2017届高考数学二轮复习第1部分专题五立体几何必考点文

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新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题五立体几何与空间向量第1讲空间

第1讲空间几何体1．(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π，故选C. 2．(2016·课标全国丙)在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.3．(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π答案 C解析过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．(2016·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设点O 是AC 的中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于点H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α，－63，306sin α，则BD ′——→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′——→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′——→·n |BD ′——→|·|n |＝639＋5cos α，所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66.1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)C (2)D解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝32＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．跟踪演练1 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 (1)D (2)B解析 (1)由俯视图，易知答案为D.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D ．1 (2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，BD ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )A ．66B ．68C ．70D ．72答案 (1)A (2)A解析 (1)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1，又底面积S ＝12×1×1＝12.所以体积V ＝13Sh ＝16.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案452解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF (置于长方体ABCD —MNFG 中去观察)，且点E 为DG 的中点，可得AB ＝BC ＝GE ＝DE ＝3，连接AG ，所以多面体ABCDEF 的体积为V 多面体ABCDEF ＝V 三棱柱ADG —BCF －V 三棱锥A —GEF ＝12×(3＋3)×3×3－13×(12×3×3)×3＝452.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3答案 (1)C (2)A 解析 (1)在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC ，又SA ⊥平面ABC ，∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝3，SA ＝23为长、宽、高的长方体， ∴球O 的直径＝12＋32＋32＝4，故球O 的表面积为4π×22＝16π. (2)过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O ，球半径为R cm ，正方体上底面中心为点A ，上底面一边的中点为点B ，在Rt△OAB 中，OA ＝(R －2)cm ，AB ＝4 cm ， OB ＝R cm ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， ∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．故选A.思维升华三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A 、B 、C 可作为下底面的三个顶点； (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________．答案6π解析如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．据题意⎩⎨⎧AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎨⎧AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3，∴长方体的体对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π.1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．82＋8C ．22＋26＋8D ．42＋46＋8押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积．答案 D解析由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －ABCD ，因为PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，易得BC ⊥PC ，BA ⊥PA ，又PC ＝PD 2＋CD 2＝22＋22＝23，所以S △PCD ＝S △PAD ＝12×2×22＝22，S △PAB ＝S △PBC ＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π押题依据多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点．答案 B解析因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理，SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注．答案423解析如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr1－r2≤4π×r 2＋－r22＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时， V 球V 圆柱＝4π3×13π222×2＝423.A 组专题通关1．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析由所截几何体可知，FC 1被平面AD 1E 遮挡，可得B 图．2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为( )A ．2 B.23 C.43 D.83答案 D解析多面体ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝83，选D.3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V ＝(22－2×14×π×12)×2＝8－π.4．(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B 解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π答案 A解析如图所示，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接A ′E ，EO ，A ′O ，OD .因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，A ′E ⊥BD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，A ′E ⊂平面A ′BD ，所以A ′E ⊥平面BCD .因为A ′B ＝A ′D ＝CD ＝1，BD ＝2，所以A ′E ＝22，EO ＝12，所以OA ′＝32. 在Rt△BCD 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体A ′BCD 的外接球的球心为O ，球的半径为32，所以V 球＝43π(32)3＝32π.故选A.6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．答案 2＋22解析如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′， ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×(1＋1＋22)×2＝2＋22. 7．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.答案 72 32解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)．8.如图所示，从棱长为6 cm 的正方体铁皮箱ABCD —A 1B 1C 1D 1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________ cm 3.答案 36解析最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C 1—CD 1B 1的体积．又111111——C CD B C B C D V V 三棱锥三棱锥＝＝13×(12×6×6)×6＝36(cm 3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm 3体积的水．9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________．答案 2解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥E －ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝42＋822＝42；另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝ 42＋622＝5.因此S ＝2×(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.B 组能力提高11．(2015·湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.2－3πD.2－3π答案 A解析设三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截得的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B，即h 2＝r 1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23；由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627.∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π，故选A.12．已知在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝PA ＝2，且在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则三棱锥P —ABC 的外接球的体积为________．答案205π3解析由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ， ∴BC 2＝22＋22－2×2×2×(－12)＝12，∴BC ＝2 3.设平面ABC 截球所得截面圆半径为r ，则2r ＝23sin 120°＝4，所以r ＝2.由PA＝2且PA ⊥平面ABC 知球心到平面ABC 的距离为1，所以球的半径为R ＝12＋22＝5，所以V 球＝43πR 3＝205π3. 13．如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．答案 6解析沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图，则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°. 在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6.14．如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与点P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ， ∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE . 又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4. ∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于点O ，又平面PBE ∩平面EFCB ＝BE ， ∴PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1，S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6，∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.。

