椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)

椭圆与双曲线综合练习题1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． －2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=⋅PF PF ,则=+222111e e （ ）A.4B. 3C. 2D. 14.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1)5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A.B.C.D.6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝17.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －108. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝09.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ． (1,2] B ． (1,2) C ． [2，＋∞) D ． (2，＋∞)12.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1P F2＝60°，∣OP∣＝a，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．y±y＝013.如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2是矩形,则C2的离心率是()A． B． C． D．14．椭圆M：的左，右焦点分别为，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M的离心率e的取值范围是________15.椭圆P：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆P的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．16.如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________________．17.已知为双曲线的左焦点，为上的点．若的长等于虚轴长的２倍，点在线段上，则的周长为__________.18.已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°.延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．19.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．20.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BN|为定值．21. 设12,F F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．⑴若M 是该椭圆上的一点，且012120F MF ∠=，求12F MF ∆的面积；⑵若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值；⑶设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22. 椭圆E 的中心是原点O ，焦点在x 轴上，其离心率e ＝，过点C (－1,0)的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，且＝2.(1)用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积； (2)当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程．23.设椭圆C：22221x ya b+= (a>b>0)的离心率为22，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．24.已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当·=3时,求实数m的值.答案解析1.【答案】D【解析】设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.2.【答案】B【解析】＝×8b＝12，∴b＝3，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，∴椭圆的标准方程为＋＝1.3.【答案】D【解析】由椭圆方程知a＝2，b＝，c＝1，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝|F1F2|2，∴16－3|PF1||PF2|＝4，∴|PF1||PF2|＝4，∴·＝||||·cos 60°＝2.故选D.4.【答案】A【解析】根据椭圆的对称性及椭圆的定义，可得A，B两点到椭圆左，右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因为1≤b＜2，所以0＜e≤，故选A.5.【答案】D【解析】设点P在x轴上方，坐标为(c，)，△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，等式两边同除以a，化简得1－e2＝2e，解得e＝－1.6.【答案】C【解析】由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，∴·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4，则解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选C.7.【答案】D【解析】特殊地，当直线l斜率为0时，为x轴，则A、B、M坐标分别为(，0)、(－，0)、(0,0)．＝(，0)，＝(2－，0)，＝(－，0)，＝(2＋，0)．∴λ1＝－(2＋5)，λ2＝2－5，∴λ1＋λ2＝－10，故选D.8.【答案】D【解析】设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2，可得a＝x，b＝3y，所以x＞0，y＞0.又＝(－a，b)＝(－x,3y)，由·＝1，可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．9.【答案】D【解析】∵a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时取等号，∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．10.【答案】B【解析】∵I是△F1PF2内切圆的圆心，直线PI交x轴于点M，∴＝，∴＝，∴＝，∴|PF2|∶|MF2|＝，∵|PF2|∶|MF2|＝|PI|∶|IM|，∴|PI|∶|IM|＝，故选B.11.【答案】C【解析】根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2.故选C.12.【答案】D【解析】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法.13.【答案】D【解析】由椭圆C1与双曲线C2有公共焦点可知,因|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+|AF2|2==12,所以|AF1|·|AF2|=2,又||AF1|-|AF2||=2a,所以(|AF1|-|AF2|)2=4a2,所以a2=2,a=,所以.14.【答案】【解析】转化成椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在y轴上，则>，故sinα>cosα，<α<.15.【答案】－1【解析】由直线方程为y＝(x＋c)知，∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，即e＝＝－1.16.【答案】＋＝1【解析】设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a,0)，B(0，b)，C(，)，F(，0)．依题意，得＝，FM的直线方程是x＝，所以M(，)．由于O，C，M三点共线，所以＝，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.所以所求方程是＋＝1.17.【答案】44【解析】由双曲线知，则点为双曲线的右焦点，由已知得,由双曲线的定义得，的周长为18.【答案】4【解析】由题知a＝1，根据双曲线定义|AF1|－|AF2|＝2a所以|AF1|＝4，|BF1|－|BF2|＝2，∴|BF1|＝2＋|BF2|由下图知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|∴|BA|＝|BF1|，△ABF1为等腰三角形，又因∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，则△ABF1为等腰直角三角形，所以|AB|＝|BF1|＝2.所以S△F1AB＝×2×2＝4.19.20.【答案】(1)解由题意，得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则＋4＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|.所以|AN|·|BM|＝|2＋|·|1＋|＝＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2.所以|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．【解析】21.【答案】设l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc)，B(－，)．∵B在椭圆上，∴＋＝1.即＋＝1⇒e2＋＝4.∴k2＝≤⇒2e4－17e2＋8≤0⇒≤e2<1⇒≤e<1.∴椭圆离心率e的取值范围为[，1)．【解析】22.【答案】以MN所在的直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．设点M，N，P的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c>0)和(x0，y0)．∵tanα＝tan(π－∠MNP)＝－tan ∠MNP＝2，∴由题意知，解得即点P(，)．在△MNP中，|MN|＝2c，边MN上的高为c，∴S△MNP＝·2c·c＝1，∴c＝.又|PM|＝＝，|PN|＝＝，∴a＝(|PM|＋|PN|)＝，∴b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.【解析】23.【答案】(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，直线l的方程为y＝k(x＋1)，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a2＝3b2，故椭圆方程为x2＋3y2＝3b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于＝2，故(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即由消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0.由直线l与椭圆E相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，得而S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|－2y 2－y 2|＝|y 2|＝|k (x 2＋1)|＝|k ||x 2＋1|，⑥ 由①④，得x 2＋1＝， 代入⑥，得SOAB ＝(k ≠0)．(2)∵S △OAB ＝＝≤＝，当且仅当k ＝±时，S △OAB 取得最大值． 此时x 1＋x 2＝－1，又∵x 1＋1＝－2(x 2＋1)， ∴x 1＝1，x 2＝－2.将x 1，x 2及k 2＝得3b 2＝5， ∴椭圆E 的方程为x 2＋3y 2＝5. 【解析】24.【答案】见解析【解析】(1)双曲线C 1的焦点坐标为(,0),(-,0),设双曲线C 2的标准方程为-=1(a >0,b >0),则解得∴双曲线C 2的标准方程为-y 2=1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y =2x ,y =-2x .设A (x 1,2x 1),B (x 2,-2x 2).由消去y 化简得3x 2-2mx -m 2=0,由Δ=(-2m )2-4×3×(-m 2)=16m 2>0,得m ≠0.∵x 1x 2=-,·=x 1x 2+(2x 1)(-2x 2)=-3x 1x 2,∴m 2=3,即m =±.29．（1）3（2）12PF PF ⋅的最大值为1，最小值为-2（3）232-<<-k 或223<<k 试题分析：（1）易知2=a ，1=b ，3=c ，所以)0 3(F 1，-，)0 3(F 2，，所以1223F F =,又M 是该椭圆上的一点，所以1224MF MF a +==， 因为12120F MF ∠=，所以在12F MF ∆中利用余弦定理可知：222122121212cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,即221212(23)4,4MF MF MF MF =-∴=， 所以12F MF ∆的面积为12⨯12332MF MF ⨯=. ……5分。