2020-2021学年山西省汾阳市高二上学期期末考试文科数学试题 word版
山西省2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
9．若圆： 关于直线 对称， ，则 与 间的距离是（）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑 中， 平面 ， ， ，鳌臑 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）
A． B．
C． D．
3．函数 在区间 的最小值是（）
A． B．
C． D．
4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）
14．以 为圆心，且与圆 外切的圆的标准方程是__________.
15．给出下列命题：
（1）若函数 在 上是减函数，则 ；
（2）直线 与线段 相交，其中 ， ，则 的取值范围是 ；
（3）点 关于直线 的对称点为 ，则 的坐标为 ；
（4）直线 与抛物线 交于 ， 两点，则以 为直径的圆恰好与直线 相切.
【解析】
【分析】
否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．
2020-2021学年山西省山西名校高二上学期期末数学(文)试题及答案
2020-2021学年山西省山西名校高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．设集合1{}3|A x x =+≤，{}2|40B x x =-≤，则A B =（ ）A ．(,2]-∞-B ．(,4]-∞-C ．[]22-,D ．{}22],(-∞-答案：D解不等式求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 解：∵(,2]A =-∞，][,2)2,(B =-∞-+∞，∴{}(,]22A B ⋂=-∞-．故选：D2．若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3答案：C求得导函数，代入即可求得结果. 解：21()2f x x x '=-，则13f ．故选：C3．过点()3,4P 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( ) A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条答案：C过点A 且在x 、y 轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可． 解：设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和()0a a -≠，则直线l 的方程为1x ya a-=， 直线过点()3,4A ，341a a∴-=，解得：1a =-， 此时直线l 的方程为10x y -+=；当0a =时，直线过原点，设直线方程为y kx =，过点()3,4A ， 此时直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；综上，直线l 的方程有2条． 故选C ．点评：本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题． 4．设向量()2,1a =-，()1,2b =-，若()()a b ka b +⊥-，则实数k 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2答案：C利用向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示即可求解. 解：()3,3a b +=-，()21,2ka b k k -=--+，因为()()a b ka b +⊥-，所以()()()321320k k ⨯-+--+=，得1k =． 故选：C5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213218x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=答案：D利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 解：焦距为10，5c =，∴曲线的焦点坐标为()5,0±，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为34，34b a ∴=，2225a b =+，解得4a =，3b =， 所求的双曲线方程为：221169x y -=．故选D ．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为2，再由正方体与棱柱的体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为2，则该几何体的体积1222222102V =⨯⨯+＝, 故选C ．点评：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题． 7．设α，β为两个不同的平面，l,m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//l m ，则//l β B ．若l m ⊥，则αβ⊥ C ．若//αβ，则//l β D ．若αβ⊥，则l m ⊥答案：C在A 中，l 与β相交、平行或l β⊂；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，由面面平行的性质定理得//l β；在D 中，l 与m 相交、平行或异面．解：由α，β为两个不同的平面，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知： 在A 中，若//l m ，则l 与β平行或l β⊂，故A 错误； 在B 中，若l m ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得//l β，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．点评：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8．已知函数()cos()(0,0)6x f x A A πωω=->>图象上相邻的两条对称轴间的距离为2，则该函数图象的对称中心可能是（ ） A ．4(,0)3- B ．2(,0)3-C ．1(,0)3D ．5(,0)3答案：B由题意可知函数的最小正周期4T =，根据2T πω=求出ω，令()262x k k ππππ-+∈=Z 即可求解.解：相邻的两条对称轴间的距离为2，可得4T =，2T πω=，解得2πω=，所以()cos()26f x A x ππ=-， 令()262x k k ππππ-+∈=Z ，解得42()3x k k +∈=Z ， 令1k =-时，23x =-， 该函数图象的对称中心可能是2(,0)3-. 故选：B9．已知在前n 项和为n S 的数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=--，则101S =（ ） A ．97- B ．98-C ．99-D ．100-答案：C利用并项求和法即可求解.解：由12n n a a +=--，有12n n a a ++=-， 则101123100101()()125099S a a a a a =+++++=-⨯=-．故选：C10．已知直线)2y x =-与抛物线C ：22(0)y px p =>的准线相交于M ，与C 的其中一个交点为N ，若线段MN 的中点在x 轴上，则(p = )A ．2B ．4C ．D ．答案：B求得直线与x 轴的交点()2,0T ，以及抛物线的准线方程，可得M 的坐标，由中点坐标公式可得N 的坐标，代入抛物线方程可得p 的方程，解方程可得p 的值．解：直线)2y x =-与x 轴的交点为()2,0T ，由抛物线的准线方程2p x =-，可得222p p M ⎛⎫⎫-+⎪ ⎪⎭⎝⎭，由T 为MN 的中点，可得4,222p p N ⎛⎫⎫++⎪ ⎪⎭⎝⎭， 代入抛物线的方程可得23(2)2422p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化为28480p p +-=， 解得4(12p =-舍去)， 故选B ．点评：本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续正整数，且C B A >>，320cos c C b=，则sin :sin :sin A B C =（ ） A ．2：3：4 B ．7：6：5C ．3：4：5D ．4：5：6答案：D首先根据三角形的大角对大边，得到c b a >>，即可设1c b =+，1a b =-，利用已知等式和余弦定理建立方程求得b ，最后由正弦定理可得；解：解：,C B A c b a >>∴>>.设1c b =+，1a b =-，由320cos cC b=，得320cos b c C =，且222cos 2a b c C ab+-=，代入化简得2727400b b --=.解得5b =，87b =-(舍去)，46ac ∴==，.sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ∴==.故选：D.点评：本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用．本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长，属于中档题．12．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为（ ）A ．4B ．4-C ．6-D ．6答案：D要求||||PQ PF -的最小值，根据椭圆的定义可以转化为||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 2a -=--=+-（其中1F 为椭圆的左焦点），即求||||1PQ PF +的最小值，即为圆心与1F 的距离减去半径，进而解决问题．解：解：设椭圆的左焦点为1F 则||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4-=--=+-故要求||||PQ PF -的最小值， 即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2 所以||||1PQ PF +的最小值等于21C F 222-=-=-，||||1PQ PF +的最小值为6，故选D ．点评：本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题． 二、填空题13．函数()xf x e ex =-的单调递减区间为___________． 答案：(,1)-∞首先求出导函数()f x '，令()0f x '<，解不等式即可. 解：()xf x e e '=-令()0xf x e e '=-<，解得1x <，所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞14．某学院为了调查本校学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名本校学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[]0,5，(]5,10，…，(]25,30，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______.答案：54计算出健康使用手机超过15天的频率后可得所求的人数.解：由图知，健康使用手机超过15天的频率为()0.070.050.01550.675++⨯=，从而健康使用手机超过15天的人数为0.6758054⨯=.点评：本题考查频率分布直方图的应用，注意直方图中，各矩形的高是频率组距，本题属于基础题. 15．倾斜角为3π且在x 轴上的截距为a 的直线被圆22()4x a y ++=所截得的弦长为2，则a =___．答案：1±设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解． 解：倾斜角为3π且在x 轴上的截距为a 的直线方程为： )y x a =-，0y --=，圆心(),0a -， 2314a ∴+=，得1a =±， 故答案为1±此题考查了圆的弦长问题，难度不大． 点评：此题考查了圆的弦长问题，难度不大．16．三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =，1AB =，BC =，则球O 的表面积为___．答案：8π作出直观图，根据球的性质即可得PC 为球O 的直径，利用勾股定理计算PC ，从而可得出球的表面积．解：∵BC ⊥平面PAB ，则PA⊥BC，,PA AB ⊥且AB BC B ⋂=,则PA ⊥平面ABC ， 所以PA⊥AC，又BC PB ⊥,∴PC 为三棱锥P ABC -外接球的直径,∴PC =∴PC 的中点为球O 的球心，∴球O 的半径r=2PC= ∴球O 的面积S=4πr 2=8π. 故答案为8π.点评：本题考查三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心与半径．求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用22224R a b c =++（a,b,c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA=a ），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 三、解答题17．已知命题:p “曲线2212:123x yC m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆”，命题:q “曲线222:121x y C m m +=+-表示双曲线”．（1）请判断p 是否是q 的必要不充分条件，并说明理由； （2）若命题“p 且q”是真命题，求实数m 的取值范围．答案：（1）p 不是q 的必要不充分条件，理由见解析；（2）10m -<<或01m <<. （1）分别求出p 命题中m 的取值范围和q 命题中m 取值范围，根据集合的包含关系可进行判断；（2）若命题“p 且q”是真命题，则p 、q 都是真命题，求出命题p q 、中m 的公共部分可得答案.解：（1）命题:p “曲线2212:123x yC m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆”，则2230230m m m m +>⎧⎪<+⎨⎪≠⎩，解得10m -<<或03m <<，命题:p 10m -<<或03m <<， 命题:q “曲线222:121x y C m m +=+-表示双曲线”， 则()()210m m +-<，解得21m -<<，命题:q 21m -<<， 因为{|10m m -<<或03}m <<{}|21m m -<<，{}|21m m -<<{|10m m -<<或03}m <<，所以p 不是q 的必要不充分条件.（2）若命题“p 且q”是真命题，则p 、q 都是真命题， 命题:p 10m -<<或03m <<，命题:q 21m -<<， 所以{|10m m -<<或03}m <<{}|21m m -<<={|10m m -<<或01}m <<，实数m 的取值范围为10m -<<或01m <<.点评：本题考查逻辑问题，涉及到的知识点有根据复合命题的真假判断求参数的范围，必要不充分条件判断，解题的关键点是求出命题p 、q 中m 取值范围； 必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 18．已知圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(4,2)P -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程． 答案：（1）22(2)(1)4x y ++-=；（2）4x =-或34200x y -+=. （1） 圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x 上,可用待定系数法求圆的标准方程;（2）求圆的切线,分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论.解：解：（1）直线AB 的斜率为1(1)10(2)--=--，线段AB 的中点坐标为(1,0)- 直线AB 的垂直平分线的方程为(1)y x =-+，整理为1y x =--联立方程31y x y x =+⎧⎨=--⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩由圆C 的性质可知，圆心C 的坐标为(2,1)-，可得圆C 的半径为2AC = 故圆C 的标准方程为22(2)(1)4x y ++-=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线4x =-正好与圆C 相切， 故此时直线l 的方程为4x =-②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()24y k x -=+，整理为420kx y k -++=由直线l 与圆C 相切，有221k =+，解得34k = 可得直线l 的方程为3504x y -+=， 整理为34200x y -+=故直线l 的方程为4x =-或34200x y -+=．点评：求圆的切线方程的思路通常有两种:（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点．（1）证明：//EF 平面1AC D ；（2）若2AD =，3AB =，14AA =，求点E 到平面1AC D 的距离．答案：（1）证明见解析；（2）65. （1）取1C D 的中点G ，连GF ，AG ，可得GF 为1C CD 的中位线，即//GF CD 且2CD GF =，又E 为AB 的中点，则可证明四边行AEFG 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，可求得1113422322C ADE V -=⨯⨯⨯⨯=，再求得1AC D △的面积，利用等体积法，即可求得答案.解：（1）证明：取1C D 的中点G ，连GF ，AG ，如图所示：∵G 为1C D 的中点，F 为1CC 的中点，∴//GF CD 且2CD GF =，∵E 为AB 的中点，AB CD =，//AB CD ，∴//AE GF 且AE GF =∴四边行AEFG 为平行四边形，∴//AG EF ，又AG ⊂平面1AC D ，EF ⊄平面1AC D ，∴//EF 平面1AC D .（2）由长方体1111ABCD A B C D -的性质可得：AD ⊥平面11CDD C ，∵1C D ⊂平面11CDD C ，∴1AD C D ⊥，在1Rt CC D 中，由3CD =，14CC =， 可得22119165C D CD CC =+=+=，在1Rt AC D 中，由2AD =，15C D =， 可得112552D AC S =⨯⨯=， 又1113422322C ADE V -=⨯⨯⨯⨯= 设点E 到平面1ACD 的距离为d由11C ADE E AC D V V --=，有1523d ⨯⨯=，可得65d =故点E 到平面1AC D 的距离为65． 点评：解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，并灵活应用，在求解点到平面距离时，常用等体积法求解，考查推理证明，计算化简的能力，属基础题.20．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 答案：（1）8；（2）1y x =-.（1）抛物线的焦点弦的弦长12||AB x x p =++即可求出AB ；（2）设直线m 的方程为()21y k x -=-，用设而不求法求出直线m 的斜率，即可求出直线方程.解：解：（1）焦点F 的坐标为()1,0由直线l 的倾斜角为135︒，可知直线l 的斜率为1-，可得直线l 的方程为1y x =-+，设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程241y x y x ⎧=⎨=-+⎩，消去y 后整理为：2610x x -+=， 有126x x +=，121=x x ，由抛物线的性质有12||2628AB x x =++=+=．（2）设直线m 的斜率为k ，可得直线m 的方程为()21y k x -=-，整理为2y kx k =+-，联立242y x y kx k⎧=⎨=+-⎩，消去x 后整理为2204k y y k -+-=， 有14(2)04k k ∆=-⨯-=，得1k =． 由直线l∥直线m ，可得直线l 的方程为1y x =-．点评："设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.21．已知函数()ln 1f x x =+．（1）直线20l x y -+=:，求曲线()y f x =上的点到直线l 的最短距离； （2）若曲线21()(1)()(03)2g x x a x f x x =-++<<存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x 轴平行，求实数a 的取值范围．答案：（1；（2）7(1,)3.（1）可得与l 平行且与()y f x =相切的切线的切点到直线距离最短，求出切点即可得出；（2）求出()g x 的导数，题目等价于2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根，则列出式子即可求出.解：解：（1）设曲线()y f x =上的点()00,A x y 到直线l 的距离最短，则在点A 的切线与l 平行，001()1f x x ='=，∴01x =，求得01y =， ∴在点A 的切线方程为y x =，∴点A 到直线l= （2）由题意得21()(1)ln 1(03)2g x x a x x x =-+++<<， ∴21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=-++=， ∵曲线()y g x =上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x 轴平行， ∴关于x 的方程()0g x '=，即2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根， 设2()(1)1h x x a x =-++，则 ()()()()21400101032393110a h a h a ⎧∆=+->⎪=>⎪⎪⎨+<<⎪⎪=-++>⎪⎩，解得713<<a ， ∴实数a 的取值范围是7(1,)3． 点评：本题考查利用导数解决方程的根的问题，解题的关键是将题目等价为2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直．答案：（1）2214xy+=；（2）证明过程见解析.（1）由短轴长知1b=，再根据离心率列出方程组求解a，即可写出椭圆的标准方程；（2）求出点A、B、D的坐标，利用椭圆的参数方程设()2cos,sinPθθ，分别求出直线AD、直线BP、直线BD、直线AP的方程，联立相应直线方程求出点M、N的坐标，证明0AB MN⋅=即可.解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：1b=，3ca=，222a b c=+，解得2a=，∴椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）证明：由已知条件可得()()()2,0,2,0,0,1A B D--,由（1）知椭圆的参数方程为2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设点()2cos,sinPθθ，∴直线AD的方程为220x y++=，直线BD的方程为220x y--=，直线BP的方程为sin(2)2cos2y xθθ=--，直线AP的方程为sin(2)2cos2y xθθ=++，联立直线BD与直线AP的方程2sin2cos2220cos1sin2sin cos1(2)2cos2cos1x y xsiny xysinθθθθθθθθθθ++⎧--==⎧⎪⎪⎪+-⇒⎨⎨++=+⎪⎪=+⎩⎪+-⎩，M ∴点的坐标为2sin 2cos 22sin cos 1,cos 1cos 1sin sin θθθθθθθθ++++⎛⎫ ⎪⎝+--⎭+， 联立直线BP 与直线AD 的方程2sin 2cos 2220cos 1sin 2sin sin (2)2cos 2cos 1sin cos 1x y x sin y x y θθθθθθθθθθθ++⎧++==⎧⎪⎪⎪+-⇒⎨⎨=-⎪⎪=⋅-⎩⎪+--⎩， ∴点N 的坐标为2sin sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2,1cos 1sin θθθθθθθθθ+⎛⎫⋅ ⎪++-⎝--⎭+， ()sin 2sin 1cos 14,0,0,cos 1sin AB MN θθθθθ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪∴==+- ⎪ ⎪⎝⎭， 0AB MN ⋅=且AB 在x 轴上，∴MN 垂直于x 轴.点评：本题利用椭圆的参数方程设()2cos ,sin P θθ，简化了解题过程及计算量。
