Microsoft Mathematics求定积分-微积分上的应用
Mathematica中微积分使用
一个返回的是y[x]的表达式，并不能给出y[0],y’[x] 一个返回的是y的纯函数
例：
DSolve[y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y, x] DSolve[{y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y[1]==2E}, y, x]
2
1 (1 x )
2
dx
0
分段函数的积分
Hale Waihona Puke 2| x 1 | dx
0
原函数无法用初等函数表示的积分
sin x x
dx
极限概念的理解
方法：列表、作图、动画
数列极限的直观说明
观察数列 an=1/n2在n趋于无穷时的变化趋势
函数极限的直观说明
考察函数f(x)=sinx/x当x趋向于0时的变化趋势
它有时求不出，可结合极限存在的条件 有时需对被求极限的式子作一变形 无穷振荡处极限的表示方法
导数和微分
导数： D[f,x] 计算偏导数 D[f,x1,x2,…] 计算多重导数 D[f,{x,n}] 计算n阶导数 微分 Dt[f] 计算全微分 Dt[f,x] 计算全导数 Dt[f,x1,x2,…] 计算多重全导数 Dt[f,x, constants—>{c1,c2,…}] ， 其中c1,c2,…为常数
求最值所对应的程序
f[x_] = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 zhudian = Solve[f'[x] == 0, x] fxyvalue = Union[({x, f[x]}/.zhudian), {{a,f[a]}}, {{b, f[b]}}] fvalue = Transpose[fxyvalue][[2]] fmax = Max[fvalue] fmin = Min[fvalue] xx1 = Position[fxyvalue, fmax] xx2 = Position[fxyvalue, fmin] xmax = fxyvalue[[xx1[[1, 1]]]] xmin = fxyvalue[[xx2[[1, 1]]]]
Mathematica求定积分以及相关应用问题
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问6. 1用Mathematica求定积分1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。
Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下(1)Integrate[f, {x,下限，上限}](2)J ? f(x)dx例6.1计算定积分解Zn[l]:= J,Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.2数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。
数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。
用Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NIntegrateEf, {x, a, b}] x 从d 到b，做/(x)的数值积分。
(2)N[J力(x)心] 求定积分表达式的数值例 6. 3 求定积分J f sin(sin x)dx。
解用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分,用NIntegrate命令即可求得其数值积分。
In[l]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi/3}]Out[l]=O. 466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。
In[2] := N|J ^3Sin[Siii[A]]dx]0ut[2]=0. 466185例6. 4求定积分J詁的近似值。
解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。
In[3]:=NIntegrate[Exp[~x~2], {x, 0, 1}JOut[3]二0. 7468243近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点a <x Q< %! < =b将区间[a,方]分成"个长度相等的小区间，每个小区间长度为人b-a (b-a)i b-a「、5=——=a + ——x/+1 = x{------ 儿=/(x)n n n矩形法公式：[^f{x)dx« 上上(旳+ y i + …+ 儿-)J nf afMdx «^-(>'1 + 乃…+ 儿)J n梯形法公式：f afWdx Q [；(〉'o + 儿)+〉'l +〉'2 + …+ y,i-\ ]J n 2抛物线法公式：f a f(x)dx «—^[(JO + 儿)+ 2(〉，2 +〉'4 + …+ y n-2) + 4(” +『3 + …+ y n-\ )1J 3/7例6. 5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分Jh?必。
最新6Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答汇总
