【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(五)(Word版,含答案解析)
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(一)(Word版,含答案解析)
专题01 高考数学仿真押题试卷（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则M N =（ ）A ．∅B ．C ．{}3,2D ．[3,3]-2．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，=2-a i j ，=λ+b i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）A ．B ．1(,)2+∞C ．D ．1(,)2-∞3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线垂直，则cos2θ的值为（ ） A ．35B ．35-C ．15D ．15-4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（ ） A ．9斤B ．9.5斤C ．6斤D ．12斤5．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点(1,2)P 和圆，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,3-∞ C ．D ．(3-7．已知1F ，2F 是双曲线的焦点，y x =是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，设，则n 的值为（ ） A ．12n = B ．24n =C ．36n =D ．12n ≠且24n ≠且36n ≠8．已知函数，若a ，b ，c 互不相等，且，则a b c ++的取值范围是（ ） A ．(1,2017)B ．(1,2018)C ．[2,2018]D ．(2,2018)9．设双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若1F AB △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）A ．3+B ．5-C ．1+D ．4-10．如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v g t =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()y f x '=，满足，()01f =，则不等式()e x f x <的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞12．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足，当11x -<≤，()3f x x =．函数，若函数在[)6,-+∞上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等比数列{}n a 各项均为正数，，则__________．14．已知实数x 、y 满足，则2z x y =+的最大值为_______．15．两个不共线向量OA 、OB 的夹角为q ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且，则22x y +的最小值为_______．16．若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ，都存在唯一的2x D ∈，使得成立，则称()f x 为“自倒函数”．给出下列命题：①是自倒函数；②自倒函数()f x 可以是奇函数；③自倒函数()f x 的值域可以是R ；④若()y f x =，()y g x =都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．则以上命题正确的是________（写出所有正确命题的序号）． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，3cos 5B =． （1）求cos C 的值；（2）若15a =，D 为AB 边上的点，且2AD BD =，求CD 的长．19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，12AE CD =，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（1）求证：//EM 平面ABC ； （2）求出该几何体的体积．20．动点P 到定点()0,1F 的距离比它到直线2y =-的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． （1）求曲线C 的方程； （2）求证：；（3）求△ABM 的面积的最小值． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是2e y =． （1）求m 、n 的值； （2）求()f x 的最大值；（3）设（其中()f x '为()f x 的导函数），证明：对任意0x >，都有．（注：）选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为：（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值． 23．选修4－5：不等式选讲 已知函数．（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求实数a的取值范围．【答案解析】第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】，，所以，选D．4．【答案】A【解析】由等差数列性质得中间3尺重量为，选A．5．【答案】D【解析】如图（1）所以，A正确；如图（2）所示，B正确；如图（3）所示，C正确，故选D．6．【答案】C【解析】由题意得点(1,2)P在圆C外，，，，选C．④取()f x x =，()1g x x=，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数”．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）52n a n =-；（2）．【解析】（1）当2n ≥时，，当1n =时，113a S ==适合上式，． （2）解：令，所以，，两式相减得：，故．18．【答案】（1）10；（2）13CD =．（2）解：由cos 10C =得：，由正弦定理得：21c ⇒=，，在ABC △中，，13CD ∴=．19．