一类高阶差分方程的振动性

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一类差分方程的振动性研究

和式（）可得到：７
Ｓ
ｕ￣ｒ≥“ ＋（忌１）号（（） ≥￡（ｎ（＋一）＋＋一１）ｔ）ｒｒ２
定义正实数序列｛｝：
１２
ｐ
局｛，＋＋一ａ… ，一号
由文献［－知：３Ｉ
在科学技术和经济研究中，差分方程是一个有力的数学工具。研究差分方程可以在分析经济走势时，将突发事件的影响也考虑其中，克服了微分方程描述客观经济走势中无法计入离散情况的不利，使得离散的情况也可以进行定性的分析。下面，笔者研究了一类具有连续变量的时滞差分方程：
ｌ｛ｔｍ
ｌｉ￣２一ｎａ＋） ≤（）ｉｎｍｎｉ）ｍｆ（ｉｔｖ～
—
（）２
且：
ｌｉｍ
。。
ｉｎｓ＞Ｐｎｔ三ｓ（ｍｈＪ＋）１＝亟ｕ￣２ａ（）一二＿ｐ一 Fra bibliotek（）３
则方程（）的每个解振动。１证明若不然，方程（）则１有非振动解。妨设方程（）不１存在最终正解（）则必存在ｔ＞ｔ，ｔｔ。使 ≥
・
１８・３
长江大学学报（自然科学版）
２１３月００年
将式（）６分别从到，和到＋七２求和，一再利用：
ｕｔ（一志ｒ（＋））≥ ｕｔ（＋１是ｒ（＋玩一））≥ … ≥ ｕｔ（一是ｒ（＋ｎ））
ｌｉｍ： —－ａ２－

一阶差分方程解振动的充分必要条件

k
) = N i (λ - 1) + pλ 置 f i (λ i ) = N i - pi kλ f i (λ i = pi k i Ni
k i +1
, i = 1 , 2 , …, m . 令 pi k i Ni
k i +1
′
- ki - 1
= 0 , 得λ i =
. 当λ i
1
) = N i (λ - 1) + pλ 时 , f i (λ i
m
利用引理 A , 可得 : 定理 1 对于差分方程 ( 5) , 如果 l = 0 , q ≠1 . ( i ) k = - 1 时 , p ( 1 - q) - k - 1 ≤- 1 ; ( ii ) k = 0 时 , p ( 1 - q) - k - 1 ≥1 ; ( iii ) k ∈{ …, - 3 , - 2} ∪{ 1 , 2 , … } , 且 p (1 ( k + 1) k +1 q) > 1; kk 则方程 ( 5) 的解振动当且仅当 ( i ) , ( ii ) , ( iii ) 条件之
( 9)
这里 p ∈ R , 且 k ∈ Z. 那么方程 ( 9) 的每一个解振动当且仅当下面的条件成立 : ( i ) k = - 1 时 , p ≤- 1 ; ( ii ) k = 0 时 , p ≥1 ; ( iii ) k ∈ { …, - 3 , - 2} ∪ { 1 , 2 , … }, 且
k
+
A n +1 - A n +
i =1
∑p A
i
= 0
n - ki
= 0
( 2)
这里 pi 是正数 , k i 为正整数 , ( 或 pi 为负数 , k i 为负整数) , i = 1 , 2 , …, m , 并给出解振动的一个充分条件 , 即下面的 : 定理 A [ 1 ] 假定式 ( 2) 成立 , 并假定

一类带高阶Laplace算子偏微分方程系统解的振动性

击丢［￡［）
’ ｆ）＋
（］）ｚ）ｆ］ △ ＇）。ｆ＋
㈤△ｌｚｒ），￡ “ Ｐ）（（一
（１）
（）２
Ｐｔ，一∑ ∑ ，ｕｚ￡（）（）
（）ｕｚｇ￡）曲，一｛２…，｝ｚ＾Ｅ（，（）（Ｉ１，ｍ，ｊ，］）Ｅ，
引理１ｃ设。是如下Ｄｒｈｅ问题ｉｃｌｉｔ
／ ‘ ＋ｚ＝ｏ， ∈ｇ，２
１ｚ）一０，ｎ（＿Ｅａｚ
（）３
的最小特征值，（）是与。应的特征函数，ｚ对则。＞ｏ）ｏｚＥｎ，（＞，．定理１若微分不等式
（）ｏ “ （Ｒ；ｆ（）ｏ “≠ ０；Ｈ。ｆ（）ＥＣＲ，）ｕ “ ＞（ｆ三三；，，ｚ，）∈ ｃＲ × ，＋，表示ａ的单位外（＋Ｒ）ＮＤ
｛ｑ（ｌｚ，，）
ｐｃ算子偏泛函微分方程系统方面的结果还不多．文则讨论含高阶Ｌｐａｅ子和连续分布滞量的偏泛函微分方程系统解ａｅ本ａｌ算ｃ的振动性．考虑如下的含高阶Ｌｐａｅ子的方程组：ａｌｃ算
Ｚ３６Ｎｏ５．．
２００８年９月
Ｓｅ．ｐｔ２００８
文章编号：ｏＯ３７２０）５００３１Ｏ～２６（０８０ —０３ —０
一
类带高阶Ｌｐａｅａｌ算子偏微分方程系统解的振动性ｃ

