用空间向量求角

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空间向量法求角

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实例三：利用向量积求两向量的夹角
总结词
利用向量积计算两向量的夹角
详细描述
已知两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的夹角可以通过计算向量积$vec{a} times vec{b}$得到。根据向量积的性质，当两向量夹角为锐角时，向量积为正；当夹
角为钝角时，向量积为负；当夹角为直角时，向量积为0。
05
实例分析
实例一：求两向量的夹角
总结词
利用点积公式求两向量的夹角
详细描述
已知两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，可以通过计算它们的点积$vec{a} cdot vec{b}$，再根据点积的性质求出两向量的夹角。点积为0时，两向量垂直；点积大于0时，两向量夹角为锐角；点积小于0时，两向量夹角为钝角。
向量的数量积几何意义
表示两个向量在夹角平面上投影的面积之和。
02
向量的向量积
向量积的定义与性质
总结词
向量积是两个向量通过点乘和叉乘运算得到的，具有方向性。
详细描述
向量积定义为$vec{A} times vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times sintheta$，其中$theta$为两向量的夹角。向量积的方向垂直于两向量所在的平面，其大小等于两向量在垂直于两向量所在平面的方向上的投影的乘积。

空间向量求角

AB l, AB ,CD l,CD
cos cos AB,CD AB CD
AB CD
B
CA
l
D
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与
平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n
a
n1 n2
l
四、教学过程的设计与实施
问题1：
二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
要点梳理
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.
设二面角α-l-β的大小为θ，其中
2
a,
u
a,u
u a 2
au
sin
l
au
a
2
u
• 2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
• (1)证明：PE⊥BC； • (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平
面PEH所成角的正弦值．

用空间向量求角

BCCACC1，取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的中点 D 1 、 F 1 ，
求 B D 1 与 A F 1 所成的角的余弦值 .C 1
F1
B1
A1
D1
C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设则C C：1 1 A(1,0,0),B(0,1,0),
C
F1
1
z
B1
1
11
F1(2,0,a),D1(2,2,1)
所以：
AF1

(
1, 2
0,1),
A1
D1
C
By
A
BD1

(1, 2
1,1) 2
cosAF 1,BD 1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x

1 1 4 53
30 10
42
30
所以 B D与1 所A F成1 角的余弦值为
nm
例3．在长方体ABC A 1B 1C D 1D 1 中，A B 2 ,B C B1 B 1 ,
E为
DC 1
1
的中点，求二面角
EB D C的正切值。
解：建立空间直角坐标系 Dxyz，则： z
B (1 ,2 ,0 ) C(0,2,0)

利用空间向量求空间中的角

BC 且 AD CD ；平
面 CSD 平面 ABCD ， CS DS , CS 2 AD 2 ； E 为 BS 的中点，
CE 2, AS 3 ．求：
（Ⅰ）点 A 到平面 BCS 的距离；（Ⅱ）二面角 E CD A 的大小．
2. （2008 安徽）如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC
| PA | sin

O
A
| n PA | | PA | | n || PA | | n PA | |n|
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d PA n n
sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：

O
[0, ]

n2

n2
B

A
n1
|
n1

cos
| cos n , n
1
2
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
变式：如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC

向量法求空间的距离和角

P
解： (1)直线l / / 平面PAC.证明如下：连接EF 因为E、F 分别是PA、PC的中点，所以EF / / AC. 又EF 颂平面ABC , 且AC 平面ABC ,
E F
所以EF / / 平面ABC , 而EF Ì 平面BEF , 且平面BEF 平面ABC = l，所以EF / / l。因为l 颂平面PAC , EF 所以l / / 平面PAC. 平面PAC ,
证明：取BD中点O,以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 o - xyz。
A
z
M P Q C D 图2
3 3 2 (1) PQ = ( x, y + , 0)、 n = (0, 0,1)是平面BCD的一个法向量, 4 4 4 故PQn = 0, 又PQ ? 平面BCD, 所以PQ / / 平面BCD.
利用空间向量求线线角、线面角的规律方法及公式为： p (1)异面直线所成角（ q 0 <q ? ） 2 设a、 b分别是异面直线a、b的方向向量，则 | a b| 。 conq =| con < a、 b >= | |a|× |b| p （2）线面所成角（ q 0＃ q ） 2 设a是直线l的方向向量， n是平面的法向量，则 | an | 。 sin q =| con < a、 n >= | |a|× |n|