高二数学上学期期末考试试题文7(共10页)
2021—2021学年华侨中学高二数学〔文科(wénkē)〕期末考试卷一、单项选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．命题：的否认是〔〕A. B.C. D.2．抛物线的焦点到准线的间隔是〔〕A．1 B． C．D．3．“直线与双曲线相切〞是“直线与双曲线只有一个公一共点〞的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线的渐近线方程和离心率分别是〔〕A. B.C. D.5．函数f(x)＝sin x＋ln x，那么f′(1)的值是〔〕A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos16．θ是任意实数，那么方程x2sinθ＋y2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，假如线段的中点在轴上，那么是的〔〕A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍8．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0 C．2 D．49．函数(hánshù)有〔〕A极大值，极小值 B极大值5，极小值C极大值5，无极小值 D极小值27，无极大值10．椭圆x216＋y27＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，那么△ABF2的周长为( )A．3 B．16 C．8 D．411. f〔x〕的导函数ｆ＇〔ｘ〕的图像如图〔1〕所示，那么f〔x〕的图像最可能是图中的〔〕12．双曲线的左、右焦点(ji āodi ǎn)分别是、，过1F 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，假设垂直于轴，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．B ．C ．D ．二、填空题〔一共4小题，每小5分，一共20分〕 13．焦点坐标为的抛物线的HY 方程为___________14．双曲线的离心率大于的充分必要条件是________．15 曲线在点处的切线的方程为_______________；16．1F 、2F 是椭圆 的两个焦点，为椭圆上一点， 且.那么的面积为____________.三、解答题〔一共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，一共70分〕17．(10分)命题:；命题:方程表示焦点在y“p且q〞是假命题，“p或者q〞是真命题，务实数的取值范围.18.〔12分〕与直线(zhíxiàn)相切的动圆与圆外切．（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）假设倾斜角为且经过点〔2,0〕的直线与曲线C相交于两点，求证：．19．〔12分〕函数f〔x〕=x3＋3ax2＋bx＋a2〔a>1〕在x= －1处有极值0.〔1〕求常数a，b的值；〔2〕求f〔x〕的单调区间。
2020-2021学年山西省名校高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年山西省名校高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}2.若函数f(x)=x2+1x，则f′(−1)=()A. −1B. 1C. −3D. 33.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有()A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条4.设向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(1,−2)，若(a⃗+b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )，则实数k的值为()A. −1B. 0C. 1D. 25.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C的方程为()A. x232−y218=1 B. x23−y24=1 C. x29−y216=1 D. x216−y29=16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 10B. 6C. 12D. 87.设α，β为两个不同的平面，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题中为真命题的是()A. 若l//m，则l//βB. 若l⊥m，则α⊥βC. 若α//β，则l//βD. 若α⊥β，则l⊥m8.已知函数f(x)=Acos(ωx−π6)(A>0,ω>0)图象上相邻的两条对称轴间的距离为2，则该函数图象的对称中心可能是()A. (−43,0) B. (−23,0) C. (13,0) D. (53,0)9.已知在前n项和为S n的数列{a n}中，a1=1，a n+1=−a n−2，则S101=()A. −97B. −98C. −99D. −10010.已知直线y=−√3(x−2)与抛物线C：y2=2px(p>0)的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段MN的中点在x轴上，则p=()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√311.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续正整数，且C>B>A，3cosC =20cb，则sin A：sin B：sinC=()A. 2：3：4B. 7：6：5C. 3：4：5D. 4：5：612.点P在椭圆C1：x24+y23=1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2+y2+6x−8y+21=0上，则|PQ|−|PF|的最小值为()A. 4√2−4B. 4−4√2C. 6−2√5D. 2√5−6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=e x−ex的单调递减区间为______ ．14.某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”(健康使用手机指每天使用手机不超过3小时)的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，……，(25,30]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______．15.倾斜角为π3且在x轴上的截距为a的直线被圆(x+a)2+y2=4所截得的弦长为2，则a=______．16.三棱锥P−ABC的每个顶点都在球O的表面上，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA=2，AB=1，BC=√3，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+3=1表示焦点在y轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：x2m+2+y2m−1=1表示双曲线”．(1)请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由；(2)若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围．18.已知圆C过点A(0,1)，B(−2,−1)，且圆心C在直线y=x+3上．(1)求圆C的标准方程；(2)过点P(−4,2)的直线l与圆C相切，求直线l的方程．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点．(1)证明：EF//平面AC1D；(2)若AD=2，AB=3，AA1=4，求点E到平面AC1D的距离．20.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．(1)当直线l的倾斜角为135°时，求|AB|；(2)若过点P(1,2)的直线m与抛物线C相切，且直线m//直线l，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=lnx+1．(1)直线l：x−y+2=0，求曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距离；(2)若曲线g(x)=12x2−(a+1)x+f(x)(0<x<3)存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x轴平行，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x≤2}，B={x|x≤−2或x≥2}；∴A∩B=(−∞,−2]∪{2}．故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查基本初等函数的求导运算，属于基础题．可先求出导函数f′(x)=2x−1x2，即可求解f′(−1)的值．【解答】解：f′(x)=2x−1x2；∴f′(−1)=−2−1=−3．故选：C．3.【答案】C【解析】解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和−a(a≠0)，则直线l的方程为xa −ya=1，∵直线过点A(3,4)，∴3a −4a=1，解得：a=−1，此时直线l的方程为x−y+1=0；当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A(3,4)，此时直线l的方程为y=43x，即4x−3y=0；综上，直线l的方程有2条．故选：C．过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可．本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(1,−2)，∴a⃗+b⃗ =(3,−3)，k a⃗−b⃗ =(2k−1,k+2)，∵(a⃗+b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )，∴3×(2k−1)+(−3)(−k+2)=0，解得k=1，故选：C．两个向量数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k的值．本题主要考查两个向量数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵焦距为10，c=5，∴曲线的焦点坐标为(±5,0)，∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34，∴ba =34，25=a2+b2，解得a=4，b=3，所求的双曲线方程为：x216−y29=1．故选：D．利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．6.【答案】A【解析】解：几何体是一个组合体，上面是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个等腰直角三角形，侧棱长是2，下面是一个正方体棱长为2，几何体的体积为：2×2×2+12×√2×√2×2=10．故选：A．几何体是一个组合体，上面是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个等腰直角三角形，侧棱长是2，下面是一个正方体棱长为2，求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求几何体的体积、表面积，考查由三视图还原几何体，是基本知识的考查．7.【答案】C【解析】解：由α，β为两个不同的平面，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，知：在A中，若l//m，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α//β，则由面面平行的性质定理得l//β，故C正确；在D中，若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：C．在A中，l与β相交、平行或l⊂β；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的性质定理得l//β；在D中，l与m相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意函数f(x)=Acos(ωx−π6)(A>0,ω>0)图象上相邻的两条对称轴间的距离为12×2πω=2，可知ω=π2，所以f(x)=Acos(π2x−π6)．令π2x−π6=π2+kπ(k∈Z)，得x=43+2k(k∈Z)，令k=−1，可得它的图象的一个对称中心为(−23,0)，故选：B．由题意利用余弦函数的图象和性质，求得ω的值，可得结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由a n+1=−a n−2，可得a n+a n+1=−2，则有S101=a1+(a2+a3)+⋯+(a100+a101)=1−2×50=−99．故选：C．可得a n+a n+1=−2，利用S101=a1+(a2+a3)+⋯+(a100+a101即可求解．本题考查了数列的递推式，考查了化归思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：直线y=−√3(x−2)与x轴的交点为T(2,0)，由抛物线的准线方程x=−p2，可得M(−p2,√3(2+p2))，由T为MN的中点，可得N(4+p2,−√3(2+p2))，代入抛物线的方程可得3(2+p2)2=2p(4+p2)，化为p2+8p−48=0，解得p=4(−12舍去)，故选：B．求得直线与x轴的交点T(2,0)，以及抛物线的准线方程，可得M的坐标，由中点坐标公式可得N的坐标，代入抛物线方程可得p的方程，解方程可得p的值．本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵C>B>A，∴c>b>a．设c=b+1，a=b−1，由3cosC =20cb，得3b=20ccosC，且cosC=a2+b2−c22ab，代入化简得7b2−27b−40=0，解得b=5，b=−87(舍去)，∴a=4，c=6．∴sinA：sin B：sinC=a：b：c=4：5：6．故选：D．根据题意分别用b表示出a和c，利用已知等式和余弦定理建立方程求得b，则a和c可得，利用正弦定理即可求解．本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用，本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：点P在椭圆C1：x24+y23=1上，C1的右焦点为F(1,0)，左焦点E(−1,0)，如图：圆C2：x2+y2+6x−8y+21=0上，可得：(x+3)2+(y−4)2=4，圆心坐标(−3,4)，半径为2．由椭圆的定义可得：|PE|+|PF|=2a=4，|PF|=4−|PE|，则|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4，由题意可得：|PQ|−|PF|的最小值为：|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4= |C2E|−2−4=√(−3+1)2+(4−0)2−6=2√5−6，故选：D．利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】(−∞,1)【解析】解：函数f(x)=e x−ex，则f′(x)=e x−e，令f′(x)=e x−e<0，解得x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．求出f(x)的导函数，令f′(x)<0，即可求得单调递减区间．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．14.【答案】54【解析】解：由频率分布直方图知，健康使用手机超过15天的频率为：(0.07+0.05+0.015)×5=0.675，∴这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为：0.675×80=54．故答案为：54．由频率分布直方图求出健康使用手机超过15天的频率，由此能求出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】±1且在x轴上的截距为a的直线方程为：【解析】解：倾斜角为π3y=√3(x−a)，即√3x−y−√3a=0，|=|√3a|，圆心(−a,0)到直线的距离为：|2√3a2∴3a2+1=4，得a=±1．故答案为：±1设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解．此题考查了圆的弦长问题，难度不大．16.【答案】8π【解析】解：因为BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PA ，又PA ⊥AB ，且AB ∩BC =B ，则PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AC ，又因为BC ⊥AB ，则PC 为三棱锥P −ABC 的外接球直径，则PC =√AB 2+BC 2+PA 2=√1+3+4=2√2，故球O 的半径R =√2，表面积S =4πR 2=8π．故答案为：8π．推导出BC ⊥PA ，PA ⊥AB ，从而PA ⊥平面ABC ，进而PA ⊥AC ，再由BC ⊥AB ，得到PC 为三棱锥P −ABC 的外接球直径，由此能求出球O 的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论证能力、空间想象能力，是中档题．17.【答案】解：由“曲线C 1：x 2m 2+y 22m+3=1表示焦点在y 轴上的椭圆”，所以{m 2>02m +3>m 2，解得−1<m <3且m ≠0； 由“曲线C 2：x 2m+2+y 2m−1=1表示双曲线”，所以(m +2)(m −1)<0，解得−2<m <1．(1)命题p ：m ∈(−1,0)∪(0,3)，命题q ：m ∈(−2,1)；由p 不能得出q ，由q 也不能得出p ，所以p 不是q 的必要不充分条件．(2)若命题“p 且q ”是真命题，则−1<m <0或0<m <1，所以实数m 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．【解析】(1)利用命题p 求出m 的取值范围，利用命题q 求出m 的取值范围，再判断命题p 是否为命题q 的必要不充分条件．(2)根据命题“p 且q ”是真命题，列不等式组求出m 的取值范围是．本题考查了命题真假的判断问题和充分必要条件的应用问题，是基础题．18.【答案】解：(1)直线AB 的斜率为1−(−1)0−(−2)=1，线段AB 的中点坐标为(−1,0)，直线AB 的垂直平分线的方程为y =−(x +1)，整理为y =−x −1，联立方程{y =x +3y =−x −1，解得{x =−2y =1， 由圆C 的性质可知，圆心C 的坐标为(−2,1)，可得圆C 的半径为|AC|=2，故圆C 的标准方程为(x +2)2+(y −1)2=4．