中考数学专题复习题型九二次函数综合题课件

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中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件

时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－（m2－6m）＝－（m－3）2＋ .

∵－＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－

−
＋ .∴

时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3）由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2）由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图

中考数学总复习：二次函数ppt专题课件

重点解析
探究拓展
真题演练
2+k 的形式是( 1.把二次函数 y= 1 x2-x+ 3 用配方法化成 y=a( x-h) 4
)
第十四讲第十五讲
1 2+2 A.y= 4 ( x-2)
2+4 C.y= 4 ( x+2)
1 B.y= 4
2+4 ( x-2)
1
2+3 D.y=(2 x- 2 )
C.( -1, 2)
D.( 1, -4)
第十四讲第十五讲
【思路点拨】用公式法求二次函数对称轴及顶点坐标时, 应先将函数解析式化为一般形式(y=ax2+bx+c(a≠0)), 再确定 a, b, c的值.用配方法求解时, 要分清代数式的配方法与解方程时的配方法的不同.用配方法把二次函数化为 y=a(x-h)2+k 的形式, 解题时先提取 a, 将 x2 项系数化为 1, 即 y=ax2+bx+c=a(x2+
第十四讲第十五讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、二次函数的有关概念 1.二次函数的定义: 一般地, 形如 ( a、b、c为常数, a≠0) 的函数, 叫做二次函数.
第十四讲第十五讲
➡特别提醒: 二次函数 y=ax2+bx+c中, a 是不为 0 的实数, b 和 c可以是任意实数, 自变量 x 的取值范围是全体实数. 2.二次函数的两种形式: ( 1) 一般形式: .
2+h( ( 2) 顶点式: y=a(x-d) a≠0) , 其中二次函数的顶点坐标是

中考数学复习课件：二次函数的综合应用(共21张PPT)

∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
�� ∴△DEM∽△BOC，∴ = ， �� 4 ∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE= DM 5 3 12 3 12 ∴DE=﹣ a2+ a=﹣（（a﹣2）2+ ， 5 5 5 5 12 当 a=2 时，DE 取最大值，最大值是， 5
∵点 B（4，1），直线 l 为 y=﹣1， ∴点 B′的坐标为（4，﹣3）．设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0），将 A（1，）、B′（4，﹣3）代入 y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线 AB′的解析式为 y=﹣
x+
，
当 y=﹣1：x=
，
∴点 P 的坐标为（
【例3】如图，在平面直角坐标系 ∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；
解题过程（1）∵B（1，0）， ∴OB=1， ∵OC=2OB=2， ∴C（﹣2，0）， Rt△ABC中，tan∠ABC=2
当x=-0.75时y=6.625即M2（-0.75,6.625）
例4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c
与x 轴的两个交点分别为A（3，0），D（－1， 0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB＝OD（1）求抛物线的解析式
解：（1）把A（3，0），D（﹣1，0）代入
y=﹣x2+bx+c得到，解得，
K
E D
解：S△ABP=
PE×BC =
△APE △BPE=

2024年广东中考数学专题复习课件：二次函数的综合问题

点C(0，2)．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC.
(2)如图，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标．
解：过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作PE∥x轴，交y轴于点E，
∴x21＝－32(舍去)，x22＝16. ∴x＝4(舍去)或x＝－4. ∴B(－4，－3)；
4．(2023成都改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点
P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)． (2)若抛物线上存在一点B，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标．
点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值；
如图，作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)，连接D′M，D′H，则DH＝D′H， ∵D′M＝（1－0）2＋（4＋2）2＝ 37， ∴MH＋DH＝MH＋D′H≥D′M，即MH＋DH的最小值为D′M.
∴－ c＝13－，b＋c＝0，解得bc＝＝32.， ∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
2．(2023枣庄)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两
点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值；
将 y＝0 代入，得－12x2＋32x＋2＝0，解得 x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0)．
∴OB＝4，OC＝2. 在 Rt△COB 中，tan∠ABC＝OOCB＝24＝12.
故答案为：32
2
(－1，0)
1 2.
5．(2023湖北改编)已知抛物线y＝－ 1 x2＋bx＋c与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于 2