一类具有连续变量的高阶非线性时滞差分方程的振动性

（）７
否则，存在ｔｔ有△～（）０由（）３：ｂＩ．５式得，以（严格单调递增，＞１，＞ △ ｔ：）则有 △＿（＋ｌ；。ｔｆ＞：ｘｔ， ≥ ．：。ｔ）ａ＿（＋） △ ＿（）ｘ３－ｘ３３１将上述不等式两边对ｉ到ｎ得从２求和－（＋）互△～（＋）０所以，２ｔ打 ≥ ｔｒ＞．ｘ３３
负．否则称为非振动的．方程（）１称为振动的，如果方程（）１的所有解都是振动的．
１基本引理
首先给出下列条件：（ｕ＞Ｈ；Ａ））Ｏ，≠０（）ｌｎ（）＞；ＤｉｆＩＭＩ０ｉｆ（）对某０有ｐｔＢ ≥ｔ，（＋打）＝＋。；。（）ｔ（）Ｃ一ｔ是单调非减的；
△一ｔ＋ｎ１．一：（ｒ ≥ ’ ｔ＋）ｏ：３（＋）） △ ｔ４），：３ｒ＞．（ｒ３－（因此ｌ △～（＋ｎ１ｒ：＋０于ｉ：ｔ（＋））Ｏ．是存在充分大的自ｍ３然数，～（＋ｎ＋））ｏ所以，有ｘｔ（２１ｒ＞．３
（Ｅ）存在常数艿＞，０使得Ｍｓｎ（）＞）ｇｕａ
引理１设条件（成立，函数（）Ａ）若ｔ是方程（）１的有界最终正解，则最终有
Ａｘｔ＜， △～（＞， △～（＜，，一） △ ｔ＜．￣）０：ｔ０ｔ０（）） … （１（ｏ）
△ ｔ＋（）（（一））０ ≥ ：（）ｐｔｘｔ）＝，ｆ

一类非线性高阶微分方程解的振动性

一类非线性高阶微分方程解的振动性
李洁坤
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(024)004
【摘要】借助测度等工具研究了一类高阶非线性泛函微分方程rn
［φ(x(n)(t))ψ(x′(t))］′+F(t,x(t),x(p(t)))-H(t,x(t),x′(p(t)))=0rn的振动性.
【总页数】4页(P353-356)
【作者】李洁坤
【作者单位】柳州师范高等专科学校数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类带有多项延迟的非线性中立型延迟微分方程解析解的振动性分析 [J], 王慧灵;高建芳
2.一类非线性时滞差分方程解的振动性和非振动性 [J], 肖娟;蔡江涛
3.一类非线性高阶微分方程解的存在性和延展性 [J], 郭兴
4.一类含非线性边界条件的高阶微分方程解的存在性 [J], 赵本生;林晓洁
5.一类四阶非线性泛函微分方程解的振动性 [J], 高正晖
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一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性

一
类高阶非线性泛函微分方程解的振动性
丘冠英
（嘉应学院数学系，广东梅州５４１）１０５
摘：一高非性函分程￡（１Ｆｆ（￡，（ｆ）０中奇，究解要对类阶线泛微方（＋一）（ｚ（）＾）＝，为数研其的），ｇ）（）其
虑情况２．）因为当￡１ ≥￡时（＞Ｏｚ（＞０所以￡），），存在了ｔ和一个正常数ｄ和ｄ使得 ≥ ｚ
（（） ≥ ｄｇ￡）ｌｄ（ ≥ ｈ￡）
叫）［＋丽
）（（
中的１证明相似．）
］ ‘ ×
（￡￡＾（）） × ＾（）（一￡）
Ｉｂ１＾￡。（ｚｒ（（）｛（（）ｈ￡（２＾））），’
ｔＴ ≥ １
Ｉ）（）㈤一（０
县振动的，日微分不等式并
因此
，一『（Ｌ￡Ｉ）
振动性，得到３个新的解的振动性准则，得结果推广和改进一些文献中的若干结论．所
关键词：高阶；非线性；泛函微分方程；振动性
中图分类号：Ｏ１５７文献标识码：Ａ
Ｏｓｉａｉｎｏｌｓｆｈｇｅ－ｒｅｏｌｅｒｆｎｔｏａｉｆｒｎｉｌｅｕｔｎｃｌｔｏｆａｃａｓｏｉｈｒｏｄｒｎｎｉａｕｎｙｎＵａ－ｉｇ
第４期
丘冠英：高阶非线性泛函微分方程解的振动性一类
・１７・６
砌∽ ≥ ）
因此式（）９变为