(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线x =−4正好与圆C 相切，故此时直线l 的方程为x =−4；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −2=k(x +4)，整理为kx −y +4k +2=0，由直线l 与圆C 相切，有|−2k−1+4k+2|√k 2+1=2，解得k =34， 可得直线l 的方程为34x −y +5=0，整理为3x −4y +20=0，故直线l 的方程为x =−4或3x −4y +20=0．【解析】(1)求出直线AB 的垂直平分线的方程y =−x −1，联立{y =x +3y =−x −1，求出圆心C 的坐标为(−2,1)，求出圆的半径，然后求解圆的方程．(2)①当直线l 的斜率不存在时，判断直线x =−4正好与圆C 相切．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −2=k(x +4)，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 得到直线方程即可．本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：如图，取C 1D 的中点G ，连GF ，AG ，∵G 为C 1D 的中点，F 为CC 1的中点，∴GF//CD 且CD =2GF ，∵E 为AB 的中点，AB =CD ，AB//CD ，∴AE//GF 且AE =GF ，∴四边行AEFG 为平行四边形，∴AG//EF ，∵AG//EF ，AG ⊂平面AC 1D ，EF ⊄平面AC 1D ，∴EF//平面AC 1D .(2)∵由长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的性质，∴AD ⊥平面CDD 1C 1，∵C 1D ⊂平面CDD 1C 1，∴AD ⊥C 1D ，在Rt △CC 1D 中，由CD =3，CC 1=4，可得C 1D =√CD 2+CC 12=√9+16=5，在Rt △AC 1D 中，由AD =2，C 1D =5，可得S △AC 1D =12×2×5=5V C 1−ADE =13×4×12×2×32=2，设点E 到平面AC 1D 的距离为d ，由V C 1−ADE =V E−AC 1D ，有13×5d =2，可得d =65，故点E 到平面AC 1D 的距离为65．【解析】(1)取C 1D 的中点G ，连GF ，AG ，推导出四边行AEFG 为平行四边形，从而AG//EF ，由此能证明EF//平面AC 1D .(2)推导出AD ⊥平面CDD 1C 1，从而AD ⊥C 1D ，设点E 到平面AC 1D 的距离为d ，由V C 1−ADE =V E−AC 1D ，能求出点E 到平面AC 1D 的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】解：由已知抛物线的方程可得F(1,0)，(1)直线l 的斜率为k =tan135°=−1，所以直线l 的方程为y =−(x −1)，代入抛物线方程可得：y 2+4y −4=0，则y A +y B =−4，y A y B =−4，所以|AB|=√1+(−1)2⋅√(y A +y B )2−4y A y B =√2⋅√(−4)2+16=8；(2)由题意设直线m 的方程为y −2=k(x −1)(k ≠0)，联立方程{y −2=k(x −1)y 2=4x，消去x 整理可得ky 2−4y +8−4k =0， 因为直线m 与抛物线相切，则△=16−4k(8−4k)=0，即k 2−2k +1=0，解得k =1，又直线m//直线l ，所以直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为y =x −1，即x −y −1=0．【解析】(1)由已知求出直线l 的斜率，由此求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式即可求解；(2)设出直线m 的方程，并与抛物线方程联立，利用直线m 与抛物线相切可得判别式为0，进而可以求出直线m 的斜率，再得到l 的方程．本题考查了直线与抛物线的位置关系，涉及到弦长公式以及直线与抛物线相切的关系，属于中档题．21.【答案】解：(1)设曲线y =f(x)上的点A(x 0,y 0)到直线l 的距离最短，则在点A 的切线与l 平行，∵f′(x)|x=x 0=1x 0=1，∴x 0=1，解得y 0=1， ∴在点A 的切线方程为y −1=x −1，即y =x ，∴点A 到直线l 的最短距离等于√2=√2． (2)由题意得g(x)=12x 2−(a +1)x +lnx +1(0<x <3)，∴g′(x)=x −(a +1)+1x =x 2−(a+1)x+1x ，∵曲线y =g(x)上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x 轴平行，∴关于x 的方程g′(x)=0，即x 2−(a +1)x +1=0在(0,3)上有两个不同的根，设ℎ(x)=x 2−(a +1)x +1，则{△=(a +1)2−4>00<a+12<3ℎ(3)>0，解得1<a <73 ∴实数a 的取值范围是(1,73)．【解析】(1)设曲线y =f(x)上的点A(x 0,y 0)到直线l 的距离最短，则在点A 的切线与l 平行，利用导数的几何意义即可求得A 点坐标，由点到直线的距离公式即可求解；(2)由已知可得方程g′(x)=0，在(0,3)上有两个不同的根，由二次函数的性质列关于a 的不等式组，解之即可得结论．本题主要考查导数的几何意义，考查转化思想的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意可得e =c a =√1−b2a 2=√32，即b =12a ， 由短轴长为2，可得b =1，a =2，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，D(0,−1)，设P(s,t)，则s 2+4t 2=4，由{y =t s+2(x +2)y =12x −1可得x M =4t+2s+4s+2−2t =2(s+2+2t)s+2−2t ， 由{y =t s−2(x −2)y =−12x −1可得x N =4+4t−2s s−2+2t =2(2−s+2t)s−2+2t ， 由x M −x N =2(s+2+2t)s+2−2t −2(2−s+2t)s−2+2t ，上式化后的分子为2(s +2+2t)(s −2+2t)−2(s +2−2t)(−s +2+2t)=2(s 2+4st +4t 2−4+s 2+4t 2−4st −4)=2(2s 2+8t 2−8)=2(8−8)=0，所以M ，N 的横坐标相等，故直线MN 与x 轴垂直．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；(2)分别求得A ，B ，D 的坐标，设P(s,t)，则s 2+4t 2=4，求得直线AP ，BD 的方程，解得M 的横坐标，求得直线BP ，AD 的方程，求得N 的横坐标，由作差法，结合P 满足椭圆方程，化简可得M ，N 的横坐标相等，即可得证． 本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
高二数学上学期期末试卷（文科含解析）
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。
2020-2021学年高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.)1. 命题“对任意的x∈R，x3−2x+1≤0”的否定是（）A.不存在x∈R，x3−2x+1≤0B.存在x∈R，x3−2x+1≤0C.存在x∈R，x3−2x+1>0D.对任意的x∈R，x3−2x+1>02. “p或q为真”是“非p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若=a+bi(a, b∈R)，则a2019+b2020＝（）A.−1B.0C.1D.24. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5. 已知函数f(x)＝x3−2x2，x∈[−1, 3]，则下列说法不正确的是（）A.最大值为9B.最小值为−3C.函数f(x)在区间[1, 3]上单调递增D.x＝0是它的极大值点6. 双曲线x2a2−y23=1(a>0)有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±12x B.y＝±2x C.y＝±√33x D.y＝±√3x7. 函数y＝x cos x−sin x在下面哪个区间内是减函数（）A. B.(π, 2π) C.D.(2π, 3π)8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A.f(e)<f(π)<f(2.7)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)9. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x −4y =0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0, √32] B.(0, 34]C.[√32, 1)D.[34, 1)10. 已知函数f(x)＝ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(−∞, −2)C.(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2+y 2−4x −12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A.(6, 10)B.(8, 12)C.[6, 8]D.[8, 12]12. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)−f′(x)<1，f(0)＝2021，则不等式f(x)>2020⋅e x +1（e 为自然对数的底数）解集为（ ） A.(−∞, 0)∪(0, +∞) B.(2020, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0)∪(2020, +∞)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|＝________．14. 命题“∃x0∈R，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为________．15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为________米．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）)17. （1）已知椭圆的离心率为，点(2，）在C上．求椭圆C的方程； 17.（2）求与椭圆4x2+5y2＝20有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程．18. 设关于x的不等式x2≤5x−4的解集为A，不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a≥2)的解集为B．（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知m∈R，命题p：方程x2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆”．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围．20. 函数．（1）求曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间上的最大值．21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为F1(3, 0)，点M(4, y)(y>0)为椭圆上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．22. 已知f(x)=ax−ln x，x∈(0, e],g(x)=ln x，其中e是自然常数，a∈R．x（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)+1；2（3）是否存在实数a使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，结论否定，写出对应的命题即可．2.【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．3.【答案】D【解析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．4.【答案】B【解析】求出双曲线的半焦距，利用椭圆长轴长，求解短半轴的长，即可得到椭圆方程．5.【答案】C【解析】对f(x)求导，分析f′(x)的正负，进而得f(x)的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f(1)，f(3)，可得函数f(x)的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．6.【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．7.【答案】D【解析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．8.【答案】D【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．9.【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M(0, b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得√32+42≥45，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=ca=√1−b2a2即可得出．10.【答案】B【解析】(i)当a＝0时，f(x)＝−3x2+1，令f(x)＝0，解得x＝±√33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−2a )，令f′(x)＝0，解得x＝0或2a．对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．11.【答案】B【解析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，从而△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B−x A)+4＝6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．12.【答案】C【解析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】√22【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．14.【答案】[−4, 4]【解析】利用含有一个量词的命题的否定，将命题转化为“∀x∈R，x2+mx+4≥0”是真命题，然后利用一元二次不等式恒成立求解即可．15.【答案】【解析】先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2＝−2py(p>0)，把点B(10, −4)代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x＝2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．16.【答案】(−1, 0)【解析】讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．三、解答题（共6小题，共70分）17.【答案】由已知可得：，解得a＝2，所以椭圆C的方程为；已知椭圆的标准方程为：，所以c＝，则其焦点坐标分别为(−1, 0)，5)，当抛物线的焦点坐标为(1, 0)时，此时抛物线开口向右5＝4x，当抛物线的焦点坐标为(−1, 8)时，此时抛物线开口向左2＝−4x，综上，抛物线的方程为：y4＝±4x．【解析】（1）根据已知建立等式关系即可求解；（2）先求出椭圆的焦点坐标，然后对抛物线的开口方向讨论即可求解．18.【答案】不等式x2≤5x−8，化为x2−5x+8≤0，因式分解为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤6，∴解集A＝[1, 4]；不等式x3−(a+2)x+2a≤5，化为(x−2)(x−a)≤0，当a>2时，解集M＝[2；当a＝2时，解集M＝{6}；综上，不等式x2−(a+2)x+8a≤0(a≥2)的解集B＝{x|5≤x≤a}．∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，∴2≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3, 4]．【解析】先求解二元一次不等式解集，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．19.【答案】方程x 2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得7−m>m−1>0，解得1<m<4，则命题p是真命题，实数m的取值范围为(1, 4)；方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，即m<3且m>2，解得2<m<3，命题p和q均为假命题，可得{m≥4m≤1m≥3m≤2，解得m≥4或m≤1．则m的取值范围是(−∞, 1]∪[4, +∞)．【解析】（1）由方程表示焦点在y轴的椭圆可得7−m>m−1>0，可得所求范围；（2）由方程表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，解不等式可得m的范围，再由p，q均为假命题可得m的不等式组，解不等式可得所求范围．20.【答案】f(x)＝+ln，x∈(0，所以f′(x)＝-+＝，x∈(0．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(7．又f(2)＝ln2−，所以曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2−(x−2)，即x−4y+3ln2−4＝5．因为f′(x)＝-+＝，x∈(6，所以函数f(x)在(0, 1)上减少，+∞)上增加．所以函数f(x)在区间）或f(e)其中，f（，f(e)＝，【解析】（1）求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可．（2）判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可．21.【答案】由MOF1的面积为，则，得y＝1，5)，又点M在椭圆上，①因为F1是椭圆的焦点，所以a5＝b2+9②由①②解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为：；假设存在直线l满足题意，因为OM的斜率k＝，设l的方程为y＝，联立方程组，整理得9y5−16my+8m2−8＝0，△＝(16m)2−5×9×(8m4−9)>0，解得m，设A，B两点的坐标为(x7, y1)，(x2, y7)，则y，y，以AB为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)(y−y5)＝0，该圆经过原点，所以x1x4+y1y2＝3，又x1x2＝(5y1−4m)(7y2−4m)＝16y，所以x1x2+y1y2＝17y6y2−16m(y1+y4)+16m2＝，解得m＝，经检验满足题意，所以存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝．【解析】（1）由已知三角形的面积即可求出点M的纵坐标，把点M的坐标代入椭圆方程再由a，b，c的关系即可求解；（2）先假设存在，然后由OM的斜率设出直线l的方程，联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及以AB为直径的圆过原点满足的等式即可求解．22.【答案】解：（1）因为f(x)=x−ln x,f′(x)=1−1x =x−1x，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．当1<x≤e时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(1)=1．（2）因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0, e]上的最小值为1．又g′(x)=1−ln xx2，所以当0<x<e时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．所以g(x)的最大值为g(e)=1e <12，所以f(x)min−g(x)max>12，所以在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12．（3）假设存在实数a，使f(x)=ax−ln x，x∈(0, e]，有最小值3，则f′(x)=a−1x=ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值不是3．②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a]上单调递减，f(x)在(1a, e]上单调递增．所以f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，a=e2，满足条件．③当1a ≥e时，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f(x)的最小值是3．【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f(x)的最小值以及g(x)的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．试卷第11页，总11页。
