材料力学第十一章

02
20
145
∫ 变量W = 1( pds)dr = 1 pΔV （线性结构）。
V2
2
11-4 图示各圆截面杆的材料 E 相同，受力如图，求各杆的应变能。
x
f = F/l
F
解（a）Vε
= FN2l = F 2l 2EA 2E ⋅ π d 2
= 2F 2l π Ed 2
4
∑ （b）Vε =
FN2ili =
↓
θ A = θB +θ AB = θB (F )+θB (Fa) +θ AB (F )
=
Fa 2
2(2EI
)
+
Fa ⋅ a 2EI
+
Fa 2 EI
=
5Fa 2 4EI
（逆）
(b)
(b1)
b 解 由结构和载荷对称性，其变形必然对称，变形后梁中间截面转角为 0° ，故可等效
148
为图（b1）。由题 11-9（a）解可得
11-5 超静定问题有哪几类？怎样确定超静定问题的次数？什么是相当系统？什么是静 定基？静定基是否唯一？
答 超静定问题有外约束超静定、内约束超静定及外约束超静定加内约束超静定混合。 全部未知力个数与全部独立平衡方程数的差就是超静定问题的次数。 拆去多余内、外约束，用相应的约束力代替其作用，使之成为静定形式的结构，它就 是原结构的相当系统（相当系统加上变形协调条件称为原超静定结构的等效系统）。 解除约束后的不包括外载荷的静定结构称为原结构的静定基。 静定基不唯一。
变力功指作功力在作功过程中力的大小变化明显；
线弹性体指其变形与外力成正比；
线弹性体的应变能可用公式
Vε
=W
=
∑
1 2
Fi Δi
或
∫ ∫ ∫ Vε =
FN2 (x) dx + l 2EA
T 2 (x) dx + l 2GI p
M 2 (x) dx
l 2EI
11-3 互等定理以及克拉贝依隆原理的内容各是什么？适用范围是什么？
M
(x2 )
=
1 2
ql 2
刚架的应变能
(0 ≤ x2 ≤ l)
Vε
=
1 2EI
[∫
l 0
M
2 (x1 ) d
x1
+
∫
l 0
M
2 (x2 ) d
x2 ]
∫ ∫ = 1 [ 2EI
l1 ( 02
qx12
)2
d
x1
+
l 0
(1 2
ql
2
)2
d
x2
]
=
1
q 2l 5 [
+
q2l5 ] =
3q3l 5
2EI 20 4 20EI
144
习题
11-1 图示的悬臂梁，设其自由端只作用集中力 F 时，θ 为 F 作用时自由端转角，梁的 应变能为Vε (F ) ；自由端只作用弯曲力偶 M 时，wmax 为 M 作用时自由端挠度，梁的应变能 为Vε (M ) 。若同时施加 F 和 M，则梁的应变能为多少？
解 对于线性结构的悬臂梁，先加 M 时，梁贮存的应变能
x1 l
− 1⎟⎠⎞dx1
+
1 EI
a 0
(−
Fx2
)×
0
⋅dx2
= l(2M e + Fa)
6EI
11-8 线弹性材料半圆曲梁的支承及受力如图所示。 M (θ ) 为外力引起的任意横截面上
∫ 的弯矩。证明 A，B
两截面的相对转角为θ AB
=
1 EI
π
M
(θ
)Rdθ
。
0
"1" A
R
θ
B "1"
解 求 A，B 两截面的相对转角
1 2
FwF
= Vε (F )
再加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍为wF，梁再
贮存的应变能
1 2
Mθ M
= Vε (M )
则同时施加，应变能与加载次序无关，即
Vε (F , M ) = Vε (F ) + Vε (M )
*11-3 根据功的定义，与集中力 F，集中力偶 M，一对等值、反向的集中力或集中力偶，
，
∂M (x2
∂F
)
=
−
x2
，
∂M (x2
∂M e
)
=
0
∫ ∫ wC
=
∂Vε ∂F
=
l 0
M (x1
EI
)
⋅
∂M (x1
∂F
)
dx1
+
a 0
M (x2
EI
)
⋅
∂M (x2
∂F
)
dx2
∫ ∫ = 1 EI
l ⎜⎛ 0⎝
M
e
− l
Fa
x1
−
M
e
⎟⎞⎜⎛ − ⎠⎝
a l
x1
⎟⎠⎞dx1
+
1 EI
a 0
(−
梁上均布载荷(q)，作用在物体表面上的均布压力 p 对应的广义位移各是什么？
答 与集中力 F，集中力偶 M，梁上均布载荷 q，梁上均布载荷(q)，作用在物体表面上
的均布压力 p 对应的广义位移依次分别是线位移 w，角位移θ ，相对线位移或相对角位移，
∫ ∫ 线位移曲线与初始位置之间的面积W = l 1 (qdx)w(x) = 1 q l w(x)dx （线性梁）、体积改
d
4 1
+
5.06π 32
d14
