广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(16)选修系列：选修4-1 几何证明选讲

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广东省13大市高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--坐标系与参数方程(选修4-4) Word版含答案.pdf

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
坐标系与参数方程
1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系中，圆以C的参数方程是(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是．
答案：
2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为
．
答案：（或、）
3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .
答案：
4、（惠州市2013届高三上学期期末）直线与圆相交的弦长为．与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为
5、（江门市2013届高三上学期期末）以的坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系），曲线的坐标方程是正形的顶点都在上，且、、、、依逆时针次序排列点的极坐标为点的坐标为
6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线34y+4=0的距离的最大值为
答案：3
7、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线圆，则直线l与圆C的位置关系是________.
（相交或相切或相离？）
相交曲线（为参数且）与曲线（为参数）的交点坐标是．
（1,2）与圆相交的弦长为＿＿＿＿
答案：
10、（肇庆市2013届高三上学期期末）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____
解析：两式相除得，交点的极坐标为
在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数）与曲线：为参数）、，则线段的长为　.
答案：4。

广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列：选修4-4 坐标系与参数方程

一、填空题: 14．(广东省惠州市2013届高三第三次调研文14)（坐标系与参数方程）直线2cos 1
ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为．
14.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)2
1(122=-
14. (广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考文)（坐标系与参数
方程）在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+
=的距离为 .
解：在直角坐标系中，圆：x y x 422=+，圆心)0,2(C ，直线：4=+y x ，所以，所求为2
15．(广东省广州市2013年1月高三年级调研文)（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩
(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .
15．(广东省广州市2013年1月高三年级调研理)（坐标系与参数方程选讲选做题）
已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,
θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .。