2020-2021学年吕梁市汾阳市高二上学期期末数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年吕梁市汾阳市高二上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC为正三角形．以上正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 32.“x<0”是“log2(x+1)<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件3.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围为()A. B.C. D.4.如图，在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD−A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF//平面ABC1③V P−A1DD1=V D1−ADE④过P可作直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题个数有()A. 1B. 2C. 3D. 45.“”是“”成立的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件6.已知直线l过点(1,2)且与直线2x−3y+1=0垂直，则l的方程是()A. 3x+2y−1=0B. 3x+2y−7=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y+8=07.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列命题正确的是()A. 若m//n，n⊂α，则m//αB. 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥βC. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βD. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β8.双曲线x23−y26=1的离心率e=()A. √3B. √2C. 3D. √69.一物体的运动方程为s=3+t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()．A. 4.11B. 4.01C. 4.0D. 4.110.双曲线y23−x22=1的渐近线方程是()A. y=±√63x B. y=±√62x C. y=±23x D. y=±32x11.已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M(m,n)在直线l：ax+by+3c=0上，则m2+n2的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 912.已知方程，它们所表示的曲线可能是()A B C DA. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 直线l 1：ax +3y +1=0，l 2：2x +(a +1)y +2=0，若l 1//l 2，则a =______14. 设函数f 1(x)=112x 4+ae x (其中a 是非零常数，e 是自然对数的底数)，记f n (x)=f n−1′(x)(n ≥2,n ∈N ∗)，则满足对任意的实数x ，都有f n (x)=f n−1(x)的最小整数n 的值(n ≥2,n ∈N ∗)为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 已知A,B,C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且AB =R ，那么A,B 两点的球面距离为 ，球心到平面ABC 的距离为 ．四、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 设椭圆E 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P 是E 1上的动点，椭圆E 2：x 28+y 22=1．(1)若椭圆E 2上的点Q 满足：OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，求λ的最大值；(2)设E 1在P 处的切线为l ，l 与E 2交于A ，B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．17. 已知命题p ：关于x 的方程x 2+ax +4−a 2=0有一正一负两实数，命题q ：函数f(x)=12x 2−ax −1在(−∞,1]上为减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18. 当m 为何值时，直线l 1：x +my +6=0，l 2：(m −2)x +3y +m =0，①l 1⊥l 2；②l 1//l 2．19. 求与x 轴相切，圆心C 在直线3x −y =0上，且截直线x −y =0得的弦长为2√7的圆的方程．20. 如图，圆O 为三棱锥P −ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点．(1)求证：BC ⊥PB ；(2)设PA ⊥AC ，PA =AC =2，AB =1，求三棱锥P −MBC 的体积；(3)在△ABC 内是否存在点N ，使得MN//平面PBC ？请证明你的结论．21.已知函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2lnx(a∈R)．(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；(2)当a≤0时，求f(x)的单调区间．22.已知向量a⃗=(sin(π2−x),√3sin(3π2−x))，b⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合M；(2)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边若C2+π4∈M且c=1，求△ABC的周长的取值范围．参考答案及解析1.答案：B，解析：解：(1)若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=π2故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．(2)若sinB=cosA，例如∠B=100°和∠A=10°，满足sinB=cosA，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．(3)∵−1≤cos(A−B)≤1，−1≤cos(B−C)≤1，−1≤cos(C−A)≤1，又cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，∴cos(A−B)=1，cos(B−C)=1，cos(C−A)=1，结合A、B、C<180°，可得A−B=B−C=C−A=0，故△ABC为正三角形．∴正确的命题是1个．故选：B．，从而说明命题(1)错误；由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或C=π2举例说明命题(2)错误；直接由已知的等式推出(3)正确．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角形形状的判断，是中档题．2.答案：B解析：解：由log2(x+1)<0得0<x+1<1，解得−1<x<0，则“x<0”是“log2(x+1)<0”的必要不充分条件，故选：B根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．3.答案：A解析：解：直线的斜率，直线的斜率，直线与线段相交时有垂直于x轴的情况，所以斜率范围是或，故答案选：A．4.答案：C。
2020-2021学年山西省汾阳市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年山西省汾阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ） A ．2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B ．2000(0,1),0x x x ∀∉-<C ．2000(0,1),0x x x ∀∈-≥ D ．2000(0,1),0x x x ∃∈-≥【答案】D【分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定形式需要改量词，以及结论否定，即否定是2000(0,1),0x x x ∃∈-≥.故选：D2．若x y R ∈，，则“22x y >”是“x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊值法判断即可.【详解】因为2,1x y =-=-时，22x y >成立，x y >不成立，所以“22x y >”不能推出“x y >”；因为1,2x y =-=-时，x y >成立，22x y >不成立，所以“x y >”不能推出“22x y >”， 所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故选：D.3．直线0x k ++=的倾斜角是（ ） A ．5 π6B ．2 π3C ． 3πD ．π 6【答案】A【分析】将直线方程转化为斜截式方程，求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线0x k ++=可化为：y x =，所以直线的斜率为3-， 设其倾斜角为α， 则3tan 3α=-， 因为[0,)απ∈， 所以56πα=， 故选：A4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．16B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积5．若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．允分不必要条件 B ．必要不允分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝，故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B .【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化.6．直线l 1：3kx ＋(2－k )y －3＝0和l 2：(k －2)x ＋(k ＋2)y －2＝0互相垂直，则实数k 的值是（ ） A ．－2或－1 B ．2或1C ．－2或1D ．2或－1【答案】B【分析】由两直线垂直的条件，可得()()()32220k k k k -+-+=，解方程可得k 的值.【详解】直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直， 可得()()()32220k k k k -+-+=，即为2320k k -+=， 解得1k =或2， 故选：B.【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题. 7．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】B【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8．抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12B C ．1D【答案】B 【解析】抛物线214y x =的焦点为：()0,1，双曲线2213x y -=0x ±=.点()0,10x ±==. 故选B.9．曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．220x y +-= C ．220x y ++= D ．220x y --=【答案】D【分析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=. 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.10．已知0<θ<π4,则双曲线C 1:22sin x θ22cos y θ-=1与C 2:22cos y θ-22sin x θ=1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【答案】D【详解】∵0<θ<4π，∴sinθ<cosθ.由双曲线C 1：22sin x θ－22cos y θ＝1知实轴长为2sinθ，虚轴长为2cosθ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：22cos y θ－22sin x θ＝1知实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为1cos θ.可得焦距相等，故选D.11．设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,6【答案】C【解析】分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形结合得到d 的取值范围.详解：由题得222)(2)1,x y -++=（所以圆心为（2，-2），半径为1.，所以动点P 到直线的最短距离为4-1=3，最大距离为4+1=5， 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查圆的方程和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.12．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ） A ．54B ．52C ．5D ．10【答案】C【详解】设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn +-=，由勾股定理可得：222436m n c +==， 综上可得：220,10mn mn =∴= 则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．二、填空题13．过点(1,1)A 且与直线230x y -+=平行的直线方程为___________. 【答案】210x y -+=【分析】利用直线平行，求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程． 【详解】直线230x y -+=的斜率为12∴过点(1,1)A 且与直线230x y -+=平行的直线斜率为12所以直线的方程为：11(x 1)2y -=-，即210x y -+=． 故答案为：210x y -+=．14．已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________． 【答案】3【解析】试题分析：'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==． 【解析】导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．15．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=___【答案】35【解析】试题分析：设右焦点为2F ，由椭圆的对称性可得，172262352442,,,PF P F P F P F P F P F P F P F ====，由椭圆的定义可得1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= 72625245677P F P F P F P F P F P F P F a ++++++==35【解析】考查了椭圆的几何性质，椭圆的定义 点评：掌握椭圆的性质，即对称性是解题的关键三、双空题16．已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为___________，表面积为___________. 【答案】4 24π【分析】利用圆柱的体积求出圆柱的高即可得到圆柱的母线长，利用圆柱的底面积与侧面积之和可求其表面积． 【详解】设圆柱的高为h ，因为圆柱的底面半径为2，体积为16π， 所以由2V r h π=得164h ππ=，∴圆柱的高4h =， ∴圆柱的母线长4l h ==；圆柱的表面积22222222424S r rl πππππ=+=⨯+⨯⨯=． 故答案为4，24π．四、解答题17．已知命题:? p m R ∈且10m +，命题2:? ,10q x R x mx ∀∈++>恒成立．()1若命题q 为真命题，求m 的取值范围；()2若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围．【答案】（1）22m -<<（2）2m ≤-或12m -<<．【分析】（1）由命题q 为真命题可知240m =-<，即可得到结果；（2）分别解出命题p ，q 的m 的取值范围，p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，可得p ，q 必然一真一假． 【详解】解：()2140m ∴=-<，解得22m -<<．()2若命题p ：m R ∈且10m +≤，解得1m ≤-．p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，p q ∴，必然一真一假．当p 真q 假时，122m m m ≤-⎧⎨≤-≥⎩或，解得2m ≤-，当p 假q 真时，122m m >-⎧⎨-<<⎩，解得12m -<<．m ∴的取值范围是2m ≤-或12m -<<．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题. 18．已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-. （1）求过点P 且与直线l 垂直的直线1l 的方程；（2）求过点P 且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线2l 的方程； 【答案】（1）43230x y -+=；（2）30x y +-=或520x y +=. 【分析】（1）由直线垂直斜率关系，再用点斜式方程求得； （2）讨论是否过原点，再用截距式方程求得. 【详解】（1）由已知得直线1l 斜率得43k =，由斜截式方程得()4523y x -=+，即直线1l 方程为43230x y -+=.（2）①当直线不过原点时，设直线2l 方程为1x ya b+=，∴251a a -+=，即3a =， ∴直线2l 方程为30x y +-=； ②当直线过原点时，直线2l 斜率为52-，直线2l 方程为52y x =-，即520x y +=综上所述，直线2l 的方程为30x y +-=或520x y +=.19．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点()2,0B-的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点． （1）求圆A 的方程．（2）当219MN =时，求直线l 方程．【答案】（1）()()221220x y ++-=；（2）3460x y -+=或2x =-. 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【详解】（1）由题意知()1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 半径r ， 所以147255r -++==，所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．（2）设MN 的中点为Q ，则由垂径定理可知90MQA ∠=︒，且19MQ =， 在Rt AMQ △中由勾股定理易知221AQ AM MQ =-=，设动直线l 方程为：()2y k x =+或2x =-，显然2x =-符合题意． 由()1,2A -到直线l 距离为1知22211k k k -+-=+得34k =．所以3460x y -+=或2x =-为所求直线l 方程．【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积. 【答案】（1）证明见详解；（26【分析】（1）取AD 的中点O ，连接EO ，BO.，可证EO ⊥平面ABCD 再根据面面垂直判定定理可证；（2）因为EF //AC 得点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，由体积公式可求出结果.【详解】解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接EO ，BO.∵EA =ED ，∴EO ⊥AD.由题意知△ABD 为等边三角形，∴AB =BD =AD =2，∴BO 3在△EAD 中，EA =ED 3AD =2， ∴EO 22-2AE AO ，又BE 5∴ 222EO BO BE +=，∴EO BO ⊥， ∵AD OB O ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAD ，∴平面EAD ⊥平面ABCD. （2）由题意得1123322BCDABDSSAD OB ==⋅=⨯= ∵EF ∥AC ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，为EO ， ∴1163233F BCD BCDV S EO -=⋅==【点晴】关键点点晴：证明面面垂直的关键在于找到线面垂直. 21．已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值. 【答案】（1）54a =；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()f x 的极小值为 ()5ln5f =-.【分析】（1）由()2311()ln 424x a a f x x f x x x x'=+--⇒=--，而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =，所以(1)2f '=-，解方程可得a 的值； （2）由（1）的结果知()2225315145()ln 442444x x x f x x f x x x x x --'=+--⇒=--=于是可用导函数求()f x 的单调区间；【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =， 知()312,4f a '=--=-解得54a =； （2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--， 则()22215145,444x x f x x x x--'=--= 令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，故舍去.当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数；当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数；由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-.22．已知抛物线24y x =和点()60M ，，O 为坐标原点，直线过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点.（1）求OA OB ⋅；（2）若OAB 的面积等于.【答案】（1）12；（2）260x y +-=和260x y --=.【分析】（1）设直线l 的方程为6x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理由 1212OA OB x x y y ⋅=+求解.（2）根据OAB 的面积等于1212OAB S OM y y =⋅-=，结合韦达定理求得m 即可.【详解】（1）设直线l 的方程为6x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，， 由264x my y x=+⎧⎨=⎩得24240y my --=，显然Δ0>， 124y y m +=，1224y y =-，2212123644y y x x =⋅=. 所以121212OA OB x x y y ⋅=+=.（2）1212OAB S OM y y =⋅-==== 解得24m =，2m =±.则直线l 的方程为260x y +-=和260x y --=.。