第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】

第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1 立体几何共面问题的解法【培优版】立体几何微专题第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】共面与异面是立体几何中的一对基本矛盾．共面，又称共平面，几何学术语，是指几何形状在三维空间中共占同一平面的关系．判定（证明）空间点共面、直线共面的基本方法有：公理法和纳入平面法，除此外，还可以利用同一法、反证法、向量法等，本节介绍空间点共面、直线共面问题的这些解法．一、平面重合法（同一法）根据已知条件，其中部分点线确定若干个平面，再证这些平面都重合，则所有的点线共面．应用重合法证点线共面的关键在于根据平面性质公理证明若干个平面重合．主要方法有：1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合2．利用直线的垂面唯一性证两平面重合3．利用平行平面的唯一性，证平面重合二、反证法三、向量法根据共面向量定理及其推论判定、证明点共面、直线共面．向量共面定理：向量,a b 不共线，向量p 与,a b 共面的充要条件是存在实数,(,)x y x y ∈R ，使p xa yb =+ ．【推论】空间中一点O 和不共线的三点,,A B C ，则,,,P A B C OA A OP xOA yO P A B zO B AC OP AB AC C λμλμ⇔=+⇔=+⇔+++= ，且1x y z ++=．类型一　利用平面重合法（同一法）证明点或线共面问题1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合【典例1】求证：已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交（如图1），求证：l 与a 、b 、c 共面．图1【分析】设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，由a ∥b ，得过a 、b 可以确定一个平面α．由b ∥c ，得过b 、c 可以确定一个平面β，由已知推导出α与β重合，从而能证明a 、b 、c 、l 共面．证明：如图2，设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，B ∈b ，a 、b ⊂α，∴A ∈α，B ∈α，∴AB ⊂α，即l ⊂α．又∵b ∥c ，∴过b 、c 可以确定一个平面β，同理可证l ⊂β．∵α、β都过相交直线b 、l ，∴α与β重合，∴a 、b 、c 、l 共面．图2【点睛】共面问题的证明常有下列方法：（1）先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内；（2）先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合；（3）用反证法．本题采用方法2证明较好．【举一反三】（2023上·北京通州·高二统考期中）1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；(3)求点1B 到平面EFGH 的距离.【典例2】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 分别是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：如图6，联结FI ，易证EJ FI ∥，∴EJ 和FI 可确定一个平面，记作α．又联结GJ ，则GJ EF ∥，∴GJ 和EF 可确定一个平面β．但,αβ两平面内都含有不共线的三个点,,E F J ，过这三点的平面是存在且唯一的，∴,αβ两平面重合，同理可证，平面EFGH与,αβ都重合，由此可知,,,,,E F G H I J 六个中点共面．图6【举一反三】2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，证明：11,,,A C F E 四点共面．【反思】可以看出同一法同样可以用于证明立体几何，除了证明题之外还有一类解答题，同样是可以用同一法的思想来解答的．假设原命题为“若p 且q ，则r "，当用同一法证明时，证明其逆命题成立则原命题成立，也就是证明“若r ，则p 且q ”．当q 未知时，这就不是证明题，而是解答题．【典例3】直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图8，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面．图8【分析】证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，a ⊂α，∴A ∈α，同理B ∈a ．又∵A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α．同理可证n ⊂α．∵b ∥c ，∴过b ，c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β．∵平面α、β都经过相交直线b 、m ，∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面．【举一反三】3．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内．已知：如图，直线1234,,,l l l l 两两相交，且不共点．求证：直线1234,,,l l l l 在同一平面内.2.利用直线的垂面唯一性证两平面重合【典例4】过球外一点作球的切线，求证：所有切点共面．证明：如图10，设球O 外一点P ，切线为,,,PA PB A B 为切点，联结,,PO AO BO ，过A 作1AO PO ⊥于1O ，过1,,A B O 三点作截面得到小圆1O ．联结,AO BO ，易知Rt Rt AOP BOP ≌△△，∴PA PB =．在Rt PAO △中，190,OAP AO PO ∠=︒⊥，∴221PO PO PA PB ⋅==，图10则在Rt POB △中可断定1BO PO ⊥，∴PO ⊥平面1AO B ，且11O A O B =（全等三角形对应边上的高相等），由此可知，过点P 作球的切线的切点与点1O 的距离相等，∴点1O 是小圆的圆心．同理，球的任意切线12,,PC PC ⋅⋅⋅；12,,C C ⋅⋅⋅为切点，则平面1112,,AO C AO C ⋅⋅⋅都与直线PO 垂直，所有这些垂面都过点1O ，∴它们都应重合，由此可知，过球外一点作球的切线，所有切点共面．【反思】上例应用了如下结论：过定点作定直线的垂直平面存在且唯一．【举一反三】（2022·安徽马鞍山·马鞍山二中月考）4．四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD PC =，90DPC ∠= ，//AD BC ，90ABC ∠= ，1AD AB ==，2BC =，M 为PC 的中点，2PN ND = ．(1)证明：A ，B ，M ，N 四点共面；(2)求二面角M －AB －C 的余弦值．3．利用平行平面的唯一性，证平面重合【典例5】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：见图6，连FI ，易证EJ FI ∥，∴这两条平行线可以确定一个平面α．同理FI GH ∥，则这两条平行线又可确定一个平面β，连11,,AC AD D C ，则1,,EF AC IJ D A EF ∥∥与IJ 是平面α内的相交直线．∴平面EFIJ ∥平面1ACD ，同理，平面FGHI ∥平面1ACD ．即平面,αβ都过点F ，且都平行于平面1ACD ，∴平面α与β必重合．【反思】上例利用了下列结论：过平面外一点可以作且只可以作一个与已知平面平行的平面．【举一反三】5．如图，多面体ABCGDEF 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC //平面,DEFG 平面BEF //平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2， 1.AC EF == 判断点B ，C ，F ，G 是否共面，并说明理由．类型二　利用反证法证明点或线共面问题【典例6】若空间一个四边形邻边的夹角均为90︒，求证：这个四边形必是矩阵．证明：如图15，设四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，要证它是矩形，应先证明它是个平面图形．图15若四边形ABCD 不是平面图形，则四个线段,,,AB BC CD DA 中必有异面直线．设AB 与CD 为异面直线，而,AD BC 与这两条直线都相交且垂直，∴,AD BC 都是,AB CD 的公垂线，但异面直线的公垂线是存在且唯一的，矛盾．∴,AB CD 不可能是异面直线．同理，,AD BC 也不可能是异面直线．∴四边形ABCD 是一个平面图形．再证ABCD 为矩阵是显而易见的．【典例7】若空间四点,,,A B C D ，满足条件AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，求证：,,,A B C D 四点共面．证明：如图16，若,,,A B C D 四点不共面，则四点构成一个空间四边形A BCD -，将ABD △绕BD 旋转到BCD △所在平面α内，点A 移到点1A ．图16在平面四边形1A BCD 中，应有111A C BD A B CD A D BC⋅≤⋅+⋅但在ACE △中1AC AE EC A C<+=(1)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值；(2)若E 是棱PB 的中点，对于棱出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．类型三　利用向量法证明点或线共面问题图20证明：如图20，设,AB a AD =【典例9】四面体ABCD 中，,,,E F G 四点共面．图23证明：如图23，联结EG ，则(12EG EB BG EB BC =+=+(1)求FH （用向量,,a b c 表示）(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．【典例10】设O 为平面ABC 共面，且PA ⊂平面ABC ．31 证明：A ，B ，M ，N 四点共面；一、单选题：10．已知a 、b 、c 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（E F G H四点共面A．,,,FG平面ADCB．//FG HE交于点P C．若直线,△的面积为6，则D．若ABD①点E，F，G，H在同一个平面上；②直线DE，BF，CI交于同一点；③直线BF与直线1B C所成角的余弦值为④该正方体过EH的截面的面积最大值为(1)求证：E，F，G，(2)求证：EH，FG，（2022下·辽宁抚顺16．如图，在三棱柱(1)证明：E，F，G，(2)证明：EG，FH，AA（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）(1)求证：E ，F ，C 1，1A 四点共面；(2)求证：A 1E ，1C F ，1B B 交于一点18．如图，在正方体ABCD (1)证明：E 、C 、D 1、F (2)设1D F CE O ⋂=，证明：19．如图，ABCD 为空间四边形，点CD ，AD 上，且DH =(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．（2022·河南·校联考三模）20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F(1)证明：E ，F ，D ，B 四点共面．(2)证明：BE ，DF ，1CC 三线共点．（2023·四川成都·校联考模拟预测）21．如图，在三棱柱ABC A -3(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求四棱锥11A BDEB -的体积．（2023·四川成都·校联考模拟预测）22．如图，在三棱柱ABC(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求二面角11A BB D --的余弦值．参考答案：因为,,,E F G H 分别是棱AB 易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以,,,H M F G 四点共面，又111//,//,EM AB HG DC AB设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,2a B a a a D E a ⎛ ⎝，则1(,,),(,,0),22a a DB a a a GF == 设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，a a ⎧1111//,//,//A C AC A C FE FE AC ∴''∴，F 为BC 中点，E '∴为AB 中点，E '∴与E 重合，即11,,,A CF E 四点共面．3．证明见解析【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内．【详解】图①中，没有三条直线交于一点，因为12l l P = ，所以12,l l 确定平面α，又因1323,l l A l l C ⋂=⋂=，所以,A C α∈，所以3l α⊂，同理可得4l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内；图②中，123,,l l l 三条直线交于一点，因为又因1424,l l A l l B ⋂=⋂=，所以,A B α∈，所以4l α⊂，同理3l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内，综上所述，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内.4．(1)证明见解析120∠=︒，1PADBC=，AB AD PA==A B C D∴(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2)(0,2,0)设面PBC的法向量为(,,)m x y z==---=(3,1,2),(0,1,0)BP BC假设在棱CD上存在点F，使得∴四点共线，记该平面为E F D P,,,PE DF⊂面α∴∈面α,,P∈∈B PEC DF,8．(1)111 242 a b c--(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解线的性质，结合平行线的传递性证明【详解】（1）∵【点睛】9．证明见解析【分析】延长CD，BA交于点从而可得QM与PD的交点为点N重合，从而可得结论10．B【分析】根据已知条件判断a 、c 的位置关系，可判断AB 选项的正误；利用锥体可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a b ⊥ ，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，对于B 选项，若a b ⊥ ，//b c ，则a c ⊥，B 选项正确；对于C 选项，若////a b c ，将a 、b 、c 视为三棱柱的三条侧棱所在直线，C 选项错误；对于D 选项，若a 、b 、c 共点，将a 、b 、c 视为三棱锥共顶点的三条棱所在直线，则【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项.【详解】如下图所示：根据题意，连接11,A C AC ，则11//A C AC ，所以11,,,A C C A 四点共面，所以1AC ⊂面11ACC A ，又1M A C ∈，所以M ∈面11ACC A ，又M ∈面1AB D ，所以点M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，同理可得点O 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，所以A ，M ，O 三点共线，故A 选项错误，B 选项正确；由异面直线判定定理可知C 选项中1,OM DD 为异面直线，故C 选项错误；由异面直线判定定理可知D 选项中1,AM BB 为异面直线，故D 选项错误.故选：B.12．AD【分析】A 选项举出反例即可说明；C 选项根据共面不具有传递性即可判断；B 选项根据点共面的性质判定即可；D 选项根据过直线与直线外一点可确定个平面,即可判断.【详解】A 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；B 从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；C 不正确，共面不具有传递性，若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 可能不在一个平面内；D 正确，两两相交的直线有三个公共点，确定一个平面.所以111222 BCDS CO BD==⨯故选：ACD.【分析】对于①，由FG EH ∥即可证得点E ，F ，G ，H 共面；对于②，延长,DE CI 交于M ，由平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，证得M BF ∈，即可证得直线DE ，BF ，CI 交于同一点；对于③，取AB 中点N ，1NA D ∠或其补角即为直线BF 与直线1B C 所成角，再由余弦定理求解即可；对于④，求出截面11A BCD 的面积即可判断.【详解】对于①，如图，连接1,FG A B ，因为点F ，G 分别为线段11A B ，1B B 的中点，则1FG A B ，又点E ，H 分别为线段11A D ，BC 的中点，则1EH A B ，则FG EH ∥，则,FG EH 共面，即点E ，F ，G ，H 在同一个平面上，①正确；对于②，连接,,EF FI EI ，易得EI CD ，则,EI CD 共面，延长,DE CI 交于M ；易得EF BD ∥，则,EF BD 共面；FI BC ，,FI BC 共面；平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，又M ∈平面EDBF ，M ∈平面ICBF ，则M BF ∈，即直线DE ，BF ，CI 交于同一点，②正确；对于③，取AB 中点N ，连接角即为直线BF 与直线1B C 又22,A D A N DN ===对于④，连接1A B ，易得A 面；又1BC A B ⊥，12,BC A B =17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF ，根据E ，F 分别为AB ，BC 的中点，得到EF AC ∥，再根据三棱柱的性质证明即可；（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，得到1A E 与1C F 必相交，设11A E C F P ⋂=，再证明1P BB ∈即可.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥..又在三棱柱111ABC A B C 中，11AC A C ∥，∴11EF A C ∥.则E ，F ，1A ，1C 四点共面.（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，则1A E 与1C F 必相交.设11A E C F P ⋂=.∵1A E ⊂平面11AA B B ，∴P ∈平面11AA B B .∵1C F ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ..又平面11AA B B ∩平面111BB C C BB =∴1P BB ∈.则1A E ，1C F ，1B B 交于一点.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明1//EF CD ，从而得到四点共面；（2）根据平面的性质，证明点O ∈平面ABCD ，O ∈平面ADD 1A 1，从而A ，O ，D 三点共线.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，1A B ，1D C .在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，所以 1//EF A B .又11//BC A D ，且11BC A D =，所以四边形11BCD A 是平行四边形，所以1A B 1//D C .1//EF D C ∴，所以E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）由1D F CE O ⋂=，1O D F ∴∈，又1D F ⊂平面11ADD A ，O ∴∈平面11ADD A ，同理O ∈平面ABCD ，又平面11ADD A 平面ABCD AD =，O AD ∴∈，即A ，O ，D 三点共线.19．(1)证明见解析（2）证明：易知13HG AC=，又EF=结合（1）的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P又平面ABD⋂平面BCD BD=，20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF，BD，11B D，易得明；．（2）由直线BE 和DF 相交，延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，然后再论证P ∈平面11BB C C ，P ∈平面11CDD C 即可.【详解】（1）如图，连接EF ，BD ，11B D ．∵EF 是111B C D △的中位线，∴11EF B D ∥．∵1BB 与1DD 平行且相等，∴四边形11BDD B 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∴EF BD ∥，∴E ，F ，D ，B 四点共面．（2）∵EF BD ∥，且EF BD ≠，∴直线BE 和DF 相交．延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，∵P ∈直线BE ，直线BE ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ，∵P ∈直线DF ，直线DF ⊂平面11CDD C ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形则160A AC ∠=︒，又AC =又O 为AC 的中点，所以又平面11AA C C ⊥平面ABC则()0,0,0O ，()0,2,0A -，所以()3,1,0BD =- ，1BB AA = 设平面1B BD 的一个法向量为令13z =-，则11x =，1y =。