空间向量的应用-求空间角与距离

α所成角θ与〈n，
→
OP
〉的关系，它们互为余角，注意最后
应完成转化．
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、 AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为 2 ，则由 E 、 F 是 AA1 、 AB 之中点，有 E(2,0,1)，F(2,1,1)．
∴R→D＝(0，53a，－23a)．
设平面RQD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·R→D＝0，n1·R→Q＝0，∴n1＝(0,2,5)． ∵平面BED的法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝5
29 29 .
∴sin〈n1，n2〉＝2
29 29 .
∴平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为2 2929.
[答案] 30°
(2019·惠州二模)如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD 为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E、F分别是线段PA、 CD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求异面直线EF与BD所成角的余弦值．
(1)[证明] 由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面 ABCD＝AD，
(2010·广东，18)如图， AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FB＝FD＝ 5a，FE＝ 6a.

利用空间向量求角

1、异面直线所成的角

范围：

例：求两异面直线直线AB 与直线CD 所成的角

步骤：①设异面直线AB 与CD 所成的角为θ ②求出CD AB , ③><=CD AB ,cos cos θ

④答：

注：两异面直线所成的角与两直线方向向量的夹角是相等或互补关系

2、直线与平面所成的角

范围：

例：求直线AB 与面BCD 所成的角

步骤：①设直线与面BCD 所成的角为α

②求出直线AB 的方向向量AB

③求出平面BCD 的法向量n ④><=n AB ,cos sin α

⑤答：

注：直线与平面所成的角是直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角或补角的余角另法向量的求法:（法向量是平面的垂线的方向向量）

设面BCD 的法向量为),,(z y x n = ∴BD n BC n ⊥⊥,∴0=⋅BC n ,0=⋅BD n

∴⎩⎨⎧

∴令x= ，则y= ,z=

∴面BCD 的法向量=n

3、二面角

范围：

例：求二面角A-BC-D 的大小

步骤：①求出面ABC 的法向量1n 和面BCD 的法向量2n ②求出><21,cos n n

③∵二面角A-BC-D 是（锐角/钝角/直角）

④∴二面角A-BC-D 的余弦值是（锐角为正，钝角为负，直角为0）注：二面角与两法向量夹角的关系是相等或互补

1、已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：

（Ⅰ）A1D与EF所成角的大小；

（II）A1F与平面B1EB所成角的余弦值；

（III）二面角C-D1B1-B的余弦值．

2、已知PD垂直于正方形ABCD所在平面，且PD=AD，M为AD中点，N为线段PB上一点（1）当N在何处时，MN⊥平面PBC？(2)在（1）的条件下，求MN与DC所成的角？

向量求夹角的公式

空间向量的夹角公式：cosθ=a*b/(|a|*|b|)

1、a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)。a*b=x1x2+y1y2+z1z2

2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)

3、cosθ=a*b/(|a|*|b|)，角θ=arccosθ。

长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

扩展资料：

基本定理

1、共线向量定理：两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y使c=ax+by

3、空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

空间向量法求角

1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:

（1）异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则

（2）线面角

设

是直线l 的方向向量，n

是平面的法向量，则

2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为：设分别为平面

的法向量，则与

互补或相

等，

例题：

1、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点

（1）证明AD ⊥D 1F ；

（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明面AED ⊥面A 1D 1F

2、如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111

B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。

3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）

A ．

B ．2

1 C ．

30 D ．1015

4、在长方体1111A B C D A B C D

-中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦

值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。

5、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点．

空间向量求角

解得 m＝ 22，所以D→H＝ 22， 22，1.
(1)因为 cos〈D→H，C→ C′〉＝ 22×0＋1×22×20＋1×1＝ 22，所以〈D→H，C→ C′〉＝45°，即 DP 与 CC′所成的角为 45°. (2)设 DP 与平面 AA′D′D 夹角为 θ，平面 AA′D′D 的一个法向量D→C＝(0,1,0)．
答案：C
2．如图，正方体 ABCD －A1B1C1D1 的棱长为 1，O 是
A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( )
A.1
B. 2
C. 2
2
4
2
D. 3 2
解析：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建空间直角坐
标系，则
C1(0,1,1)，O
解析：如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 D －xyz.
则D→A＝(1,0,0)，CC→′＝(0,0,1)．连接 BD，B′D′. 在平面 BB′D′D 中，延长 DP 交 B′D′于 H. 设D→H＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈D→H，D→A〉＝60°，由D→A·D→H＝|D→A||D→H|cos〈D→A，D→H〉，可得 2m＝ 2m2＋1.
点评：1.用向量证明线面平行的方法有： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． 2．用向量法证垂直问题： (1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为 0； (2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；

空间向量求线面角公式

空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述点、直线、平面等几何对象。线面角是两条直线或直线与平面之间的夹角，它是空间几何中的重要概念。本文将介绍如何利用空间向量来求解线面角的公式。

在三维空间中，我们可以用向量来表示直线或平面。设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n。对于直线L上的一点P和平面P 上的一点Q，连接向量PQ即可得到一条从直线L到平面P的向量。设这个向量为d。

根据向量的定义，我们知道向量d与直线L垂直。而向量d与平面P的夹角则可以通过向量点乘来求解。向量的点乘公式为：a·b = |a| |b| cosθ，其中a和b分别为向量a和向量b的模，θ为a 和b之间的夹角。

将向量d与直线L的方向向量a进行点乘，得到：

d·a = |d| |a| cosα

其中α为向量d与直线L的夹角。

由于向量d与平面P垂直，所以d·n = 0。将这个条件带入上式，得到：

0 = |d| |a| cosα

解得：

cosα = 0

α = π/2

这说明线面角的大小为90度，即直线和平面垂直。

当直线与平面不垂直时，我们需要使用法线向量来求解线面角的大小。设直线L上的一点P和平面P上的一点Q，连接向量PQ即可得到一条从直线L到平面P的向量。设这个向量为d。

由于向量d在平面P上，所以它可以表示为平面P的法向量n与某个向量b的线性组合。即：

d = λn + b

其中λ为标量。将这个表达式代入向量点乘公式，得到：

(λn + b)·a = |λn + b| |a| cosα

化简得：

λn·a + b·a = |λn + b| |a| cosα

利用空间向量求角求距离

利用空间向量求角、求距离

专题一：求角一、

求异面直线所成的角

分别在直线n m ,上取两个定向量,,b a

则异面直线n m ,所成的角β等于向量b

a ,所成的角或其补角θ，则||

c o s c o s ||||

ab a b βθ⋅==⋅

特殊情形：0

a ba

b ⊥⇔=

, 即异面直线a 垂直于b 。【例1】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1的夹角

【例2】已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1，BB 1的中点，求CM 和D 1N 所成角的余弦值。

【例3】已知长方体1111,A B C DA B C D -12,1,A B A A ==直线B D 与平面 11A A B B 所成的角为，A E 垂直B D 于E ，F 为11A B 的中点. （Ⅰ）求异面直线A E 与B F 所成的角；

（II ）求平面BDF 与平面1A A B 所成的二面角；（III ）求点A 到平面BDF 的距离.