2020-2021学年山西省吕梁市汾阳市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年山西省吕梁市汾阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈(0,1)，x2−x<0”的否定是()A. ∃x0∉(0,1)，x02−x0≥0B. ∃x0∈(0,1)，x02−x0≥0C. ∀x0∉(0,1)，x02−x0<0D. ∀x0∈(0,1)，x02−x0≥02.若x，y∈R，则“x2>y2”是“x>y”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件3.直线x+√3y+k=0的倾斜角是()A. 56π B. 2π3C. π3D. π64.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A. 16B. 13C. 23D. 15.已知两个命题p和q，如果p是q的充分不必要条件，那么￢p是￢q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：3kx+(2−k)y−3=0和l2：(k−2)x+(k+2)y−2=0互相垂直，则实数k的值是()A. −2或−1B. 2或1C. −2或1D. 2或−17.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l⊥α，l//m，则m⊥αC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若l//α，m//α，则l//m8.抛物线y=14x2的焦点到双曲线y2−x23=1的渐近线的距离为()A. 12B. √32C. 1D. √39.曲线y=x3−x在点(1,0)处的切线方程为()A. 2x−y=0B. 2x+y−2=0C. 2x+y+2=0D. 2x−y−2=010.已知0<θ<π4，则双曲线C1：x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2：y2cos2θ−x2sin2θ=1的()A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等11.设圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−4√2=0的距离为d，则d的取值范围是()A. [0,3]B. [2,4]C. [3,5]D. [4,6]12.已知点P是双曲线x24−y25=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为()A. 54B. 52C. 5D. 10二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13.过点A(1,1)且与直线x−2y+3=0平行的直线方程为______ ．14.已知函数f(x)=axlnx，x∈(0,+∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)=3，则a的值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为(1)，表面积为(2)．四、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______．17.已知命题p：m∈R且m+1⩽0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立．(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；(2)若p∧q为假命题且p∨q为真命题，求m的取值范围．18.已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−3．4(1)求过点P且与直线l垂直的直线l1的方程；(2)求过点P且在x轴与y轴上的截距相等的直线l2的方程．19.已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点(1)求圆A的方程．(2)当|MN|=2√19时，求直线l方程．20.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=π，AB=2，EF//AC，EA=ED=√3，BE=3√5．(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥F −BCD 的体积．21. 已知函数f(x)=x4+ax −lnx −32，其中a ∈R ，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．22. 已知抛物线y 2=4x 和点M(6,0)，O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点． (1)求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若△OAB 的面积等于12√10，求直线l 的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求解．【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“∀x∈(0,1)，x2−x<0”的否定是“∃x0∈(0,1)，x02−x0≥0”.故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了充分条件、必要条件的判定，属于基础题．由x2>y2，解得|x|>|y|，即可判断出结论．【解答】解：由x2>y2，解得|x|>|y|，因此“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件．故选D．3.【答案】A【解析】解：化直线x+√3y+k=0为斜截式可得y=−√33x−√33k，∴直线的斜率为−√33，∴倾斜角为150°，故选：A．化方程为斜截式可得斜率，进而由斜率和倾斜角的关系可得．本题考查直线的一般式方程和斜截式方程，涉及直线的倾斜角，属基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图，以及棱锥的体积公式，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键，属于基础题．由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA= 2，AB⊥BC，AB=BC=1.据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如右图，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴S△ABC=12×AB×BC=12×12=12．因此V=13×S△ABC×PA=13×12×2=13．故选：B．5.【答案】B【解析】解：∵p是q的充分不必要条件，∴￢q是￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q必要不充分条件，故选B．根据充分条件和必要条件的定义以及逆否命题的等价性进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.【答案】B【解析】解：直线l1：3kx+(2−k)y−3=0和l2：(k−2)x+(k+2)y−2=0互相垂直，可得3k(k−2)+(2−k)(2+k)=0，即为k2−3k+2=0，解得k=1或2，故选：B．由两直线垂直的条件，可得3k(k−2)+(2−k)(2+k)=0，解方程可得k的值．本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l//α，m⊂α，则l//m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题8.【答案】B【解析】解：抛物线y=14x2的焦点在y轴上，且p=2，∴抛物线y=14x2的焦点坐标为(0,1)，由题得：双曲线y2−x23=1的渐近线方程为√33x±y=0，∴F到其渐近线的距离d=|1|√1+(√33)2=√32．故选：B．先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：y=x3−x∴y′=3x2−1，所以k=3×12−1=2，所以切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0故选：D．先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．本题主要是考查了利用导数求切线的方法，属于基础题，注意计算要准确．10.【答案】D【解析】解：双曲线C1：x2sin2θ−y2cos2θ=1可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；双曲线C2：y2cos2θ−x2sin2θ=1可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选D．通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的形式及意义、直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用．先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径即为最小值，加上半径即为最大值．【解答】解：圆x2+y2−4x+4y+7=0即(x−2)2+(y+2)2=1，表示圆心坐标为(2,−2)，半径等于1的圆，圆心到直线x+y−4√2=0√2√2=4(大于半径)，∴圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−4√2=0的最小距离为4−1= 3，最大值为4+1=5，所以d的取值范围是[3,5]．故选：C．12.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．本题考查双曲线的方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意得a=2，b=√5，c=3，∴F1(−3,0)、F2(3,0)，Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|−|PF2|)2+2⋅|PF1|⋅|PF2|=4a2+2⋅|PF1|⋅|PF2|，∴36=4×4+2⋅|PF1|⋅|PF2|，∴|PF1|⋅|PF2|=10，⋅|PF1|⋅|PF2|=5．∴△PF1F2面积为12故选：C．13.【答案】x−2y+1=0【解析】解：设与直线x−2y+3=0平行的直线方程为x−2y+m=0，把A(1,1)代入，求得m=1，故要求的直线的方程为x−2y+1=0，故答案为：x−2y+1=0．由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程．本题主要考查两条直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．14.【答案】3ax=alnx+a，又f′(1)=3，【解析】解：因为f(x)=axlnx，所以f′(x)=alnx+1x所以a=3；故答案为：3．由题意求出f′(x)，利用f′(1)=3，求a．本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．15.【答案】424π【解析】【分析】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的体积，表面积计算，属于基础题．代入体积和表面积公式计算．【解答】解：由圆柱的体积公式V=πr2ℎ得16π=4πℎ，∴圆柱的高ℎ=4，∴圆柱的母线长l=ℎ=4；圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2π×22+2π×2×4=24π．故答案为4，24π．16.【答案】35【解析】解：∵椭圆的方程为x225+y216=1，∴a=5，b=4，c=3．∵F是椭圆的一个焦点，设F′为椭圆的另一焦点，依题意|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P4F′|，∴|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P4F|=2a=10，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=72×2a=7a=35．故答案为：35．利用椭圆的定义可求得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=72×2a，结合椭圆的标准方程即可求得答案．本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义的应用，考查观察与分析、运算的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)命题q ：∀x ∈R ，x 2+mx +1>0恒成立，若命题q 为真命题，则有△=m 2−4<0，解得−2<m <2，所以m 的取值范围为(−2,2)；(2)命题p ：m ∈R 且m +1⩽0，即m ≤−1，因为p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，所以p ，q 必然一真一假，①当p 真q 假时，则有{m ≤−1m ≤−2或m ≥2，解得m ≤−2； ②当p 假q 真时，则有{m >−1−2<m <2，解得−1<m <2． 综上可得，m 的取值范围为m ≤−2或−1<m <2．【解析】本题考查了复合命题及其真假的应用，涉及了复合命题真假的判断，解题的关键是掌握复合命题真假的判断方法，属于基础题．(1)利用不等式恒成立得到△<0，求解即可得到答案；(2)求出命题p 为真命题的m 的范围，然后利用p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，得到p ，q 必然一真一假，分别求解即可得到答案．18.【答案】解：(1)由点斜式可得：直线l 的方程为：y −5=−34(x +2)， 整理得：3x +4y −14=0．所求直线l 1的方程为：4x −3y +n =0，代入(−2,5)点，−8−15+n =0，解得n =23．∴直线l 1的方程为：4x −3y +23=0．(2)当直线l 2经过原点时，可得方程为：y =−52x.当直线l 2不过原点时，可设方程为：y +x =a ，把P(−2,5)代入可得5−2=a ，可得a =3．∴直线l 2的方程为x +y −3=0．综上可得：直线l 2的方程为y =−52x 或x +y −3=0．【解析】(1)由点斜式可得直线l 的方程．设所求直线l 1方程为：4x −3y +n =0，代入(−2,5)点，解得m ．(2)当直线l 2经过原点时，可得方程为：y =x.当直线l 2不过原点时，可设方程为：y +x =a ，把P(−2,5)代入可得a 即可得出．本题考查了两条直线互相垂直与斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)意知A(−1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴r=|−1+4+7|√5=2√5，∴圆A方程为(x+1)2+(y−2)2=20(5分)(2)垂径定理可知∠MQA=90°.且MQ=√19，在Rt△AMQ中由勾股定理易知AQ=√AM2−MQ2=1设动直线l方程为：y=k(x+2)或x=−2，显然x=−2合题意．由A(−1,2)到l距离为1知|−k+2k−2|√1+k2=1得k=34．∴3x−4y+6=0或x=−2为所求l方程．(7分)【解析】(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；(2)根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：取AD中点O，连接EO，BO，∵EA=ED，∴EO⊥AD，在△EAD中，由EA=√3，AO=12AD=1，得EO=√2，由题意，△ABD为等边三角形，在△OAB中，∵AB=2，AO=1，∴OB=√3，又EB=√5，∴EO2+BO2=EB2，得EO⊥BO，又AD∩BO=O，AD、BO⊂平面ABD，∴EO⊥平面ABD，而EO⊂平面AED，∴平面EAD⊥平面ABCD；(2)解：由EF//AC，AC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，可知EF//平面ABCD，则F到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离，等于EO=√2．∴V F−BCD=13×12×2×2×√32×√2=√63．【解析】(1)取AD中点O，连接EO，BO，由已知可得EO⊥AD，求解三角形证明EO⊥BO，由直线与平面垂直的判定可得EO⊥平面ABD，进一步得到平面EAD⊥平面ABCD；(2)由EF//AC，可知EF//平面ABCD，则F到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD 的距离，等于EO=√2，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥F−BCD的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=x4+ax−lnx−32，∴f′(x)=14−ax2−1x，∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.∴f′(1)=14−a−1=−2，解得：a=54．(2)由(1)知：f(x)=x4+54x−lnx−32，f′(x)=14−54x2−1x=x2−4x−54x2(x>0)，令f′(x)=0，解得x=5，或x=−1(舍)，∵当x∈(0,5)时，f′(x)<0，当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)；单调递减区间为(0,5)；当x=5时，函数取极小值−ln5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．(1)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x可得f′(1)=−2，可求出a 的值；(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．22.【答案】解：(1)设直线l 的方程为x =my +6，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由x =my +6与抛物线y 2=4x 得y 2−4my −24=0，显然Δ>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−24，x 1x 2=m 2y 1y 2+6m(y 1+y 2)+36=36，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=12． (2)S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2| =3√16m 2+96=12√m 2+6=12√10，∴m 2=4，m =±2．所以直线l 的方程为x +2y −6=0和x −2y −6=0．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．(1)设直线l 的方程为x =my +6，联立抛物线方程，由韦达定理可得出结果．(2)由S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2|可求出m 的值．。