=
39.4
I p1 ⋅ I p2
π d14 × 5.06π d14
π
d
4 1
32
32
Vε
= T 2l ⋅ 39.4 4G π d14
=
9.6T 2l Gπ d14
11-6 已知图示等截面刚架的 EI，求其应变能。 解 刚架的弯矩方程
M
(x1 )
=
1 2
qx12
(0 ≤ x1 ≤ l) ，
q A
l
q A
x1 l
11-7 图示外伸梁的弯曲刚度 EI 已知，求外伸端 C 的挠度 wC 和左端截面 A 的转角θ A 。
解 AB 段
M (x1 ) =
FA x1
−
Me
=
Me
− l
Fa
x1
−
Me
∂M (x1 )
∂F
=
−
q l
x1 ，
∂M (x1 )
∂M e
=
x1 l
−1
BC 段
M
(x2
)
=
−
Fx2
2F 2 ⋅ 3l 8
2F 2 ⋅ l
×2+
4=
7lF 2
2EAi π E(2d )2
π Ed 2 8π Ed 2
（c）取 d x 长的微段（如右图），在均布轴力 f 的作用下，它具有的应变能
dVε
=
1 2
FN (x)dΔ
式中
FN (x)
=
F l
x,
dΔ = FN (x)dx = Fx dx EA EAl
第 11 章 能量法
思考题
11-1 你能说出哪些广义力与相应的广义位移？ 答 广义力有集中力，集中力偶，一对等值、反向的力或力偶； 集中力相应的广义位移为线位移，集中力偶相应的位移为角位移，与一对大小等值、反 向的力（或力偶）相应的位移为相对线位移（或相对角位移）。
11-2 什么是常力功？什么是变力功？什么是线弹性体？线弹性体的应变能如何计算？ 答 常力功指作功力在作功过程中力的大小几乎不变化；
M (θ ) = 1
由莫尔定理
θ AB
=
1 EI
∫
π
MM
0
Rdθ
=
1 EI
∫
π
M
0
(θ
)Rdθ
11-9 求图示变截面梁在 F 力作用下截面 B 的挠度和截面 A 的转角。
a 解 迭加法
( ) wB
=
wB
(F
)
+
wB
(Fa)
=
− Fa3
3(2EI )
+
− Fa ⋅ a2
2(2EI )
= − 5Fa3 12EI
=
Vε
(F
)
+
Vε
(M
)
+
1 2
(Mθ
+
Fwmax
)
。
11-2 图示简支梁中点只承受集中力 F 时，梁的最大转角为θ max ，应变能为Vε (F ) ；中 点只承受集中力偶 M 时，最大挠度为 wmax ，梁的应变能为Vε (M ) 。当同时在中点施加 F
和 M 时，梁的应变能为多少？
解 对于线性结构简支梁，先加 F 时梁贮存的应变能
答 功的互等定理指，对于线性弹性体， F1在由 F2 于点 1 沿 F1 方向产生的位移 Δ12 上 所作的功等于 F2 在由 F1于点 2 沿 F2 方向产生的位移 Δ21 上所作的功。用公式表示为
F1Δ12 = F2Δ21
若 F1= F2 （即 2 个广义力数值相等，量纲可以不同），则其广义位移在数值上（量纲可
⎪⎧ ⎨∫ ⎪⎩
2a 0
⎡1 ⎢⎣ 2a
(M e
+
M
B
)x⎥⎦⎤ 2
d
x
+
∫ 0a(M e
+
M
B
)2
d
y1
+
∫ 0aM
2 B
d
y2
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
θB
=
∂Vε ∂M B
M B =0
=
1 2EI
⎧ ⎨∫ ⎩
2 0
a
2
⋅
1 2a
Mex⋅
1 2a
x
d
x
+
∫
a 0
2M
e
d
y1
+ 0⎬⎫ ⎭
=
5M ea 3EI
e
+
M
B
)
1 2a
(Me
+
MB
)
(a)
(a1)
(a2)
（一）卡氏第 2 定理解（a）
（1）求截面 A 的水平位移 ΔAH
截面 A 处虚加 1 水平集中荷载 F ，刚架的应变能
Vε
=
1 2EI
⎡ ⎢⎣∫
2a 0
(Me 2a
+
F)2
x 2dx
+
∫ 0a(M e
+
2Fa
−
Fy1 )2
d
y1
+
∫ 0a(Fy2 )2
（顺）
（二）单位载荷法解(a)
(a3)
(a4)
(a5)
149
解 图（b）
FA
=
FB
=
Me 2a
AD 段
M (x1 ) =
Me 2a
x1 ， M 1(x1 ) =
x1 ， M
2 (x1 ) =
− x1 2a
DC 段
M (x2 ) = M e ， M 1(x2 ) = 2a − x2 ， M 2 (x2 ) = −1
11-6 简述用莫尔定理（即线性单位载荷法）求解超静定问题的基本步骤。 答 （1）解除多余约束，代之以相应的约束力（若结构对称，要充分利用结构的对称性 和载荷的对称或反对称条件，以减少超静定次数）；
