（一）椭圆方程. 1．椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2ba c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ac e =.⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222ab c a b d -=和),(2a b c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot 2θ⋅b .二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：,(1),0,(122222222 a bx ay b a by ax =-=-一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+. ⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为(2222≠=-λλby a x 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(- 得12822=-y x . ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n.简证：e PF e PF d d 2121= = nm . 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --. ②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可. 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3.共轭双曲线5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6. 共渐近线的双曲线系方程.。

广东省广州市2011届高三数学圆锥曲线练习题(文科)

广州市2011届高三数学圆锥曲线练习题（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1椭圆错误！未找到引用源。

上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102双曲线1422=-y x 的焦点坐标为（ )A ．)0,3(±B ．)3,0(±C ．)0,5(±D ．)5,0(±3抛物线24y x =的准线方程是( )A .1y =B .1y =- C.116y = D. 116y =-4若R k ∈，则3>k 是方程22133x y k -=-表示双曲线的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要5双曲线22221x y b a-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．236抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于A 7过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9B ．8C ．7D ．68以椭圆2212449x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( )A.2212524x y -=B. 2212425x y -=C. 2212524y x -=D. 2212425y x -=9如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③ C．①④ D．②④ 10竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是（）A ．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11已知双曲线112222=-y ax 的离心率2e = ，则双曲线的焦距为12以双曲线2213y x -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是___________ 13椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON = .14设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________三、解答题:本大题共6小题，共80分。

2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点20 圆锥曲线的综合问题

．
【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题．
【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及信点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双
曲线方程。由向量相等，建立 P 点坐标 x,y 与 a,b 的关系，将 P 点坐标代入双曲线方程就能
找到 a、b 满足的等式．
x2 【规范解答】可设双曲线方程为 m 2
y2 n2
1(m
0,
n
0)
，因为
e1
(2,1)
、
e2
(2, 1) 分别是两条
n 1 渐近线的方向向量，所以 m 2 …………①，
又由已知可得双曲线的半焦距 c= 5 ，所以 m 2 n2 5 …………②
m 2 由①②可得 n 1 ，所以双曲线方程为
x2 4
y2
1
，设
P（x，y），则 ( x,
2
点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E ，过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点，直线
AB、 AC 分别交 l 于点 M、 N
（Ⅰ）求 E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，并说明理由.
【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线相交交点问题、圆的性质等基础知识，考
【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得；（2）利用对称特点先求两个交点 M、N 的坐标，然后将求
出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.
【规范解答】（1）因为抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1(c, 0), F2 (c, 0) ，
所以 c2
b0
b2
，即 c2
b2
，由 a2

2010年数学试题——圆锥曲线

2010 年数学试题——圆锥曲线1.（2010 安徽理数）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、2.（2010 天津理数）已知双曲线的一条渐近线方程是 y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为矚慫润厲钐瘗睞枥。

（A）（B）（C）（D）3.（2010辽宁）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)聞創沟燴鐺險爱氇。

4.（2010 广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A. B. C. D.残骛楼諍锩瀨濟溆。

5.（2010 山东文数）已知抛物线若线段（A），过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与酽锕极額閉镇桧猪。

、两点，的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 (B) (C)(D)彈贸摄尔霁毙攬砖。

6.（2010 福建理数）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()1/9A．B．2C．2D．27.（2010 陕西文数）已知抛物线 y ＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y ＝16 相切，则 p 的值为謀荞抟箧飆鐸怼类。

（A）（B）1（C）2（D）48.（2010 四川）椭圆的右焦点为 F，其右准线与轴的交点为厦礴恳蹒骈時盡继。

．在椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是（A）（0，]（B）（0，]（C）[，1）（D）[，1）9.（2010 湖南文数）设抛物线 A. 4 B. 6上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 C. 8 的焦点为，准线为， D. 12 茕桢广鳓鯡选块网。

为抛物线上一点，，为垂足，如10.（2010 辽宁）设抛物线果直线斜率为，那么（A）（B） 8（C）（D） 16 鹅娅尽損鹌惨歷茏。

11.（2010 全国卷 2）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A）1（B）（C）（D）2 籟丛妈羥为贍偾蛏。