6M a t h e m a t i c a求定积分以及相关应用问题练习解答§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a2220-⎰;(5) dx x ba )log(⎰2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx x x sin 0⎰π 3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x ta y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰-Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解 In[2]:= dx xSinx ⎰π0 Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰πOut[3]=2π (4) 解 In[4]:=dx x a x a 2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解 In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*)ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*)s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=31 6. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y cos sin , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示→Automatic]图3Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a8. 解圆的参数方程为{b t a x ta y +==cos sin , )20(π≤≤t首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a2b 2。
mathematica积分
mathematica积分
Mathematica积分是一种将两个或更多的变量的函数的总和运算为
一个单独的函数的运算。
这是通过定义函数的变量来求解一个积分方程，得到函数在一定区间上的积分值，比如面积或体积。
Mathematica
中可以使用各种不同类型的积分技术来求解积分方程，其中包括数值
积分和符号积分。
数值积分是通过一系列规定的划分来近似积分方程中定义的函数，然后根据划分的结果，计算出积分值。
在Mathematica中，数值积分
的核心是函数NIntegrate。
该函数通过在积分区间上的指定的网格划分，并结合自动多项式有限差分，逐步精确地计算积分值。
符号积分是一种基于多项式或者其他符号表达式来对积分方程中
定义的函数进行积分的运算方式，以获得函数在指定区间上的积分值。
在Mathematica中，符号积分的核心函数为Integrate，它可以将多项
式转化为符号、生成符号表达式的积分，从而得到函数在特定区间上
的积分值。
Mathematica积分是一种非常实用的技术，它可以用来求解大量复
杂的积分方程，而且它还可以与其他工具，如微分方程，集成，以便
求解更为复杂的问题。
Mathematica软件定积分以及相关应用问题
实习六 定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
实习作业1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx ex x 211)5cos(3⎰-; 输入：Integrate[3Cos[5x]/Exp[2x],{x,-1,1}]输出：(2)dx xx ⎰sin ; 输入：Integrate[Sin[x]/x,x]输出：SinIntegral[x] (3)dx xsin 35120+⎰π; 输入：Integrate[1/(5+3Sin[x]),{x,0,2Pi}]输出：2 (4) dx x a x a2220-⎰;输入：Integrate[x^2*Sqrt[a^2-x^2],{x,0,a}]输出：(5) dx x ba )log(⎰输入：Integrate[Log[x],{x,a,b}]输出：2. (1)dx x ⎰+1)(sin 310;输入：NIntegrate[Sqrt[Sin[x]^3+1],{x,0,1}]输出：1.08268(2)dx xx sin 0⎰π输入：NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]输出：1.851943. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x ex f x ，求dx x f )1(20-⎰输入：4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.矩形法输入：Clear y ,x,s1,n,b,a ;n 40;a 0;b 1;y x _ : 2x ^23;s1 b a n Sum y a i b a n , i ,0,n 1 N;s2 b a n Sum y a i b a n , i ,1,n Print "s1 ",s1"s2 ",s2 输出：s1= 1.32177 s2= 1.32632梯形法输入：Clear y ,x,a,b,ss3,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;ss3 Sum y a ib a n , i ,1 s3 y a 2y b 2ss3 b a Print "s3 ",s3 输出：s3= 1.32409输入;Clear y ,,x,a,b,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;m 10;ss1 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss1 2y 22y 4¡2y n 2 ss2 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss2 2y 12y 3¡2y n 1 s4 N y a y b ss12ss2 b a 3 n ,2 Print "s4 ",s4输出：s4= 1.3240274507181334834 5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.