与《二次函数》有关的中考综合题 ppt课件

周长的最小值； 3 +
（3）如图（2），若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、
D 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，
交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，△ADF 的面积为 S．
①求 S 与 m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐
（3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使△ABC 是以 AC
为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的代数
式表示）；如果不存在，请说明理由．
当 a=11 时，∵y1≤y2≤y3
∴﹣ n 2+11n ≤﹣（ n +1）2+11（n +1）≤﹣（n +2） 2+11（n +2）
化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，
边 BC 上，若∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF
于点 F．
（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三
角形全等来证明 AE=E F，请叙述你的一个构造方案，并指取 AB 的中点 G，连接 EG，利用 ASA 能得到△AGE 与△ECF
出是哪两个三角形全等（不要求证明）；全等；
，
∴Rt △ABD≌Rt△CBE （HL ）． ∴∠ABD=∠CBE ，即 BN 为顶角的平分线．由等腰三角形性质可知，点 A、C 关于 BN 对称， ∴BN 为抛物线的对称轴，点 B 为抛物线的顶点，
∴n+1= ，
∴n= ﹣1．
∴a 为大于 2 的偶数，存在 n，使△ABC 是以 AC 为底边的
ppt课件
4
②过点 F 作 FH⊥x 轴于 H，

中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)

（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像，则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别：顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(线段周长问题)含答案

(3)M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分的边MN时，求点N的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；
②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点、．
(1)求、的值；
(2) 是二次函数图像在第一象限部分上一点，且，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3) 为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．
11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．

中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件

10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标线段长，线段长点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式点坐标线段长面积
及其它。
（压轴题07）点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。则DM=2a，CM=2b。所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N

深圳中考数学专题9 二次函数综合题(中考22题)

为半径作圆，交 x 轴正半轴于点 E.在 y 轴正半轴上有一动点 P，
直线 PF 与⊙A 相切于点 F，连接 EF 交 y 轴于点 N，当 PF∥BM
时，求 PN 的长．
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
解：如解图 2 中，连接 BM，延长 FA 交 y 轴于点 J.
∵A(－2，0)，M(0，－53)，
当 y＝103 3时，103 3＝ 93x2－29 3x－89 3，解得 x＝1± 39，
∴P(1＋ 39，103 3)或(1－ 39，103 3)．
∴PN＝PF＝5 961＋2 334.
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
4.(2020·罗湖区一模)如图，已知抛物线 y＝a(x＋2)(x－4)(a 为常
数，且 a＞0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
经过点 B 的直线 y＝－ 33x＋43 3与抛物线的另一个交点为 D，且点 D 的横坐标为－5.
连接 CD，BC．
∵C(0，－893)，D(－5，3 3)，B(4，0)
∴CJ＝433－(－893)＝209 3
∴S△BDC＝C2J×(xB－xD)＝12×209 3×[4－(－5)]＝10 3，
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
∴S△PAB＝10 3，
∴12×6×|yP|＝10 3，解得 yP＝±103 3.
(1)求该抛物线的解析式；
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
解：将点 A，B 的坐标代入抛物线的解析式，得－ c＝4－＝19，－3b＋c，解得bc＝＝－4，1，故抛物线的解析式为 y＝x2＋4x－1；

《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)

m2 m
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开口向上
a<0
顶点坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )

中考数学复习---二次函数考点归纳与典型例题讲解PPT课件

【解析】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b （ k 0 ），根据题意，得：
12k 14k
b b
90 80
，解得
k b
5 150
，∴
y
与
x
之间的函数关系式为
y
5x
150（10≤x≤15，
且 x 为整数）；
（2）根据题意，得：w (x 10)(5x 150) 5x2 200x 1500 5(x 20)2 500 ，
舍去）；
Байду номын сангаас
函数的应用
（2）∵ a 3 ，∴ C(0, 3) ，∵ SABP SABC .∴ P 点的纵坐标为±3，
把 y 3 代入 y x2 2x 3 得 x2 2x 3 3 ，解得 x 0 或 x 2 ，
把 y 3 代入 y x2 2x 3 得 x2 2x 3 3 ，解得 x 1 7 或 x 1 7 ， ∴ P 点的坐标为 (2,3) 或 (1 7, 3) 或 (1 7, 3) ．
得 810 40x=0 ，解得 x 20.25 ．∴排队人数最多时是 490 人，全部考生都完成体温检测
需要 20.25 分钟．
（3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，根据题意，得12 20(m 2) 810 ，解得 m 1 3 ． 8
∵ m 是整数，∴ m 1 3 的最小整数是 2．∴一开始就应该至少增加 2 个检测点． 8
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
本课结束
2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图像问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图像问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图像；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

2020年中考数学考前专题复习——二次函数压轴专题课件(共22张PPT)

类型三特殊三角形存在性问题
1. 如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
3、求解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为
_y_=__a_x_2_+_b_x_+__c_(a__≠_0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常
设抛物线解析式为__y__=_a_(_x_-_h_)_2+__k_(_a≠0)
变式一：
2. 如图，抛物线y＝x²＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点 (点A在点B的左侧)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标； (3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．
A： y (x 4)2 6 C: y (x 2)2 2
B: y (x 4)2 2 D： y (x 1)2 3
5.二次函数与一元二次方程和不等式的关系
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根；
x1,2 b
b2 4ac .
2a
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根:

