2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试理科数学试卷答案

150
140
130
125
115
100
P
0.49
0.28
0.04
0.14
0.04
0.01
数学期望为：
= 1t0 × 0 9 1 0 × 0 2⺁ 1 0 × 0 0 12t × 0 1 11t × 0 0 100 × 0 01 =
1 1（元）；
（ⅱ）设乙厂生产的 5 件该零件规格的正品零件中有 n 件“优等”品，则有 5 n 件“一
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2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A B C C A B D D A C B C
二、填空题
13.− 21
2
14. = − 2 1
15．72.5
16. 3 1
三、解答题
17. 解：（1）
的外接圆半径 R = 1，有 = 2R sin = ，
……………6 分
（2）解：由（1）相关关系及数据，在图中，以 D 为原点，分别以 DC，DF，过点 D 且垂直
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面 DBC 的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），有：
D 0，0，0 ，A ，0， ，C ，0，0 ，B − ， ，0 ，
在面 ABC 中，设其一个法向量 = 1， 1， 1 ， = − ，0， ， = − 9， ，0 ，
=0 ⇒
1
=0
91
有 = ， ，1
1=0 1=0
不妨令 1 = 1，则 1 =
在面 ABD 中，设其一个法向量 = 2， 2， 2 ， = ，0， ， = − ， ，0 ，
=0 ⇒
2
=0
2
有 = ，1， 1
级”品，由已知有 tn t t ≥ ，解得 ≥ t，则 取 4 或 5；
故所求的概率为：
P C54 0.84 0.2 0.85 0.4096 0.32768
0.73728 ．
……………12 分
21.解：（1） 为偶函数， 0 = 0，且 = 0 时， ≥ 0 不恒成立，
故题意可为： > 0， ∈ 0，
（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生
产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1；
则 的可能取值为 150，140，130，125，115，100 元，有：
P = 1t0 = 0 × 0 = 0 9， P = 1 0 = 0 × 0 2 × 2 = 0 2⺁， P =1 0 =02×02=00 ， P = 12t = 0 × 0 1 × 2 = 0 1 ， P = 11t = 0 2 × 0 1 × 2 = 0 0 ， P = 100 = 0 1 × 0 1 = 0 01， 得到 的分布列如下：
2=0 2=0
不妨令 2 = 1，则 2 =
cos ， =
×
×1 1× 1
=
2
2 12 ×
2 12
， 1= ，
， 2 = 1， t
=1 12
故二面角 −
的余弦值为 t.
1
……………12 分
19. 解:（1）设 PQ 1的内切圆⊙ M 切 P 1、Q 1、PQ 于点 E、F、G， 1 = t = ， > 0， > 0 由 P 1 ⊥ 2，且知 = t = 1，
= 1，
=0或
……………12 分
= 2 t，
20.解：（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在
，
之内的概率为 0.9974，
则这 10 件质量全都在
，
之内（即没有废品）的概率为 0.997410 0.9743 ；
则这 10 件零件中至少有 1 件是废品的概率为1 0.9743 0.0257 ； ……………4 分
由余弦定理 2 = 2 2 2 cos 及 A = ， 2 2 = ，有 = 1，
故
的面积
=
1 2
sin =
.
（2）角 的平分线 交 于 点，且 2
有
= ， − = 2，
故
=
2 2， =
2 ，又
2
=
，
……………6 分
2 = ， = 1，不妨设 ≥ > 0，
由 = ，且
由 2=
−
= ，有 = 1 ，
2
有 t 2 = 1 = ，则 2 = 1， 1 = 1，
1= ， =
由
2 1
2 2
=
1
2 2
得，
−1 2
1 2=
2
2
t
>0 , 有 = ,
故 2= 1
2 = 2 = ，即 = ， = 2
2
2
故所求的椭圆标准方程为：
=1
9
2 =2
……………6 分
（2）设点 0， ，其到直线 1的距离为 1， 有 −2 t t = 1， = t 或 = 0（舍），即 0， t .
，若
≥ 0 恒成立，求 的最大值 0.
= π2
sin ，
= π2 2 cos = 2 cos
π2
2
，
①若 0 < ≤ 2π，则
≥ 0 恒成立， 在 0，
单调递增，又 0 = 0,
有 ≥ 0， ∈ 0， ，故 在 0， 单调递增，又 0 = 0,
有
≥ 0 恒成立，此时 的最大值 0 = 2π；
②若 > 2π，则∃最小的正数 0，使 0 = 0 成立，此时cos 0 = π22，
故圆 的方程为 2
2
t = 1，
设 1 1， 2 2，
=2
由
2 92
=0 得 0 2
92
= 0，
1−
2
=
1 0
×
2 × 0× 9 2
= 10 × 0
2，
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=1
而 =2
故
=
2×
1−
2
=
t 10
×
0
2，
与2 2或 = .
2
t = 1 相切，有
t t
，有
2
=
1，
2
= −1 ，
2
故 AD = 22.
……………12 分
18. （1）证明：在图 2 中，取 CD 的中点 E，连 AE. 在直角 ABC 中，AC ⊥ BC，AC = ，BC = ，故∠ACB = 90°，∠CAB = 0°， 又 点 D 为 AB 的中点， BC = BF，有 CD = ，BF = 2 ，CF = ， 由 DF2 = CD2 CF2 − 2CD × CF × cos 0° = 12，有 DF = 2 ，故CF2 = CD2 DF2 故 DCF 为直角三角形，有 CD ⊥ DF.
将 ACD 沿 CD 折起，使面 ACD ⊥ 面 BCD，如图.
由点 E 为 CD 的中点，在等边
中，AE ⊥ CD，面 ACD⋂面 BCD = CD，故 AE ⊥ 面 BCD，
又 DF ⊂ 面 BCD，有 DF ⊥ AE，又 DF ⊥ CD，CD⋂AE = E，则 DF ⊥ 面 ACD，
又 AC ⊂ 面 ACD，有 AC ⊥ DF.