一类高阶非线性中立型差分方程的振动性

第２期
杨甲山：一类高阶非线性中立型差分方程的振动性
２几个基本引理
为了证明本文的主要结论，先介绍几个引理．引理１假设ｍ ≥ １是整数，｛（）实数列，如果｛（）最终定号（当／充分大后恒有）是Ａｎ）即／， △ （，＞０或恒有 △ ｎ＜０）／７）（），则｛（）最终严格单调且定号（＝０１２ … ，一１． △ｚｎ），，，ｍ）证明因为｛（）最终定号，所以｛一ｎ）终严格单调，从而最终定号，由此又可知 △ ｎ） △ （）最｛一。（）最终严格单调且定号，此方式推下去即得． △ ｎ）依
一
类高阶非线性中立型差分方程的振动性
杨甲山
（阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２０）邵２０４
摘要：研究了一类高阶非线性中立型时滞差分方程△（（）（）ｐｎ（ — ）＋∑ ｎ（（一。ｎｎ～（）ｎ）（）ｎ
果方程（）有解都是振动的．２所
本文给出了方程（）动的若干新的充分条件，展了文献［］２振拓５的有关结果．了方便，本文中为在
假设关于数列的不等式（如未指明的）是对一切充分大的自然数ｎ成立的．
收稿日期：０００ —８２１－２２
基金项目：南省教育厅科研重点项目（ｏ９０２；湖南省教育厅科研项目（Ｎ．０Ｃ８）湖Ｎ．０Ａ８）ｏ７６０．作者简介：甲山（９３一）男（族）湖南城步人，阳学院理学与信息科学系副教授，究方向：分差分方程杨１６，苗，邵研微

一类高阶中立型偏微分方程系统解的振动性

ｒ）； ∈【，） ∑ ｔ；６（｝）ｄｏ妻（１６，）ｏ／ｄｏ＝＜，【，ＣＣ７１００肼Ｏ，ｏｓ．＝：
ｔ＇Ｘ
。、，
收稿日２０－０２．作者简介：林文贤（９６期：０４１－９１６年生）。男，教授，研究方向：泛函微分方程基金项目：山师范学院科学研究重点项目（０４．韩２０￣）
０和ｙ（，＠），ｉ１２… ，ｉ）＞０＝，，ｍ，ｒ＝１２… ，，ｋ：１２… ，，ｈ＝１２… ，。ｘ，，ｄ，，ｓ，，ｌ对方程（两边关于在Ｑ上积分并利用Ｇｅｎ公式及边值条件（）１）ｒｅ２有
ａｔｒ－１
十
ｄ
）（－）］玑，￣ｘ＇ｔｒｄ
ｉ１２… －，，
（）２
其中是ａＱ的单位外法向量，并且ｇｘｔ是ａｉ，（）Ｑ×【ｏ）０ｏ上的连续非负函数。对（，我们，１）
作如下约定：
（）Ｐ ∈Ｃ（，）【ｏ）是正常数（＝１２… ，）Ｈ１ｒ【Ｃ，，ｏ）０Ｏ０，ｒ，，ｄ且
）ｔ１ｎ￣－
ｄ
ｔｔＴ］（－）ｘｒ，］
＝ｎｔｕ） ∑ ∑ ａｋｕｘ（ｔ△ｔ，＋（（ｔ）ｉｊｔｊ（）Ａ）
一
ｑｘ）（ｔ ∑ ∑ ｑｈ，（（，ｉ１，，ｉ，ｔ，一（ｔ）ｕｉ（ｔ＾）：ｍｊＸ），ｔ）２一
１ｍｉ
．ｔ＋。。
（）Ｃ，ｋ（，ｏ，，ｏ）Ｈ５ｒＰ ∈ｃ［ｏ）［ｏ），且ｋ００

具有变号系数的一阶线性微分差分方程解的渐近性与振动性

, ,
L
t a
〔8
,
中的定理
3
.
设 Q 任 C ( [t 。的 ) 口
十
R )
.
若记
) ) /2
,
十
(` ) =
( !Q ( )
一
t
}+
Q
(r
Q (t )
,
一
=
( l口 ( z ) l 一 Q ( t ) ) / 2
十
卿口 () t 与Q ( t ) 均为非负连续函数
且 Q( t )一口 ( t )
,
有 h ( t ) 》0
+
,
;
,
h
;
(名 )
+
h: (t ) )
O
,
h
;
条件
A
( t ) + h : ( 名) + …
,
h
,
(t ) 》0 ; 使在区间嗜
,
对一切 T
h
,
总存在考讼甲
+ 古
:
;
]上有
(t) ) 0
,
j
=
l
,
。
.
显然
,
对于下列二简单方程
`
’
“,+
:
(`
一
。
所得结果改进并推广了
d
a
s
等人
8 〔
,
10]
圣1
1 如文献〔
,
引
言
。 ,
关于泛函微分方程解的渐近性与振动性问题的讨论已在许多实际应用中提了出来

