【真题】2016-2017年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案

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2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA 1的平面交B 1C 1于点E ，交BC 于点F ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：A 1A ∥EF ；（Ⅲ）记四棱锥B 1﹣AA 1EF 的体积为V 1，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以A 1C ⊥AB ．[（2分）]在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，因为AA 1=AC ，所以四边形AA 1C 1C 为菱形，所以 A 1C ⊥AC 1．[（3分）]所以A 1C ⊥平面ABC 1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，因为A 1A ∥B 1B ，A 1A ⊄平面BB 1C 1C ，[（6分）]所以A 1A ∥平面BB 1C 1C ．[（8分）]因为平面AA 1EF ∩平面BB 1C 1C=EF ，所以A 1A ∥EF ．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B 1﹣ABF 的体积为V 2，三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 的体积为V 3．因为三棱锥B 1﹣ABF 与三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1等高，所以△ABF 与△ABC 的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）=2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则h'（x）=x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。

北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末文科数学试卷及答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << (D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为（A)(1,1)（B)(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 (A)1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A ）2 (B ）6 (C ）30 （D)2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D)4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱 (C ）四棱锥 (D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f ="是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 (A ）(,1)-∞- (B)(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-(D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数,则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格的边长为1,那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334,则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____;若()f x 的值域是1[,2]4-,则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分)已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．(Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生"的概率；(Ⅲ）在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ， B类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．(只需写出结论）类别得分()xB1B8090x ≤≤ 2B7080x <≤ A1A5070x <≤ 2A2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F 。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试文数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞（C ）(1,)-+∞（D ）(,1)-∞-【答案】D 【解析】试题分析：由AB B =，知B A ⊆，所以1a <-，故选D ．考点：集合的运算，集合的关系．2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 【答案】C 【解析】试题分析：B ，D 不是偶函数，A 是偶函数，但值域为[1,)+∞，C 是偶函数，值域也是[0,)+∞．故选C ．考点：函数的奇偶性与值域．3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +【答案】D 【解析】试题分析：AM AB BM =+，又AM AC CM AC MC =+=-，所以2AM AB AC =+，即1()2AM AB AC =+．故选D ．考点：向量的线性运算．4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题（D ）以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1x e >，则0x >”是真命题，命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题，故p∨q 是真命题，故选：B ．考点：复合命题的真假．考点：5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+，故选：B侧(左)视图正(主)视图俯视图考点：由三视图求面积、体积．6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”，则0,0m n ><，0mn <，但当0mn <时，可能有0,0m n <>，此时双曲线的焦点在y 轴上，因此“0mn <”是“曲线221x ym n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B ．考点：充分必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14- 【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+．由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1，由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．故选：C ．考点：简单线性规划．8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+ （C ）12[]42y x =++ （D ）12[]52y x =++ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x ＞4时，所收费用y=12+[x ﹣4+12]×2+1=12[]52x ++，故选：D考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____. 【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-．故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____. 【答案】6 ， 3x =- 【解析】试题分析：抛物线2:2C y px =的焦点是(,0)2p ，由题意的0302p+-=，6p =，准线方程为3x =-．考点：抛物线的几何性质．11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.【答案】9 【解析】试题分析：由直方图知抽取的10人中完成作业的时间多于2.5个小时的有100.11⨯=人，因此完成作业的时间小于2.5个小时的有10－1＝9人．考点：频率分布直方图12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.【答案】1 【解析】试题分析：由题意03x t <+<，3t x t -<<-，所以132t t -=-⎧⎨-=⎩，1t =．考点：函数的单调性．13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.【答案】79，【解析】试题分析：由已知sin cos()sin 2A B B π=-=，又,A B 是三角形的内角，所以A B =，所以3b a ==，则2222223327cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ===，11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯⨯=．考点：余弦定理，三角形的面积．14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）【答案】①4 ， ②是【解析】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=8时，t=4，故①该食品在6℃的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故填是．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <. 【答案】（Ⅰ）42n n a -=；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==，所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分考点：等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和． 16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）增区间为π(0]12,，7π[,π)12.（Ⅱ）由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）考点：三角函数的周期，单调性． 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB ，EF∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）四棱锥M ECDF -的底面面积是四边形ABCD 面积的一半，高为点M 到平面ABCD 的距离，实际上有已知12PM MD =得23DM DP =，因此点M 到平面ABCD 的距离与点P 到平面ABCD 的距离的距离之比为23，而P 到平面ABCD 的距离的距离就是PA 的长，由此体积易得．试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分FADPM（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略），由12PM MD =，得23MN PA =，又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分考点：线面垂直的判断，线面平行的判断，几何体的体积．18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：F CAD PMB E（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）12；（Ⅲ）x 的可能取值为6，7，8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，说明,x y 中至少有一个小于6，从而可得15x y +≤，又在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，可得14x y +>，从而得15x y +=．本小题只要按常规想法分析题意即可；（Ⅱ）把,a b 组成有序数对(,)a b ，这样总的事件可通过列举法列举出来，总数为16，满足a b ≥的有8种，概率可得；（Ⅲ）由平均得分相同得14x y +=，又由乙的发挥更稳定，知乙的成绩与均值偏差较小（这样方差较小），因此,x y 的值不小于6，不大于9，这样可得x 的可能值是6，7，8．试题解析：（Ⅰ）由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ，……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分考点：古典概型，统计的应用．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x A 在椭圆C 上，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值. 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=，解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．… 由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx mx y r =+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-．要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）极小值(1)3f =，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数'()f x ，解方程'()0f x =，列出相应表格，确定函数的单调性，以确定极点是极大值还是极小值；（Ⅱ）用反证法，假设有一条直线是切线，同时设切点是00(,)x y ，由此写出此切点处的切线方程，与直线1y kx =-比较，看能否解出0x ，如不能解出（无实解），说明切线不存在，如能解出0x ，说明切线存在；（Ⅲ）关键是问题转化，由题意即研究方程()1f x kx =-的解，分离参数后有3112k x x=++，设1t x=，由考察方程32k t t =++(0)t ≠的解的个数，这又要考虑直线y k =与函数3()2h t t t =++(0)t ≠的图象交点个数即可．解题时用了换元法，要注意新元的取值范围．试题解析：（Ⅰ）函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分考点：导数与极值，导数的几何意义（导数与切线），数形结合思想，函数的零点与方程的根．：。