山西省汾阳市2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科)
山西省汾阳市2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）满分150分、考试时间120分钟第I卷（选择题）一、选择题共12题，每题5分，共60分1．命题“),1,0(2<-∈∀xxx”的否定是（）A∃x0∉(0,1),x02−x0≥0B∃x0∈(0,1),x02−x0≥0 C∀x0∉(0,1),x02−x0<0D∀x0∈(0,1),x02−x0≥0 2．若x，y∈R，则“x2>y2”是“x>y”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分条件D既不充分也不必要条件3．直线x+√3y+k=0的倾斜角是（）A5 6πB23πCπ3Dπ64．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A1 6B13C235．如果l1:3kx+(2−k)y−3=0l2:(k−2)x+(k+2)y−2=0k −2−1−1 −2ml,αl⊥m,m⊂α,则l⊥αl⊥α,l∥m,则m⊥αl∥α,m⊂α,则l∥m l∥α,m∥α,则l∥my=14x2y2−x23=11 2√32√30<θ<π4C 1:x 2sin 2θ−y 2cos 2θ=1C 2:y 2cos 2θ−x 2sin 2θ=1x 2+y 2−4x +4y +7=0Px +y −4√2=0dd[0,3][2,4][3,5][4,6]P x 24−y 25=1PF 1⊥PF 2△PF 1F 2 5452)1,1(A x −2y +3=0216πfx =axln x, x ∈(0,+∞)f ′xfxf ′(1)=3x 225+y 216=1AB8xP 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7F|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|=p: m ∈Rm +1⩽0q: ∀x ∈R,x 2+mx +1>0的取值范围；2若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，求m 的取值范围． 18．已知直线l 经过点P(−2,5)，且斜率为−34 1求过点P 且与直线l 垂直的直线l 1的方程；2求过点P 且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线l 2的方程；19．已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m:x +2y +7=0相切，过点B(−2,0)的动直线与圆A 相交于M 、N 两点 1求圆A 的方程；2当|MN|=2√19时，求直线l 的方程20．如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 为菱形,且∠DAB =π3,AB =2,EF ∥AC ,EA =ED =√3,BE =√51求证:平面EAD ⊥平面ABCD ; 2求三棱锥F -BCD 的体积21其中a ∈R,且曲线y =f 在点1,f 11求a 的值;2求函数f 的单调区间与极值22已知抛物线y 2=4x 和点M(6，0)，O 为坐标原点，直线过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点 （1）求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）若△OAB 的面积等于12√10，求直线的方程参考答案一、选择题1-5 BDABB 6-10 DBBDD 11-12 CC 二、填空题 13、012=+-y x 14、 4；24π 15、3 16、35 三、解答题 17、【答案】1所以△=m 2−4<0，解得−2<m <2 3分2若命题m ∈Rm +1≤0m ≤−1因为p ∧qp ∨q 所以p ，q {m ≤−1m ≤−2或m ≥2m ≤−2{m >−1−2<m <2−1<m <2的取值范围是m ≤−2或−1<m <2．1分 18【答案】1由已知得k =43，∴y −5=34(x +2)，即直线l 1方程为4x −3y +23=04分2①当直线不过原点时，设直线l 2方程为xa +yb =1，∴−2a +5a =1，即a =3， ∴直线l 2方程为x +y −3=0； 3分②当直线过原点时，直线l 2斜率为−52，直线l 2方程为y =−52x ，即5x +2y =03分 综上所述，直线l 2的方程为x +y −3=0或5x +2y =0 2分 19【答案】1由题意知A(−1,2)到直线x +2y +7=0的距离为圆A 半径R , ∴R =√5=2√5;∴圆A 的方程为(x +1)2+(y −2)2=20 4分 （2）设线段MN 的中点为Q ，连结QA ，则由垂径定理可知∠MQA =90°，且MQ =√19； 在RtΔAMQ 中由勾股定理易知AQ =√AM 2−MQ 2=12分当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =−2时，显然满足题意； 2分 当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：y =k(x +2) 由A(−1,2)到动直线l 的距离为1得√1+k 2=1⇒k =34∴3x −4y +6=02分∴3x −4y +6=0或x =−2为所求方程 2分 20【答案】1如图,取AD 的中点O ,连接EO ,BO∵EA =ED ,∴EO ⊥AD由题意知△ABD 为等边三角形,∴AB =BD =AD =2,∴BO =√3 在△EAD 中,EA =ED =√3,AD =2, ∴EO =√AE 2-AO 2=√2,又 BE =√5,∴EO 2OB 2=BE 2,∴EO ⊥OB , ∵AD ∩OB =O ,AD ⊂平面ABCD ,BO ⊂平面ABCD , ∴ EO ⊥平面ABCD又EO ⊂平面EAD ,∴平面EAD ⊥平面ABCD2由题意得S △BCD =S △ABD =12·AD ·OB =12×2×√3=√3,∵EF ∥AC ,∴点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离,为EO , ∴V F -BCD =13S △BCD ·EO =13×√3×√2=√63 21、【答案】1对f 求导得f '=14-a x 2-1x ,由f 在点1,f 1处的切线垂直于直线y =12知,f '1=-34-a =-2,解得a =542由1则f '=x 2−4x−54x 2令f '=0,解得=-1或=5因为=-1不在f 的定义域0,∞内,故舍去 当∈0,5时,f '<0,故f 在0,5上为减函数; 当∈),5(+∞时,f '>0,故f 在),5(+∞上为增函数 由此知函数f 在=5处取得极小值f 5=-ln 522【答案】（1）设直线l 的方程为x =my +6，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{x =my +6y 2=4x 得y 2−4my −24=0，显然Δ>0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−24，x 1x 2=y 124⋅y 224=36于是OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=12 （2）S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2|=3√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=3√16m 2+96=12√m 2+6=12√10 m 2=4，m =±2那么直线l 的方程为x +2y −6=0和x −2y −6=0。
2021年山西省吕梁市汾阳中学高二数学文期末试题含解析
2021年山西省吕梁市汾阳中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（▲）A．B．= xC．= 1 D．x －y + 1 = 0参考答案：A略2. 直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数），且(O 是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D3. 一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC的面积为×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为1的半圆面积S=π×12=，所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为：；故选B【点评】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式；关键是找出事件的测度是符合条件的面积．4. 不等式的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1}B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}参考答案：D考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即≤0，再用穿根法求得它的解集．解答：解：不等式≤0，即≤0，用穿根法求得它的解集为{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}，故选：D．点评：本题主要考查用穿根法求分式不等式的解集，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2 B．3 C．4D．5参考答案：B略6. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是且BC边上的高为，则的最大值为（）A． B C 2 D 4参考答案：A略7. 设S n为数列{a n}的前n项和，a3=6且S n+1=3S n，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】S n+1=3S n，可得数列{S n}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．【解答】解：∵S n+1=3S n，∴数列{S n}为等比数列，公比为3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴S n=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故选：C．8. 点位于（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是 ()A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c参考答案：C略10. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是__________．参考答案：x+2y﹣5=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．解答：解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m=0，m=﹣5，故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y ﹣5=0．点评：本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（1，2）且与直线x+2y ﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键12. 抛物线y=﹣x 2+2x 与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点P （x ，y ），则P （y ＞x ）= ．参考答案：【考点】CF ：几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x 2+2x 与x 轴围成的封闭区域为M 的面积，再求出S 阴影，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：令y=﹣x 2+2x=0，解得x=0或x=2，∴由抛物线y=﹣x 2+2x 与x 轴围成的封闭区域S M =（﹣x 2+2x ）dx=（﹣x 3+x 2）|=﹣+4=，由，解得x=0或x=1，∴由抛物线y=﹣x 2+2x 与y=x 围成的封闭区域 S 阴影=（（﹣x 2+2x ﹣x ）dx=（（﹣x 2+x ）dx=（﹣x 3+x 2）|=﹣+=，故则P （y ＞x ）===，故答案为：13. 如图，在三棱锥中，底面，，，则与底面所成角的正切值为．参考答案：14. 某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛，男、女两队夺取冠军的概率分别是和．则该市足球队夺得全省冠军的概率是 .参考答案：15. 已知定义在上的函数，函数，若在处取得最大值，则正数的取值范围是 .参考答案：略16. 已知x+2y=4，且x≥0, ,则满足 的x 的取值范围为 。
山西省吕梁市汾阳英雄街中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析
山西省吕梁市汾阳英雄街中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若关于x的不等式e x﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（）A．e+1 B．e+C．D．参考答案：C【考点】函数恒成立问题．【分析】利用不等式e x﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，利用导函数研究单调性求出a，b的关系，再次利用导函数研究单调性（a+1）b的最大值．【解答】解：不等式e x﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=e x﹣（a+1）x﹣b，则f（x）≥0在R上恒成立．只需要f（x）min≥0即可．f′（x）=e x﹣（a+1）令f′（x）=0，解得x=ln（a+1），（a＞﹣1）当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，f′（x）＜0，则f（x）时单调递减．当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）时单调递增．故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b那么：（a+1）2[1﹣ln（a+1）]≥b（a+1）令（a+1）=t，（t＞0）则现求g（t）=t2﹣t2lnt的最大值．g′（t）=令g′（t）=0，解得：t=得极大值为g（）=∴（a+1）b的最大值为．故选C．2. 有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）参考答案：C略3. 已知函数若直线l过点(0,－1),且与曲线相切,则直线l的方程为A. B.C. D.参考答案：C设切点为则切线方程为，从而斜率解得所以的方程为即故选C. 【点睛】解本题的关键之处有：利用函数与方程思想求得；解方程.4. 已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（）A．n=45，p=B．n=45，p=C．n=90，p=D．n=90，p=参考答案：C【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，n=90，故选C．5. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )．A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样参考答案：D6. 过点C（2，﹣1）且与直线x+y﹣3=0垂直的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y﹣1=0参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据已知，与直线x+y﹣3=0垂直的直线的斜率为1，从而可求出直线方程．【解答】解：设所求直线斜率为k，∵直线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，且所求直线与直线x+y﹣3=0垂直∴k=1．又∵直线过点C（2，﹣1），∴所求直线方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0．故选C．【点评】本题考查直线的点斜式方程以及两直线相互垂直的性质等知识，属于基础题．7. 用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。
山西省吕梁市汾阳育才中学2021年高二数学文期末试卷含解析
山西省吕梁市汾阳育才中学2021年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．故选：D．2. 为等比数列，是其前项和，若，且与的等差中项为，则A．29 B．30 C．31 D．32参考答案：C3. 设成等比数列，其公比为2，则的值为（）A．B． C．D．1参考答案：A4. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（）A．已知圆的半径求圆的面积B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性C．已知坐标平面内两点求直线方程D．加减乘除法运算法则参考答案：B5. 复数A. B. C. D.参考答案：C6. 函数的导数是（）A. B.C.D.参考答案：C略7. 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC= ，那么这个球面的表面积是（）A． B.C．D．参考答案：C略8. 在正方体中，与垂直的一个平面是（）A．平面 B．平面 C．平面 D．平面参考答案：Ｄ9. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶参考答案：D10. 已知之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过（）A、（2，2）点 B、（1.5，0）点 C、（1，2）点 D、（1.5，4）点参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图, 是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图,则这些同学成绩的中位数为_______.(保留一位小数)参考答案：12. 已知两变量满足的取值范围为参考答案：(1,+∞)略13. 设为抛物线为常数)的焦点弦，M为AB的中点，若M到轴的距离等于抛物线的通径长，则__________.参考答案：略14. 若复数（i为虚数单位），若，则复数W的共轭复数是________.参考答案：【分析】求解出复数，利用共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确结果：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够通过复数运算求解出复数，属于基础题.15. 若中两直角边为，，斜边上的高为，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，，那么，的大小关系是__________．参考答案：在中，①,由等面积法得,∴②，①②整理得，，类比知：③，由等体积法得，∴④，③④得，故答案为．16. 执行右图语句后,打印纸上打印出的结果应是____▲______．While <10End WhilePrint参考答案：2817. 某地的汽车牌照全都是由七位数字所组成，每面车牌的最左边的数字不可以是0，且任两面车牌上的数都不相同。
山西省2020学年高二数学上学期期末考试试题文
高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.10y --=的倾斜角为A ． 56πB ．23πC ．3π D ． 4π 2. 已知点A (2,－3)、B (－3,－2),直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ） A 、k ≥43或k ≤－4 B 、k ≥43或k ≤－41 C 、－4≤k ≤43 D 、43≤k ≤4 3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件4. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若//l α，//αβ，则l β⊂ C. 若l α⊥，//αβ，则l β⊥ D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题； B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题6. 已知实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-02042053y y x y x ，则y x Z 2+=的最小值为( )A ．－13B ．－15C ．－1D ．77.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且01260=∠F PF ，则C 的离心率为( )A.221-B. 2错误！未找到引用源。