2013年高中数学全国各地高考真题分类汇编N单元选修4系列

N单元选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲图1－622．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝3 2.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于3 2.15．N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C 在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．图1－315．2 3[解析] 由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4.∵CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，∴CD 2＝ED·DA ＝12，解得CD ＝2 3，故BC ＝2 3.图1－5 15．N1[2013·湖北卷] (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO ，k 2＝x·3k ，x ＝k 3，故CEEO ＝3k －k 3k3＝8.图1－311．N1[2013·湖南卷] 如图1－2所示，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．11.32[解析] 由相交弦定理可知PA·PB ＝PC·PD ，得PC ＝4，故弦CD ＝5，又半径r ＝7，记圆心O 到直线CD 的距离为d ，则d 2＋⎝⎛⎭⎫522＝7，即d 2＝34，故d ＝32.21．N1[2013·江苏卷] A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD.图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD. 故AC ＝2AD. 11．N1[2013·北京卷] 如图1－2，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．图1－211.95 4 [解析] 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有PA 2＝PD·PB ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP 2＝PB 2，∴AB ＝4.22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE.证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD·BC.图1－822．证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2.又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB. 故∠FEB ＝∠CEB.(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.N1[2013·陕西卷]B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1－46[解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PEPA＝PDPE，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝ 6.15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，P n点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，P n点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④[解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然2 5＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P 在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．13．N1[2013·天津卷] 如图1－2所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．图1－213.83[解析] 由切割线定理可得EA 2＝EB·ED ，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝∠ADB ，由弦切角定理可得∠EAB ＝∠ADB ，所以∠EAB ＝∠ABC ，故AE ∥BC.又BD ∥AC ，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BF AE ＝BD DE ，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83. 22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲：如图1－5，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE ＝DC·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．图1－522．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BCFA ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)联结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.1－614．N1[2013·重庆卷] 如图1－6所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．14．5 [解析] 联结CE.由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°，所以在Rt △BCD 中，∠CBD＝30°.又在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝12AB ＝10，所以CE ＝AC ＝10.在Rt △CDE中，∠DCE ＝30°，故DE ＝12CE ＝5.N2 选修4-2 矩阵21．[2013·福建卷] N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝错误!)对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，求点P 的坐标． (Ⅰ)解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x′y′)＝错误!))错误!)＝错误!)，得错误! 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1，0)． N2[2013·江苏卷]B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝－1,0) 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))．所以A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a ∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α，由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83.故sin 2 α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2.故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83.所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23. N3选修4-4 参数与参数方程23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.7．N3[2013·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝17．B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.9．N3[2013·北京卷] 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．9．1 [解析] 极坐标系中点的⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.N3(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(Ⅱ)解：(1)由点A 2，π4在直线ρcos θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．14．N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为________．14．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 [解析] 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2＝2，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C 切线的方程是：x ＋y ＝2，其极坐标方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.16．N3[2013·湖北卷] (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ＋π4＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线过椭圆焦点，故m＝c ，所以c 2＝2b 2e ＝c a ＝63. 9．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 9．3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，即y ＝x －a ，椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，即x 29＋y 24＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a ＝3.N3[2013·江苏卷]C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.15．[2013·江西卷] N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4[2013·江西卷] (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________________．15．(1)ρcos 2θ－sin θ＝0 (2)[]0，4[解析] (1)曲线方程为y ＝x 2，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入得ρcos 2θ－sin θ＝0. (2)－1≤|x －2|－1≤10≤|x －2|≤2－2≤x －2≤2，得0≤x ≤4. 23．N3[2013·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫2 2，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. C ．N3[2013·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P(x ，y)，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP·cos θ，y ＝OP·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 11．N3[2013·天津卷] 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.11．2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P点极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP|＝（2－2）2＋（0－2 3）2＝2 3.23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a ∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值． 2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2.设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α，由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83. 故sin 2 α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2. 故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23. 15．N3[2013·重庆卷] 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．15．16 [解析] 直线的普通方程为x ＝4，代入曲线的参数方程得t ＝±2，当t ＝2时x ＝4，y ＝8；当t ＝－2时x ＝4，y ＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.N4(Ⅲ)选修4－5：不等式选讲24．N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x>1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43，从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43 设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．(Ⅲ)解：(1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a. 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.13．N4[2013·湖北卷] 设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x ＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 10．N4[2013·湖南卷] 已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．10．12 [解析] 因a ＋2b ＋3c ＝6，由柯西不等式可知(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c)2，可知a 2＋4b 2＋9c 2≥363＝12，即最小值为12. N4[2013·江苏卷]D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a ≥b>0，所以a －b ≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.24.N4[2013·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{}x|1≤x ≤2，求a 的值．24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.15．N4[2013·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn)(bm ＋an)≥(am an ＋bm bn)2＝mn(a ＋b)2＝2.14．N4[2013·天津卷] 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 14．－2 [解析] 12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b>0，a<0.可解得a ＝－2. 24．N4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a ＋b ＋c)，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，所以a 2b ＋b 2c＋错误!≥1. 1．N4[2013·浙江卷] (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值．1．解：(1)当x<1时，1－x ＋4－x ≥5，得x ≤0，此时x ≤0；当1≤x ≤4时，x －1＋4－x ≥5，得3≥5，此时x ∈；当x>4时，x －1＋x －4≥5，得x ≥5，此时x ≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．(2)因为|x －1|＋|x －4|≥|(x －1)－(x －4)|＝3，当且仅当1≤x ≤4时取等号；x 2－4x ＝(x －2)2－4≥－4，当且仅当x ＝2时取等号．故|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x ≥3－4＝－1，当x ＝2时取等号．所以y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值为－1.16．N4[2013·重庆卷] 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．16．(－∞，8] [解析] 要使不等式无解，则a 必须小于或等于|x －5|＋|x ＋3|的最小值，而|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，则a ≤8，所以实数a 的取值范围是(－∞，8]．N5 选修4-7 优选法与试验设计。

2013年高考广东卷数学(理)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(),,x y z和正视图俯视图侧视图第5题图(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y =+在D上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________..AED CBO第15题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---, *n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；[来源:学。

广东省11大市2013年高三数学一模试题分类汇编16：坐标系与参数方程(选修4-4)(理科).pdf

广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编坐标系与参数方程 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为． 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为．答案： 3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知曲线：和曲线：，则上到的距离等于的点的个数为．答案：将方程与化为直角坐标方程得与，知为圆心在坐标原点，半径为的圆，为直线，因圆心到直线的距离为，故满足条件的点的个数. 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）在极坐标系中，圆＝2上的点到直线＝3的距离的最小值是＿＿＿＿答案：1 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为＝2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是＿＿＿答案： 6、（韶关市2013届高三调研考试）在直角坐标系xoy中，圆C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，圆C2的极坐标方程为，则C1与C2的位置关系是＿＿＿＿＿（在“相交，相离，内切，外切，内含”中选择一个你认为正确的填上）答案：内切 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____。

答案：【解析】为，所以，解得因此 8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）已知直线与直线相交于点，又点，则答案： 9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为．答案：（或、） 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线34y+4=0的距离的最大值为答案：3 11、（湛江市2013届高三高考测试（一））在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿答案：。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B 、{}0,2C 、{}2,0-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、13、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,24、已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B 、2 C 、52D 、3 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143C 、163D 、66、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B 、若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC 、若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D、2212x = 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、10、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【二】选做题【14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分】14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、17、【本小题满分12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18、【本小题满分14分】如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19、【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. .CO BD EA CDOB'A图1图221、【本小题满分14分】设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'='即二面角A CD B '--19、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k ek '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(3)函数与导数1