输入：Plot[{x^2,Sqrt[x],-Sqrt[x]},{x,0,1.5}]输出：输入：Solve[{y-x^2==0,x-y^2==0},{x,y}]输出：x 0,y 0 , x 1, x 1 1 3,y 1 x 1 2 3,y1 输入：Integrate[-x^2+Sqrt[x],{x,0,1}]输出： 3 6. 求半径为r 的圆的周长.输入：v=D[r*Sin[t],t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 输入：u=D[a*Cos[t]^3,t];v=D[a*Sin[t]^3,t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.令a=b=1输入：ParametricPlot[{Cos[t]+1,Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] 输出：Graphics输入：x[t_]:=a*Cos[t]+b;y[t_]:=a*Sin[t];dx=D[x[t],t];V=Integrate[Pi*(y[t])^2 *dx,{t,0,Pi}]输出：。
Mathematica教程-4基本微积分
求解微分方程函 数y
Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x] 求解微分方程组
解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式， 如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数。 例如我们如果有如下操作，y’[x],y[0]并没有发生变化
解的纯函数形式
这里y适合y的所有情况
In[1] : Limit[ Sin 5 * x S in 3 * x / Sin x ,x 0]
Out[1] 2
lim arctan x
x
In[6] : Limit ArcTan x ,x Infinity
Out[6]
NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi}]
幂级数（泰勒公式）展开
一个函数描述了在某个区域内值的对应关系， 有时考察一个函数在某一点附近的性质时，可以用 一个有限次的多项式作为这个函数的近似，这就是 幂级数展开（Taylor展开）的意义。Mathematica 可以非常方便地求出任一个复杂函数表达式的任意 阶幂级数展开。运算格式：Series[f[x],{x,x0,n}]： 表示f(x)在x=x0做Taylor展开至 (x x0阶)n(带余项）。
当x趋向于x0时求 expr的极限
Limit[expr,x->x0,Direction->1]
当x趋向于x0时求 expr的左极限
Limit[expr,x->x0,Direction->-1]
当x趋向于x0时求 expr的右极限
例：求下列极限
sin 5x sin 3x lim x0 sin x
Dt[f,x1,x2,…]
Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}]
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程【最新版】目录1.Mathematica 简介2.积分的概念与方法3.Mathematica 进行积分的过程4.示例：使用 Mathematica 计算积分5.总结正文【1.Mathematica 简介】Mathematica 是一款强大的数学软件，由沃尔夫冈·克莱因（Wolfram Research）开发，广泛应用于科学、工程和教育等领域。
Mathematica 可以帮助用户解决各种数学问题，包括微积分、线性代数、概率论等。
【2.积分的概念与方法】积分是微积分中的一种重要运算，表示求解一个函数在某一区间上的累积量。
积分的方法有多种，如不定积分、定积分等。
【3.Mathematica 进行积分的过程】使用 Mathematica 进行积分的过程相对简单。
首先，打开Mathematica 软件，输入需要积分的函数表达式；然后，使用积分函数（如Integrate）进行计算；最后，Mathematica 会自动给出积分结果。
【4.示例：使用 Mathematica 计算积分】假设我们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分，可以使用以下步骤：1.打开 Mathematica 软件，输入函数表达式：f[x] = x^22.输入积分函数：Integrate[f[x], {x, 0, 1}]3.Mathematica 自动计算结果：2/3【5.总结】Mathematica 作为一款强大的数学软件，在解决积分问题方面具有很高的效率和准确性。
通过简单易用的操作界面，用户可以轻松地完成各种积分计算。
1.数学软件Mathematica在积分计算中的应用
1 JSinCos[1, x] ． 3
退出系统后，对 Integrate 的修改自动还原．
1.3 无法计算的不定积分 如果不定积分既不能用初等函数表示，也无 法用特殊函数表示， Mathematica 直接以不定积分 形式输出．
例 7：计算不定积分
∫ sin(sinx)dx ．
1.2 特殊函数的不定积分 有些函数的不定积分不能用初等函数表示， 这里 Mathematica 软件通常能夠用特殊内部函数 表示．