一类差分方程的频率振动解

Ａ（ｃ），ｎ）＝，，，％＋，弓Ｘ－，０１２ … Ｍｔｎ
ｏｃｌｔｒ，ｕｗｉｐｉｎｍｒｖｈｏｒｓｏｄｎｅｃｎｉｏｓａｄｃｎｌｓｎｎ［】（ｃｒｅｐｎｅｃｏｄｔｎｎｏｃｉｓｉ３：＋ｌｙｈｍｆｉｕｏ △
）ｎ，，）＝，， …ｗｅｅｋ１ ≥１ｘ－，０ｌ２，ｈｒ ≥ ，ｔｎｌ
【关键词】中立型差分方程；频率测度；频率振动性；正振动；负振动
ＦｒｑｎｌｃｌｔｒｌｔｏｓｏｌｓｆＤｉｅｅｃｅｕｅｔｙＯｓｉａｏｙＳｏｕｉｎｆａｃａｓｏｆｒｎｅＥｑｕｔｏｌａｉｎ
ＬＩＸｉ－ｎｕ－ｄｏｇ
条件，而简化和改进了文献【］从３中的相应条件与结论：（，ｃ），ｎ，ｎ）＝，，，其中ｋ１与ｌ１均为正整数，）：是一实数列ＡｌＩ（Ｘ－，０１２ … ＋１ｎ ≥ ≥ （ｏ
是定义在ＺＲ上的函数。ｘ
ａｎｅｅｓａｄ（）ｉａｒａｓｑｅｃ，ｌｆｉａｕｃｉｅｎｄｏｘ．ｌｉｔｇｒ，ｌｎｓｌｅｕｎｅａｏｓｎｔｎｄｆｅｎＺＲｅｓｆｏｉ
【ｙｗｒｓＮｕｒｌｉｅｅｃｑａｏ；ｒｑｅｃｅｓｒ；ｒｑｅｔｓｉａｒｅｕｎｅＰｓｉｅｓｉａｏ；ｅａｉｅｓｉａｏＫｅｏｄ］ｅｔｆｒｎｅｅｕｔｎＦｅｕｎｙｍａｕｅＦｅｕｎｌｏｃｌｏｙｓｑｅｃ；ｏｉｖｌｏｃｌｔｒＮｇｔｌｏｃｌｔａｄｆｉｙｌｔｔｙｌｙｖｙｌｒｙ

一类含高阶Laplace算子的二阶阻尼偏微分方程组解的振动性

( ⅰ ) H ( t , t ) = 0 , t ≥t0 , H ( t , s) > 0 , t > s ≥t0 ; ( ⅱ ) H 在 D 上关于第二个变量的偏导数连续且非正 ;
( H2) p i ( t) ∈C( I , R) , q i ( t ) ∈C ( I , R + ) , I = [ t 0 , + ∞ ) , t0 ≥ 0 , p i ( t ) 可微 p ( t ) = mi n{ p i ( t ) } , q ( t) = min { qi ( t) }
近年来 , 二阶偏微分方程 ( 组) 及二阶阻尼微分方程解的振动性研究受到普遍关注 , 并陆续取得一些成 [22 13 ] 果 , 但对于含高阶 Laplace 算子的二阶阻尼偏微分方程组的振动性研究还很少见。本文讨论一类含高阶 Laplace 算子的二阶阻尼偏微分方程组解的振动性 , 通过利用 Riccat i 变换、引入参数函数 , 获得该类方程组在 Robi n ,Dirichlet 边值条件下振动的充分判据。考虑如下的含高阶 Laplace 算子的二阶阻尼偏微分方程组 : 5 2 u i ( x , t) 5 ui ( x , t) 2l- 1 2l- 1 + P i ( t) - a i ( x , t)Δ ui ( x , t) - b i ( x , t)Δ ui ( x , t - δ ) + q i ( t) u i ( x , t) = 0 5t 5 t2 t ∈ R + , x ∈Ω , i ∈ I m = { 1 , 2 , …, m} , l ∈ Z+ ( 1) 边值条件为 : 5 u i ( x , t) (B1 ) +β( x) u i ( x , t) = 0 , x ∈ 5 Ω , i ∈Im 5N (B2 ) u i ( x , t) = 0 , x ∈ Ω , i ∈I m 5 式中 : N 表示5Ω 的单位外法向量 ,β ( x) ∈C 5 (Ω , (0 , + ∞ )) 本文总假设下列条件成立 : ( H1) R + = [ 0 , + ∞ ) , G ≡R + × Ω ,Ω ∈Rm 是具有逐片光滑边界 5 Ω 的有界区域 ,Δ 是 R m 中的 m 维拉普 δ> 0 ; 拉斯算子 , Δn u =Δ (Δn- 1 u ) , n ∈Z+ ,Δ0 u = u , l ∈Z+ ,