2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2，（ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得，或 t=2．[ （13 分） ]此时，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法，直线与椭圆的地点关系的综合应用，存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。

北京市西城区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】

北京市西城区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-≤，那么AB =（）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x -≤<C ．{}10x x -≤<D ．{}12x x ≤<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（） A ．21y x =+B ．tan y x =C ．2x y =D ．sin y x x =+3．已知双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点是()20，，则其渐近线的方程为（）A．0x =B0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．在极坐标系中，过点26P π⎛⎫⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线的方程是（） A ．sin 1=ρθB．sin =ρθC ．cos 1=ρθD．cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ A ．3 B．C ．6 D．6．设，a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．实数x y ，满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是（）A ．[]10-，B ．[]01，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A B 、分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（）A．1⎤⎦B ．[]13，C．12⎤⎦，D．11⎡⎤⎣⎦，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11ii+=-____________． 10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =则n a =_____；6S =_____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____________． 12．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____________．13．设函数()30log x af x x x a≤≤=>⎪⎩，，其中0a >．① 若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦___________；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____________．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x πωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A B 、两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A B 、两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a b 、是正整数，且a b ．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求A B 、的分布列；（Ⅲ）设A B 、两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a b 、的值（结论不要求证明）．已知函数()()ln sin 1f x x a x =-⋅-，其中a R ∈．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间()01，上为增函数，求a 的取值范围．已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求MAB ∆面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：OE OF ⋅为定值．数字()1232n n ≥，，，，的任意一个排列记作()12n a a a ，，，，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合(){12n nnA a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j -≤-；集合(){12n nnB a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j +≤+．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ，解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-，即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分]令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得y =，所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB[ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分] 直线MA 的方程为 00()y n y n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而 000ty nx OE y n -=-． [ 9分] 直线M B 的方程为00()y n y n x t x t ++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而 000ty nx OF y n +=+． [11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()2222002204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n-- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分] 又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈，所以 n n A B ⊆． [ 7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1． [ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

