2012年咸阳市高三第二次模拟考试数学(理)试题word版

2012年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 如果2{|}M y y x ==，22{|2}N y x y =+=，那么MN =（ ）A.{}1B. {}(1,1),(1,1)-C. []0,1D.2. 给出两个命题:||p x x =的充要条件是x 为非负数；:4sin cos q y x x =的最小正周期为π，则下列命题中的假命题是（ ）A. p 或qB.p 且qC. p ⌝且qD. p ⌝或q3. 已知,a b R ∈，i 是虚数单位，且(2)1a i b i --=+，则(1)a b i ++的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 44i + D. 2i4. 若{}n a 为等差数列，n S 是前n 项和，且11223S π=，则6tan a 的值为（ ）A.B.C.D. 5. 若61()ax x-的展开式中的常数项为20，则a 的值为（ ）A. 1-B.1C. 2-D. 26. 如图是一算法的程序框图，若输出结果为720S =，则在判断框中应填入的条件是（ ）A. 6?k ≤B. 7?k ≤C. 8?k ≤D. 9?k ≤第6题主视图俯视图 第7题7. 如图，宽为2的矩形，角形，则它的外接球的表面积等于（ ）A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积是（ ）A.B. C. 2D. 9. 若0x 是函数1()32x f x x =--的一个零点，10(2,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则（ ） A. 1()0f x <，2()0f x < B. 1()0f x <，2()0f x > C. 1()0f x >，2()0f x < D. 1()0f x >，2()0f x >10.已知函数2()f x x bx c =++，其中04b ≤≤，04c ≤≤，记函数()f x 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ） A.14 B. 58 C. 38 D. 12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2,20()2cos ,02x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩的图像与x 轴围成图形面积为 .12. 现有5名应届大学毕业生分配到市区3所学校去工作，每所学校至少分配1人最多分配2人，共有 种不同的分配方案.13. 已知直线3450x y +-=与圆224x y +=交于M 、N 两点，O 是坐标原点，则OM ON ⋅= .14. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选讲选做题）设函数()||2f x x a =--，若不等式|()|1f x <的解集为(2,0)(2,4)-，则实数a = .B.（几何证明选讲选做题）如右图，已知PB 是O 的切线，A 是切点，D 是弧AC 上一点，若70BAC ∠=，则AD C ∠= . C.（坐标系与参数方程）极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=，则极点在直线l 上的射影的极坐标是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）一接待中心有,,,A B C D 四部热线电话，已知某一时刻电话,A B 占线的概率均为0.5，电话,C D 占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分12分）已知向量a=2(2cos x ，b =(1,sin 2)x ，函数()=f x (,)a b . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在∆ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，1=a 且()3=f A ，求∆ABC 的面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项114=a 的等比数列，其前n 项和n S 中3316=S ，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12log ||=n n b a ，12231111+=++⋅⋅⋅+n n n T b b b b b b ，求证：1162≤<n T第15题B 图19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，⊥AC BC ，且12===AC BC CC ，M 是1AB ，1A B 的交点，N 是11B C 的中点. （Ⅰ）求证：⊥MN 平面1A BC ；（Ⅱ）求平面1AA B 与平面1A BC 夹角的大小20.（本小题满分13分）已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条（Ⅰ）求1C 、2C 的标准方程；（Ⅱ）若过曲线1C 的右焦点2F 的任意一条直线与曲线1C 相交于A 、B 两点，试证明在x 轴上存在一定点P ，使得⋅PA PB 的值是常数.21. （本小题满分14分） 设函数2()ln()=+-f x x a x .（Ⅰ）当0=a 时，求()f x 在(0,]e 上的最大值；（Ⅱ）若()f x 在区间[1,2]上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ，使直线=y x 为函数()f x 的图像的一条切线，若存在，求a 的值；否则，说明理由. 1AABC1B1C MN第19题2012年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)11. 4 12. 90 13. 2- 14. 83a15.A. 1=a ; B. 110°; C.(2,)3π三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4。

记A 、B 、C 、D 分别表示事件“某一时刻电话A 、B 、C 、D 占线”.则()()0.5()()0.4P A P B P C P D ====，， 且事件A 、B 、C 、D 相互独立.(0)()0.50.50.60.60.09P X P ABCD ===⨯⨯⨯= ……………………………………2分 (1)()()()()P X P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD ==+++0.50.50.60.60.50.50.60.60.50.50.40.60.50.50.60.40.3=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=…………………………………………………………………………………………………………………4分(2)()()()()()()P X P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD ==+++++0.50.50.60.60.50.50.40.60.50.50.60.40.50.50.40.6=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.50.50.60.40.50.50.40.40.37+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；……………………………………………6分(3)()()()()P X P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD ==+++0.50.50.40.60.50.50.60.40.50.50.40.40.50.50.40.40.2=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=………………………………………………………………………………………………………………8分(4)()0.50.50.40.40.04P X P ABCD ===⨯⨯⨯=.