一类高阶非线性中立型微分方程的振动性

（Ｏ５６１００００）１１１０５１００３
作者简介：红叶（９５一）女，南桃江人，师，究方向为常微分方程及应用。吴１７，湖讲砌
・
２４・
惠州学院学报（自然科学版）
２１０１年第３卷１
引理３若ｙｔ是方程（）的非振动解，（）１则存在ｔ ≥ ｔ，ｔｔ时，。当 ≥ 有（）＞０ｚ（）＞０ｚ（）＞０ｔ，ｔ，ｔ，
＝
这里
ｔ１ｎｕＩ
）ｌ，
０２（一＝－１÷ 一￣
收稿日期：Ｏ１２— ０２ｌ —０３
基金项目：州学院自然科学基金项目（２ｏｏ１；点学科经费资助项目（２８００）；东省自然科学基金项目惠ｃ１．２９）重ｃｏ．２３广
（）２
由方程（）２及条件（知，（） ’ ｔ是区间［。＋∞）Ａ）ｒｔｚ。（）ｔ，上的不增函数且在任何区间上不恒为常数，而可推从知存在ｔ，ｔ ≥ ｔ时，（）‘ （）＞０或者ｒ￡ｚｔ２当２１ｒ￡ｚ￡（）‘ （）＜０即当ｔ ≥ ｔ时，。，２ｌｚ（）＞０或者（）＜０ｔ ‘ ｔ．
第３１卷第３期
２１０１年６月
惠州学院学报（自然科学版）
ＪＲ￣ＡＬＯＩＨＯＵＵＮＩＲＳＴＯＵＦＨＵＺＶＥＩＹ
Ｖｏ．．Ｎｏ３１３１．
Ｊｎ２１ｕ．０１

一类三阶非线性差分方程的振动性

笫３卷第５７期
ＪｕｌｆｏｔｗｓＵｎｖｒｉｆｒｔｎｌｉｓｔｒｃｎｅｄｔｎｏｍａｏＳｕｈ西南民族大学学报ｉ自ｉｅｕａＳｉｃＥｉｏｅｔｉｓｙｏＮａ・ａｔＮａｅｔｏ然学版ｅｉ
ｌ・ｌ
１
设＝（
由引理１得，
ｇ）＋，（１）
志薹ｃ）＜２－ｘ丽，ｎ－）ｍｅＡｋ＋ｎ）ｘ２（ｍ－Ｉ，
志
（十２
假）（１非动解类方我得与２）矛的论设｛是１）振负．似法们到（相盾结．（）．的．２
６８８
西南民族大学学报・然科学版自
第３卷７
ｌｉ
～
ｍｎｎ）一，Ｐ）Ｃｍ）一．ｉ（（（一（，］ｏｆｍ ∑［）＝ｏ一～
，
（．）２２
其中
ｃ（
则（．）１１是振动的．
（］一．
ｎｋ＝
咖）＝
一
等式两边同除以Ｈ（，ｍ，）得ｒＩ＝＾
△（２丽丽刍一（ｇ）（）丽１刍（一（＜七）一＋ｍ（（）］丽ｍ）１－）Ｉ［川）（＋－１））】 △（２刍一（ｇ）（］丽丽刍（一一＜七）丽ｍ（（）川）一＋－）ｌ［川）（＋ｍ）１）－Ｉ）（】
Ｓｐ．ｏ１ｅｔ２１
文章编号：０３２４（０１５０８－４１０－８３２１）－６７００