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8. 已知 △ABC 的顶点 B 、C 在椭圆191622=+y x 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在线段BC 上，则 △ABC 的周长是（ ）(A) 8 (B) (C) 16 (D) 249.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题10..如图，在三棱锥D —ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90° 11.若直线:2(0,0)l ax by a b -=>>平分圆22240x y x y +-+=，则11a b+的最小值为（ ）A ．．2 C. 1(32+D ．3+12. 已知直线m x y l +=:与曲线21x y -=有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－2，2）B ．（－1，1）C ．D ．]22[，- 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 命题：“∀x R ∈, 0122≥++x x .”的否是 .14. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线一条渐近线的方程是20x y +=，则该双曲线的离心率是_______;15. 若圆Ｃ与圆2220x y x ++=关于直线x+y-1=0对称，则圆C 的方程是______.16. 已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==BC AD AC BD ===A BCD -的外接球的表面积为 ．三、解答题（共10+12+12+12+12+12分）17. 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值．18.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中 AD BC ∥，AB BC ⊥，122PA AB BC AD ====，E 为PD 边上的中点.(1) 证明：CE ∥平面PAB （2）证明：平面PAC ⊥平面PCD ； (3)求三棱锥P ACE -的体积.20. 已知椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0），离心率23=e ，且短轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点P （2，1）作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程．21.已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率为，且过点(，1)．(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．22.已知定点(3,0)A -、(3,0)B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线AP 与AQ 斜率之积为118-，求证：直线l 过定点，并求定点坐标.高二文数答案一、选择题1.C2. A3. A4. C5. D6. B7. D8. C9. C 10. B 11. C 12. C 二、填空题13.2000,210x R x x ∃∈++< (写成 2,210x R x x ∃∈++<也给分) 14.2515.222440x y x y +--+= 16.77π 三、解答题17. (1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )． ∴l 过的交点M (3,1)． 又∵M 到圆心C (1,2)的距离 d ＝＝＜5，∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点． (2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤，弦心距、半弦长和半径r 满足勾股定理， ∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20. ∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4. 此时，kCM ＝－，kl ＝－.∵l ⊥CM ，∴·＝－1，解得m ＝－. ∴当m ＝－时，取到最短弦长为4.18.证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC .∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G ∥EB ，且A 1G ＝EB ， ∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG . 19.（Ⅰ）证明：如图5，取PA 的中点F ，连接BF EF ，，因为E 为PD 边上的中点，所以EF AD ∥，且12EF AD =，因为AD BC ∥ 12BC AD =， 所以EF BC ∥，且EF BC =，所以四边形BCEF 是平行四边形， 所以CE BF ∥，又CE PAB ⊄平面，BF PAB ⊂平面， 所以CE ∥平面PAB ．（Ⅱ）证明：在直角梯形ABCD 中，122AB BC AD ===，所以AC CD == 所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，①又PA ABCD ⊥平面，所以PA CD ⊥，② 又PAAC A =，所以CD PAC ⊥平面，因为CD PCD ⊂平面，所以平面PAC ⊥平面PCD ．（Ⅲ）解：因为E 为PD 边上的中点，PA ABCD ⊥平面，所以111223P ACE D ACE P ACD ACD V V V S PA ---===△，因为1222242ACD S ==△，2PA =，所以43P ACE V -=． 20.（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率必存在，设斜率为k ， 则所求直线的方程为y-1=k （x-2），代入椭圆方程并整理得（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x+4（2k-1）2-16=0， 设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∵P 是AB 的中点，∴，解得． ∴所求直线方程为x+2y-4=0．21.解 (1)由e ＝，可得＝， 所以a 2＝3b 2， 故双曲线方程可化为－＝1.将点P (，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⇒(1－3k 2)x 2－6kx －9＝0. 由题意得，解得－1<k <1且k ≠±.所以k 的取值范围为(－1，－)∪(－，)∪(，1)．22.（Ⅰ）设动点(,)M x y ，则,33MA MB y y k k x x ==+-()3x ≠±，19MA MBk k =-，即1339y y x x ⋅=-+-，化简得：2219x y += ，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±.（Ⅱ）由已知直线l 斜率为0时，显然不满足条件。
2020-2021学年山西省汾阳市汾阳中学高二上学期文科B班数学周测九试题 Word版
山西省汾阳市汾阳中学 2020-2021 学年高二上学期文科 B 班数学周测九试题一、选择题1、已知命题 :若,则,命题 :,,则下列命题为真命题的是( )A.B.C.D.2、已知命题,,,,则在命题,,和中,真命题是( )A. ,B. ,C. ,D. ,3、已知向量，，则“且”是“A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4、下列判断正确的是( ) A.若命题 为真命题,命题B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件为假命题,则命题“”为真命题B.命题“,”的否定是“,””的（ ）C.“”是“”的充分不必要条件D.命题“若,则”的否命题为“若,则”5、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.B.所有菱形的 条边都相等C.若 为偶数,则D. 是无理数6、已知命题 :，命题 :，则 是 的（ ）条件.A.充分条件B.必要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要7、已知命题 :；命题 ：若,则,下列命题为真命题的是A.B.C.D.8、已知命题 ：若，则； ：“ ”是“”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（ ）A.B.C.D.9、给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④10、已知命题 ：函数有两个相异的零点； ：函数为假，则 的取值范围( )A.B.C.D.11、下列命题中属于假命题的是( )A.,B.,C.,D.,有两个零点，且为真，12、命题,,则 为( )A.,B.,C.,D.,13、如果命题为真命题,那么( )A. , 均为真 C. , 中至少有一个为真命题B. , 均为假 D. , 中至多有一个为真命题14、已知命题 ：函数在上单调递增；命题 ：关于 的不等式对任意的恒成立.若为真命题，为假命题，则实数 的取值范围为（ ）A.B.C.D.15、设 是两个向量,则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16、已知命题 :“关于 的方程有实根”,若 为真命题的充分不必要条件为取值范围是( )A.B.C.D.17、下列说法中正确的个数是( )(1)“ 为实数”是“ 为有理数”的充分不必要条件；(2)“”是“”的充要条件；(3)“”是“”的必要不充分条件；(4)“”是“”的必要不充分条件；(5)“，”是“”的充要条件．A.0B.2C.1D.318、已知，设 ：使是 上的单调递减函数； ：使函数“”为假，“”为真，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.,则实数 的 的值域为 ，如果二、填空题题文19、已知命题；命题 :，且 的一个充分不必要条件是 ，则围是__________.20、下列 4 个命题中,正确的是__________ (写出所有正确的题号)．(1)命题“若,则”的否命题为“若,则”(2)“”是“”的充分不必要条件(3)命题“若,则”是真命题(4)若命题,则．的取值范21、 若不等式是不等式成立的充要条件，则实数__________.22、下列说法中正确的为____. . 填序号“”是“函数是奇函数”的充要条件;若,,则,;若为假命题,则 均为假命题;命题“若,则”的否命题是“若,则” __________23、关于 的方程有两个同号但不相等的实根的充要条件是__________．24、设命题是减函数，命题 ：关于 的不等式的解集为 ，如果“ 或 ”为真命题，”为假命题，则实数 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分。
高二上学期期末数学试卷(文科)(2021年整理)
高二上学期期末数学试卷(文科)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二上学期期末数学试卷(文科)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高二(上）期末测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分)复数集是由实数集和虚数集构成的,而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分；虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分，则可选用（）来描述之．A．流程图B．结构图C．流程图或结构图中的任意一个D．流程图和结构图同时用2．（5分）下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．π是无限不循环小数，无限不循环小数是无理数，所以π是无理数B．π是无限不循环小数，π是无理数，所以无限不循环小数是无理数C．无限不循环小数是无理数，π是无理数,所以π是无限不循环小数D．无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，所以π是无理数3．（5分）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0所表示的曲线是圆C，则实数m的取值范围（）A．1＜m＜4B．m＜1或m＞4C．m＞4D．m＜14．(5分)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）福利彩票“双色球"中红球的号码由编号为01，02，…,33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红球的编号，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红球的编号为（)49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 2357 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A．23B．24C．06D．046．（5分）如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．7．(5分）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件；②若A、B为两个事件，则P(A∪B）=P（A)+P（B)；③若事件A、B、C两两互斥,则P（A）+P（B）+P(C）=1；④若事件A、B满足P(A）+P（B)=1且P（AB)=0，则A、B是对立事件．其中错误命题的个数是（）A．0B．1C．2D．38．（5分)春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘"行动，得到如表的列联表，则下面的正确结论是（）做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女30150。
2020-2021学年山西省吕梁市汾阳市高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年山西省吕梁市汾阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈(0,1)，x2−x<0”的否定是()A. ∃x0∉(0,1)，x02−x0≥0B. ∃x0∈(0,1)，x02−x0≥0C. ∀x0∉(0,1)，x02−x0<0D. ∀x0∈(0,1)，x02−x0≥02.若x，y∈R，则“x2>y2”是“x>y”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件3.直线x+√3y+k=0的倾斜角是()A. 56π B. 2π3C. π3D. π64.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A. 16B. 13C. 23D. 15.已知两个命题p和q，如果p是q的充分不必要条件，那么￢p是￢q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：3kx+(2−k)y−3=0和l2：(k−2)x+(k+2)y−2=0互相垂直，则实数k的值是()A. −2或−1B. 2或1C. −2或1D. 2或−17.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l⊥α，l//m，则m⊥αC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若l//α，m//α，则l//m8.抛物线y=14x2的焦点到双曲线y2−x23=1的渐近线的距离为()A. 12B. √32C. 1D. √39.曲线y=x3−x在点(1,0)处的切线方程为()A. 2x−y=0B. 2x+y−2=0C. 2x+y+2=0D. 2x−y−2=010.已知0<θ<π4，则双曲线C1：x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2：y2cos2θ−x2sin2θ=1的()A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等11.设圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−4√2=0的距离为d，则d的取值范围是()A. [0,3]B. [2,4]C. [3,5]D. [4,6]12.已知点P是双曲线x24−y25=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为()A. 54B. 52C. 5D. 10二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13.过点A(1,1)且与直线x−2y+3=0平行的直线方程为______ ．14.已知函数f(x)=axlnx，x∈(0,+∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)=3，则a的值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为(1)，表面积为(2)．四、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______．17.已知命题p：m∈R且m+1⩽0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立．(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；(2)若p∧q为假命题且p∨q为真命题，求m的取值范围．18.已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−34．(1)求过点P且与直线l垂直的直线l1的方程；(2)求过点P且在x轴与y轴上的截距相等的直线l2的方程．19.已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点(1)求圆A的方程．(2)当|MN|=2√19时，求直线l方程．20. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF//AC ，EA =ED =√3，BE =√5．(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)求三棱锥F −BCD 的体积．21. 已知函数f(x)=x 4+a x −lnx −32，其中a ∈R ，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．22. 已知抛物线y 2=4x 和点M(6,0)，O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点．(1)求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若△OAB 的面积等于12√10，求直线l 的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求解．【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“∀x∈(0,1)，x2−x<0”的否定是“∃x0∈(0,1)，x02−x0≥0”.故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了充分条件、必要条件的判定，属于基础题．由x2>y2，解得|x|>|y|，即可判断出结论．【解答】解：由x2>y2，解得|x|>|y|，因此“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件．故选D．3.【答案】A【解析】解：化直线x+√3y+k=0为斜截式可得y=−√33x−√33k，∴直线的斜率为−√33，∴倾斜角为150°，故选：A．化方程为斜截式可得斜率，进而由斜率和倾斜角的关系可得．本题考查直线的一般式方程和斜截式方程，涉及直线的倾斜角，属基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图，以及棱锥的体积公式，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键，属于基础题．由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1.据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如右图，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴S△ABC=12×AB×BC=12×12=12．因此V=13×S△ABC×PA=13×12×2=13．5.【答案】B【解析】解：∵p是q的充分不必要条件，∴￢q是￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q必要不充分条件，故选B．根据充分条件和必要条件的定义以及逆否命题的等价性进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6.【答案】B【解析】解：直线l1：3kx+(2−k)y−3=0和l2：(k−2)x+(k+2)y−2=0互相垂直，可得3k(k−2)+(2−k)(2+k)=0，即为k2−3k+2=0，解得k=1或2，故选：B．由两直线垂直的条件，可得3k(k−2)+(2−k)(2+k)=0，解方程可得k的值．本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l//α，m⊂α，则l//m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题8.【答案】B【解析】解：抛物线y=14x2的焦点在y轴上，且p=2，∴抛物线y=14x2的焦点坐标为(0,1)，由题得：双曲线y2−x23=1的渐近线方程为√33x±y=0，∴F到其渐近线的距离d=1+(√33)2=√32．