2017年高考数学热点、难点知识汇总

2017年高考数学热点、难点知识汇总第一、立体几何知识要点一、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[) 180,0∈θ）（直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）12方向相同12方向不相同[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑪垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑫射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.P O AaP αβM AB证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑪最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑫最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑪①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑫{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑬棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑭平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2c o s c o s c o s 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）图1θθ1θ2图2④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑪①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --. 则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑫棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑬特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii. 简证：AB ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令===,, l ab cB F E D得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅0=-⇒则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑪球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑫纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧AC D B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立]②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若∥，则存在小任一实数λ，使λ=.（×）[与=不成立]④若为非零向量，则0=⋅.（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(≠a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.O r OR（3）共面向量：若向量使之平行于平面α或在α内，则与α的关系是平行，记作∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量,不共线，则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x z y x 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=z y z y z y )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1). 注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a ++==(a a =⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中DBα∈A ，则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.ABII. 竞赛知识要点一、四面体.1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A -BC-D=sin∠ABC/sin∠A -BD-C=sin∠CBD/sin∠C -BA-DO A BCD空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑪三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑫斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑪公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑫异面直线的判定：判定定理、反证法．⑬异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑪直线和平面垂直：定义、判定定理．⑫三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑪平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑫二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑪点到平面的距离．⑫直线到与它平行平面的距离．⑬两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑭异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑪多面体．⑫棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑬平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑭棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑮直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑪简单多面体的欧拉公式．⑫正多面体．11.球⑪球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．⑫球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