一类四阶有理差分方程的振动规律和全局稳定性

一类四阶有理差分方程的振动规律和全局稳定性陈云新【摘要】主要讨论了一类四阶有理差分方程x_(n+1)=x_(n-2)x_(n-3)/x_(n-2)+x_(n-3)+1,n=0,1,2,…,初始值x_(-3),x_(-2),x_(-1),X_0 ∈(0,∞)的振动规律和全局稳定性,即描述了其解的振动周期为15,且正、负半环长的规律为:4~+,3~-,1~+,2~-,2~+,1~-,1~+,1~-;又指出了解之间存在x_(n+k)△(C(x_(n+k))x_n(C(x_(n+k)C(x_n))(n≥-3)的大小关系;并得到了方程的平衡点是全局渐近稳定的.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2009(032)004【总页数】4页(P14-17)【关键词】有理差分方程;振动规律;全局渐近稳定【作者】陈云新【作者单位】南华大学数理学院,中国衡阳 421001【正文语种】中文【中图分类】O175.7近几年来,有理差分方程的研究日益受到人们的关注[1-10]. 李先义,朱德明[1]利用半环分析法研究了以下有理差分方程正平衡点的全局渐近稳定性,式中:a∈[0,∞),初始值x-2,x-1,x0∈(0,∞).霍海峰、苗黎明等[2]运用子序列分析法[3]研究了一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性．受以上工作的启发，本文主要讨论四阶有理差分方程：(1)其中，初始值x-3,x-2,x-1,x0∈(0,∞)．容易看出，方程(1)的平衡点满足：因此，可知方程(1)有唯一的平衡解下面是本文中将要用到的一些定义[4-5]：定义1 设为方程(1)的一个解，为方程(1)的一个平衡点，方程(1)的一个正半环是由一串连续大于或者等于的项(xl,xl+1,…,xm)组成，且l≥-3,m≤∞满足：l=-3,或者并且，m=∞,或者方程(1)的一个负半环是由一串连续小于的项(xl,xl+1,…,xm)组成，且l≥-3,m≤∞满足：l=-3,或者并且，m=∞,或者半环的长是指半环所包含的数据项的个数．定义2 设为方程(1)的一个解，如果最终等于平衡解则称方程(1)的解是最终平凡解；否则，称此解为非平凡解；如果最终大于平衡解则称方程(1)的解是最终正解；如果最终小于平衡解则称方程(1)的解是最终负解．本文其他概念见文献[4-5]．2 两个引理为了证明主要结果，下面引入两个基本引理．引理1 方程(1)的解最终等于当且仅当(x-3-1)(x-2-1)(x-1-1)(x0-1)=0.(2)证充分性.假定(2)成立，则由方程(1)可知下列结论成立：A.若(x-3-1)=0，则xn=1(n≥7)；B.若(x-2-1)=0，则xn=1(n≥4)；C.若(x-1-1)=0，则xn=1(n≥5)；D.若(x0-1)=0，则xn=1(n≥6).必要性.若(x-3-1)(x-2-1)(x-1-1)(x0-1)≠0，则xn≠1,(n≥1).因为方程(1)的解最终等于则必定存在N，使得xN=1,N≥1，xn≠1,-3≤n≤N-1.显然,矛盾．推论1 若方程(1)的初始条件不满足方程(2)，则对方程(1)的任意解均有xn≠1,n≥-3．引理2 设为方程(1)的非平凡解，则下列结论成立：(a)(xn+1-1)(xn-2-1)(xn-3-1)<0(n≥0)；(b)(xn+1-xn-3)(xn-3-1)<0(n≥0)；(c)(xn+1-xn-2)(xn-2-1)<0(n≥0)．证根据方程(1)，可以得到下列等式：从上面这些方程式可看到不等式(a),(b),(c)成立．证毕引理3 若方程(1)存在非振动解，则它一定是最终负解；即：方程(1)不存在非振动的最终正解．证假设方程(1)存在非振动的最终正解，则存在一个正整数N，当n>N时,所有的Xn>1成立，因此，对于n>N+3时，(xn+1-1) (xn-2-1) (xn-3-1)>0,这与引理2(a)相矛盾，所以方程(1)不存在非振动的最终正解．3 主要结果及证明定理1 设为方程(1)的严格振动解，则此解的正、负解变换周期为15,且正、负半环长的规律为： 4+,3-,1+,2-,2+,1-,1+,1-．证根据引理2方程(1)的正半环长不超过5，负半环最长为3．基于解的严格振动的性质，对整数p≥0,下列4种情形之一必定发生：情形1：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp>1；情形2：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp<1；情形3：xp-3>1,xp-2<1,xp-1<1,xp>1；情形4：xp-3>1,xp-2<1,xp-1<1,xp<1；如果情形1成立，从引理2(a)可知：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp>1,xp+1>1,xp+2>1,xp+3<1,xp+4<1,xp+5<1, xp+6>1,xp+7<1,xp+8<1,xp+9>1,xp+10>1,xp+11<1,xp+12>1,xp+13<1,xp +14>1,xp+15>1,xp+16>1,xp+17>1,xp+18<1,xp+19<1,xp+20<1,xp+21>1,xp+22 <1,xp+23<1,xp+24>1,xp+25>1,xp+26<1,xp+27>1,xp+28<1,xp+29>1,xp+30>1,xp+31 >1,xp+32>1,xp+33<1,xp+34<1,xp+35<1,xp+36>1,xp+37<1,xp+38<1,xp+39>1,xp+40 >1,xp+41<1,xp+42>1,xp+43<1,…可以发现此解的正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-；同理，当情形2、情形3、情形4成立时，用类似的方法，也可得出解的正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-．