瞬时速度与导数
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学习目标
1、 知识与技能：
通过实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导 数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、 过程与方法：
① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的 探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、 情感、态度与价值观：
4.对任一时刻 t0 ，求 [t0,t0 t] 时间内的平均速度， 在 t0 时刻的瞬时速度。
引例2：一正方形铁板在0°C时，边长为2cm,加热后铁板
会膨胀。当温度为t°C时，边长变为2（1+t）cm。
1.铁板面积S与温度t的关系式为
；
2.铁板面积S在温度[t0,t0 t] °C时的平均膨胀率。
瞬时速度与导数
诸城实验中学 陈海莲
【情境引入】
情境1.小明和小强同时从学校出发沿着相同路线到博物馆 去参观，小明匀速跑步到达博物馆。小强匀加速跑步到达
博物馆,两人同时到达。问：两人的平均速度关系是 . （用大于，小于，相等回答）
情境 2. 2011上海游泳世锦赛中，中国选手陈若琳在女子十米跳台
比赛中技压群芳夺得冠军。设在10米跳台上，陈若琳跳离跳台时垂
求铁板面积S在温度 t0 °C时的瞬时膨胀率。
思考？如果将这两个变化率问题中的函数用 f (x)
来表示，那么函数f (x)在 x0 处的瞬时变化率如何表示呢？
函数 f (x) 在点 x0 处的瞬时变化率：
设函数y f (x)在x0及其附近有定义， 当且仅当在x x0附近改变量为x时，
【 概 念
试回答 f ' (x)与f ' (x0 )的关系
f ' (x)在点x x0处的函数值为f ' (x0 ). f ' (x)是函数，而f ' (x0 )是个数值，不是变量。
小结：
知识方面：
瞬时变化率的概念 导数的概念
思想方法：
“逼近”、 “类比”、 “已知探求未知”、 “从特殊到一般”思想
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从 而激发学生学习数学的兴趣.
学习重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导 数。
学习难点：从物理（实例）中，归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程， 及函数在开区间内的导函数的理解。
引例1：物体作自由落体运动,运动方程为： 单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.
当△t = – 0.001时, v 19.995当△t =0.001时,v 20.005
合 作Biblioteka Baidu探
当△t = –0.0001时,v 19.9995当△t =0.0001时,v 20.0005 究
△t = – 0.00001, v 19.99995 △t = 0.00001, v 20.00005 】
S(t) 1 gt 2 2
,其中位移
1：物体在[2,2 + △t ]这段时间里的平均速度。 2：填充表格
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ] 时间内
当△t = – 0.1时, v 19.5 当△t = 0.1时, v 20.5 【
当△t = – 0.01时, v 19.95 当△t = 0.01时,v 20.05
【导数概念初体验】
练习1.一直线运动的物体，从时间t到 t t 时，物体的位移为 s ，那么
B lim s
t0 t
为（
）
Ａ．从时间t到 t t时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为 t时物体的速度;
D．当时间为 t t 时物体的速度;
2.质点运动规律为 s(t) t 2 3，求质点在 t 3 时的瞬时速度。
lim lim 解：s'(3)
f (3 t) f (3)
(6 t) 6.
t 0
t
t 0
3. 已知函数 f (x) 1- x x2 ，求 f ' (1) 。
lim lim 解：f '(1)
f (1 x) f (1)
(1 x) 1.
x0
x
x0
归纳：利用导数定义求函数 f (x)在点x0处导数的步骤。
（1）求y f (x0 x) f (x0 )；
（2）求
y x
，并化简；（
3）求f
'
( x0
)
lim
x0
y x
.
导函数：
如果f (x)在开区间（a,b）内每一点x都是可导的 则称f (x)在开区间（a,b）内可导。这样，对开区 间（a,b）内每个值x，都对应一个确定的导数f ' (x). 于是，在区间（a,b）内，f '(x)构成一个新的函数， 把这个函数称为函数y f (x)的导函数.记为f ' (x) 或y '或y x ' .导函数简称为导数。
函数值相应的改变y f (x0 x) f (x0 ) 如果当x趋近于0时，平均变化率
形 成 】
y f (x0 x) f (x0 ) 趋近于一个常数l，
x
x
那么常数l称为函数f（x）在点x0的瞬时变化率。
注意事项：
（1）自变量 x0 有什么要求？
（2） △x和△y分别是什么样的实数？
直向上的速度为6.5m/s。陈若琳此时刻距离水面的高度
为 h(t) 10 1 gt2 6.5t 。
2
问：陈若琳起跳后经过时间t回到与原起跳位置相同的位置，
则陈若琳在[0,t]这段时间的平均速度为
。
平均速度只能粗略地描述物体 在某段时间内的运动状态。不 能描述它在任意时刻的运动状 态。
瞬时速度与导数
（3）函数 f (x) 在点 x0 处的导数是否与△x有关？
函数 f (x) 在点 x0 处的瞬时变化率注意事项：
1、函数应在点 x0的附近有定义，否则导数不存在。
2、在定义导数中，△x趋近于0，可正、可负， 但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近 的函数值有关，与△x无关。
△t = – 0.000001, v 19.999995△t =0.000001,v 20.000005
……
……
3.观察此表，当时间间隔取一系列越来越小值时，平均速度取一系列数值， 这一系列数值有什么特点？从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 在[2,2 +△t ]这段时间里的平均速度与在2s时的瞬时速度有什么关系.