高考数学二轮复习第1部分专题五立体几何必考点文

专题五立体几何必考点一空间几何体的三视图、表面积与体积[高考预测]——运筹帷幄1．以三视图为背景的几何体的识别问题．2．空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积．3．球及有关组合体的表面积与体积．[速解必备]——决胜千里1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”． a2＋b2＋c2则体对角线长为c 、b 、a 设长方体的相邻的三条棱长为(1)．2 .R 2＝a 3的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 棱长为(2) 2b＋2a ＝2R 4，则c ＝PC ，b ＝PB ，a ＝PA 两两垂直，且PC 、PB 、PA 构成的线段C 、B 、A 、P 若球面上四点(3))或其他图(成为一个球内接长方体”补形“，把有关元素2c ＋ [速解方略]——不拘一格类型一有关几何体的三视图的计算[例1] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )17B.18A. 15D.16C. 解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为，16＝×1×1×112×13＝1V .56＝16－31＝2V 剩余部分的体积D.，故选15＝1656＝V1V2所以速解法：如图所示，正方体V 16＝1D 1B 1A VABD 13＝1D 1B 1A VA 1D 1C 1B VABCD 15＝1D 1B 1A VA 答案：D方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案.(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8＋2r π5＝2r 2π＋2r 4＋2r π＋2r 2π解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为 B.故选2.＝r ，得20π＋16＝2r 4＋2r 5π由.2r 4速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“π”，只有圆柱的轴截面面积不含“π”，∴即2r ·2r ＝16，∴r ＝2，故选B. 答案：B 方略点评：1基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r .2此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )59B. 1727A. 13D.1027C. ，334π cm ＝×22π×3＋×42π×2解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为，354π cm ＝×62π×3圆柱体毛坯的体积为，320π cm ＝34π－54π所以切削掉部分的体积为 C.，故选1027＝20π54π所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为答案：C2．(2016·高考全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )518＋54．B 536＋18．A C ．90 D ．81解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积．由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则B.故选.518＋54＝)×253×3＋3×6＋(3×3表面积为答案：B类型二球及其组合体[例2] (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B．64π C ．144π D．256π解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解．如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，.2R 12＝AOB △S ∴ 面积为定值，AOB △，而AOB C V ＝ABC O V ∵ 最大，ABC O V 的距离最大时，AOB 到平面C 当点∴ ，36＝R ×2R 12×13最大为ABC O V 直的直径的端点时，体积垂AOB 为与球的大圆面C 当∴ C.故选144π.＝24π×6＝2R 4π的表面积为O 球∴，6＝R ∴ 144π.＝2r 4π＝球S 故6.＝r ，故36＝3r 16≤h 2r ×12×13＝ABC O V 则r, 速解法：设球的半径为答案：C直接求3r 16≤的表达式的代数关系ABC O V 速解法是利用.,点位置C 方略点评：基本法是根据直观图，找到得r .(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )16π．B 81π4A.27π49π D.．C ，2＋2)R －(4＝2R 解析：基本法：如图所示，，94＝R ∴，2＋2R ＋R 8－16＝2R ∴ A.，选81π4＝81164π×＝2R 4π＝表S ∴ )R 2＜h ∵2(＝h 2＞R 直观图可看出速解法：由几何体的 A.，只能选16π＞2R 4π＝表S ∴ 答案：A方略点评：1基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立R 的方程求R .速解法是估算球的半径的取值范围.的范围而选答案，巧而快表S 从而想到 2有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )3cm 866π3B. 3cm 500π3A.3cm 2 048π3D. 3cm 1 372π3C.解析：基本法：设球半径为R ，如图所示，B 为弦的中点，OA ＝OC ＝R ，由垂径定理，知△OBA 为直角三角形．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，，5＝R ，得24＋22)－R (＝2R 由 A.，故选)3π(cm 5003＝3π×543所以球的体积为答案：A2．(2016·高考全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )π32312π B.．A C ．8π D．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝12π.＝2R 4π＝S ，故所求球的表面积3＝R ，所以)为正方体外接球的半径R (a 3 答案：A[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——范围分析法方法诠释对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内．注意事项从条件分析变量范围时要尽量“精准”限时速解训练十三空间几何体的三视图、表面积与体积(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：选A.设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱解析：选B.原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.3．一个几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为( )解析：选 C.若几何体的俯视图为C选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为C选项，故选C.4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )A∈4，且A ∈2B. A ∈4，且A ∈2．A A∈17，且A ∈2D. A ∈52，且A ∈2．C ，所以其侧棱长为4，由主视图可知四棱锥的高为2由俯视图可知，该四棱锥的底面边长为D.解析：选 D.，故选17＝16＋1 5．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5，6＝AC ，22＝AD ，2＝CD ＝BC ，2＝BD ＝AB 三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知作出C.解析：选故△ABC ，△ACD ，△ABD ，△BCD 均为直角三角形，故选C.6．半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是( )2R 2π．B 2R π．A 2R 4π．D 2R 3π．C ＝rl 2π，该圆柱的侧面积为2R ＝2r ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2，则l ，母线长为r 设球的内接圆柱的底面圆半径为B.解析：选时取等号，所以该圆柱的R 2＝l ，当且仅当2R 2π＝4R2－l2＋l22≤π×4R2－l2l2π＝4r2l2π＝2R 2π－2R 4π，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2R 4π，又球的表面积为2R 2π侧面积的最大值是 B.，故选2R 2π 7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为( )A ．17B ．22132＋22．D 132＋14．C 12＝BCP △S ，8＝2×4＝ABCD矩形S，3＝PC ，2＝BC ，4＝AB ，的直观图如图所示ABCD P 作出四棱锥D.选：解析的表故四棱锥，5＝32＋42×2×12＝ADP △S ，6＝×3×412＝CDP △S ，132＝×422＋32×12＝ABP △S ，3＝×2×3 D.故选，132＋22＝5＋6＋132＋3＋8＝S 面积8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )78＋32．48 B ．A 32．D 178＋48．C 解析：选C.由三视图可得该几何体是平放的直四棱柱，底面是上底边长为2、下底边长为4、高为4的等腰＋2×4＋×2174，侧面积为12＝4)×4＋×(212，所以一个底面面积是4为)即高(梯形，四棱柱的侧棱长 C.，故选178＋48＝178＋24＋12×2，故表面积是178＋24＝4×4 所在的直线旋转一周而形成AD 绕ABCD 将梯形2.＝AB 2＝AD 2＝BC ，BC ∥AD ，π2＝ABC ∠中，ABCD ．在梯形9的曲面所围成的几何体的体积为( )4π3B. 2π3A. 2π．D 5π3C.解析：选C.过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图，故5π3＝×12π×113－×22π×1＝DE ·2CE ·π·13－BC ·2AB π·＝圆锥V－圆柱V＝V 所示，该几何体的体积为选C.10．(2016·山东淄博一模)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方体，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )34B. 56A. 16D.12C. 1的正四棱锥，所以该几何体的体积为12体为一正方体挖去一个倒置且高为由三视图可知该几何A.解析：选 A.故选.56＝×1×112×13－ 11．(2016·吉林长春一模)下图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )π⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋42π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋22A. )π24＋(8．)π D 22＋(4．C ＋(8＝π24＋8π＝rl π＋2r ·4π12＝S 该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即D.解析：选 D.故选)π.2412．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为( )74．B 72．A 716．D 78．C 128.＝2y ＋2x ∴，2)7(2－2x ＝2y －210＝2PA 该几何体的直观图如图所示，由直观图可知D.解析：选取得最大值，xy 时y ＝x ，当且仅当xy ≥22y ＋2x ＝128∵又 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝128，x ＝y ，此时∴∴h ＝PA ＝6，.716＝×8×67×212×13＝|PA ·|ABC △S ·13＝V ∴ 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．(2016·山东临沂模拟)四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2,3,4.若四面体ABCD 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为________．解析：依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为3，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为2,4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4,2,3的长方体的一部分，则其外接29π.＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2924π＝2R 4π＝S ，故这个球的表面积为292＝42＋22＋3212＝R 球的半径为答案：29π14．(2016·山东德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．解析：观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边13＋3×22π×213×12，所以该几何体的体积为32＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫422，它们的高均为3,4长分别为π.433＋38＝3×4×3×2 38＋π433：答案的V1V2则，94＝S1S2且，若它们的侧面积相等，2V ，1V 体积分别为，2S ，1S 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为．15值是________．h1h2得，2h 2r π2＝1h 1r π2即，由侧面积相等，2h 、2r ，1h 、1r 设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为：解析.r2r1＝，32＝r1r2所以，94＝πr21πr22＝S1S2又 .32＝r1r2＝r2r1·r21r22＝h1h2·r21r22＝πr21h1πr22h2＝V1V2则 32：答案 .3________m ，则该几何体的体积为m)单位：(一个几何体的三视图如图所示．16解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为2，高为2，下部是一个.20π3＝4π＋8π3＝×42π×1＋×22×π×213＝V ，故该几何体的体积4，高为1为圆柱，底面圆半径 20π3答案：必考点二空间直线与平面的位置关系[高考预测]——运筹帷幄1．空间线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质． 2．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质．3．空间异面直线的判定，求解异面直线所成的角．[速解必备]——决胜千里1．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(唯一性)2．如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．(线∥面⇒线∥线)3．三个平面两两垂直，其交线也两两垂直．(面⊥面⇒线⊥线)4．两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面．(线∥线⇒线⊥面)5．一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面．(面∥面⇒线⊥面) 6．两个相交平面同垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面．(面⊥面⇒线⊥面)7．垂直于同一条直线的两个平面平行．(线⊥面⇒面∥面) 8．一个平面及该平面外的一条直线，同垂直于第二个平面，则直线与该平面平行．(面⊥面⇒线∥面)(反之也成立)[速解方略]——不拘一格类型一空间位置关系的判定[例1] (1)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l 解析：基本法：若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.速解法：构造图形如图所示，知D项正确．答案：D 方略点评：基本法是逐个排除选项，利用线面关系定理进行推证.速解法是根据已知条件画出适合题意的图形，进行证明.(2)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：基本法：对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面α内，故C不正确；对D，n还可能在α内，故D不正确．速解法：在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确．答案：B 方略点评：判断线面的位置关系，一种方法是根据判定定理或性质定理进行理论推证，另一种方法，把线面放置在具体的几何体中进行判定.1．(2016·山东莱芜二模)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( )A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：基本法：C中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故C项不正确．答案：C 2．(2016·高考全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．答案：②③④[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——反证法方法诠释对于要证的结论，假设不成立，以此为突破口，进行推理，最后得出矛盾的方法是反证法方法特点对于从正面不易说明的结论，可考虑反证法，如证明异面直线等，产生矛盾可以是与已知矛盾，也可以与定理矛盾.限时速解训练十四空间直线与平面的位置关系(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选 A.考生可借助笔和桌面，不难通过空间想象加以判断解决，也可借助正方体举反例，直观地排除平面∥1C 1D ；B ，可排除BC 不垂直C 1B ，但ABCD 平面⊥1BCC 1B 不正确的选项，从而使问题获解．如：平面不平行，可排除AC 与1B 1A ，但ABCD 平面∥1D 1C 1B 1A ；平面C ，可排除ABCD 不平行于平面1DCC 1D ，但平面ABCD D ，故选A.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：选C.A 中，若α⊥β，a ⊥α，b ∥β，则a ∥β或a ⊂β，不能得到a ⊥b ，故A 错；B 中，a ⊥α，α∥β，则a ⊥β，又b ⊥β，则a ∥b ，故B 错；C 中，若b ⊥β，α∥β，则b ⊥α，又a ⊂α，则a ⊥b ，故C 正确；D 中，a 与b 可能垂直、平行或异面，故D 错．综上所述，故选C.)(的D 1BC △为M ，则M 交于点D 1BC 与平面C 1A 中，直线ABCD 1D 1C 1B 1A ．在长方体3 A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心平面∈M ，1A 1ACC 平面⊂C 1A ∈M 又.O 1C ＝D 1BC 平面∩1A 1ACC ，则平面O 交于点BD ，与AC 连接D.解析：选△是O 1C ∵，又12＝OC A1C1＝OM MC1∴，1MA 1C ∽△OMC ∴△，1C 1A ∥OC 三点共线．而O ，M ，1C ，故O 1C ∈M ∴，D 1BC D.的重心，故选D 1BC △为M ∴的中线，D 1BC 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：选C.A ，B ，D 中直线m 可能在平面α内也可能与平面α相交或平行；由线面垂直的判定与性质可知C 正确，故选C.5．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β解析：选C.A 项中可能出现α∥β，B 项中可能出现α⊥β，C 项正确，由m ∥α知平面α内存在直线l ，使得m ∥l ，则l ∥n .因为n ⊥β，所以l ⊥β，因为l ⊂α，所以α⊥β，故选C.6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是( )A ．m ⊥n ，n ∥αB ．m ∥β，β⊥αC ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C.对于A ，直线m 可能位于平面α内，此时不能得出m ⊥α；对于B ，直线m 可能位于平面α内，且与平面α，β的交线平行，此时不能得出m ⊥α；对于C ，由m ⊥β，n ⊥β得m ∥n ，又n ⊥α，因此m ⊥α；对于D ，直线m 可能是平面α，β的交线，此时不能得知m ⊥α，故选C.上的点，则F 1C 与E 1D 分别是线段N ，M 的中点，点1AA ，AB 的棱1D 1C 1B 1A ABCD 分别是正方体F ，E ．已知点7与平面ABCD 垂直的直线MN 有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条，连接N 于点F 1C 交1AA ∥MN 作M 内过点C 1C 1AA ，在平面M 相交于点C 1C 1AA 与平面E 1D 如图，设B.解析：选 B.，故选ABCD 平面⊥MN 唯一，且MN 为异面直线知E 1D 与F 1C ，由MN8．已知直线l 与平面α平行，则下列结论错误的是( )A ．直线l 与平面α没有公共点B ．存在经过直线l 的平面与平面α平行C ．直线l 与平面α内的任意一条直线都平行D ．直线l 上所有的点到平面α的距离都相等解析：选C.直线l 与平面α平行，则直线l 不可能与平面α内的任意一条直线都平行，故选C.9．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a ，b ，c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.依题意，当a ，b 均为平面，c 为直线时，此时相应的结论正确；当a ，c 均为平面，b 为直线时，此时相应的结论不正确；当b ，c 均为平面，a 为直线时，此时相应的结论正确；当a ，b ，c 均为平面时，此时相应的结论正确．综上所述，在所得的命题中，真命题有3个，故选C.10．设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A ．c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．b ⊂α，c ⊄α，若c ∥a ，则b ∥cC ．b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．a ，b ⊂α，a ∩b ＝P ，c ⊥a ，c ⊥b ，若α⊥β，则c ⊂β解析：选C.利用排除法求解．A 的逆命题为：c ⊥α，若α∥β，则c ⊥β，成立；B 的逆命题为：b ⊂α，c ⊄α，若b ∥c ，则c ∥α，成立；C 的逆命题为：b ⊂β，若β⊥α，则b ⊥α，不成立；D 的逆命题为：a ，b ⊂α，a ∩b ＝P ，c ⊥a ，c ⊥b ，若c ⊂β，则α⊥β，成立，故选C.11．已知平面α∥β，且α与β的距离为d (d ＞0)，m ⊂α，则在β内与直线m 的距离为2d 的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条解析：选C.由题意得平面β内与直线m 的距离为2d 的直线为以直线m 为中心线，半径为2d 的圆柱面与平面β的交线，易知交线有2条，故选C.，则下述结论：1AC ⊥DF 上，且1AC 在F 的中点，1BB 为D 中，1C 1B 1A ABC ．在棱长均相等的正三棱柱12①AC 1⊥BC ； ②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1，其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.不妨设棱长为2.①连接AB 1，则AB 1＝AC 1＝22，∴∠AC 1B 1≠90°，即AC 1与B 1C 1不垂直，又BC ∥B 1C 1，∴①错；②连接AD ，DC 1，在△ADC 1中，AD ＝DC 1＝5，而DF ⊥AC 1，∴F 是AC 1的中点，∴②对；由②知在△ADC 1中DF ＝3，连接CF ，CD ，易知CF ＝2，而在Rt △CBD 中，CD ＝5，∴DF 2＋CF 2＝CD 2，∴DF ⊥CF ，又DF ⊥AC 1，CF ∩AC 1＝F ， ∴DF ⊥平面AA 1C 1C ，∴③对，故选C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．(2016·山西太原二模)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l ，则l ⊥γ；③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l 垂直的无数条直线都平行，则直线l 可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以④错，故填①②.答案：①②14．(2016·辽宁五校联考)四棱锥P ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰三角形，则在四棱锥P ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA ⊥BC ，PA ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥PA ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：615．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则b和c 的位置关系可能是________．解析：由题意，若a ∥l ，则利用线面平行的判定可知a ∥α，a ∥β，从而直线b 和c 平行；若a ∩l ＝A ，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交于点A ；若a ∩α＝B ，a ∩β＝c ，且直线a 和l 垂直，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交，否则直线b 和c 异面．综上所述，b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：相交、平行或异面上运动，则下列四个命题：1BC 的面对角线1D 1C 1B 1A ABCD 在正方体P ．点16的体积不变；PC 1D A 三棱锥① ；1ACD 平面∥P 1A ② ；1BC ⊥DP ③ .1ACD 平面⊥1PDB 平面④ 其中正确命题的序号是________．平面∥1BC ，所以直线C 1AD 平面⊄1BC ，直线C 1AD 平面⊂1AD ，并且直线1AD 直线∥1BC 解析：由题意可得，直线正①的体积不变，故PC 1D A ，所以三棱柱C 1AD VP ＝PC 1D VA 的距离不改变．因为C 1AD 到平面P 所以点.C 1AD 正②所以，1ACD 平面∥P 1A ，所以B 1C 1A 平面⊂P 1A 又因为.B 1C 1A 平面∥C 1AD ，可得平面B 1A ，1C 1A 确．连接1DB 为BD ，则BD 不正确．连接③，故1BC 不垂直于DP 是等边三角形，所以1DBC △时，B 运动到点P 确．当点1BD 又因为.C 1AD 平面⊥1DB ，所以可得1DB ⊥1AD 同理可得.1DB ⊥AC ，所以BD ⊥AC 内的射影．因为ABCD 在平面.①②④正确．综上，正确命题的序号为④，故1ACD 平面⊥1PDB ，所以平面1PDB 平面⊂ 答案：①②④专题五综合提升训练(五) (用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·吉林省实验中学一模)已知两条不同的直线l ，m 和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α.其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0解析：选 C.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α或l ⊂α，所以③错误．综上可知，选C.2．(2016·河北唐山模拟)已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA ＝3，AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积为( )A ．13π B．17π C ．52π D．68π解析：选 B.如图所示，可将此三棱锥放入长方体中，则此三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，球心为＝S ，所以此球的表面积为172＝R 的半径O ，所以球17＝PA2＋AB2＋BC2＝PC 的中点．因为PC 17π.＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1724π×3．(2016·哈尔滨六中适应性考试)已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是( )83，54．8 B ，54．A 8,8．D 83，1)＋54(．C 解析：选 C.由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长AB ＝2，高.5＝22＋12＝PE ，则四棱锥的斜高2＝PO，1)＋54(＝5×2×124×＋4＝S 所以该四棱锥的表面积 C.故选.83＝×2×2×213＝V 体积 4．(2016·吉林省实验中学一模)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( ) A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βC ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c解析：选B.A 的逆命题为：当c ⊥α时，若α∥β，则c ⊥β，由线面垂直的性质知c ⊥β；B 的逆命题为：当b ⊂α时，若α⊥β，则b ⊥β，显然错误；C 的逆命题为：当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若a ⊥b ，则b ⊥c ，由三垂线的逆定理知b ⊥c ；D 的逆命题为：当b ⊂α，且c ⊄α时，若b ∥c ，则c ∥α，由线面平行的判定定理可得c ∥α.故选B.5．有一圆锥内接于球O ，其底面圆周和顶点均在球面上，底面积S ＝3π，球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为( ) A ．π B．3π C ．π或3π D．2π＝R2－r2＝x ，则x ＝1OO 为圆锥底面圆的圆心，1O 设.3＝r 得，圆锥的底面半径3π＝2r π由C.解析：选V或3π＝×3π×313＝Sh 13＝V ，所以圆锥的体积1＝x －R ＝h 或3＝x ＋R ＝h ，圆锥的高1＝22－32π.＝×3π×113＝Sh 13＝ 6．(2016·广西南宁市、百色市联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )43＋82π3B. 43＋42π3A.2＋82π32 D.＋42π3C.的等腰直角三角2的半球，上面是一个底面是腰为2由三视图可知，该几何体下面是半径为A.解析：选 A.，故选43＋π423＝×2×2×212×13＋3)2π×(43×12＝V 的三棱锥，其体积2形、高是 7．半径为1的球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，AB 过点O ，CA ＝CB ，DA ＝DB ，DC ＝1，则三棱锥A BCD 的体积为( )33B. 36A.6D. 3C.为等边三角OCD △所以，1＝CD ＝OD ＝OC 因为.OCD A V 2＝BCD A V 由球体的对称性可知，OD ，OC 连接A.选：解析 A.故选，36＝3122×＝BCD A V 故，312＝×134×13＝OCD A V 故，34＝OCD △S 故，形 )(，则它的正视图为43如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为．8解析：选 B.由题知该几何体为组合体，上方为四棱锥，下方为正方体，四棱锥顶点在底面上的射影为正方体一边上的中点，结合选项图可知，选B.9．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )2∶π66 B.∶π5A. C ．π∶2 D ．5π∶12得，2⎝⎛⎭⎪⎫22a ＋2a ＝2R 则有，a 正方体的棱长为，R 设球的半径为，正方体底面的中心即球的球心B.选：解析 2.∶π6＝3a ∶3R π23所以半球的体积与正方体的体积之比为，2a 32＝2R 10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p ：若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β；命题q ：若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α.则下列结论正确的是( )A ．p ∧(綈q )是真命题B ．(綈p )∨q 是真命题C ．(綈p )∧q 是假命题。