证毕定理2 设为方程(1)的严格振动解，则此解之间存在下列大小关系：(3)式中，k=3，4；C(xn)=1,xn>1;C(xn)=-1,xn<1;Δ(1)=<;Δ(-1)=>.证 (1)当k=3时.(i)若xn+3>1,xn>1，式(3)变为不等式：xn+3<xn.式(3)成立;同理,若xn+3<1,xn<1，式(3)变为xn+3>xn也成立.(ii)若xn+3>1,xn<1时，式(3)变为不等式：xn+3<xn.式(3)成立；同理,若xn+3<1,xn>1，式(3)变为也成立.(2) 当k=4时.(i)若xn+4>1,xn>1，式(3)变为不等式：xn+4<xn.式(3)成立；同理，若xn+4<1,xn<1，式(3)变为xn+4>xn也成立.(ii)若xn+4>1,xn<1，式(3)变为不等式：式(3)成立；同理,若xn+4<1,xn>1，式(3)变为也成立.综上所述：式(3)成立，定理2正确．定理3 方程(1)的负平衡解是全局渐近稳定的．证首先，方程(1)关于平衡点的线性化方程是：yn+1=0·yn+0·yn-1+0·yn-2+0·yn-3,n=0,1,2,…由文献[2]可知，其解是局部渐近稳定的,只需要证明方程(1)的解当n→∞时收敛于1，即如果方程(1)的初始条件满足(2)式，由引理1表明方程(1)的解是平凡解，最终等于1，显然上式成立.如果方程(1)的初始条件不满足(2)式，由推论1，对方程(1)的任意解均有xn≠1(n≥-3)，方程的解为非平凡解．此时，将方程(1)的解分为非振动的和振动的2种情况分别进行讨论.(i) 当方程(1)的解是非振动时，由引理3,方程(1)的解是最终负解；按照引理2(b),{xn}是最终有界的和递增的，所以{xn}的极限存在且是有穷的．不妨假设则结论成立.(ii)当方程(1)的解是振动时，由定理1，此解的正、负解变换周期为15,且正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-；即可以找到一个非负整数P,用{xp,xp+1,xp+2,xp+3}+表示长度为4的正半环，用{xp+4,xp+5,xp+6}-表示长度为3的负半环，用{xp+7}+表示长度为1的正半环，用{xp+8,xp+9}-表示长度为2的负半环，用{xp+10,xp+11}+表示长度为2的正半环，用{xp+12}-表示长度为1的负半环，用{xp+13}+表示长度为1的正半环，用{xp+14}-表示长度为1的负半环，即正、负半环的长度规律为：{xp+15n,xp+15n+1,xp+15n+2,xp+15n+3}+，{xp+15n+4,xp+15n+5,xp+15n+6}-，{xp+15n+7}+，{xp+15n+8,xp+15n+9}-，{xp+15n+10,xp+15n+11}+，{xp+15n+12}-，{xp+15n+13}+，{xp+15n+14}-，n=0,1,2,…由定理2容易得到下列结果：xp+15n+15<xp+15n+11<xp+15n+7<xp+15n+3<xp+15n n=0,1,2,…从上面的表达式可知：方程(1)的振动解xp+15n在一个周期内的所有序列的极限都存在且有穷，其中：正半环上所有序列的极限都存在且相等，负半环上所有序列的极限都存在且相等，而且它们之间互为倒数．即考虑到得到：定理3证明完毕．参考文献：[1] LI X.Two rational recursive sequence [J]. Computers and Mathematics with Applications,2004,47(1): 487-494.[2] 霍海峰,苗黎明,张良. 一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性[J].兰州理工大学学报,2008,34(1):125-127[3] LI Z, ZHU D M.Global asymptotic stability of a higher order nonlinear difference equation [J].Appl Math Lett,2006,19:926-930.[4] AGARWAL R P.Difference Equations and Inequalities[M].2nd ed. New York: Marcel Dekker,2000.[5] KOCIC V L, LADAS G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications [M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1993.[6] 霍海峰,刘纯英,马战平,等. 一类有理差分方程的全局渐近稳定性[J]. 兰州理工大学学报,2009,35(1):136-138[7] NESEMANN T.Positive nonlinear difference equations:some results and applications[J].Nonlinear Analysis, 2001,47(7):4 707-4 717.[8] SUN T X, XI H J. Global asymptotic stability of a higher order rational difference equation[J]. J Math Anal Appl, 2007,330(3):462-466.[9] LI X.Global behavior for fourth-order rational difference equation[J]. J Math Anal Appl,2005,312(3):555-563.[10] BERENHAUT K S,STEVIC S. The global attractivity of a higher orderrational difference equation[J].J Math Anal Appl, 2007,326(2):940-944.。