一、选择题:4．(广东省惠州市2013届高三第三次调研文4)下列函数是偶函数的是（） A ．y sinx = B ．3y x = C ．xy e = D ．2ln1y x =+ 4. 【解析】y sinx =，3y x =为奇函数，xy e =为非奇非偶函数，2ln 1y x =+为偶函数，选D4．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)已知幂函数()y f x =的图象过点12(2，，则4log (2)f 的值为（）A ． 14B ．－14 C ．2 D ．－2 4．【解析】由设()f x x α=，图象过点12(22，得121211()()2222αα==⇒=， 12441log (2)log 24f ==．故选A ．6．(广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考文)已知x x f 2log )(=，函数)(x g y =是它的反函数，则函数)1(x g y -=的大致图像是解：xxx g x g -=-⇒=12)1(2)(，故选D 。

8．(广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考文)若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是( ).(A)1 (B)x cos (C) x sin - (D) x sin 解：代入答案检验可知选C ；5．(广东省广州市2013年1月高三年级调研文)已知e 为自然对数的底数，函数y x =e 的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 【答案】A3．(广东省广州市2013年1月高三年级调研理)已知函数()2030xx x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 3. B【解析】22211log log 2244f -⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. (广东省茂名市2013年高三第一次高考模拟理)已知)(x f 是奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则1()2f -=（）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 【答案】B8．(广东省佛山市2013年普通高中高三教学质量检测一理)对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ． (0,2)C ．15(,)22D ．(1,3) 【答案】A⒑(广东省江门市2013年1月高三调研文)若直线ax y =与曲线x y ln =相切，则常数=aA ．eB ．1C ．1-e D ．e 【答案】C11. (广东省广州市2013年1月高三年级调研理)若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 11.e -【解析】设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+g 得0ln 1k x =+,故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-10. (广东省茂名市2013年高三第一次高考模拟理)计算 .【答案】2e21．（本小题满分14分）解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当Θ…………1分当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈<Y x x f 当时，0)('>x f ，上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f …………2分)(x f ∴的极小值是(1)2f =- …………………3分（2）法1：/2()33f x x a =-，直线0=++m y x 即y x m =-+，依题意，切线斜率/2()331k f x x a ==-≠-，即23310x a -+=无解……………4分043(31)0a ∴∆=-⨯-+<31<∴a ………………6分法2：f x x a a =-≥-/2()333，……………4分要使直线0=++m y x 对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，当且仅当a -<-13时成立，31<∴a ………………6分（3）因,]1,1[|3||)(|)(3上是偶函数在--==ax x x f x g故只要求在]1,0[上的最大值. …………7分 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)(/x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在.31)1()(a f a F -== …………………9分21．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123x f x ax x ax =++--()a ∈R．（1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在[)3+∞，上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x bf x x --=有实根，求实数b 的最大值。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,含答案)

设数列 an 的前 n 项和为 Sn . 已知 a1
（1）求 a2 的值（2）求数列｛ an｝的通项公式 a1
2 Sn 1, n
an 1
1 n2 3
n
2 3, n
N* .
11
17
证明 : 对一切正整数 n , 有 a1 a2
an 4 .
20.( 本小题满分 14 分 ) 已知抛物线 c 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（ c＞0）到直线 L:x-y-2=0 的距离为 . 设
1
a2
,又 2
a1 1
1
故数列
an n
a1 是首项为 1
1 , 公差为 1的等差数列 ,
an 1 所以 n
n1
1
n
,
所以
an
n2 .
1
7
11
15
1
1
(3) 当 n 1 时 , a1
4 ；当 n 2时 , a1 a2
44
11 当 n 3时, an n2
1
11
n 1 n n 1 n , 此时
11 a1 a2
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）
f ( x) 2 cos( x )
已知函数
12 ， x R
（1）求 f （ - ）的值；
（2）若 cosθ = ， θE（， 2π），求 f （ 2θ + ）。 17．（本小题满分 12 分）
∵ A’ O⊥平面 BCDE,CD 平面 BCDE, ∴CD⊥ A’O
∵ OM A’O=O, ∴ CD⊥平面 A’ OM
∵ A’ M 平面 A’ OM∴ CD⊥ A’ M