高三数学总复习二轮专题5立体几何知识归纳

• 注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
• 4．点到平面的距离
• (1)定义：一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这个点到平面的距离．
• (2)求法：一是根据定义，按照作(或找)— 证—求的步骤求解；二是利用空间向量，首先求出平面的单位法向量n0，再任意找一个从该点出发的平面的斜线对应的向量 v，则点到平面的距离为d＝|n0·v|.
• (3)证明平面与平面平行的方法是转化为直线与直线平行和直线与平面平行，然后利
用向量方法证明．也可以用如下方法：若平面α和β的法向量分别为n1和n2，则 α∥β⇔n1∥n2. • (4)证明直线和直线垂直的方法是：若直线 l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
• 2．证明线面平行问题的常用方法：
• (1)利用定义证明，即若a∩α＝∅，则a∥α；
• (2)利用线面平行的判定定理证明，即a∥b， a⊄α，b⊂α⇒a∥α；由线线平行⇒线面平行；
• (3)利用面面平行的重要结论证明，即α∥β， a⊂α⇒a∥β，由面面平行⇒线面平行．
• (4)利用空间向量法，又有三种方法：一是证明直线方向向量与平面法向量垂直；二是证明直线方向向量与平面内两不共线向量是共面向量；三是证明直线方向向量与平面内一向量共线．
• 6．求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高．
• 7．有关球的组合体
• 与球有关的组合体问题，近几年高考命题
中常出现，特别是球的外接与内切问题，
解题时要认真分析图形，明确切点和接点

高考数学立体几何知识点梳理

高考数学立体几何知识点梳理关键信息：1、立体几何基本概念与公理点、线、面的位置关系三公理及推论2、直线与平面的位置关系直线与平面平行直线与平面垂直3、平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面垂直4、空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球5、空间几何体的表面积与体积表面积公式体积公式6、空间向量在立体几何中的应用空间向量的坐标表示空间向量的数量积利用空间向量证明位置关系利用空间向量求空间角11 立体几何基本概念与公理111 点、线、面的位置关系点是空间中最基本的元素，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。

点动成线，线动成面。

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。

平面与平面的位置关系有：平行、相交。

112 三公理及推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

21 直线与平面的位置关系211 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

212 直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

31 平面与平面的位置关系311 平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

312 平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

专题五立体几何专题复习

专题五、立体几何1、线面平行的证法：面∥线面线面线线∥线⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂①关键是在平面内找（用直尺平移到平面内）一条直线与已知直线平行②在证线线平行时，常用到三角形中位线定理或平行四边形对边平行2、线面垂直的证法：αα面线面线线线线线线线⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⊥l b a b a b l al ,关键是在平面内找两条相交直线与已知直线垂直 3、面面垂直的证法βαβα面面面线面线⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l4、面面垂直的作用（证明线面垂直）αββαβα面线线线面线线面面面面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥l m l l m注：在条件中寻找线线垂直时，常用结论有①勾股定理逆定理 ②等腰三角形三线合一 ③直径所对圆周角是直角一、考点分析：（理科）考点一：三视图与表面积、体积的结合三视图的识别，多以考查组合体为主，大部分是已知部分（或全部）三视图，进而考查立体图形直观图的还原及计算问题。

几何体的表面积和体积的综合，往往以球为载体，结合棱柱、棱锥。

近三年高考题2011年（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为。

2012年（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）222013年（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为考点二：空间线面关系的判断该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法．考点三：求空间角考查空间角的计算为主，解决这类问题往往有两种方法：传统几何法和向量法，这两种方法各有所长，传统几何法的主要思想是把立体问题转化为平面问题，难点在逻辑推理、空间想象能力；向量法在建立空间坐标系后把问题转化成坐标运算，其难点在代数运算。

2017年全国高考考前解答题必考点(理数)命题揭秘之立体几何：知识必备含解析

思路点拨一、柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 (1）旋转体的侧面积和表面积=2,=,=(')S rl S rl S r r l πππ+柱侧锥侧台侧.22222=22,=,=(')(')=4S rl r S rl r S r r l r r S r πππππππ+++++柱全锥全台全球表，。

（2）几何体的体积公式'3114=sh,=,='=333V V sh V ss r π柱锥台球（s++s ）h,V 。

二、点、线、面之间的关系 1。

直线与平面平行（1）判断定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)即：,a b αα⊄⊂，且a b ⇒a α。

其它判断方法：,a a αβαβ⊂⇒。

（2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行)即:,,aa l a l αβαβ⊂=⇒.2。

平面与平面平行（1）判断定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行)。

即：,,,,a b a b M a b ββαααβ⊂⊂=⇒。

（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行⇒线线平行）.即：,,a b a b αβγαγβ==⇒。

3.直线与平面垂直：（1）定义：若直线与平面α内的任一条直线都垂直，则直线与平面α垂直.(2）判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）。

即：,,,,a b l a l b a b P l ααα⊂⊂⊥⊥=⇒⊥.（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

即：,a b a b αα⊥⊥⇒.4.平面与平面垂直（1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.（2）判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥。

2017年高考数学立体几何知识点总结与2017年高考数学第一轮复习重点总结汇编.doc

2017年高考数学立体几何知识点总结与2017年高考数学第一轮复习重点总结汇编2017年高考数学立体几何知识点总结(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2017年高考数学第一轮复习重点总结数学的备考重点在于巩固基础和掌握解题技巧。

因此复习可分为两个阶段。

2017年高考数学一轮总复习专题五立体几何课件文.