(全优试卷)北京市西城区第一学期期末试卷高三数学文科试题

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么A B =（A ）{|01}x x << （B ）{|12}x x << （C ）{|10}x x -<<（D ）{|12}x x -<<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）1 （B ）0 （C ）3- （D ）10-4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A）0x ±= （B0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=5．实数x ，y 满足10,10,20,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥则4y x -的取值范围是（A ）(,4]-∞（B ）(,7]-∞（C ）1[,4]2-（D ）1[,7]2-7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（A）20+（B）14+（C ）26 （D）12+6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（A ）14 （B ）13（C ）12（D ）11第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(3,1)B -，则△AOB 的面积是____． 11．已知圆22(1)4x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =____． 12．函数y =____；最小值是____． 13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．14．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）设平面PAB平面PCD PM =，点M 在平面ABCD 上．当PA PD ⊥时，求PM 的长．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）对于函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，（ⅰ）求()f x 的极值点；（ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=．所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =，所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM中，PM ．[14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以22002021y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =，所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ，所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]全优试卷假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程 32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=．同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-．对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-，所以2233a b a--=-，即2932a b -=-，这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。

2016-2017学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+28．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=．12．（5分）函数y=的定义域是；最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）118．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣10【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．4．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．5．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．8．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11【解答】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于i．【解答】解：复数===i．故答案为：i．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是2．【解答】解：由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= 2．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．12．（5分）函数y=的定义域是（0，+∞）；最小值是4．【解答】解：要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是4．故答案为：（0，+∞），413．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是[4，9）．【解答】解：①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a3+a6=11，∴a1+d=3，2a1+7d=11，解得a1=2，d=1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）b n=a n+=n+1+，∴S n=[2+3+…+（n+1）]+=+=﹣．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）1【解答】解：（Ⅰ）根据题意，=120+=123（h），=120+，又由题意，=，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…（3分）所以AB⊥PD…（4分）（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．[（2分）]将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．[（4分）]∴椭圆C的方程是．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．[（6分）]直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），[（7分）]令y=0，得x=，[（8分）]∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），[（9分）]令y=0，得x=，[（10分）]∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4[（12分）]∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时，f′（x）=3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）=0，解得：x=±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：），），所以，x=﹣是f（x）的极大值点；x=是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点，则有3+b=0；若x=x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以b=﹣3=﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。

北京市西城区高三第一学期期末考试(含答案)