故选：B．先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．【解析】解：y=x3−x∴y′=3x2−1，所以k=3×12−1=2，所以切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0故选：D．先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．本题主要是考查了利用导数求切线的方法，属于基础题，注意计算要准确．10.【答案】D【解析】解：双曲线C1：x2sin2θ−y2cos2θ=1可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；双曲线C2：y2cosθ−x2sinθ=1可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选D．通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的形式及意义、直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用．先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径即为最小值，加上半径即为最大值．【解答】解：圆x2+y2−4x+4y+7=0即(x−2)2+(y+2)2=1，表示圆心坐标为(2,−2)，半径等于1的圆，圆心到直线x+y−4√2=0的距离为√2√2=4(大于半径)，∴圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−4√2=0的最小距离为4−1=3，最大值为4+ 1=5，所以d的取值范围是[3,5]．故选：C．12.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．本题考查双曲线的方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意得a=2，b=√5，c=3，∴F1(−3,0)、F2(3,0)，Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|−|PF2|)2+2⋅|PF1|⋅|PF2|=4a2+2⋅|PF1|⋅|PF2|，∴36=4×4+2⋅|PF1|⋅|PF2|，∴|PF1|⋅|PF2|=10，∴△PF1F2面积为12⋅|PF1|⋅|PF2|=5．故选：C．13.【答案】x−2y+1=0【解析】解：设与直线x−2y+3=0平行的直线方程为x−2y+m=0，把A(1,1)代入，求得m=1，故要求的直线的方程为x−2y+1=0，故答案为：x−2y+1=0．由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程．本题主要考查两条直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：因为f(x)=axlnx，所以f′(x)=alnx+1xax=alnx+a，又f′(1)=3，所以a=3；故答案为：3．由题意求出f′(x)，利用f′(1)=3，求a．本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．15.【答案】424π【解析】【分析】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的体积，表面积计算，属于基础题．代入体积和表面积公式计算．【解答】解：由圆柱的体积公式V=πr2ℎ得16π=4πℎ，∴圆柱的高ℎ=4，∴圆柱的母线长l=ℎ=4；圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2π×22+2π×2×4=24π．故答案为4，24π．16.【答案】35【解析】解：∵椭圆的方程为x225+y216=1，∴a=5，b=4，c=3．∵F是椭圆的一个焦点，设F′为椭圆的另一焦点，依题意|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P4F′|，∴|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P4F|=2a=10，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=72×2a=7a=35．故答案为：35．利用椭圆的定义可求得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=72×2a，结合椭圆的标准方程即可求得答案．本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义的应用，考查观察与分析、运算的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)命题q ：∀x ∈R ，x 2+mx +1>0恒成立，若命题q 为真命题，则有△=m 2−4<0，解得−2<m <2，所以m 的取值范围为(−2,2)；(2)命题p ：m ∈R 且m +1⩽0，即m ≤−1，因为p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，所以p ，q 必然一真一假，①当p 真q 假时，则有{m ≤−1m ≤−2或m ≥2，解得m ≤−2； ②当p 假q 真时，则有{m >−1−2<m <2，解得−1<m <2． 综上可得，m 的取值范围为m ≤−2或−1<m <2．【解析】本题考查了复合命题及其真假的应用，涉及了复合命题真假的判断，解题的关键是掌握复合命题真假的判断方法，属于基础题．(1)利用不等式恒成立得到△<0，求解即可得到答案；(2)求出命题p 为真命题的m 的范围，然后利用p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，得到p ，q 必然一真一假，分别求解即可得到答案．18.【答案】解：(1)由点斜式可得：直线l 的方程为：y −5=−34(x +2)，整理得：3x +4y −14=0．所求直线l 1的方程为：4x −3y +n =0，代入(−2,5)点，−8−15+n =0，解得n =23．∴直线l 1的方程为：4x −3y +23=0．(2)当直线l 2经过原点时，可得方程为：y =−52x.当直线l 2不过原点时，可设方程为：y +x =a ，把P(−2,5)代入可得5−2=a ，可得a =3．∴直线l 2的方程为x +y −3=0．综上可得：直线l 2的方程为y =−52x 或x +y −3=0．【解析】(1)由点斜式可得直线l 的方程．设所求直线l 1方程为：4x −3y +n =0，代入(−2,5)点，解得m ．(2)当直线l 2经过原点时，可得方程为：y =x.当直线l 2不过原点时，可设方程为：y +x =a ，把P(−2,5)代入可得a 即可得出．本题考查了两条直线互相垂直与斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.【答案】解：(1)意知A(−1,2)到直线x +2y +7=0的距离为圆A 半径r ，∴r =√5=2√5，∴圆A 方程为(x +1)2+(y −2)2=20(5分)(2)垂径定理可知∠MQA =90°.且MQ =√19，在Rt △AMQ 中由勾股定理易知AQ =√AM 2−MQ 2=1设动直线l 方程为：y =k(x +2)或x =−2，显然x =−2合题意．由A(−1,2)到l 距离为1知√1+k 2=1得k =34． ∴3x −4y +6=0或x =−2为所求l 方程．(7分)【解析】(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；(2)根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：取AD中点O，连接EO，BO，∵EA=ED，∴EO⊥AD，在△EAD中，由EA=√3，AO=12AD=1，得EO=√2，由题意，△ABD为等边三角形，在△OAB中，∵AB=2，AO=1，∴OB=√3，又EB=√5，∴EO2+BO2=EB2，得EO⊥BO，又AD∩BO=O，AD、BO⊂平面ABD，∴EO⊥平面ABD，而EO⊂平面AED，∴平面EAD⊥平面ABCD；(2)解：由EF//AC，AC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，可知EF//平面ABCD，则F到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离，等于EO=√2．∴V F−BCD=13×12×2×2×√32×√2=√63．【解析】(1)取AD中点O，连接EO，BO，由已知可得EO⊥AD，求解三角形证明EO⊥BO，由直线与平面垂直的判定可得EO⊥平面ABD，进一步得到平面EAD⊥平面ABCD；(2)由EF//AC，可知EF//平面ABCD，则F到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离，等于EO=√2，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥F−BCD的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=x4+ax−lnx−32，∴f′(x)=14−ax2−1x，∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.∴f′(1)=14−a−1=−2，解得：a=54．(2)由(1)知：f(x)=x4+54x−lnx−32，f′(x)=14−54x2−1x=x2−4x−54x2(x>0)，令f′(x)=0，解得x=5，或x=−1(舍)，∵当x∈(0,5)时，f′(x)<0，当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)；单调递减区间为(0,5)；当x=5时，函数取极小值−ln5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．(1)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x可得f′(1)=−2，可求出a的值；(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．22.【答案】解：(1)设直线l 的方程为x =my +6，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由x =my +6与抛物线y 2=4x 得y 2−4my −24=0，显然Δ>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−24，x 1x 2=m 2y 1y 2+6m(y 1+y 2)+36=36，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=12． (2)S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2| =3√16m 2+96=12√m 2+6=12√10，∴m 2=4，m =±2．所以直线l 的方程为x +2y −6=0和x −2y −6=0．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．(1)设直线l 的方程为x =my +6，联立抛物线方程，由韦达定理可得出结果．(2)由S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2|可求出m 的值．。
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山西省汾阳市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(文)满分150分、考试时间120分钟第I卷（选择题）一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．命题“),1,0(2<-∈∀xxx”的否定是（）A.∃x0∉(0,1),x2−x0≥0 B.∃x0∈(0,1),x02−x0≥0C.∀x0∉(0,1),x2−x0<0 D.∀x0∈(0,1),x02−x0≥02．若x，y∈R，则“x2>y2”是“x>y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件3．直线x+√3y+k=0的倾斜角是（）A.56π B.23π C.π3D.π64．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A.16B.13C.23D.15．如果p是q的充分不必要条件,那么“¬p”是“¬q”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．直线l1:3kx+(2−k)y−3=0和l2:(k−2)x+(k+2)y−2=0互相垂直,则实数k的值是A.−2或−1B.2或−1C.−2或1D.2或17．设ml,是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（）A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m8．抛物线y=14x 2的焦点到双曲线y 2−x 23=1的渐近线的距离为 A.12B.√32 C.1D.√39.曲线y =x 3-x 在点(1,0)处的切线方程为 A.2x -y =0B.2x +y -2=0C.2x +y +2=0D.2x -y -2=010．已知0<θ<π4,则双曲线C 1:x 2sin 2θ−y 2cos 2θ=1与C 2:y 2cos 2θ−x 2sin 2θ=1的A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等11．设圆x 2+y 2−4x +4y +7=0上的动点P 到直线x +y −4√2=0的距离为d ，则d 的取值范围是（ ） A.[0,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]12．已知点P 是双曲线x 24−y 25=1上一点，若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为A.54B.52C.5D.10第II 卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．过点)1,1(A 且与直线x −2y+3=0平行的直线方程为 .14．已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为______ ，表面积为______ .15．已知函数fx =axln x, x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′x 为fx 的导函数,若f ′(1)=3,则a 的值为 .16．如图,把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|= ________.三、解答题(共6题，第17题10分，其余每题12分，共60分)17．已知命题p: m ∈R 且m +1⩽0，命题q: ∀x ∈R,x 2+mx +1>0恒成立．(1)若命题q 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，求m 的取值范围．18．已知直线l 经过点P(−2,5)，且斜率为−34.(1)求过点P 且与直线l 垂直的直线l 1的方程；(2)求过点P 且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线l 2的方程；19．已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m:x +2y +7=0相切，过点B(−2,0)的动直线与圆A 相交于M 、N 两点. (1)求圆A 的方程；(2)当|MN|=2√19时，求直线l 的方程.20．如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 为菱形,且∠DAB =π3,AB =2,EF ∥AC ,EA =ED =√3,BE =√5.(1)求证:平面EAD ⊥平面ABCD ; (2)求三棱锥F -BCD 的体积.21．其中a ∈R,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂(1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.22.已知抛物线y 2=4x 和点M(6，0)，O 为坐标原点，直线过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点.（1）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）若△OAB 的面积等于12√10，求直线的方程.汾阳市2020年度-2021年度第一学期 期末考试高二数学试卷(文)答案1-5 BDABB 6-10 DBBDD 11-12 CC 13、 012=+-y x14、 4；24π 15、3 16、3517、【答案】(1)所以△=m 2−4<0，解得−2<m <2. ...........................3分(2)若命题p ：m ∈R 且m +1≤0，解得m ≤−1．...............2分 因为p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，所以p ，q 必然一真一假．当p 真q 假时，{m ≤−1m ≤−2或m ≥2，解得m ≤−2，..................3分当p 假q 真时，{m >−1−2<m <2，解得−1<m <2． .................3分所以m 的取值范围是m ≤−2或−1<m <2．......................1分18、【答案】(1)由已知得k =43，∴y −5=34(x +2)，即直线l 1方程为4x −3y +23=0....................................4分 (2)①当直线不过原点时，设直线l 2方程为xa+y b=1，∴−2a +5a =1，即a =3，∴直线l 2方程为x +y −3=0； . .........................3分 ②当直线过原点时，直线l 2斜率为−52，直线l 2方程为y =−52x ，即5x +2y =0...3分 综上所述，直线l 2的方程为x +y −3=0或5x +2y =0. ..............2分19、【答案】(1)由题意知A(−1,2)到直线x +2y +7=0的距离为圆A 半径R ,∴R =√5=2√5;∴圆A 的方程为(x +1)2+(y −2)2=20. ..............................4分 (2) 设线段MN 的中点为Q ，连结QA ，则由垂径定理可知∠MQA =90°，且MQ =√19；在RtΔAMQ 中由勾股定理易知AQ =√2−MQ 2=1...............................................2分 当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =−2时，显然满足题意； ......2分 当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：y =k(x +2) 由A(−1,2)到动直线l 的距离为1得√1+k =1⇒k =34∴3x −4y +6=0...2分∴3x −4y +6=0或x =−2为所求方程 (2)20.【答案】(1)如图,取AD 的中点O ,连接EO ,BO.∵EA =ED ,∴EO ⊥AD.由题意知△ABD 为等边三角形,∴AB =BD =AD =2,∴BO =√3. 在△EAD 中,EA =ED =√3,AD =2,∴EO =√AE 2-AO 2=√2,又 BE =√5,∴EO 2+OB 2=BE 2,∴EO ⊥OB ,∵AD ∩OB =O ,AD ⊂平面ABCD ,BO ⊂平面ABCD , ∴ EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAD ,∴平面EAD ⊥平面ABCD.(2)由题意得S △BCD =S △ABD =12·AD ·OB =12×2×√3=√3,∵EF ∥AC ,∴点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离,为EO , ∴V F -BCD =13S △BCD ·EO =13×√3×√2=√63.21、【答案】(1)对f (x )求导得f '(x )=14-a x2-1x ,由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y =12x 知,f '(1)=-34-a =-2,解得a =54.(2)由(1)则f '(x )=x 2−4x−54x 2.令f '(x )=0,解得x =-1或x =5.因为x =-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x ∈(0,5)时,f '(x )<0,故f (x )在(0,5)上为减函数; 当x ∈),5(+∞时,f '(x )>0,故f (x )在),5(+∞上为增函数. 由此知函数f (x )在x =5处取得极小值f (5)=-ln 5.22.【答案】（1）设直线l 的方程为x =my +6，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{x =my +6y 2=4x得y 2−4my −24=0，显然Δ>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−24，x 1x 2=y 124⋅y 224=36.于是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=12. （2）S △OAB =12|OM|⋅|y 1−y 2|=3√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=3√16m 2+96=12√m 2+6=12√10.m 2=4，m =±2.那么直线l 的方程为x +2y −6=0和x −2y −6=0.。