绝对值三角不等式

绝对值三角不等式

公式：b a b a b a +≤±≤-

证明过程如下： 显然b a b a +≤+成立，取等条件是0≥ab ，将b 用b -代替，可得b a b a -+≤-，即b a b a +≤-，取等条件是0≤ab 综上可得①b a b a +≤± 在b a b a +≤+中a 用b a -代替，可得b b a a +-≤，移项得b a b a -≤-，调换b a ,的位置可得a b a b -≤-，因为b a a b -=-，所以可得b a b a -≤-，取等条件是0≥ab 。将b 用b -代替可得b a b a +≤-，取等条件是0≤ab 。 综上可得②b a b a ±≤- 结合①②绝对值三角不等式b a b a b a +≤±≤-得证 绝对值三角不等式经常用来解决形如c n x m x c n x m x ≤-+-≤---,恒成立型的需要结合最值原理求解的问题

巩固练习

1、已知a 和b 是任意非零实数．

（1）求a b

a b a -++22的最小值

（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x 的取值范围

2、已知，，，3

33s c C s b B s a A ≤-≤-≤-求)()(c b a C B A ++-++的最大值

3、不等式a a x x 3132-≥--+对x ∀都成立，求实数a 的取值范围

4、已知函数54)(++-=x x x f

（1）试求使等式12)(+=x x f 成立时，x 的取值范围

（2）若关于x 的不等式a x f ＜)(的解集不是空集，求实数a 的取值范围

5、已知函数),,11(12)(22R c a x c ax x x f ∈≤≤--++-=，记)(x f 在[]1,1-上的最大值

为M ，求证：若a ＞1，则对于R c ∈∀，恒有M ＞2

6、求证

b b a a b a b a +++≤+++111