高三第一学期期末考试一、单选题（本大题共15小题，共15.0分）1.—We have two seats free here. Which one would you like?—____! My mother is coming to see the film with me.A. NoneB. NeitherC. AllD. Both2.—How long do you want me to heat he oil?—Heat it till it ____ to smoke.A. would beginB. beginsC. will beginD. began3.—It’s eight o’clock already. Jack ____ be here by now.—Oh, he told me that he was going to see his dentist and wouldn’t be back until ten.A. mustB. canC. shouldD. need4.—Your spoken English is so good. Have you been abroad?—Yes: I ____ in London for two years.A. have stayedB. stayedC. had stayedD. have been staying5.—Have you read today’s report about your performance?—I don’t care what ____ about me.A. will be writtenB. writesC. wroteD. is written6.____ many failures, I have the courage to meet all challenges.A. Having experiencedB. To experienceC. ExperiencedD. Experience7.Mary, ____ for her healthy lifestyle, was pictured on the front cover of Life Stylemagazine.A. knowingB. to knowC. knownD. being known8.I don’t like her face; ____ , she smokes, which is something I hate.A. alsoB. insteadC. howeverD. therefore9.Always remember that your own decision ____ is more important than anything else.A. to succeedB. succeedingC. having succeededD. succeeded10.www. videojug. com, which has ____ food and drink programme with clear explanations,is ____ very popular website.A. a; theB. the; 不填C. a; aD. 不填；a11.—Why do you think the film star is getting less popular?—I guess the way she wears is____ annoys her fans most.A. whichB. whereC. howD. what12.—How can I reserve the tickets?—____ phone.A. OnB. WithC. ByD. In13.To live in honor,____ he came from a poor family, was his ambition.A. thoughB. ifC. unlessD. however14.He has got himself into a dangerous situation ____ he is likely to lose control over theplan.A. whereB. whichC. thatD. why15.Hellen doesn’t know how much I spent in repairing the house. If she ever found out,I’m sure she ____ me.A. will never forgiveB. would never forgiveC. does not forgiveD. never forgives二、阅读理解（本大题共15小题，共30.0分）AOnce Dr. Mellinkoff invited me to join him at the hospital to discuss interesting cases with his students. The case at hand was a Guatemalan man, aged 34, who had a fever and many other medical problems. His condition was not improving, and there was not much hope that he would live.Dr. Mellinkoff asked to see the patient. He introduced himself in Spanish and, in a very gentle voice, asked how he felt. The patient smiled and said everything was all right. Then the doctor asked if he was able to eat. The patient said that he had no desire to eat."Are you getting food you like?"The patient said nothing."Do you get the kind of food you have at home?"The answer was no.The doctor put his hand on the man’s shoulder end his voice was very soft."If you had food that you liked, would you eat, it?""Yes, yes," the patient said.The change in the patient’s appearance couldn’t have been more obvious. Nothing was said. but it was easy to tell that a message had been sent and had also been received. Later, the doctor asked why the Guatemalan man wasn’t getting food he could eat. One of the students said, "We all know how difficult it is to get the kitchen to make special meals.""Suppose," the doctor replied, "you felt a certain medicine was absolutely necessary but that our hospital didn’t carry it, would you accept defeat or would you insist the hospital meet your request?""I would probably insist," the student said."Very well," the doctor. said."You might want to try the same method in the kitchen. It won’t be easy, but I can help you. Meanwhile, let’s get some food inside this man as fast as possible, and stay with it. Or he’ll be killed by hunger. By the way, there must be someone among you who can speak Spanish. If we want to make real progress, we need to be able to talk with him."Three weeks later, Doctor Mellinkoff told me that the Guatemalan man had left the hospital under his own power. It takes more than medicine to help sick people; you also have to talk to them and make them comfortable.16.The patient had no desire to eat because ____.A. he was not hungryB. he was seriously illC. he was given special mealsD. he was not satisfied with the food17.According to the passage, we can conclude that ____.A. the patient’s native language was SpanishB. the patient’s illness was caused by hungerC. Dr. Mellinkoff performed an operation on the patientD. the hospital failed to provide the right medicine for the patient18.Which of the following words can be used to describe Dr. Mellinkoff?A. Cold.B. Considerate.C. Curious.D. Careless.19.What do you think Dr. Mellinkoff wanted to tell his students in this case?A. Doctors should be good at foreign languages.B. Doctors should know their patients’ real problems.C. Doctors should try to improve their medical skills.D. Doctors should have a good relationship with their patients.BIMAGE PRODUCT INFORMATIONTalking Travel Companion Travel with a perfect companionOur Talking Travel Companion separates into multifunctional pieces. The first is a combination of flashlight, weather-trend indicator and alarm clock. Press a button, and a pleasant voice announces the time and weather trend. The second piece is a combination of movement sensor and smoke detector. Its small size and light weight allow it to run on one 9 V and 4 AAA batteries. Guaranteed for one year.Enjoy a color-changing night-lightWith the Color Flow Light Show, you will experienceColor Flow Light Show ever-changing beautiful colors using technology that slowly mixes colors. Imagine yourself bathed in red, rose pink, aqua, teal, blue and violet light. If a certain mix strikes your fancy, press the Color Lock button to enjoy it as long as you like. Plug into wall outlet （插座）. 