用空间向量求角

用空间向量处理 立体几何的问题
利用向量解决 空间角问题
一、知识再现
1、空间直角坐标系
若 aa1ia2ja3k
z
则 a(a1,a2,a3)
a
k
ij
A(x,y,z) y
OA(x,y,z)
设 A (x1,y1,z1),B (x2,y2,z2).
A B (x2 x 1 ,y2 y 1 ,z2 z1 )
Dy
C
2、利用法向量求斜线与平面所成的角；
若斜线AB与平面 所成的角为 ，点A在平面
内的射影为O点。n 是平面 的一个法向量，由图知，
， 均为锐角， 为钝角，且
，
。则
2
sin cos
AB • n
( AB 与 n指向相同时 )
AB
•n
cos
AB AB
•n •n
( AB 与 n指向相反时 )
AB • n
AB • n
例2.正方体 ABC A 1B 1C D 1D 1中，E是C1C 的中点，求
BE与平面 B1BD所成的角。
解：建立空间直角坐标系，设正方体的棱长1，则：
B (1 ,1 ,0 ) B 1 (1 ,1 ,1 )
z
E(0,1, 1 )
2
DB(1,1,0)
D1B(1,1,1)
BE(1,0,1)
求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 . F 1 C 1
B1
A1
D1
C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设 则C C：1 1 A(1,0,0),B(0,1,0),
F
C
1
1
z
B1
F1(12,0,a),D1(12,12,1)
所以：
AF1
(1, 2
o
x
2.向量的直角坐标运算
z
设 a (a1, a 2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
k ioj a
a b (a1 b1, a 2 b2 , a 3 b3 ) y a b (a1 b1, a 2 b2 , a 3 b3 )
x
a ( a1, a2, a3)( R )Hale Waihona Puke Baidu
4.平面的法向量
如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则 称这个向量垂直于平面 ,记作 a ⊥ 如果 a ⊥ ，那么向量 a 叫做平面 的法向量.
a
二、用向量处理角的问题
1.线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
C D ,A B 与 的 关 系 ？
D C ,A B 与 的 关 系 ？
| a |
a•a
a12
a
2 2
a
3 3
,
| b | b • b b11 b22 b33 ,
B cosa,b a •b
Y
|a|•|b|
设 : A (x1, y2 , z3 ); B (x2 , y2 , z3 )
则 :| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
a • b a1b1 a 2b2 a 3b3
a || b a1 b1, a 2 b2 , a 3 b3
a b a1b1 a 2b2 a 3b3 0
3.夹角和距离公式
设 : a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 ), 则
Z A
k ij
O
X
0,1),
A1
D1
C
By
A
BD1
(1, 2
1,1) 2
cosAF 1,BD 1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x
1 1 4
53
30 10
42
30
所以 B D与1 所A F成1 角的余弦值为
10
练习： 在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
设平面 EDB法向量为
y
n(x, y,z)，则：
n n• •D D E B 0 0 x y 2 zy 0 0x x y 2 zy
令 y1,则 n(2,1,1)， 由图可知，平面CBD的法向量为
DD(0,0,1)，设二面角 1
EB D C的平面角为
，
cos cos n, D D
A1BD所成的角的余弦值。
(
3)
3
3、利用法向量求二面角的平面角；
设l的二面角为 ，
n 与 m 是指向二面角外侧与内侧
的这两个平面的法向量，由图可知：
n,m
结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两 个平面的法向量所成的角。即：
m （ n 与 的指向不同）
cos cosn,m n•m
n•m
y
2
x
设平面 B1BD 的法向量为 n(x, y,z)
nD,B nD1B
n n••D D1B B 00 xx yy z00 zx 0 y
令 x1,则 n(1,1,0)，设 AB与平面 所成的角为
，则：
n•BE
sin
10
nBE 5
arcsi1n0
5
练习：在正方体 ABC A 1B 1C D 1D 1中，求 BC 1 与平面
例3．在长方体ABC A 1B 1C D 1D 1 中，A B 2 ,B C B1 B 1 ,
E为
DC 1
1
的中点，求二面角
EB D C的正切值。
解：建立空间直角坐标系 Dxyz，则： z
B (1 ,2 ,0 )
E (0 ,1 ,1 )
C(0,2,0)
D (B 1 ,2 ,0 ) D (E 0 ,1 ,1 )
结论： cos | cosCD ,AB|
1、线线角
例1： R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 ,现 将 A B C 沿 着
平 面 A B C 的 法 向 量 平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知
BCCACC1， 取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ，
DD•n
1
1
6
1
DDn 6 6
1
2
sin
1
6 6
5 6
tan 5
练习：在直三棱柱 ABC ABC中，
11 1
A B C A C 1 2 A , A C 9 ,E 0 为B BB 1的中点，D
点在 AB上且 DE
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM . z
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .A 1 N
D1
B1 M
C1
A(0,0,0), A1(0,0, 4),D(0,8,0), M(5, 2, 4)
A
AM(5,2,4), A1D(0,8,4), x B
AMA1D＝0A1DAM.