分析：在长方体1111

A B C DA B C D -中，以A 为原点以A B 所在的直线为x 轴，以A D 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴建立空间直角

F A

D 1

A 1

C 1B 1

D B

坐标系。

由已知12,1,A B A A ==可得()(0,0,0),2,0,0A B (1,0,1)F 。又AD ⊥平面11A A B B ，从而B D 与平面11A A B B 所成的角为30D B A ∠=︒

向量法求空间角(含解析)

高中数学︵向量法

求空间角︶

培优篇

考点1：异面直线所成的角

若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v

u||v

．

考点2：直线与平面所成的角

如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向

高中数学︵向量法求空间角︶

培优篇

量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝ u ·n |u ||n |＝|u·n|

|u||n|．

考点3：平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|

|n 1||n 2|

．

【常用结论总结】

1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,

．

【例1】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示，AB =4，

=3，

AC =5，D 为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为（）

高中数学︵向量

用向量求空间角

1 4
D1C1,
求直线
E1F
与平
面 D1AC 所成角的大小．
D1
E1
A1
1
变式1：“点F是BC的中点”改为“CF=
所成角的大小．
4
CB”，求E1F
与平D面1 AC
变式2：当 E1 点在 D1C1 上移动到何处时，E1F 与平面 D1AC 所
成的角为 ຫໍສະໝຸດ Baidu00 ？
问题3:用向量求平面与平面所成的角
例3﹒如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.求面APB与面CPB 所成二面角的大小.
求异面直线AB与CD所成的角的大小． z AA
D O BB
x
CC y
变式:把平面ABD⊥平面BCD,变为BC=CD=BD=AC=2, 求异面直线AB与CD所成的角的大小．
问题2:用向量求直线与平面所成的角
例2﹒在正方体ABCD A1B1C1D1 中,F是BC的中点,
点 E1在
D1C1 上,且
D1E1
用向量求空间角
异面直线所成的角
设a、b 分别为异面直线a、b的方向向量,
则两异面直线所成的角是 arccos| a b |
| a || b |
a

用向量方法求空间角和距离

向量方法是利用向量的性质和运算，来求解空间角和距离的方法。在

几何学中，向量可以用来表示位置、方向和大小，因此可以通过向量的定

义和运算来求解空间角和距离。

一、空间角的求解

空间角是指两个平面或者两个直线之间的夹角。我们可以通过向量的

点积来求解空间角。

对于两个平面，可以先求出它们的法向量，然后计算法向量的夹角即

可得到空间角。设两个平面的法向量分别为n1和n2，则它们的夹角θ

为：

θ = arccos((n1·n2) / (，n1，n2，))

其中，·表示向量的点积，n1，和，n2，分别表示向量n1和n2的模。

对于两个直线，可以先求出它们的方向向量，然后计算方向向量的夹

角即可得到空间角。设两个直线的方向向量分别为u和v，则它们的夹角

θ为：

θ = arccos((u·v) / (，u，v，))

其中，·表示向量的点积，u，和，v，分别表示向量u和v的模。

二、距离的求解

距离是指空间中两个点之间的长度。我们可以通过向量的运算来求解

空间中两点之间的距离。

设空间中两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离d为：

d=，AB，=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)

其中，AB，表示向量AB的模，即两点之间的距离。

通过向量方法求解空间角和距离的步骤如下：

1.对于求解空间角，先计算出两个平面或者两个直线的法向量或方向向量。

2.根据向量的点积定义，计算法向量或方向向量的点积。

3.根据向量的模定义，计算法向量或方向向量的模。

4.将点积和模代入空间角的计算公式，求解空间角。

空间向量求角

一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0, 2 D
思考：空间向量的夹角与
D1 异面直线的夹角有什么关系？ B 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
A
a
b
a， b
a， b
a
平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n

பைடு நூலகம் n1
n2

a

l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 ,n2
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
探究方法 2 四、教学过程的设计与实施
关键：观察二面角的范围
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；
一进一出，二面角等于法向量夹角
实践操作 3 四、教学过程的设计与实施
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
AB l , AB , CD l , CD

B C A
AB CD cos cos AB, CD AB CD