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A sports magazine.22.All the listed products ____.A. are button operatedB. produce lightC. run on batteriesD. offer one year free repairsCIt tastes just like chicken away from home, and eating is more than just a way to keep your stomach full. It is a language all its own, and no words can say "Glad to meet you ... glad to be doing business with you ..." quite like sharing a meal offered by your host.Clearly, mealtime is not the time for you to say "No, thanks." Acceptance of the food on your plate means acceptance of host, country, and company. So, no matter how difficult it may be to swallow, swallow. Or, as one experienced traveler says, "Travel with a cast-iron stomach and eat everything everywhere."Often, the food offered represents proudly your host country’s eating culture. What wouldAmericans think of a French person who refused to take a bite of homemade apple pie or sirloin? Our discomfort comes not so much from the thing itself; it comes from our unfamiliarity with it. After all, an oyster has remarkably the same look as sheep’s eye; and a first look at a lobster would remind almost anybody of a creature from a science fiction movie, not something you dip in butter and eat. By the way, in Saudi Arabia sheep’s eyes are a famous dish.Can you refuse such food without being rude? Most experienced business travelers say no, at least not before taking at least a few bites. It helps, though, to slice any item very thin. This way, you minimize the taste and the reminder of where it came from. Or, "Swallow it quickly," as one traveler recommends. "I still can’t tell you what sheep’s eyeballs taste like." As for dealing with taste, the old line that "It tastes just like chicken" is often thankfully true. Even when "it", is really rat or snake.Another useful piece of advice is not knowing what you are eating. What’s for dinner? Don’t ask. Avoid glancing into the kitchen or looking at English-language menus. Your host will be pleased that you are eating the food he offers, and who knows? Maybe it really is chicken in that soup.23.The purpose of the article is to ____.A. introduce unfamiliar foodB. share the writer’s personal experiencesC. suggest ways to overcome a cultural barrier in eatingD. advise on how to politely refuse to eat foreign food24.According to the writer, people hesitate at strange food mainly due to ____.A. the way it looksB. safety worriesC. lack of information about itD. the unfamiliar atmosphere25.From the article we can infer that ____.A. an American may feel comfortable with sirloinB. one should refuse strange food after a few bitesC. English-language menus are not always dependableD. one needs a cast-iron stomach to travel in any country26.One may say "It tastes just like chicken" when ____.A. showing respect for chicken-loving nationsB. greeting people with different dieting habitsC. evaluating chefs at an international food festivalD. getting someone to try a visually unpleasant mealDEmployment practices often reflect the needs of employers several decades ago. Times have changed. And so too has the Canadian workforce. Yet many employment practices have not kept pace with this change. For example, some work environments and washrooms designed for able-bodied workers seldom accommodate people who use a wheelchair.Modernizing these practices is what employment equality is about. For example, making sure work benches and washrooms are adapted for disabled people entering the workplace, paving the way for workers who become disabled on the job. By doing so, any given group of people formerly discriminated against — now has access to better employment opportunities.The objective, of course, is to make the workplace reflect Canadian society. However, thisdoes not necessarily mean setting and enforcing quotas （配额）. Rather, it means identifying the barriers to employment and designing measures, with achievable goals and clear timetables, to remove them.For example, according to the Canadian Union of Public Employees—Canada’s largest union, it would be unrealistic in the short term to insist that because half of the working age population is women, half of the employees of an engineering firm should be women. At this moment, there would not be enough qualified female engineers.A reasonable numerical goal would be based on the number of women who actually are engineers （8%）and those who are studying to become engineers （25%）. A short term goal of 13% would be appropriate without running the risk of hiring unqualified people.Equally important is to ensure people who have been disadvantaged the chance to become qualified for new opportunities. If aboriginal people （土著居民）, for example, can’t qualify for certain jobs because they haven’t had access to appropriate educational opportunities, then an employment equality program would have to address that problem with training programs.Employment laws in this country cannot be considered displeasing if they guarantee all Canadians fair and equal access to the workforce.27.The passage is mainly about how to ____.A. modernize equipment for the disabled at workB. achieve equality of employment opportunitiesC. protect women’s rights in employmentD. complete a job training program28.The underlined word "them" in Paragraph 3 refers to ____.A. barriersB. measuresC. goalsD. timetables29.The example of women shows that ____.A. only a small percentage of women engineers will get promotedB. 13% of the working age women should be hired as engineersC. policy makers should adopt a practical and flexible approachD. the quota of women for employment should be raised30.The underlined word "address" in Paragraph 6 probably means ____.A. put forwardB. run intoC. find outD. deal with三、阅读七选五（本大题共1小题，共10.0分）31.根据短文内容，从短文后的七个选项中选出能填入空白处的最佳选项。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学文科试题答案及评分标准