2011 年第 3 期 第 27 卷（132 期）
重庆三峡学院学报 JOURNAL OF CHONGQING THREE GORGES UNIVERSITY
No.3.2011 Vol.27 No.132
数学软件 Mathematica 在积分计算中的应用
欧 鹏 王绍恒 高成政 刘雪莲 吴梦蝶
（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州，404100）
NIntegrate[ 1 , { x, −1,1}] ． Abs[ x]
1 is not Abs[ x ]
该提示表明 x=0 为被积函数的瑕点．我们只 要加入 0 作为中间点，就可以计算其数值解了． 运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，0， 1}]得 4． 在 7.0 以上版本下运行 NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}] 可以直接得出结果 4．
∫ (ax
2
+ bx + c ) dx 与
∫ (ax
2
+ bx + c ) da ．
运行 Integrate[a*x^2+b*x+c，x]得
cx + bx 2 ax 3 ． + 2 3
Mathematica 导数、积分、方程等的数值计算
第4章导数、积分、方程等的数值计算在上一章的符号运算中已经指出，有些数学问题的解可以用一个解析式（数学公式）精确地表示出来，而另一些问题则不能。
遇到这种情况时，人们常会转而去求它的近似数值解，所谓近似数值解是指按照某种逼近思路，推导出相应的迭代公式，当给定一个适当的初始值（或称初始点）后，由迭代公式就可产生一系列的近似解（点），从而一步一步的去逼近原问题的精确解（点）。
在迭代过程中所有的计算（按迭代公式）都是对具体数值进行的，或者说计算的主要对象是具体的数值（主要是实数）。
4.1 函数值与导数值的计算4.1.1函数值的计算在Mathematica系统里,计算函数值的过程同数学里的情况基本相似｡Note：先定义函数表达式，再作变量替换。
4.1.2导数值的计算Note：先定义函数表达式，再求导函数，最后作变量替换。
4.2定积分与重积分的数值计算4.2.1定积分的数值计算在Mathematica系统中为我们提供的对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下:NIntegrate[f(x),{x,a,b}]式中f(x)为被积分函数,x为积分变量,a为积分下限,b为积分上限,有时a可取到-∞,b可取到+∞｡4.2.2 重积分的数值计算1.矩形区域G:a≤x≤b,c≤y≤d上的二重积分Note:先对y积分，再对x积分。
2.一般（有界）区域Ｇ上的二重积分NIntegrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1[x],y2[x]}] OrNIntegrate[f[x,y],{y,y1,y2},{x,x1[y],x2[y]}] Zhou er3.一般区域上的多重积分4.3方程的近似根牛顿迭代法的几何解释在0x 处作曲线的切线, 切线方程为 y = f (0x )+f ’ (0x ) (x -0x ). 令y =0,可得切线与x 轴的交点横坐标 1x =0x -)(' )(00x f x f , 这就是牛顿法的迭代公式. 因此, 牛顿法又称"切线法".分析法（零点存在定理）图形法随机生点法4.4常微分方程数值解4.5 偏微分方程求解（略）。
Mathematica软件在积分计算中的应用
５ ７
有 效 数 学 教 学 活 动 实 践 与 感 悟
刘 昌 龙
（ 苏 省姜 堰 中学 ， 苏 姜 堰 江 江
摘 要 ： 中数 学教 学 ， 求教 师组 织 有 效 的课 堂 活 动教 高 要 学． 而有 效 的数 学教 学活 动 必须 通过 有效 的教 学方 式和 学 习方 式 来 实现 。作 者结 合 自 己的 经验 和 调 查 ， 归纳 了影 响 数 学 教 学 活动 有 效性 的 因素 ， 出 了进 行 有 效 数 学教 学活 动 的 途 径 。 提 关键 词 ： 程 改革 有 效数 学教 学活 动 五 个方 面 课
∈ ≤
Ｉ． 一
－
例 １Ｘ ＣＳ ，＝ｉ‘ 求 面 积Ｓ ：－ Ｏ ｙ ｓ ｔ ｔ ｎ， 。 解： 先作 出 函数 图像 ， Ｍ ｔｅ ｔ 软 件 中 输 入 下 列 语 句 在 ａｈｍａｃ ｉ
得 到 图 形
盘 ｉｉｓ － ｌ【
通 计 ， 两 曲 交 ｔ ， 面 过 算 知 条 线 点詈于 积 可 ＝ 是
誉感 。 具体实例 ： Ⅲ经 常 提 供 课 堂解 题 比赛 ， 秀 者 奖励 。 优 题 目要 求 逻 辑性 强 ， ： 如
①在下列各题中 ， 判断Ｐ 的充 分条件 ， 是Ｑ 必要条件还是充
要条件（ ）
（ ） ： Ａ ／Ｂ ， “ Ａ与 Ｂ 对 顶 角 ” １Ｐ “ ＝ ”Ｑ： 是 （ ） ：ＡｎＢ ” Ｑ：Ａ＝ ２Ｐ “ ＝ ， “ ” （ ） ：ＡｕＢ ” Ｑ：Ａ 且Ｂ ４ ３Ｐ “ ＝ ， “＝ ＝） ”
一
从图形上很 容易得 出ｓ４ ３７ ｔ ｓｄ ＝ ×Ｌ ｓ ４。２ｔ ｎｃ ｔ ＝
例２ ｒ ３ ｏｔｒ ｌ ｃ ｓ， 所 围 图形 面积 Ｓ ： ｃ ｓ： ＋ ｏｔ求 － ＝ ＝ － 。 解 ： 图： 作
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程摘要：一、引言- 介绍Mathematica软件- 阐述积分在数学中的重要性二、Mathematica积分过程简介- 定义积分- 常见积分方法- Mathematica软件的积分功能三、Mathematica积分操作步骤- 打开Mathematica软件- 输入积分表达式- 使用积分功能- 查看结果四、Mathematica积分应用案例- 例1：简单积分计算- 例2：多元积分计算- 例3：分部积分计算五、Mathematica积分优势与局限性- 优势：便捷、高效、准确- 局限性：功能有限，无法解决所有积分问题六、结论- 总结Mathematica积分过程- 强调在实际应用中合理利用Mathematica软件正文：一、引言Mathematica是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程计算等领域。