一类带连续分布滞量的高阶偏微分方程组的振动性

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５２９
江西师范大学学报（自然科学版）
２Ｏ０７年
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收稿Ｅ期：０７０－１ｔ２０．４０
基金项目：湖南省自然科学基金资助项目（６ＪＯ１．０Ｊ０）Ｓ作者简介：杨柳（９１）男，１７．，安徽淮北人，讲师，主要从事偏微分方程边值问题的研究
这里ｉ／：｛，，，， ∈ ｍ１２ … ｍ｝ｎ≥ ２的偶数．
（１）
易见上述方程组包含了文［．］４９所讨论的方程组，因此本文的结果包含和推广了文［．］４９中的一些相关
结果，同时也推广文［０ｌ］１一２中具有高阶Ｌｐａｅａｌｃ算子方程的情形．
本文总作如下约定
（），）∈ 力ＸＲ＋Ｇ，＋：［，。，ｃＨ１（ｔ；Ｒ０。）力是逐片光滑边界ａ的有界区域，力 △是中的ｎ维Ｌｐａｅ子， ≥ ｌａｌｃ算ｆ的定整数． △ ｕ：ｉ（ｘｘｉ）ｎ≥ ｌ当ｎ：０记 △Ｉ：／；，，，ｒｕ２，

高阶非线性中立型时滞差分方程的振动性定理

摘
要：由于计算机科学、物学、制理论、生控医学及经济学等自然科学和边缘学科的进一步发
展。出了许多由差分方程描述的具体数学模型，提因而对差分方程的研究在理论和实际应用两方面都有
重要意义．文研究了一类高阶非线性中立型时滞差分方程的振动性，利用分析的方法。结合积分中值本
有完全不同的特性，因而系统的开展对差分方程解序列的各种属性的定性研究，仅有其重要的不理论意义，且有其实际应用价值．而因此对时滞差
的研究历史悠久，直到现在这个领域的研究还非常活跃．随着计算机科学、数值分析、生物数学、自
ｅｒｎｕｒｌｅａｉｅｅｃｑａｏｔｄｅ．ｉｇｔｅｍｅｈｆｎｙｉａｄｔｅｍｅｎｖｕｈｏｅｆｒｉｔｇａ，ｏｅｕｉ＆ｅｔｌｙｄｆｒｎｅｅｕｄｎｉｓｕｉｄＵｓｔｏｏａｓｓａｄｓｎｈｄａｌｈａａｅｔｅｒｍｏｅｒｓｍｅｎｗｓｆ－ｎｌｎｌｃｅｔｏｄｔｎｒｈｓｉａｉｎｏｅｅｕｔｎａｅｏ￣ｉｅＴｅｒｓｌｒｖｎｘｅｄｓｍｅｅｉｔｇｒｓｌｅｌｅａｒｉｎｎｉｏｓｆｅｏｃｌｔｆｑａｉｒｂｎｄ．ｈｅｕｔｉｏｅａｄｅｔｎｏｘｓｉｅｕｔｉｔｔｒｔｅ．ｃｉｏｔｌｏｈｔｏｓｍｐｎｓｎｈｉｕ

具有变系数的高阶时滞差分方程的有界振动

到了许多结果．关于具有连续变量的高阶差分方程的有界振动的研究，可见文献［１ — ４］．在文献Ｅ５－１中，黄梅等研究了具有变系数的高阶中立型时滞差分方程，即
△ Ｅｘ（￡）一ｃ（ｔ）ｘ（ｔ —ｒ）］＋ｑ（ｔ）ｘ（ｔ —ｒ）一０，０＜ｔｏ ≤ｔ＜＋ ∞
ｋｒ，ｋ为某个正整数．Ａｘ（ｔ）一（＋ｒ）一ｚ（￡），Ａ。ｚ（）一Ａ（Ａｘ（ｔ））．我们总假设方程（１）存在解．方程（１）的一
个有界解｛（￡）｝称为振动的，如果它最终既不为正，也不为负，否则称为非振动的．若方程（１）的每一个有界
第１５卷第４期太原师范学院学报（自然科学版）２０１６年ｌ２月ＪＯＵＲＮＡＩＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｒ
（１）
的解的振动性．其中：ｄ为正整数，这里假设（Ｈ。）：ｑ（￡） ∈ＣＩｔ。，＋。。），），且ｑ（￡）为不恒为。的有界函
数，令（）一
∈ ｃ（Ｅｔ。，＋。。），），一１ ≤ ６（￡）＜６，（一１ ≤ ６＜ｏ）；其中ｒ，，是给定的非负实数，口一