华东师大版九年级上册数学精品教案第1课时解直角三角形及其简单应用

24.4 解直角三角形

第1课时 解直角三角形及其简单应用

1．理解解直角三角形的意义和条件，

能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)

2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点

)

一、情境导入

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落

成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．

在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】 利用解直角三角形求边或角

已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，

∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．

(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；

(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．

解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角

形．

解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363

2＝243，∴b ＝sin B ·c ＝1

2

×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，

∴tan A ＝a b ＝3

3，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝

60°，∴c ＝2a ＝12 2.

方法总结：解直角三角形时应求出所有

未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】

构造直角三角形解决长度

问题

一副直角三角板如图放置，点C

在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝

122，试求CD 的长．

解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．

解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝

sin45°BC ＝122×

2

2

＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD

＝CM －MD ＝12－4 3.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．

【类型三】 运用解直角三角形解决面

积问题

如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3

7，D 为边AC 上一点，∠BDC

＝45°，DC ＝6.

求△ABC 的面积．

解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，

AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，

从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得

AC 的长，再进一步求解．

解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，

在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝

410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝1

2×410×6＝

1210.所以△ABC 的面积是1210.

方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知

数，列方程解答．

探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】

求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善

市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，

tan68.2°≈2.5.

解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.

在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x

＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到

AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即

可求解．

解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB

AC ，∴AB ＝AC ·tan

∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝

AB

AD

，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝410

3

.∴AB ＝4x ＝4×410

3

≈546.7m.

答：AB 的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长