在数学中，积分是一个重要的概念，掌握积分技巧对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍如何使用Mathematica软件进行积分计算，以帮助大家更好地理解和应用积分知识。
二、Mathematica积分过程简介1.定义积分积分是微积分的核心概念之一，表示将一个函数与一个区间[a, b]分割成无数子区间，求这些子区间的面积之和。
根据被积函数的不同特点，积分方法也有所不同。
2.常见积分方法常见的积分方法有：不定积分、定积分、多重积分、分部积分等。
这些方法都有各自适用的被积函数类型，需要灵活选用。
3.Mathematica软件的积分功能Mathematica软件内置了丰富的积分功能，可以方便地实现各种积分计算。
通过输入积分表达式，Mathematica能够自动识别被积函数类型，并给出相应的积分结果。
三、Mathematica积分操作步骤1.打开Mathematica软件下载并安装Mathematica软件，运行后进入操作界面。
2.输入积分表达式在Mathematica的输入框中，输入积分表达式。
微积分中的积分与定积分应用
微积分中的积分与定积分应用微积分是数学中的一个重要分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
其中，积分与定积分是微积分的核心概念之一，它们为解决许多实际问题提供了强大的工具。
积分的概念可以追溯到古代，当时人们就已经在计算图形的面积和体积等问题中有所涉及。
但真正系统地发展积分理论，是在近代数学的发展过程中。
积分可以理解为对一个函数在某个区间上的累积效果的度量。
简单来说，如果我们有一个函数，比如速度随时间的变化函数，那么通过积分，我们可以求出在一定时间内所走过的路程。
定积分则是积分的一种特殊形式，它是在一个确定的区间上对函数进行积分。
定积分有着明确的几何意义，例如，对于一个在 x 轴上方的连续函数，它在某个区间上的定积分就表示该函数与 x 轴之间所围成的图形的面积。
在物理学中，积分与定积分的应用非常广泛。
比如，在力学中，我们可以通过对力随位移的变化函数进行积分，来计算力所做的功。
假设一个物体在水平方向上受到一个随位移 x 变化的力 F(x)，那么力所做的功 W 就可以通过定积分∫F(x)dx 来计算，积分的区间就是物体移动的位移范围。
在电学中，电流随时间的变化可以用函数来表示，通过对电流函数进行积分，可以计算出在一定时间内通过电路的电荷量。
这对于分析电路中的电现象和设计电路都具有重要意义。
在经济学中，积分与定积分也有着重要的应用。
例如，成本函数和收益函数可以用数学表达式来表示。
通过对成本函数和收益函数进行积分，可以计算出总成本和总收益。
进而可以通过分析总成本和总收益之间的关系，来确定企业的最优生产规模和利润最大化的策略。
在统计学中，概率密度函数的积分可以得到概率分布函数。
概率分布函数可以帮助我们计算随机变量在某个区间内的概率，这对于分析和预测随机现象非常重要。
在工程领域，积分与定积分同样发挥着关键作用。
例如，在建筑工程中，计算不规则形状结构体的重心位置就需要用到积分。
在机械工程中，设计复杂的机械部件时，需要计算其转动惯量，这也往往涉及到积分的运算。
微积分中的积分与定积分应用
微积分中的积分与定积分应用微积分是数学中的重要分支，而积分与定积分在解决实际问题中发挥着巨大的作用。
它们不仅是理论研究的重要工具，也在众多领域有着广泛而深入的应用。
积分的概念源于对连续变化量的求和。
想象一下，我们要计算一条曲线下方的面积，如果我们将这个区域分割成无数个小矩形，然后把这些小矩形的面积相加，当分割得越来越细时，这个和就越来越接近曲线下方的精确面积，这就是积分的基本思想。
定积分则是积分在特定区间上的求值。
它可以帮助我们精确地计算出某个量在特定范围内的总和。
在物理学中，积分与定积分的应用极为广泛。
比如，在计算变速直线运动的位移时，速度随时间变化的函数如果已知，通过对速度函数进行定积分运算，就能得到在一定时间内物体的位移。
假设一个物体的速度函数为 v(t) ＝ 2t（其中 t 是时间），要计算从 t ＝ 0 到 t ＝ 3 这段时间内的位移，我们对 v(t) 进行定积分：∫（0 到 3) 2t dt ＝ t²（0 到3) ＝ 9 ，所以位移就是 9 个单位。
在力学中，计算变力做功也离不开积分。
如果力随位移的变化关系已知，通过对力关于位移的函数进行积分，就能得出力所做的功。
例如，一个弹簧的弹力 F(x) ＝ kx（其中 x 是位移，k 是弹性系数），要计算将弹簧从平衡位置拉伸一段距离所做的功，就需要对 F(x) 进行积分。
在几何方面，积分可以用来计算平面图形的面积。
对于不规则的图形，我们很难用常规的几何公式直接计算其面积，但通过积分，将其转化为函数的运算，问题就能迎刃而解。
比如，要计算由曲线 y ＝ x²和 x 轴在区间 0, 1 所围成的图形的面积，我们可以通过定积分∫（0 到 1) x² dx ＝ 1/3 x³（0 到 1) ＝ 1/3 来计算。
积分还能用于计算立体图形的体积。
当我们知道某个平面图形绕着一条轴旋转所形成的立体图形的截面面积函数时，通过积分就能求出其体积。
MATHEMATICA在高等代数与微积分中的应用