2013广东高考真题及答案全集

2013广东高考数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =（）A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是（） A . 4 B ．3 C ．2 D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（） A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX =（） A .32B ．2C ．52D ．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（） A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥俯侧7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是（）A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数), C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)

实用文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以MN ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )实用文档A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3 P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ．俯视侧视第5题图实用文档6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈实用文档【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.实用文档11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参实用文档.AED CBO第15题数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．实用文档1 7 92 0 1 53 0第17题图【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.实用文档C D OBE'AH【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； .COB DEACDOBE'A图1图2实用文档(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OCAC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CDB '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos OHA HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=-实用文档设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦. 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,实用文档()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-= 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.实用文档(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.实用文档(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,实用文档()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知, (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<实用文档所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53第17题图C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示, 其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。

（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。

（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。

（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。

4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 解释什么是平面向量的坐标表示。

3. 请写出三角形面积公式。

4. 请列举三种不同的数列。

5. 简述反函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。

2013年高考理科数学广东卷-答案

M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。

2013广东高考文科数学试题及答案

2013广东高考文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = （）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（）A. 2B. 3C. 4D. 5 4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（） A. 25-B. 15-C. 15D. 255. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（）A. 1B. 2C. 4D. 7图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）A.16 B. 13 C. 23D. 1 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A. 20x y +-=B. 10x y ++=C. 10x y +-=D. 20x y ++= 8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥ 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（） A. 22134x y += B. 22143x y += C. 22142x y += D. 22143x y += 10. 设a r 是已知的平面向量且0a ≠r r ，关于向量a r的分解，有如下四个命题：① 给定向量b r ，总存在向量c r ，使a b c =+r r r；② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r；③ 给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r 和单位向量c r ，使a b c λμ=+r r r.上述命题中的向量b r ，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________； 15.几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =___________；三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2cos ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [)80,85[)85,90[)90,95[)95,100频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G . 将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =. （1）证明：DE BCF //平面；（2）证明：CF ABF ⊥平面；（3）当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图4 图519.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1）证明：2145a a =+；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 21.设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .2013年广东高考文科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项DBABCCDCAB二、填空题 11. 15 12. 12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 15. 212三、解答题16. 解：(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，24sin 1cos 5θθ=--=-，1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为20=0.450；（2）重量在[80,85)的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[)95,100分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[)95,100中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 18. 解：（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，22BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭19. 解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，21045n a a a >∴=+（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 20. 解：（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9221. 解：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx = ，且过()01，（i ）当()()24124330k k k ∆=-=+-≤，即30k -≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()'23210f x x kx =-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。