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=．所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =，所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM ==[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =，所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ，所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=．同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-．对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-，所以2233ab a--=-，即2932a b -=-，这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。

2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）=2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则h'（x）=x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。

北京市西城区2017届高三一模数学(文)试题【含答案】

北京西城区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（文科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集{}123456U =，，，，，，集合{}135A =，，，{}14B =，，那么U A C B =（）A ．{}35，B ．{}246，，C {}1246，，，D ．{}12356，，，，2．在复平面内，复数1ii+对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线22=13x y -的焦点坐标是（） A．((00-，， B．)()，C ．()()0202-，，，D ．()()2020-，，，4．函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．函数()f x 定义在()-∞+∞，上．则“曲线：()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =，则（）A ．1233AD AB AC =+ B ．1233AD AB AC =- C ．2133AD AB AC =+D ．2133AD AB AC =-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（） A．B ．6C．D．8．函数()f x 的图象上任意一点()A x y ，的坐标满足条件x y ≥，称函数()f x 具有性质P ，下列函数中，具有性质P 的是（） A ．()2f x x =B ．()211f x x =+C ．()sin f x x =D ．()()ln 1f x x =+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1y x =-的定义域为___________． 10．执行如图所示的程序框图．当输入1ln2x =时，输出的y 值为_________．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是_________，直线:0l x y -=与圆C 相交于A B 、两点，则AB =_________． 12．函数()sin 41cos 4xf x x=+的最小正周期是_________．13．实数x y ，满足12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，22x y +的最大值是_________；最小值是_________．14．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，数列满足14324a a ==，，数列{}n b 满足1418b b ==-，，且{}n n a b +是等差数列．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n b 的前n 项和．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 2sin a C c A =．（I ）求角C 的大小；（II ）求sin sin A B +的最大值．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（I ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量()()()22211221'''n n S P P P P P P n⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中'i P 为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度12i n =，，，，规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱PB PC PD 、、分别交于点E F G 、、（E F G 、、三点均不在棱的端点处）．（I ）求证：平面PAB ⊥平面PBC （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值；（Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．如图，已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>的离心率为为12，F 为椭圆C 的右焦点()0A a -，，3AF =．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．已知函数()212xf x e x =-，设l 为曲线()y f x =在点()()00P x f x ，处的切线，其中[]011x ∈-，．（I ）求直线l 的方程（用0x 表示）（II ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()[)0y f x x =∈+∞，，和射线[)10y x x =-∈+∞，，交于M N ，两点，求MN 的最小值及此时a 的值．2017年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么A∩∁U B=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴∁U B={2，3，5，6}；∴A∩∁U B={3，5}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=故选D．3．（5分）双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，，（0，﹣B．（，0），（，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．4．（5分）函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x=0的实数根的个数，令f（x）=log2x，g（x）=（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．5．（5分）函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．则“曲线：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，若曲线：y=f（x）过原点”，则f（x）不一定为奇函数．：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）在△ABC中，点D满足=3，则（）A．=+B．=﹣C．=+D．=﹣【解答】解：△ABC中，点D满足=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：C7．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4B．6 C．4D．2【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．8．