MATHEMATICA在高等代数和微积分中的使用1 高等代数运算1.1 矩阵的输入①、表输入：例：输入矩阵123456789 A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭命令：A={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}不过，我们看到输出的结果不是矩阵形式，如果希望得到矩阵形式，可再使用函数MatrixForm，如：或者：②、二阶方阵可直接用模板输入——单击输入面板上的“”，再输入矩阵的元素即可，例如，求矩阵的逆：求矩阵逆的函数是：Inverse ，或：或：③、菜单来输入．操作：“输入”→“创建表单／矩阵／面板［T ］…” ⇒ 对话框→选择“矩阵”→ 输入行数和列数→ ⇒ 空白矩阵．计算结果如下图示：例：④、增加行和列按Ctrl+ Shift +“，”； 增加行，Ctrl+“↵”增加列。
⑤、输入任意矩阵 例：输入任意矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，可用命令：Array[a,{2,2}] // MatrixForm ⑥、创建一个n 阶单位矩阵：IdentityMatrix[n] ⑦、创建一个对角线上为表list 的元素的方阵：DiagonalMatrix[ list ]例： a1={1,2,3,4,5}DiagonalMatrix[a1 ] // MatrixForm1.2 MATHEMATICA 的矩阵运算命令(1) a={a1,a2,…,an}功能：定义一个一维向量（12n a ,a ,,a ），这里12n a ,a ,,a 是数或字母．(2) a=Table[f[j]，{j,n}]例：(3) a={{a 11,a 12,…,a 1n },{a 21,a 22,…,a 2n },…,{a m1,a m2,…,a mn }}功能: 定义一个矩阵: 1111n m mn a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例：(4) a=Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}]功能: 定义一个分量可以用f[i,j]计算的矩阵，其中f 是关于i和j 的函数，给出矩阵在第i 行第j 列的元素值． 例：(5) MatrixForm[a]功能：把a按通常的矩阵或向量形式输出，其中a是矩阵或向量．(6) DiagonalMatrix[list]功能：使用列表中list的元素生成一个对角矩阵.例：(7) IdentityMatrix[n]功能：生成n阶单位阵(8) A+B功能：求A和B的和, 这里A和B都是矩阵或都是向量．(9) A-B功能：求A和B的差．这里A和B都是矩阵或都是向量．(10) k*A功能：求常数k和A的数乘，这里A是矩阵或向量．(11) A.B功能：求矩阵A和矩阵B的乘积，注意A和B之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点．(12) a.b功能：求向量a和向量b的内积，注意a和b之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点．(13) A.b或b.A功能：求矩阵A和向量b的乘积，注意A和b之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点．(14). Transpose［A］功能：求矩阵A的转置矩阵.(15). Inverse［A］功能：求矩阵A的逆矩阵(16). MatrixPower[A，n]功能:计算方阵A的n次幂．(17). Det[A]功能:求方阵A的行列式(18) a［［i, j］］功能：取矩阵a的位于第i行，第j列的元素.(19). a［［i］］功能：取矩阵a的第i行的所有元素或取向量a的第i个分量.(20) Transpose［a］［［j］］功能：取矩阵a的第j列的所有元素.1.3 多项式运算命令①PolynomialGCD[f,g]功能：求多项式f、g的最大公因式。
6Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答
§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a 2220-⎰; (5) dx x b a )log(⎰ 2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx xx sin 0⎰π3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰- Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解In[2]:= dx xSinx ⎰π0 Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰πOut[3]=2π (4) 解In[4]:=dx x a x a 2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰; s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*) ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*) s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1 Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=31 6. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y c o s s i n , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示→Automatic]图3Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a8. 解圆的参数方程为{b t a x ta y +==cos sin , )20(π≤≤t 首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a 2b π2。