中考数学二轮复习第9讲二次函数综合对策课件初中九年级全册数学课件

n－4 ∴DE＝ 2 －m，CP＝ 2m＋5－1－m， ∵四边形 PCDE 为矩形，∴DE＝CP，
n－4 即 2 －m＝ 2m＋5－1－m，整理可得 n2－4n－8m－16＝0，
即 m、n 之间的关系式为 n2－4n－8m－16＝0.
2021/12/9
第十八页，共三十一页。
【训练1】如图所示，二次函数y=-2x2+4x+m的图象(tú xiànɡ)与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.
2021/12/9
综上所述，D点坐标为(0，6),(2，6),
(1+ ，-6)或(1- ，-6)．
2021/12/9
第二十一页，共三十一页。
随堂检测( jiǎn cè)
1. （2016滨州）如图，已知抛物线y= x2- x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边
y＝x2＋2x，
x1＝2， x2＝－2，
(2)联立抛物线和直线解析式可得
解得
y＝2x＋4.
y1＝8， y2＝0.
∴B 点坐标为(－2,0)．如图，过点 A 作 AQ⊥x 轴，交 x 轴于点 Q，
则 AQ＝8，OQ＝OB＝2，即 O 为 BQ 的中点．当 C 为 AB 中点时，
则 OC 为△ABQ 的中位线，即 C 点在 y 轴上， ∴OC＝12AQ＝4，∴C 点坐标为(0,4)．
2021/12/9
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解：(1)∵A(a,8)是抛物线和直线的交点(jiāodiǎn)， ∴A点在直线上，∴8＝2a＋4，解得a＝2， ∴A点坐标为(2,8)．又∵A点在抛物线上， ∴8＝22＋2b，解得b＝2， ∴抛物线解析式为y＝x2＋2x.