2013年高考广东卷数学(理)试卷及答案

【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 选修4系列文

选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲21．N1[2013·某某卷] A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD.图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD. 故AC ＝2AD.N2[2013·某某卷]B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝错误! 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))．所以A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．N3[2013·某某卷]C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.N4[2013·某某卷]D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a≥b>0，所以a －b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b. 22．N1[2013·某某卷] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE ，证明：(1)∠FEB＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD·BC.图1－622．解：证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF.类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故FE 2＝AF·BF.所以EF 2＝AD·BC.B ．N1[2013·某某卷] (几何证明选做题)如图1－4所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．图1－46 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PEPA ＝PD PE，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD＝6，PE ＝ 6. 22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．图1－622．解：(1)联结DE ，交BC 于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BC E. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE ＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE 为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，联结BO ，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 13．N1[2013·某某卷] 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．图1－213.152 [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BA C ＝∠BCA，∴BC＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE，即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝152.22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－10，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．图1－1022．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB∽△AE F ，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．图1－11(2)联结CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC.又BC 2＝DB·BA＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.15．N1[2013·某某卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE⊥AC，垂足为E ，则ED ＝________．图1－315.212[解析] AB ＝3，BC ＝3AC ＝3＋9＝2 3，∵AB 2＝AE·AC，∴AE＝32.又∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝33，∴∠ACB＝π6，故∠EAD＝π6.在△AED 中，由余弦定理得ED 2＝AE 2＋AD2－2AE·AD cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3cos π6＝214，故ED ＝212.N2选修4-2 矩阵N3选修4-4 参数与参数方程14．N3[2013·某某卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．14.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) [解析] 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)．11．N3[2013·某某卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a－1，解得a ＝4.23．N3[2013·某某卷] 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t∈R 为参数)，求a ，b 的值．23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为4，π2，2 2，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．C ．N3[2013·某某卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y 2＝4x ，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.N4选修4-5 不等式选讲21．B12，N4[2013·某某卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数． (i)判断f(1)，fb a ，f b a 是否成等比数列，并证明f b a≤f ba； (ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b 为a ，b 的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x 的取值X 围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减． (2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝2ab a ＋b ＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即 f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a 2.①所以f(1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ，结合①得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a . (ii)由(i)知f ba ＝H ，fba＝G ，故由H≤f (x)≤G ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f (x)≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝a. 这时，x 的取值X 围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而ba＜b a ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得b a≤x ≤ba，即x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ba ，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而ba ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a . 24．N4[2013·某某卷] 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值． 24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x≤2，2，2<x<4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x<4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f (x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x≤0，4x －2a ，0<x<a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.24．N4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13.(2)因为a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c2a ＋a≥2c，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c. 所以a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.A ．N4[2013·某某卷] (不等式选做题)设a ，b∈R ，|a －b|>2，则关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|>2的解集是________．(－∞，＋∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x －a|＋|x －b|≥|(x－a)－(x －b)|＝|b －a|＝|a －b|.又由|a －b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．14．N4[2013·某某卷] 设a ＋b ＝2，b>0，则12|a|＋|a|b 的最小值为________．14.34 [解析] 12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2b 4|a|·|a|b ≥－14＋1＝34.24．N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值X 围．24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x>1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a≤43.从而a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.N5选修4-7 优选法与试验设计P图1－13．BP [2013·某某卷] 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( ) A.34 B.16 C.1112 D.25243．C [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝错误!.1．[2013·某某五校期末] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．word- 11 - / 11 2．解：(1)ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.(2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin （α＋φ）－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25. 当sin (α＋φ)＝－1时，d max ＝2 2＋102. 4．[2013·某某师大附中月考] 如图X8－4所示，已知圆O外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A ，B 两点，联结PA 并延长，交圆O 于点C ，连PB 交圆O 于点D ，若MC ＝BC.(1)求证：△APM∽△ABP；(2)求证：四边形PMCD4．证明：(1)∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，∴MN 2＝PN 2＝NA·NB，∴PN NB ＝NA PN. 又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA ∽△BNP ，∴∠APN ＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA.∵MC ＝BC ，∴∠MAC ＝∠BAC，∴∠MAP ＝∠PAB，∴△APM ∽△ABP.(2)∵∠ACD＝∠PBN，∠PBN ＝∠APN，∴∠ACD ＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM ∥CD.∵△APM ∽△ABP ，∴∠PMA＝∠BPA.∵PM 是圆O 的切线，∴∠PMA ＝∠MCP，∴∠BPA ＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，∴MC ∥PD ，∴四边形PMCD 是平行四边形．。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编16：选修部分

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编16：选修部分一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文））不等式222x -<的解集是（）A ．()-1,1B ．()-2,2C ．()()-1,00,1 D ．()()-2,00,2【答案】D 二、填空题2 ．（2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______.P【答案】.63 ．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.【答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)4 ．（2013年高考陕西卷（文））A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______.【答案】A:R5 ．（2013年高考天津卷（文））如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为______.【答案】152[来源:学&科&Z&X&X&K] 6 ．（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s=+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____【答案】47 ．（2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t⎧=⎨=⎩ (t 为参数)的焦点坐标是____________ .【答案】(1, 0)8 ．（2013年高考广东卷（文））(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_______. 图 39 ．（2013年上海高考数学试题（文科））若2011x =,111x y=,则x y +=________.[来源:ZXXK]【答案】1 三、解答题10．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-1:几何证明选讲如图,.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于CD 于C EF ，,垂直于F ,连接,AE BE .证明:(I);FEB CEB ∠=∠ (II)2.EF AD BC =【答案】[来源:Z|xx|k.]11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—1几何证明选讲:如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,,E F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF ⋅=⋅,,,,B E F C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过,,,B E F C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.【答案】[来源:Zxxk.]12．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).【答案】解:(1)将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩,消去参数t,化学普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即 1C ： 22810160x y x y +--+=, 将22cos ,810160sin x p x y x y y p θθ=⎧+--+=⎨=⎩代入得 [来源:学+科+]28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;所以1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.(2)2C 的普通方程为2220x y y +-=,2222810160=1=0y=2y=2.20x y x y x x x y y ⎧+--+=⎧⎧⎪⎨⎨⎨+-=⎪⎩⎩⎩，，，解得或，所以12C C 与交点的极坐标为),(2,)42ππ. 13．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—4;坐标系与参数方程已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【答案】14．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D.(Ⅰ)证明:DB DC=;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF∆外接圆的半径.[来源:学。

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