（5分）函数f（x）的图象上任意一点A（x，y）的坐标满足条件|x|≥|y|，称函数f（x）具有性质P，下列函数中，具有性质P的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=sinx D．f（x）=ln（x+1）【解答】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示：函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，在A中，f（x）=x2图象分布在区域①②和③内，故A不具有性质P；在B中，图象分布在区域②和③内，故B不具有性质P；在C中，f（x）=sinx图象分布在区域①和②内，故C具有性质P；在D中，f（x）=ln（x+1）图象分布在区域②和④内，故D不具有性质P．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数y=的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．10．（5分）执行如图所示的程序框图．当输入x=ln时，输出的y值为【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数y=＜的值，由于x=ln=﹣ln2＜0，可得：y=e=．故答案为：．11．（5分）圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是（1，1），直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|=2．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1．圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2，故答案为：（1，1），2．12．（5分）函数f（x）=的最小正周期是．【解答】解：函数f（x）===tan2x．∴最小正周期T=．故答案为．13．（5分）实数x，y满足，则x2+y2的最大值是4；最小值是．【解答】解：先根据约束条件画出可行域：而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离的平方，点在阴影区域里运动时，点P到点O，OP最大当在点P（1，2），z最大，最大值为12+22=5，Q在直线2x+y﹣2=0，OQ与直线垂直距离最小，可得z的最小值为：=，故答案为：5；．14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．【解答】解：通过作图，当A1P=时，分析得到P在以A1为球心，以为半径的球面上，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，由此可得P的轨迹就是球与面ABCD的交公共部分，即以A为圆心，半径为1的圆面，其面积为．故答案为：解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知{a n}是等比数列，数列满足a1=3，a4=24，数列{b n}满足b1=1，b4=﹣8，且{a n+b n} 是等差数列．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a4=a1q3，∴q3=8，解得q=2，∴a n=3×2n﹣1，设等差数列{a n+b n} 的公差为d，由题意得：a4+b4=（a1+b1）+3d，∴24﹣8=（1+3）+3d，解得d=4，∴a n+b n=4+4（n﹣1）=4n，∴b n=4n﹣3×2n﹣1，（Ⅱ）数列{a n}的前n项和为=﹣3+3×2n，数列{a n+b n}的前n项和为=n（2n+2）=2n2+2n，故{b n}的前n项和为2n2+2n+3﹣3×2n16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（I）求角C的大小；（II）求sinA+sinB的最大值．【解答】解：（I）∵2csinA=atanC，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，则2sinCsinA=sinA•，由sinCsinA≠0得，cosC=，∵0＜C＜π，∴C=．（II）则A+B=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值17．（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量S=[（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]，其中P′i为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，共有=10种不同的情况，其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况，故恰好有1人答对第5题的概率P==；（Ⅲ）由题意得：S=[（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.8﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.014＜0.05，故该次测试的难度预估合理．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，P A丄底面ABCD，P A=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面P AB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形，P A丄底面ABCD，∴P A⊥BC，BC⊥AB，又因为P A∩AB=A，∴BC⊥面P AB，∵BC⊂面PBC，∴平面P AB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为P A=AC，∴F为PC中点，∴，（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面P AB∥面PDC，与已知矛盾．假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．19．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，则椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（，），∴直线OM的斜率是，∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直线DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，∴OE∥AP．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣x2，设l为曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直线l的方程（用x0表示）（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x2的导数为f′（x）=e x﹣x，可得切线的斜率为k=e x0﹣x0，切点为（x0，e x0﹣x02），切线l的方程为y﹣e x0+x02=（e x0﹣x0）（x﹣x0），即为（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直线l：（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=e x0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．则y′=e x0（﹣x0）+x0=x0（1﹣e x0），当x0=0时，1﹣e x0=0，则x0（1﹣e x0）=0；当x0＞0时，1﹣e x0＜0，则x0（1﹣e x0）＜0；当x0＜0时，1﹣e x0＞0，则x0（1﹣e x0）＜0；综上可得x0（1﹣e x0）≤0恒成立．则y=e x0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上递减，可得y的最大值为+，最小值为．则直线l在y轴上的截距的取值范围是[，+]；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，则y′=e x﹣x﹣1，y′′=e x﹣1，可得e x﹣1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e x﹣x2﹣x[0，+∞）递增，可得1+e x﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，则|MN|的最小值为2，此时a=1．。