中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则：开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小．对称轴 2bx a=-（或x h =）．顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ．单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确；当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =；当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值为．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =．当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上．根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <．又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->，又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值．分析：先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-；（2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值．分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==；若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此，可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结：由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围．分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--，可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3：表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一二次函数图象与其解析式系数的关系巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=，其中正确的结论的序号是． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <．因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++．因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二二次函数的最值巩固练习【练习5】已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COD:S△COB＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣3），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？2若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC 于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当⊥ECD＝⊥EDC时，求出此时m的值；(3)点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．4．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P （2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且使⊥MAP＝45°，求点M的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．5．如图，抛物线23=++经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于y ax bx点C，且OC=3OB．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当⊥P AB的面积最大时，直接写出点P的坐标．6．如图，抛物线23=++交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．y ax bx(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点，满足∠BCR=45°，求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A，B两点与x轴相交于点C点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，连接PB，当⊥PBC＋⊥OBA＝45°时，求点P的坐标；(3)点M为抛物线上任意一点，当S△ABM:S△ABC=1:3时，请直接写出点M的坐标．8．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(−1,0)，C(0,−3)两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．9．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．⊥若点F在第一象限内，当⊥BCF=⊥BCA时，求点F的坐标；⊥若⊥ACO+⊥FCB=45°，则点F的横坐标为______．x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 10．如图，抛物线y=−12轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式；(2)若D是第一象限内抛物线上一动点，且⊥BCD的面积等于⊥AOC的面积，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD，试判断在抛物线上是否存在点M，使⊥MDA＝⊥ACO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA=OC=3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；(3)在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO=45°，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,−5)．(1)求a，b的值；(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=ax2+bx+c的另一公共点是点P．①抛物线上是否存在点P，满足AM:MP=2:1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A(−1,0)且OC=3OA．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点P (m,n )是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，∠BAC 的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．14．如图，已知A(−2,0),B(3,0)，抛物线y =ax 2+bx +4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCN =90°？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分OMD∠时，求点M的坐标．(3)直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P 的坐标．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0),B(2,0),C(0,2)三点，点D在该抛物线的对称轴l上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA=DC，求∠ADC的度数及点D的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当PBC DAB∠=∠时，请直接给出点P的坐标．17．如图，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D (2,3)，tan ∠DBA =12．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)若抛物线上存在一个点P ，使得∠PDB =∠ABD ，请求出P 点的坐标．(3)已知点M 的坐标(−2,0)，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标，若不存在，请说明理由．18．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ⊥求该抛物线的解析式；⊥若D 是抛物线上异于点P 一点，满足⊥DPO ＝⊥POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE+OF OC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19．如图（1），抛物线y=ax2+(a−5)x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝13．(1)求抛物线的解析式；(2)如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若⊥AQP=⊥ACB，求点P的坐标；(3)如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足⊥ADB=3⊥ACB，求点D的坐标20．如图，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A 在原点左侧，2CO=9AO，连接BC．(1)求点A坐标：(2)求该抛物线的解析式：(3)点D在该抛物线上，⊥DCB=⊥ABC，求出点D的坐标．参考答案：1．(1)y =−x 2+2x +3；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)y =−14x 2+32x +4(2)D (−8,8),24(3)P (6,4)或(343,−1009)3．(1)抛物线的解析式是y =x 2-3x -4；(2)m =4−√2；(3)存在，m =1.5时，△BEF 的周长最小．4．(1)y =−x 2+4；(2)点M 的坐标为(13,359)或(135,−6925)； (3)（3）抛物线顶点横坐标t 的取值范围为-3≤t ＜0或5−√212<t ≤5+√212 ．5．(1)y =−x 2+2x +3(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P （12，154）6．(1)y =−x 2+2x +3，对称轴为直线x =1(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或(2,3+√172)或(2,3−√172)7．(1)y =−12x 2+x +4(2)(6,−8)和(3,52)(3)M 1(2,4)，M 2(−4,−8)8．(1)y =(x −1)2−4(2)P (4,5)(3)M (0,−3)或M (−2,5)或M (4,5)9．(1)y =−x 2+2x +3(2)①(53,329)；②73或510．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，y =2x +4(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)11．(1)y =x 2+2x −3(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）12．(1)-1；6(2)①存在，5+√172或5+√332或5−√332；②(136,−176)；(236,−76)13．(1)y =x 2−2x −3(2)−74(3)10+√101014．(1)y =−23x 2+23x +4(2)PN =−25m 2+65m ，当m =32时，有最大值910(3)存在，m =7415．(1)1(1,1)M 或2(1,1)M -(2)y =x 2−2x −3(3)1(3,4)P --或2(1,6)P --或3(2,1)P 或4(4,1)P -．16．(1)y =−x 2+x +2(2)∠ADC =90°，点D 的坐标为(12,12) (3)点P 的坐标为(1,2)或(−12,54)17．(1)213222y x x =+- (2)P (−5,3)或(−73，−259)(3)点Q 的坐标为(−2,4)或(−2,−1)．18．(1)①y =−14x 2+94；②(-1，2)或(133，−229) (2)OE+OF OC 是定值，定值为2．19．(1)y =x 2−4x +3(2)P (5，8)(3)D (2011，1311)20．(1)（-23，0）(2)y =−12x 2+256x +3 (3)（253，3）或（596，−358）。

【优质】初三九年数学：《专题二十)二次函数的综合应用》ppt课件

解：(1)设该店每天卖出 A，B 两种菜品分别为 x，y 份，根据题意得， 2（0x2＋0－1184y＝）1x1＋20（，18－14）y＝280，解得xy＝＝4200，，该店每天卖出这两种菜品共 60 份 (2)设 A 种菜品售价降 0.5a 元，则每天卖 (20＋a)份，总利润为 w 元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以 B 种菜品每天卖(40－a)份，售价提高 0.5a 元．w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40 －a)＝－a2＋12a＋280＝－(a－6)2＋316.当 a＝6 时，w 最大，w＝316.这两种菜品一天的总利润最多是 316 元
类型一、二次函数在生活中的应用 1. (德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式； (2)求出水柱的最大高度是多少？
条件的 P 点，其坐标为(3＋2 17，－2)
(3)如图②，∵点 P 在抛物线上，∴可设 P(t，t2－3t－4)，过 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，∵B(4，0)，C(0，－4)，∴直线 BC 表达式为 y ＝x－4，∴F(t，t－4)，∴PF＝(t－4)－(t2－3t－4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋
①当∠CBD＝90°时，则有 BC2＋BD2＝CD2，即 9＋9a2＋1＋a2＝4＋16a2，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1，此时抛物线表达式为 y＝x2－4x＋3；②当∠CDB＝ 90°时，则有 CD2＋BD2＝BC2，即 4＋16a2＋1＋a2＝9＋9a2，解得 a＝－ 22(舍去)或 a＝ 22，此时抛物线表达式为 y＝ 22x2－2 2x＋32 2.综上可知当△BCD 是直角三角形时，抛物线的表达式为 y＝x2－4x＋3 或 y＝ 22x2－2 2x＋32 2