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答
456§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a 2220-⎰; (5) dx x b a )log(⎰ 2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx xx sin 0⎰π3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰- Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解457 In[2]:= dx x Sinx⎰π0Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰π Out[3]=2π(4) 解In[4]:= dx x a x a2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;458 n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*) ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*) s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=316. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y c o s s i n , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示459 In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示In[1]:=ParametricPlot[{(Cos[t]^3),(Sin[t]^3)},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a460 8. 解圆的参数方程为{b t a x t a y +==cos sin , )20(π≤≤t 首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a 2b π2。
mathematica 定积分 符号
在Mathematica 中，定积分的符号表示方式为：
1. 使用`Integrate` 函数进行符号定积分。
例如，要表示关于变量x 的积分，可以使用以下语法：
``` mathematica
Integrate[f[x], x]
```
其中，f[x] 是被积函数，x 是积分变量。
这样的表达式将返回该被积函数的不定积分。
2. 如果需要表示在某个区间上的定积分，可以在`Integrate` 函数中添加上下限。
例如，要表示从a 到 b 的积分，可以使用以下语法：
``` mathematica
Integrate[f[x], {x, a, b}]
```
这样的表达式将返回该被积函数在给定区间上的定积分值。
需要注意的是，被积函数可以是任何合法的Mathematica 表达式，且Mathematica 还提供了许多数学函数和符号，如`Sin`、`Cos`、`Exp` 等，可以在被积函数中使用。
以上是关于符号表示定积分的基本语法，请根据具体需要，结合Mathematica 的文档和函数来进行更复杂的定积分计算。
mathematic积分与应用
实验三 积分与应用3.1实验目的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算方法。
熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进行简单数学建模和求解。
3.2 实验准备3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]功能：计算函数f(x)的一个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值⎰badxx f )(．3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的一个原函数：1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -3） x asin 4）1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 22cos sin 12.计算下列定积分： 1） ⎰-+422)123(dxx x 2）⎰+1)sin 1(dxx e x3）⎰+edx x x1ln 1 4）⎰++2131dx x x x5）⎰-21dx x 6） ⎰+-+22/11)11(dx e x x xx3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）⎰xadtt 2sin 2）⎰-221x dtt 3）dtt a x x⎰+24）⎰-+xxdtt f sin )2(4. 标准正态分布函数为：.dte x x t ⎰-=Φ02221)(π画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限1）⎰⎰→xt xt x dte t dt e 022)()(lim222）1)(arctan lim202+⎰+∞→x dt t xx6.计算积分x xd ⎰1sin sin ．3.3.2 探索实验本实验探索定积分的近似计算方法。