1 DE CF DE 2 ∵EF∥DC，∴DP＝CP，即＝2. 3 3 3 3 3 ∴DE＝ 4 .∴PE＝ 3－ 4 ＝ 4 . 1 3 ∴S△CDE＝2CD· DE＝ 8 ， MD＝ ME2－DE2＝ PE2－DE2 ＝
3
4
3 2
－
6 3 2 ＝2. 4
因为 AO∩PO＝O，又 BD⊥AO，所以 BD⊥平面POA.
(2)解：设 AO∩BD＝H，因为∠DAB＝60°，
所以△BDA 为等边三角形.
故 BD＝4，HB＝2，HA＝2 3.
设 PO＝x，如图 5-8，连接 OB，PH，
则 OH＝2 3－x，OA＝4 3－x.
图 5-8
由 OH⊥BD，则 OB2＝OH2＋BH2＝(2 3－x)2＋22. 由(1)知，PO⊥平面 BFED，则 PO⊥OB. 所以 PB＝ OB2＋OP2＝ 2 ＝ 2x－ 32＋10. 当 x＝ 3时，PBmin＝ 10，此时 PO＝ 3. 1 所以当 PB 取得最小值时，V 四棱锥 PBFED＝ ×S 3 1 3 2 3 2 ＝3× ×4 － ×2 × 3＝3. 4 4
由 BC⊥平面 PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，
∠BCE，∠DEC，∠DEB.
(2)由已知，PD 是阳马 PABCD 的高， 1 1 所以 V1＝3SABCD· PD＝3BC· CD· PD. 由(1)知，DE 是鳖臑 DBCE 的高， BC⊥CE， 1 1 所以 V2＝3S△BCE· DE＝6BC· CE· DE. 在 Rt△PDC 中，因为 PD＝CD，点 E 是 PC 的中点， 2 所以 DE＝CE＝ 2 CD. 1 BC· CD· PD 3 V1 2CD· PD 于是 V ＝ 1 ＝ CE· ＝4. DE 2 CE· DE 6BC·

高三数学第二轮重点复习内容

高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2017高考数学文二轮复习课件：八大提分笔记五立体几何

线面位置关系把握不准致误例2 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、
F 分别为 DD1、DB 的中点． (1)求证：EF∥平面 ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C. [正解] (1)连接 BD1，如图所示，
在△DD1B 中，E、F 分别为 DD1、DB 的中点，则
EF∥D1B D1B⊂平面ABC1D1⇒EF∥平面 ABC1D1. EF⊄平面ABC1D1
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl(r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl(同上)， S
圆台侧
＝π(r′＋r)l(r′、r 分别为上、下底的半径，l 为
母线)．
(5)体积公式 V 柱＝S· h(S 为底面面积，h 为高)， 1 V 锥＝ S· h(S 为底面面积，h 为高)， 3 1 V 台＝3(S＋ SS′＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h 为高)． (6)球的表面积和体积 4 3 S 球＝4πR ，V 球＝3πR .
(2)面面平行：
ห้องสมุดไป่ตู้
a⊂α，b⊂α a∩b＝O a⊥α ⇒α∥β； ⇒α∥β； a∥β a⊥β b∥β
α∥β ⇒α∥γ； γ∥β (3)线线平行： a∥α a⊥α ⇒a∥b； a⊂β ⇒a∥b； b⊥α α∩β＝b
α∥β a∥c ⇒a∥b. α∩γ＝a⇒a∥b； b∥c β∩γ＝b 空间的垂直关系 a⊂α，b⊂α (1)线面垂直： a∩b＝O ⇒l⊥α； l⊥a，l⊥b a⊥β； α∥β a∥b ⇒a⊥β； ⇒b⊥α； a⊥α a⊥α
2
4 空间直线的位置关系 (1)相交直线——有且只有一个公共点． (2)平行直线——在同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不在同一平面内，也没有公共点． 5 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，证明时不要漏写；证明面面平行时，必须是一个面内的两条相交直线与另一个面平行或是一个面内的两条相交线平行于另一个面内的两条相交线；

热点14空间几何体2017年高考数学二轮核心考点总动员(附解析)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点14 空间几何体【热点考法】本热点的题型为选择填空题，主要考查由三视图求原几何体的表面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，考查空间想象能力、运算求解能力，难度为中档或以下试题，分值为5分.【热点考向】考向一空间几何体的三视图【解决法宝】在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在处理三视图问题时，要根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量，或由几何体确定三视图中的量.例1【辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）【分析】先由三视图确定主视图和侧视图完全相同时，再根据几何体确定俯视图.【解析】俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，故选B.考向二几何体的表面积【解决法宝】利用三视图求解几何体的表面积，关键是确定几何体的形状和相关数据，计算出各个面的面积，再求和即为表面积，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”.例2【重庆八中2017届高三上学期二调，9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．50 B．50.5 C．51.5 D．60【分析】由三视图知，对应的几何体是底面是直角边为3和4的直角三角形的直三棱柱消去一个同底的三棱锥且三棱锥的高为3，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算，在求各面面积之和即可．考向三几何体的体积【解决法宝】1.求简单几何体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算. 2.求几何体的体积的常用方法有割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等，分别求出柱体、椎体等的体积，从而得出几何体的体积.（2）等体积转化法:利用三棱锥的每一个面可做底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来求解；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.3.利用三视图为载体求解几何体的体积，关键是是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.例3【河北衡水中学2017届上学期一调，3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A ．8B ．12C ．18D ．24【分析】由三视图知，该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，可以确定其相关数据，即可计算其体积．考向四球的切接问题【解决法宝】①涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解，球内接正棱锥、正棱柱、圆柱、圆锥的球心在高上，球的截面性质是求解此类问题重要工具.②若球面四点P ，A ，B ，C 构成的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则22224c b a R ++=，把有关元素“补形”为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．例4.【江西南昌市2017届摸底考试，9】已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为8π，则h =（）A ．1BCD ．2【分析】由三视图知，对应的几何体为一个三棱锥，侧棱垂直底面，底面为一等腰直角三角形，高为1，底为2，将三棱锥补成一个长方体，由球的表面积求出球的半径，由长方体的对角线性质即可列出关于h 的方程，即可解出h 。

