优等生·江苏版高考数学专题21：以向量为背景的填空题

优等生�江苏版高考数学专题21：以向量为背景的填空题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动， P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________．
2．已知点，直线与函数的图像相交于两点，当最小时，直线的方程为__________． 3．在
中，，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为________.
4．设向量,a b 满足1a b a b ==+=，则()a tb t R -∈的最小值为 ．
5．如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ．
6．如图，已知中，，，是的中点，若向量
，且的终点在的内部（不含边界），则的取值
范围是 ．
7．7．边长为2的正三角形ABC 内（包括三边）有点P ， 1PB PC ⋅=，求A P A B ⋅的取值范围_________．
8．已知点为等边三角形ABC 的中心, =2AB ,直线l 过点交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .
9．边长为2的正方形ABCD 中,,P Q 分别是线段,AC BD 上的点,则AP PQ ⋅的最大值是 ．
10．已知ABC ∆中， 2,1AB AC ==，当2(0)x y t t +=>时， 22x AB y AC +≥恒成立，则ABC ∆的面积为______，在上述条件下，对于ABC ∆内一点P ， ()
PA PB PC ⋅+的最小值是________.
11．已知正方形ABCD 的边长为1，直线MN 过正方形的中心O 交边,AD BC 于,M N 两点，若点P 满足2(1)O P O A O B λλ=+-（
R λ∈），则PM PN ⋅的最小值为 ． 12．已知平面向量,()αβαβ≠满足2α=，且α与βα-的夹角为120︒，t R ∈，则(1)t t αβ-+的最小值是________________．
13．如图,在中, ,,是边上的高,当时,的最大值与最小值之和为_________．
14．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值是
_______．
15．设O是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是_______________．
参考答案
1．5
【解析】试题分析：我们知道当点'P 在直线BF 上时，若'AP mAB nAF =+，则1m n +=，因此我们把直线BF 向上平移，则m n +在增大（只要点'P 在与BF 平行的同一条直线上，
m n +就不变，也即m n +的值随直线到点A 的距离的变化而变化）
，当Q 与D 重合，这时圆Q 上有一点到A 的距离最大为5，而点A 到直线BF 的距离为1，故m n +最大值为5. 考点：向量的线性表示，三点共线的性质.
2． 【解析】将代入得，则方程的两个根为 ∵直线与函数的图像相交于两点 ∴，即
∵， ∴
∴当时， 最小 ∴直线的方程为 故答案为
3．
【解析】
设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则，则：
4．0或1-．
【解析】 试题分析：∵1a b a b ==+=，∴221212a a b b a b +⋅+=⇒⋅=-
， ∴2222221321()24a tb a a tb t b t t t -=-⋅+=++=++，∴当
1
2t =-时，m i n 32
a t
b -=． 考点：1．平面向量的数量积；2．二次函数求最值． 5．
【解析】
试题分析：设，则,，，求得点，点，所以
，因为，所以，所以，所以
的取值范围是，所以答案应填：． 考点：1、向量的数量积；2、两角和差的正弦公式；3、正余弦的二倍角公式．
6．
【解析】
试题分析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
且
，
考点：向量数量积
7．⎣．
【解析】试题分析：如下图所示，建立平面直角坐标系，∴(A ， ()1,0B -， ()1,0C ， ()1,PB x y =---，
()1,PC x y =--，∴22221112PB PC x y x y ⋅=⇒-+=⇒+=，即点P 的轨迹为圆222x y +=夹在三角形ABC 内及其边界的一段圆弧，在ADO ∆中，有
23cos
62AD π
=⇒=， 又∵[]cos ,2cos ,,2AP AB AB AP AP AB AP AP AB AD AD ⋅=⋅⋅=⋅∈，即
A P A ⋅的取值范围是32⎡⎢⎣．
考点：平面向量数量积．
【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
8．229
- 【解析】试题分析：以M 点为原点，x 轴平行于BC ,y 轴垂直于BC ，建立直角坐标系，则
M （0，0），A （0， ,B （-1,C （1，设直线l 的方程为y="kx" （
（1）， 直线AB 的方程
（2），联立（1）（2），得P
， ，
直线AC 的方程：y-3
， （3），
联立（1）（3），得Q
3+），
则BQ =
， 3,即BQ =， +
CP =
-1， ,
BQ ·CP =（
+1）（-1）+（）（）=2401233
k ⋅+-，
因为 所以BQ ·
CP =2401233k ⋅+-≤24012303⋅+-=229
-，当且仅当k=0，即直线l 平行于x 轴时取等号. 故BQ ·
CP 的最大值是229-. 考点：1.向量的运算；2.直线方程.
9．12
【解析】
试题分析：设AP x =
，0x ≤≤，()AP PQ AP PA AD DQ AP PA AP AD AP DQ ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅
22cos
4x x π=-+⋅
⋅221(22x x =-=--+
，所以当2x =时，AP PQ ⋅取得最大值12
． 考点：向量的线性运算，向量的数量积． 10． 1 5
8-
【解析
】试题分析：因为222224xAB yAC x AB y AC xyAB AC x +=+
+⋅=，当c o s 0A
=时， ()422
xAB y AC x x y +=+满足题意，所以此时112
ABC S AB AC ∆=⨯⨯=；在直角三角形ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则2PB PC PD +=，即()2P A P B P C
P A P D ⋅+=⋅，当,,A P D 三点共线时， 0PA PD ⋅<，
又此时122AD BC ==，即有2522228PA PD PA PD PA PD ⎛⎫+ ⎪⋅=-≥-⨯=- ⎪⎝
⎭，即有最小值为5
8-，故应填51,8-. 考点：1、平面向量的数量积的应用；2、基本不等式的应用；
11．716
- 【解析】
试题分析：2(1)OP OA OB λλ=+-变形为22122
4BA OB
OP OP λλλ-++=∴= ()()2222124PM PN PO OM PO OM PO
OM OM λλ-+⋅=+-=-=-当1,2OM λ=取最大值时PM PN ⋅取得最小值716-
考点：向量的数量积运算
12【解析】
试题分析：由题意可知，()cos120=-αβααβαβα⋅-=-- ，
所以
()()()2222142t t t ta t αβαβα
βαβα-+=+-=+⋅-+-=2242t t βαβα--+-
=()2
13t βα--+ ，所以当1t βα-=时，()1t a t β-+的最小值为考点：本题考查平面向量的数量积的运算以及向量模的运算
点评：解决本题的关键是把向量βα-看成整体进行运算，求模先求出其平方的最小值，转化为二次函数解决问题，还可以根据向量加法的三角形法则解决问题
13．
【解析】由条件得，则
，因为，故的最大值
为，最小值为，故最大值与最小值和为． 14．
【解析】因为，两边平方得：，整理为，如图：
表示的几何意义是点与直线上的点的两点间距离，最小值是点到直线的距离
，所以最小值是．
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答案第7页，总7页 15．
【解析】根据已知条件知O 是△ABC 外接圆的圆心，可画出△ABC 及其外接圆，连接AO 并延长，交外接圆于D ．所以便得到
所以
而根据可求得b 的范围0＜b ＜2，所以求出二次函数在（0，2）上的范围即可．。