143
（2）根据原约束情况，写出用位移表示的被解除的多余约束处的变形协调方程； （3）写出含约束力的内力方程； （4）写出单位力系统的内力方程（1 次超静定写 1 个，2 次超静定写 2 个，3 次超静定 写 3 个）； （5）求解莫尔积分，解出多余约束力。 11-7 什么是对称结构？什么是对称载荷和反对称载荷？ 答 若结构的几何形状、尺寸、材料性能和约束条件均对称于某一轴线，则称为对称结 构。 若载荷的作用位置、数值、方位及指向均对称于结构的对称轴线，则称对称载荷； 若载荷的作用位置、数值及方向对称于结构的对称轴线，而指向为反对称，则称为反对 称载荷。 11-8 对称结构在对称载荷或反对称载荷作用下，对称面上的内力有什么特点？如何利 用对称与反对称性降低超静定次数？ 答 对称结构在对称载荷作用下，对称面上的反对称内力——剪力、扭矩均为 0；对称 结构在反对称载荷作用下，对称面上的对称内力——弯矩、轴力均为 0。 利用以上结论可降低超静定次数。 11-9 如何提高构件的抗冲击能力？ 答 降低构件刚度（或加缓冲垫等）以增大静位移可减小动荷因数，从而可提高构件的 抗冲击能力。
解 式中
应变能
l
l
Vε
=
1 2
Tϕ 1
+
1 2
Tϕ
2
=
1T( T 2 2 GI p1
+
T 2)
GI p 2
=
T 2l(Ip1 + Ip2 ) 4GI p1I p 2
146
I p1
=
π 32
d 4, Ip2
=
π 32
d
4 2
=
π 32
(1.5d1
)
4
=
5.06 32
π
d14
I p1
+
Ip2
=
π 32
d
y2
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ΔAH
=
∂Vε ∂F
F =0
=
⎡ ⎢⎣
2a 2 M e 0 2a
x2 d x +
a
0 2M e (2a − y1 ) d y1 +
a
2
0
⋅
0
⋅
y2
d
y2
⎤ ⎥⎦
= 17M ea 2 (→) 6EI
（2）求截面 B 的转角θ B
B 处虚加力偶矩 M B ，刚架的应变能
Vε
=
1 2EI
杆的应变能
Vε
=
∫
l 0
d Vε
=∫
l 0
1 2
⋅
Fx l
⋅
Fx EAl
dx
=
F 2l 6EA
（d）与（c）同理，得杆的应变能
Vε
=
∫
l 0
d Vε
=
∫
l 0
1 2
FN
(x) dΔ
=
1 2
∫
l 0
F (1 +
x) l
F (1 + EA
x )
l
d
x
=
7F 2l 6EA
11-5 求切变模量为 G 的图示受扭圆轴的应变能 (d 2 = 1.5d1 ) 。
( ) wB
=
wB
(FA
)
+
Hale Waihona Puke Baidu
wB
(FB
)
=
5Fa3 12EI
−
Fa3
3× (2EI
)
=
Fa3 4EI
↓
11-10 图示刚架的 EI 为常量，求截面 A 的位移和截面 B 的转角。轴力和剪力对变形的 影响可略去不计。
(a)
2a
F
A
A
x
x
Me
FB Me + F 2a
Me + F
Me
2a
MB
B
1 2a
(M
1 2
Mθ M
= Vε (M )
再加 F 时，梁再贮存的应变能
1 2
FwF
+
Mθ (负值)
= Vε (F )
+
Mθ
同时施加 F，M，梁贮存的应变能与加载次序无关，即
Vε (F , M ) = Vε (M ) + Vε (F ) + Mθ
由功的互等定理知： Mθ = Fwmax ，即也有
Vε
(F
,
M
)
Fx2
)(−
x2
)dx2
( ) = a 6EI
2Fal + M el + 2Fa2
∫ ∫ θ A
=
∂Vε ∂M e
=
l 0
M (x1
EI
)
⋅
∂M (x1
∂M e
)
dx1
+
a 0
M (x2
EI
)
⋅
∂M (x2
∂M e
)
dx2
147
∫ ∫ = 1 EI
l ⎜⎛ 0⎝
Me
− l
Fa
x1
−
Me
⎟⎞⎜⎛ ⎠⎝
以不同）有
此即位移互等定理。
Δ12 = Δ21
克拉贝依隆原理：线弹性体的应变能等于每一个外力与其相应位移乘积的二分之一的总
和。
都只适用于线弹性体。
11-4 运用莫尔定理时，如何建立单位力系统？怎样确定所求位移的实际方向？ 答 在原结构上除去全部外载荷，在欲求位移（或相对位移）处加上与位移相应的广义 单位力（或一对单位力），所的系统就是单位力系统。 若求出的位移为正，则位移的实际方向与假设的单位力方向一致，否则相反。