2017届高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何必考点文

专题六解析几何必考点一直线与圆[高考预测]——运筹帷幄 1．求直线方程．2．直线位置关系的判定及应用、点到直线的距离问题． 3．求圆的方程．4．直线与圆的位置关系判定及应用． [速解必备]——决胜千里1．与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与之垂直的直线可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线可设为(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. 3．两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．【提醒】应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 5．过圆x 2＋y 2＝r 2上的点P (x 0，y 0)的切线方程为 x 0x ＋y 0y ＝r 2.6．过⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆的方程可设为：(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，当λ＝－1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程．7．过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短的弦是以该点为中点的弦． 8．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，当该点与圆心连线与该直线垂直时，其切线长最小．[速解方略]——不拘一格类型一直线方程及位置关系[例1] (1)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12解析：基本法：①当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时如图(1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1.又易知x D ＝－b a，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12³a ＋b a ³a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(1) (2)②当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时如图(2)，由S △FCG ＝12(x G －x F )²|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(0＜a ＜1)． ∵对于任意的a ＞0恒成立， ∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12，故选B. 速解法：取b ＝34，则直线y ＝ax ＋34只能与BC 和AB 相交，才可能分割为面积相等的两部分，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，0由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋34y ＝－x ＋1得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x E ，4a ＋34 a ＋1若S △BED ＝12³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34a ³4a ＋34 a ＋1 ＝12，则24a ＋9＝16a .显然无解，排除A.当a →0时，y ＝ax ＋b →y ＝b ，如图，∴S △CDM S △ABC ＝ 1－b 212＝12，∴b ＝1－22.∴b ＞1－22，故选B. 答案：B方略点评：基本法利用直线相交，求出面积表达式，利用函数观点，求b 的范围.速解法采用特值验证及极限分析法，得出答案，较简单.(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |²|PB |的最大值是________．解析：基本法：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |²|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |²|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．速解法：直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A (0,0)，B (1,3)且两直线垂直．∴当P 与A ，B 不重合时，形成直角三角形PAB ，|AB |＝10，而S △PAB ＝12|PA ||PB |＝12|AB |²h .当P 到AB 的距离h ＝12|AB |时，S 最大，∴(|PA |²|PB |)max ＝12|AB |2＝5.答案：5方略点评： 1 基本法是根据基本不等式求解.速解法是利用等积法直接找P 的位置. 2 求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.3 判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A. 答案：A2．(2016²高考全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34C. 3 D ．2解析：x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，即(x －1)2＋(y －4)2＝4，圆心为(1,4)到直线ax ＋y －1＝0的距离为d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，即|a ＋3|＝a 2＋1 解得a ＝－43，选A.答案：A类型二圆的方程及位置关系[例2] (1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10解析：基本法：设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|PA |＝|PB |，得a ＝1.则P (1，－2)，|PA |＝ 1－1 2＋ 3＋2 2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6. 速解法：由题意可知AC 为圆的直径，|AC |＝10， ∴r ＝5.AC 的中点(1，－2)为圆心，到y 轴距离为1. ∴|MN |＝252－12＝4 6. 答案：C方略点评：基本法是求出了圆的方程与y 轴的交点，求MN 长．速解法是利用了几何法，解三角形求弦长，较简单．(2)一个圆经过随圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：基本法：由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.速解法：如图，设圆心M (a,0) 则r 2＝22＋a 2＝(4－a )2∴a ＝32，∴r ＝4－32＝52∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254方略点评： 1 基本法是利用三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点求的.速解法是利用外接圆的几何意义，用待定系数法求的. 2 确定圆心位置的方法①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.1．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43解析：基本法：如图，在坐标系中画出△ABC ，利用两点间的距离公式，可知|AB |＝|BC |＝|AC |＝2，即△ABC 为等边三角形，设BC 的中点为D ，点E 为三角形外心，圆心即为重心． ∴|AE |＝23|AD |＝233，∴|OE |＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：B2．(2016²高考全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：基本法：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π. 答案：4π[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——借鉴法限时速解训练十五直线与圆(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D.由题意可得圆的半径r ＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解析：选D.依据题意得圆的圆心为(1,1)，半径为r ＝1.因为直线和圆相切，所以|3＋4－b |32＋422＝1，解得b ＝12或b ＝2，故选D.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心G ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0解析：选A.圆心坐标为(－1,0)，所求直线的斜率为1，所以方程为x －y ＋1＝0，故选A. 4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选 B.C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝ 2＋1 2＋ 1＋1 2＝13.|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B.5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252－ 2＋1 2＝8，故选B.6．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( ) A. 5 B ．2 5 C ．10 D ．20解析：选D.注意到直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |5；又直线l 1，l 2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |5＝4，即|a －b |＝20，故选D.7．(2016²山东潍坊模拟)圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023 D ．911解析：选C.因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12³10³223＝1023.8．(2016²山东烟台诊断)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为( ) A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5k 2＋1＝22＋12，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.9．(2016²河北石家庄二检)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( ) A ．[4,6] B ．(4,6) C ．[5,7] D ．(5,7)解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.10．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，3)B ．(－3，0)∪(0，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33，故选D.11．(2016²山东潍坊模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解析：选B.由图可知，若圆C 上存在点P 使得∠APB ＝90°，则圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以m －1≤32＋42≤m ＋1，即4≤m ≤6.12．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( )A ．150° B．135° C ．120° D．不存在解析：选A.结合图形求解．曲线y ＝2－x 2是半圆(如图)，当△AOB 的面积等于1时，12³2³2sin ∠AOB ＝1，∠AOB ＝90°，此时圆心O 到直线AB 的距离OC ＝1，又OP ＝2，易得∠CPO ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，故选A.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧0－2 2＋－4－a 2＝r 2， 0－2 2＋－2－a 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝514．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )²⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ²6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：2515．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心坐标为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以 4－2 2＋ 0－m 2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝25416．已知P 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －4)2＋(y －5)2＝4的切线，A ，B 为切点，则∠APB 的最大值为________．解析：依题意，圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心C 1(1,1)、半径是1；圆心C 2(4,5)、半径是2，且sin ∠APB 2＝|AC 2||PC 2|＝2|PC 2|，当|PC 2|最小时，sin ∠APB2最大，∠APB 最大，|PC 2|的最小值等于|C 1C 2|－1＝4，因此sin ∠APB 2的最大值是12，∠APB2的最大值是30°，即∠APB 的最大值是60°. 答案：60°必考点二圆锥曲线的方程与性质[高考预测]——运筹帷幄1．利用圆锥曲线定义求圆锥曲线的标准方程． 2．根据圆锥曲线方程探究其几何性质、离心率问题． 3．根据圆锥曲线的几何性质求标准方程及与直线的关系问题． 4．圆锥曲线的探索性问题． [速解必备]——决胜千里1．如图椭圆中的焦点三角形△ABF 2周长为4a ，双曲线中的焦点三角形ABF 2周长为4a ＋2|AB |.2．当椭圆上动点在短轴端点时与两焦点连线的视角最大．椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c ，最短距离为a －c .3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x 2a 2－y 2b2＝0.5．抛物线：设y 2＝2px (p ＞0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，为抛物线上的点，F 为其焦点． (1)焦半径|CF |＝x 1＋p2；(2)过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ，|CD |＝2p sin 2α(其中α为倾斜角)，1|CF |＋1|DF |＝2p； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．6．斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.[速解方略]——不拘一格类型一椭圆标准方程及性质[例1] (1)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：基本法：由题意得A 1(－2,0)，A 2(2,0)若kPA 2＝－1，∴直线PA 2方程为y ＝－(x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ x －2 x 24＋y 23＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝27，y ＝127.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时kPA 1＝12727＋2＝34.若kPA 2＝－2，直线PA 2方程为y ＝－2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2 x －2x 24＋y 23＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2619，y ＝2419.∴kPA 1＝24192619＋2＝38.∴kPA 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 速解法：设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，即4－x 20＝43y 20.①由题意知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2，所以k 1²k 2＝y 20x 20－4.②由①②得k 1²k 2＝－34.因为k 2∈[－2，－1]，所以k 1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案：B方略点评：基本法是利用直线PA 2与椭圆求交点P ，再求kPA 1.速解法是设而不求的方法，得出k 1²k 2＝－34的规律.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：基本法：由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又ca＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.速解法：由4a ＝43，a ＝ 3.a 2＝3排除C 、D. 对于A.c 2＝1，∴e ＝13＝33，适合题意，故选A. 答案：A方略点评：1.基本法是待定系数法，求a ，b . 速解法结合答案排除选项． 2．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键．1．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2³124＝6.故选B. 答案：B2．(2016²湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．解析：由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又c a ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.答案：x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.3．(2016²高考全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：基本法：设椭圆顶点为B (0，b )，焦点F (c,0)，则l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意得|－bc |b 2＋c 2＝14³2b ，解得 c a ＝12，∴e ＝12. 答案：B类型二双曲线标准方程及性质[例2] (1)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解析：基本法：设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.如图所示，可知|AB |＝|BM |＝2a ，∠ABM ＝120°，则∠MBx ＝60°.设B (a,0)，M (x 0，y 0)，则直线BM 的方程为y ＝3(x －a )．从而y 0＝3(x 0－a )，∴x 0－a ＝y 03. 又|BM |2＝(x 0－a )2＋y 20＝4y 203＝4a 2，∴y 0＝3a ，∴x 0＝2a .又点(2a ，3a )在双曲线上，∴4a2a 2－3a2b2＝1，∴b 2a 2＝1， ∴e ＝c a＝1＋b 2a2＝ 2. 速解法：作MD ⊥x 轴于D 点，在Rt △MBD 中，BD ＝a ，MD ＝3a ∴M (2a ，3a )在双曲线上，∴a 2＝b 2，即a ＝b . 故曲线为等轴双曲线，所以e ＝ 2. 答案：D方略点评：基本法是根据直线与双曲线联立方程组求M 点，并根据离心率定义求解.速解法是利用解三角形求M 点，并根据等轴双曲线定义求c .(2)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析：基本法：由已知得双曲线的右焦点F (3,0)．设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－3,0)．由双曲线的定义及已知得|PF |＝2a ＋|PF ′|＝2＋|PF ′|.△APF 的周长最小，即|PA |＋|PF |最小．|PA |＋|PF |＝|PA |＋2＋|PF ′|≥|AF ′|＋2＝17，即当A 、P 、F ′三点共线时，△APF 的周长最小．设P 点坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3＋y 066＝1，x 20－y 208＝1得y 20＋66y 0－96＝0，所以y 0＝26或y 0＝－86(舍去)．所以当△APF 的周长最小时，该三角形的面积S ＝12³6³66－12³6³26＝12 6.答案：12 6方略点评：1.根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝2转化|PF |，找到P 点位置．利用两个三角形△AF ′F 与△PF ′F 面积之差求得．2．圆锥曲线的定义是转化曲线上的点与两焦点距离的主要依据．1．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24 D.23解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22²|F 2A |²|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22³2a ³4a ＝14.答案：A2．(2016²高考全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B.(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m －x 2－m －n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2>0，－m 2－n >0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．答案：A3．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4³(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1类型三抛物线标准方程及性质[例3] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：基本法：由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设点A 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.速解法：如果x 0＝1，则|AF |＝1＋14＝54，适合|AF |＝54x 0，故选A.答案：A方略点评：基本法是利用抛物线定义转化AF ，建立x 0的方程.速解法是检验法对于本题相对简单.(2)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：基本法：设AB 的方程为y ＝k (x －1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 y 2＝4x得ky 2－4y －4k ＝0A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1＞0，y 2＜0)∴y 1y 2＝－4，又∵|AF |＝3|BF |，∴|y 1|＝3|y 2| ∴y 22＝43，∴43＝4x 2，x 2＝13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23∴k FB ＝3，此时方程为y ＝3(x －1) 同理，由对称性y ＝－3(x －1)，故选C.速解法一：设直线AB 与抛物线的准线x ＝－1交于点C .分别过A ，B 作AA 1垂直准线于A 1，BB 1垂直准线于B 1，由抛物线的定义可设|BF |＝|BB 1|＝t ，|AF |＝|AA 1|＝3t .由三角形的相似得|BC ||AB |＝|BC |4t ＝12， ∴|BC |＝2t ，∴∠B 1CB ＝π6，∴直线的倾斜角α＝π3或23π.又F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．故选C.答案：C速解法二：设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.又1|FA |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p sin 2θ，∴163＝4sin 2θ， ∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝± 3.故选C.答案：C方略点评： 1 基本法采用了方程组思想，待定斜率. 速解法一利用几何特征求倾斜角.速解法二利用焦点弦特有的性质，弦长公式求倾斜角. 2 抛物线的焦点弦有很多特殊性质，可简化计算.1．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42³32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12³2³26＝2 3. 答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2， FA →²FB →＝(3,4)²(0，－2)＝－8， ∴cos ∠AFB ＝FA →²FB →|FA →|²|FB →|＝－85³2＝－45.答案：D3．(2016²高考全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——定义法限时速解训练十六圆锥曲线的方程与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知双曲线C ：x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C.∵b a＝e 2－1＝54－1＝12，∴C 的渐近方程为y ＝±12x .故选C.2．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m解析：选A.双曲线C 的标准，方程为x 23m －y 23＝1，(m ＞0)∴a 2＝3m ，b 2＝3.焦点到渐近线的距离为b ＝ 3.3．(2016²高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)解析：选D.先确定焦参数p ，再求焦点坐标．由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．4．焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 解析：选B.设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y 轴上，所以λ＝－12，故选B.5．斜率为2的直线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(1，3) C ．(1，5) D ．(5，＋∞)解析：选D.依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率b a 必大于2，即b a＞2，因此该双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞ 5.6．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：选B.|PF 1|＝3＜a ＋c ＝8，故点P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝9，故选B.7．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 解析：选C.由于焦点在y 轴上，故排除A 、B.由于渐近线方程为y ＝±2x ，故排除D.故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D.因为点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，解得a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.9．(2016²甘肃兰州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( ) A.22 B.32 C.23 D.33解析：选A.设椭圆C 的焦距为2c (c ＜a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以由题意知ab a 2＋b2＝63c ，又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍)，所以e ＝22，故选A.10．(2016²山西太原质量检测)设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32D ．3 解析：选C.由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.11．(2016²豫东、豫北十校联考)椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( ) A ．2(2＋3) B.2＋2 3 C.2＋ 3 D ．4＋2 3解析：选A.因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|，同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝3，由a 2＝b 2＋c 2知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝23＋22，选A.12．(2016²河南洛阳统考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.43D ．3 解析：选B.由题意得直线方程为y ＝x ＋c ，代入双曲线的方程并整理可得(b 2－a 2)x 2－2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c b －a ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2cb －a，∴OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2cb 2－a 2，2b 2c b 2－c 2，又∵OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，∴2a 2c b 2－a 2＝3²2b 2c b 2－a2，∴a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝233.故选B. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2(p ＞0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.答案：2 214．(2016²山东聊城一模)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是________．解析：由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点为(2,0)，由点到直线的距离公式知，焦点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3³0|1＋3＝1.答案：115．(2016²贵州贵阳一模)已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意可得a ＝10，b ＝8，c ＝6.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20①，在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144②， ①2－②，得2|PF 1|²|PF 2|＝400－144＝256，∴|PF 1|²|PF 2|＝128，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝12³128＝64.答案：6416．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：如图，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时，kPF 2＝3b c －2a ＝b a，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3. 答案：2＋ 3专题六综合提升训练(六) (用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016²广东实验中学测试)若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.14C ．2 D.12解析：选B.因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，所以选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 解析：选A.因为圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心为(5,0)，所以c ＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a ＝5，b ＝25，故选A.3．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：选B.∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，解得p ＝4.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( ) A ．圆x 2＋y 2＝2上 B ．圆x 2＋y 2＝2内 C ．圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情况都有可能解析：选B.由题意知e ＝23，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba x 1x 2＝－ca，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝a 2－c 2a2＋43＝73－c 2a 2＝179＜2，∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝－bx a对称，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52C ．2 D. 2解析：选A.由题意，过F 2(c,0)且垂直于y ＝－bxa 的直线方程为y ＝ab (x －c )，它与y ＝－bx a的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c－c ，－2ab c ，∵点P 在双曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab c 2b 2＝1，整理得c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ca＝5，选A.6．(2016²山东聊城实验中学三诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ²x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ²y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ²x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ²y ＋sinC ＝0的斜率k 2＝bsin B ，故k 1k 2＝－sin A a ²bsin B＝－1，则直线sin A ²x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ²y ＋sin C ＝0垂直，故选C.7．(2016²山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y ＝0.故选A.8．(2016²重庆巴蜀中学月考)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→²EF 2→的最大值、最小值分别为( ) A ．9,7 B ．8,7 C ．9,8 D ．17,8解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→²EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→²EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→²EF 2→有最大值8，故选B.9．(2016²河北唐山摸底)已知双曲线P ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交P 于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若P 的离心率为2，则( ) A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π D ．θ＝3π4解析：选B.∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)， ∴AB →²AC →＝(x 0－a )²(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0， ∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故B 正确．10．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 6解析：选B.取双曲线的其中一条渐近线：y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab .故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b 2，2pa b ，∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴p 2＋2pa 2b 2＝p ，∴a 2b 2＝14，∴双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝5，故选B. 11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，且PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的倾斜角为120°，则|PF |＝( ) A ．2 B. 3 C ．4 D.3＋1解析：选C.设A (xA ，yA )，P (xP ，yP )，易知xA ＝－1，依题意，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝yA－1－1，所以yA ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以yP ＝yA ＝23，代入抛物线方程y 2＝4x 中，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.故选C.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线的右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10 B ．2 2C. 2D.102解析：选D.设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1.由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点．又O是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且|OE |＝12|PF 1|，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，又|PF 1|＝a ，|PF |＝2a ＋|PF 1|＝3a ，∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴e ＝c a ＝102，选D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝414．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝2，则∠F 1PF 2的正弦值为________．解析：在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝7，所以a ＝3，c ＝7.因为|PF 1|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－2＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝22＋42－ 27 22³2³4＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°，sin ∠F 1PF 2＝sin 120°＝32.答案：3215．已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点的直线m 的斜率为ab，若原点到直线m 的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离的2倍，则ab＝________.解析：设双曲线的右焦点为(c,0)，得直线m 的方程为y ＝a b(x －c )，即ax －by －ac ＝0，原点到直线m 的距离d 1＝|－ac |a 2＋b2＝a .右焦点到双曲线的一条渐近线y ＝b ax 的距离d 2＝bc a 2＋b 2＝b .因为d 1＝2d 2，所以a ＝2b ，a b＝2. 答案：216．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析：由双曲线的定义有|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，两式相加得|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a ，又|AF 1|＝|AB |，所以|BF 1|＝4a ，|AF 1|＝22a ，|AF 2|＝22a －2a .在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝(22a )2＋(22a －2a )2，解得e 2＝c 2a2＝5－2 2.答案：5－2 2专题一～六滚动训练(五) (用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |log 2(x 2－x )＜1}，B ＝(－1,2)，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩∁R B ＝∅ C ．A ∪∁R B ＝R D ．A ∩B ＝∅解析：选B.A ＝{x |log 2(x 2－x )＜1}＝{x |0＜x 2－x ＜2}＝{x |－1＜x ＜0或1＜x ＜2}，所以A 是B 的真子集，所以A ∩∁R B ＝∅，故选B.2．复数z 满足z (1＋i)＝3－i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i解析：选A.因为z ＝3－i 1＋i ＝ 3－i 1－i 2＝2－4i2＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，所以z 的虚部为2，故选A.3．已知过点(－1,2)的直线l 与直线4x －2y －1＝0平行，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．4 C ．－2 D ．3解析：选C.由已知可得所求直线的斜率为2，所以所求直线方程为y ＝2x ＋4，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 在x 轴上的截距为－2.故选C.4．下列函数中，与函数y ＝x 3的奇偶性、单调性均相同的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝2x－12xC ．y ＝ln|x |D ．y ＝tan x解析：选B.因为y ＝x 3为奇函数，在R 上单调递增，y ＝2x －12x 也是奇函数，在R 上单调递增，所以只有B 正确．y ＝e x为非奇非偶函数，y ＝ln|x |为偶函数，y ＝tan x 为奇函数，但定义。