…………………………………………10分 X………………………………12分17. 解：（Ⅰ）()f x = ⋅a b 22cos 21cos22x x x x ==+2sin(2)16x π=++,…………………………………………………………………………………3分222(),262k x k k Z πππππ∴-≤+≤+∈解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.()f x ∴的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈ .………………………………………6分（Ⅱ）()3,sin(2) 1.6f A A π=∴+=0,262A A πππ<<∴+=,即6A π=.又2222cos a b c bc A =+-及2222,2(1cos )a b c bc bc A +≥∴≤-, …………………………9分21sin sin 24(1cos )a A S bc A A ∴=≤=-,当且仅当b c =时,取“=”. S ∴.………………………………………………………………………12分 18.解：（Ⅰ）若1q =，则333416S =≠不符合题意，∴1q ≠，…………………………………2分 当1q ≠时，由131314(1)3116a a q S q ⎧=⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩得11412a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11111()()422n n n a -+=⋅-=- ……………………………………………………6分 （Ⅱ）∵111221log log ()12n n n b a n +==-=+ …………………………………………7分∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ ∴n T ＝12231111n n b b b b b b ++++ ＝111111()()()233412n n -+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-++1122n =-+ ………………………10分 110(2)(3)n n T T n n +-=>++，{}n T ∴是递增数列．111,62n n T T T ∴≤∴≤<． …………12分19.解：(Ⅰ)以C 为原点，分别以CB 、1CC 、 CA 为x 、y 、z 轴建立坐标系，则由1AC BC CC 2===知，()1A 0,2,2，()1B 2,2,0， ()B 2,0,0，()1C 0,2,0，∴()M 1,1,1，()N 1,2,0，∴()1A B 2,2,2=--,()CB 2,0,0=，()MN 0,1,1=-， ……………………………3分又()1MN A B 0221210⋅=⨯-⨯-⨯-=，()MN CB 0201010⋅=⨯+⨯+⨯-=，∴MN ⊥1A B ，MN ⊥CB ，∴MN ⊥平面A BC ．………………………………………………6分x(Ⅱ) 作CH ⊥AB 于H 点，∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴CH ⊥平面1A BA ， 故平面1A BA 的一个法向量为()CH 1,0,1=，而平面1A BC 的一个法向量为()MN 0,1,1=-， …………………………………………9分CH MN 1cos CH ,MN ,0222CH MN⋅-πθθ===θ∈⋅设为所求两平面的夹角，则：cos =又（，）， 故平面11AA B A BC 与平面夹角的大小为3π． …………………………………………12分（注：此题若学生用传统方法作，请酌情给分）20. 解：（Ⅰ）设抛物线)0(2:22≠=p px y C ，则有)0(22≠=x p xy ， 据此验证4个点知（3，32-），（4，-4）在抛物线上，易求x y C 4:22=.……2分 设1C ：)0(:22222>>=+b a by a x C ，把点（-2，0）,（2，22）代入得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=121214222b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a .∴1C 方程为1422=+y x . ……………………… 6分 （Ⅱ）①当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为(y k x =.联立2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消元得2222(14)31240,k x k x k +-+-=则 2222124,1414A B A B k x x x x k k-+==++ .……………………………………………… 8分 设点(,0)P t ，则()()A B A B PA PB x t x t y y ⋅=--+2222(1)()()(3)A B A B k x x t x x k t =+-+++22222222124(1)()(3)1414k k t k t k k-=+-++++22224(114)14t t k k -+-+=+.…………………………………10分当224114,14t t --+=即t ==时，对任意k R ∈，1364PA PB ⋅=- .…12分 ②当AB x ⊥轴时，直线AB的方程为14A B A B x x x y y ====-.若t =13()().64A B A B PA PB x t x t y y ⋅=--+=- 故存在x 轴上的点P ，使得PA PB ⋅的值是常数13.64- .……………………13分 21. 解：（Ⅰ）2ln )(x x x f -=，0>x ,令()021212>-=-='x x x f∴220<<x ∴()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0为增函数，同理可得()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22为减函数 当(]0,x e ∈时，()x f 最大值为2122ln )22(-=f …………4分 （Ⅱ）∵()x f 在[]1,2上为减函数，∴[]2,1∈x 有0>+a x 恒成立⇒1->a且[]()021,2,1≤-+='∈x a x x f x 恒成立x x a -≥⇒21，而x xy -=21在[]1,2为减函数，∴21-≥a ，又1->a ，故21-≥a 为所求………………………………………………8分（Ⅲ）设切点为()00,x x P ，则()000002111211x a x x a x x f +=+⇒=-+⇒=' 且()()020000ln x x a x x x f =-+⇒=∴0200211lnx x x =-+ 即：()021ln 0200=+++x x x ……………………………10分再令()()x x x x h 21ln 2+++=，21->x ∴()021221>+++='xx x h ……………12分 ∴()x h 为增函数，又()00=h ∴()0000=⇔=x x h则1=a 为所求. （不证明单调性扣1分） (14)。