1、 知识与技能：
通过实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导 数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、 过程与方法：
① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的 探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、 情感、态度与价值观：
4.对任一时刻 t0 ，求 [t0,t0 t] 时间内的平均速度， 在 t0 时刻的瞬时速度。
引例2：一正方形铁板在0°C时，边长为2cm,加热后铁板
会膨胀。当温度为t°C时，边长变为2（1+t）cm。
1.铁板面积S与温度t的关系式为
；
2.铁板面积S在温度[t0,t0 t] °C时的平均膨胀率。
瞬时速度与导数
诸城实验中学 陈海莲
【情境引入】
情境1.小明和小强同时从学校出发沿着相同路线到博物馆 去参观，小明匀速跑步到达博物馆。小强匀加速跑步到达
博物馆,两人同时到达。问：两人的平均速度关系是 . （用大于，小于，相等回答）
情境 2. 2011上海游泳世锦赛中，中国选手陈若琳在女子十米跳台
比赛中技压群芳夺得冠军。设在10米跳台上，陈若琳跳离跳台时垂
求铁板面积S在温度 t0 °C时的瞬时膨胀率。
思考？如果将这两个变化率问题中的函数用 f (x)
来表示，那么函数f (x)在 x0 处的瞬时变化率如何表示呢？
函数 f (x) 在点 x0 处的瞬时变化率：
设函数y f (x)在x0及其附近有定义， 当且仅当在x x0附近改变量为x时，
【 概 念
试回答 f ' (x)与f ' (x0 )的关系
f ' (x)在点x x0处的函数值为f ' (x0 ). f ' (x)是函数，而f ' (x0 )是个数值，不是变量。
小结：
知识方面：
瞬时变化率的概念 导数的概念
思想方法：
“逼近”、 “类比”、 “已知探求未知”、 “从特殊到一般”思想
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从 而激发学生学习数学的兴趣.
学习重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导 数。
学习难点：从物理（实例）中，归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程， 及函数在开区间内的导函数的理解。
引例1：物体作自由落体运动,运动方程为： 单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.
当△t = – 0.001时, v 19.995当△t =0.001时,v 20.005
合 作Biblioteka Baidu探
当△t = –0.0001时,v 19.9995当△t =0.0001时,v 20.0005 究
△t = – 0.00001, v 19.99995 △t = 0.00001, v 20.00005 】
S(t) 1 gt 2 2
,其中位移
1：物体在[2,2 + △t ]这段时间里的平均速度。 2：填充表格
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ] 时间内
当△t = – 0.1时, v 19.5 当△t = 0.1时, v 20.5 【
当△t = – 0.01时, v 19.95 当△t = 0.01时,v 20.05
【导数概念初体验】
练习1.一直线运动的物体，从时间t到 t t 时，物体的位移为 s ，那么
B lim s
t0 t
为（
）
Ａ．从时间t到 t t时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为 t时物体的速度;
D．当时间为 t t 时物体的速度;
2.质点运动规律为 s(t) t 2 3，求质点在 t 3 时的瞬时速度。
lim lim 解：s'(3)
f (3 t) f (3)
(6 t) 6.
t 0
t
t 0
3. 已知函数 f (x) 1- x x2 ，求 f ' (1) 。
lim lim 解：f '(1)
f (1 x) f (1)
(1 x) 1.
x0
x
x0
归纳：利用导数定义求函数 f (x)在点x0处导数的步骤。
（1）求y f (x0 x) f (x0 )；
（2）求
y x
，并化简；（
3）求f
'
( x0
)
lim
x0
y x
.
导函数：
如果f (x)在开区间（a,b）内每一点x都是可导的 则称f (x)在开区间（a,b）内可导。这样，对开区 间（a,b）内每个值x，都对应一个确定的导数f ' (x). 于是，在区间（a,b）内，f '(x)构成一个新的函数， 把这个函数称为函数y f (x)的导函数.记为f ' (x) 或y '或y x ' .导函数简称为导数。
函数值相应的改变y f (x0 x) f (x0 ) 如果当x趋近于0时，平均变化率
形 成 】
y f (x0 x) f (x0 ) 趋近于一个常数l，
x
x
那么常数l称为函数f（x）在点x0的瞬时变化率。
注意事项：
（1）自变量 x0 有什么要求？
（2） △x和△y分别是什么样的实数？
直向上的速度为6.5m/s。陈若琳此时刻距离水面的高度
为 h(t) 10 1 gt2 6.5t 。
2
问：陈若琳起跳后经过时间t回到与原起跳位置相同的位置，
则陈若琳在[0,t]这段时间的平均速度为
。
平均速度只能粗略地描述物体 在某段时间内的运动状态。不 能描述它在任意时刻的运动状 态。
瞬时速度与导数
（3）函数 f (x) 在点 x0 处的导数是否与△x有关？
函数 f (x) 在点 x0 处的瞬时变化率注意事项：
1、函数应在点 x0的附近有定义，否则导数不存在。
2、在定义导数中，△x趋近于0，可正、可负， 但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近 的函数值有关，与△x无关。
△t = – 0.000001, v 19.999995△t =0.000001,v 20.000005
……
……
3.观察此表，当时间间隔取一系列越来越小值时，平均速度取一系列数值， 这一系列数值有什么特点？从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 在[2,2 +△t ]这段时间里的平均速度与在2s时的瞬时速度有什么关系.