2017年高考数学—立体几何(解答+答案)

2017年高考数学—立体几何（解答+答案）1.（17全国1理18.（12分））如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.2.（17全国1文18．（12分））如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值4.17全国2文18.(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=o 。

（1）证明：直线//BC 平面PAD ；（2）若PCD ∆的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积。

如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．6.（17全国3文19．（12分））如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．DABCE7.（17北京理（16）（本小题14分））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面,6,4MAC PA PD AB ===（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B PD A --的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．8.（17北京文（18）（本小题14分））如图，在三棱锥P ABC -中，,,,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．9.（17山东理17.）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF的中点. （Ⅰ）设P 是»CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.10.（17山东文（18）（本小题满分12分））由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD, （Ⅰ）证明：1A O ∥平面11B CD ；（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD .11.（17天津理（17）（本小题满分13分））如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7，求线段AH 的长.12.（17天津文（17）（本小题满分13分））如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.14.（17江苏15.（本小题满分14分））-中，AB⊥AD，BC⊥BD，平如图，在三棱锥A BCD面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD。

高考立体几何知识点总结材料(详细)

高考立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二）几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高）体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

2017高考数学总复习资料

2017年高考数学总复习资料要提高高三数学的复习效率，就必须合理利用复习资料，时间不容置疑地把我们推到命运的分水岭。

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2017年高考数学总复习资料：立体几何1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.高三数学总复习资料：直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.高考数学总复习资料介绍到这里，大家一定不要慌，做好最后的冲刺~精心整理，仅供学习参考。