2017-2018年北京市西城区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．类别得分（x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B．3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C．8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．类别得分（x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f （2）﹣f （1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx +x ﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx +x ﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g （x ）=2xlnx +x ﹣4ln2，则g'（x ）=2lnx +3．当x ∈（1，2）时，g'（x ）＞0，故g （x ）在区间（1，2）单调递增．又g （1）=1﹣4ln2＜0，g （2）=2＞0，所以存在唯一的x 0∈（1，2），使得g （x 0）=0．综上，存在唯一的x 0∈（1，2），使得曲线y=f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线的斜率为f （2）﹣f （1）；（Ⅲ）f （1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x ＞1时，f （x ）＞﹣x ﹣1．设h （x ）=f （x ）﹣（﹣x ﹣1）=x 2lnx ﹣x +1，则h'（x ）=x +2xlnx ﹣1．当x ＞1时，x ﹣1＞0，2xlnx ＞0，所以h'（x ）＞0，故h （x ）在（1，+∞）单调递增，所以x ＞1时，有h （x ）＞h （1）=0，即当x ＞1时，有f （x ）＞﹣x ﹣1．所以f （1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

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2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+28．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=．12．（5分）函数y=的定义域是；最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间（h）120125122124124B型待机时间（h）118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）118．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣10【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．4．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选：B．5．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选：A．8．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11【解答】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于i．【解答】解：复数===i．故答案为：i．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB 的面积是2．【解答】解：由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= 2．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．12．（5分）函数y=的定义域是（0，+∞）；最小值是4．【解答】解：要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是4．故答案为：（0，+∞），413．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•co s，求得a=，故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是[4，9）．【解答】解：①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a3+a6=11，∴a1+d=3，2a1+7d=11，解得a1=2，d=1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）b n=a n+=n+1+，∴S n=[2+3+…+（n+1）]+=+=﹣．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间（h）120125122124124B型待机时间（h）118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x，x2，…，x n的平均数）1【解答】解：（Ⅰ）根据题意，=120+=123（h），=120+，又由题意，=，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM 的长．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…（3分）所以AB⊥PD…（4分）（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x 轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．[（2分）]将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．[（4分）]∴椭圆C的方程是．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．[（6分）]直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），[（7分）]令y=0，得x=，[（8分）]∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），[（9分）]令y=0，得x=，[（10分）]∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4[（12分）]∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时，f′（x）=3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）=0，解得：x=±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：），），所以，x=﹣是f（x）的极大值点；x=是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点，则有3+b=0；若x=x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3=0．[（6分）]设g （x ）=2x 3+x ﹣3．所以g′（x ）=6x 2+1＞0，g （x ）在R 上单调递增．又g （1）=0，所以函数g （x ）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x 0﹣3=0的根为x 0=1，所以 b=﹣3=﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f （x （有两个相异的极值点x 1，x 2，所以方程3x 2+2ax +b=0有两个不等实根x 1，x 2，所以△=4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣3b ＞0．[（9分）]假设存在实数a ，b ，使得x 1，x 2均为f （x ）的不动点，则x 1，x 2是方程 x 3+ax 2+（b ﹣1）x +3=0的两个实根，显然x 1，x 2≠0．对于实根x 1，有+a+（b ﹣1）x 1+3=0．①又因为3+2ax 1+b=0．②①×3﹣②×x 1，得a +（2b ﹣3）x 1+9=0．同理可得a+（2b ﹣3）x 2+9=0．所以，方程ax 2+（2b ﹣3）x +9=0也有两个不等实根x 1，x 2．[（11分）] 所以x 1+x 2=﹣．对于方程3x 2+2ax +b=0，有 x 1+x 2=﹣，所以﹣=﹣，即a 2﹣3b=﹣，这与a 2﹣3b ＞0相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得x 1，x 2均为f （x ）的不动点．[（13分）]赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

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