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM 、MG 、AG ；则//MG DC ，且，//MG AE ∴且MG AE =，故四边形AGME 为平行四边形，//EM AG ∴，又AG ⊂平面ABC ，EM ⊄平面ABC ，//EM ∴平面ABC ． （2）解：由己知，2AE =，4DC =，AB AC ⊥，且，EA ⊥平面ABC ，EA AB ∴⊥，又AB AC ⊥，AB ∴⊥平面ACDE ， AB ∴是四棱锥B ACDE -的高，梯形ACDE 的面积，，即所求几何体的体积为4．20．【答案】（1）24x y =；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点P 在直线2y =-上方，条件可转化为动点P 到定点()0,1F 的距离等于它到直线1y =-距离，∴动点P 的轨迹是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，故其方程为24x y =．（2）证：设直线AB 的方程为：1y kx =+，由241x yy kx ⎧=⎨=+⎩得：，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则，4A B x x ⋅=-．由24x y =得：214y x =， 12y x '∴=，∴直线AM 的方程为：···①，直线BM 的方程为：···②，①－②得：，即，将2A Bx x x +=代入①得：，，故()2,1M k -，，，，．1 （3）解：由（2）知，点M 到AB 的距离，，，∴当0k =时，ABM △的面积有最小值4．21．【答案】（1）2n =，2m =；（2）；（3）见解析．【解析】（1）由，得，由已知得，解得m n =．又，2n ∴=，2m =．（2）解：由（1）得：，当()0,1x ∈时，10x ->，ln 0x x ->，所以；当()1,x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，所以，∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞，1x ∴=时，．（3）证明：．对任意0x >，等价于，令，则，由得：2e x -=，∴当()20,e x -∈时，()0p x '>，()p x 单调递增；当时，()0p x '<，()p x 单调递减，所以()p x 的最大值为，即．设，则，∴当()0,x ∈+∞时，()q x 单调递增，，故当()0,x ∈+∞时，，即，，∴对任意0x >，都有．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．【答案】（1），2y x =-；（2）1a =．【解析】（1）解：由得：，∴曲线C 的直角坐标方程为：；由消去参数得直线的普通方程为2y x =-．（2）解：将直线l 的参数方程代入22y ax =中， 得：，设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ， 则有，，，，即，解得1a =．（2）解：，令，23x ∴=-时，，要使不等式恒成立，只需， 即1003a <≤，∴实数取值范围是100,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十)(Word版,含答案解析)
专题10 高考数学仿真押题试卷（十）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则(A B = )A ．ϕB ．(3,4)C ．(2,1)-D ．(4,)+∞【解析】解：集合，，．【答案】B ． 2．复数21iZ i=+，则Z 对应的点所在的象限为( ) A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【解析】解：，则1Z i =-，对应的点的坐标为(1,1)-位于第四象限， 【答案】A ．3．下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是( )A ．2x y =B ．y =C ．||y x =D ．21y x =-+【解析】解：A ．根据2x y =的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；B ．根据y =的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；C ．(0,)x ∈+∞时，||y x x ==为增函数； 即||y x =在(0,)+∞上单调递增，∴该选项错误；D ．显然21y x =-+为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0,)+∞上单调递减，∴该选项正确．【答案】D ．4．函数的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【解析】解：，∴函数的最小正周期为：22ππ=， 【答案】B ．5．以下说法错误的是( ) A ．命题“若“，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则”B ．“2x =”是“”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在0x R ∈，使得，则p ⌝：对任意x R ∈，都有210x x -+…D ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 【解析】解：A ．“若“，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则”，正确；B ．由，解得1x =，2，因此“2x =”是“”的充分不必要，正确；C ．命题p ：存在0x R ∈，使得，则p ⌝：对任意x R ∈，都有210x x -+…，正确； D ．由p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，因此不正确．【答案】D ．6．在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5(S = ) A ．80B ．40C ．31D ．31-【解析】解：在等差数列{}n a 中，1516a a +=，．【答案】B ． 7．已知函数，||)2πϕ<的部分图象如图所示，其中点A 坐标为1(,2)3，点B 的坐标为5(3，1)-，点C 的坐标为(3,1)-，则()f x 的递增区间为( )A ．5(43k -，14)3k +，k Z ∈ B ．5(23k -，12)3k +，k Z ∈ C ．5(43k π-，14)3k π+，k Z ∈D ．5(23k π-，12)3k π+，k Z ∈【解析】解：由B ，C 的坐标可知，函数()f x 的图象有对称轴73x =则，故4T =，则75433-=-，可得函数的一个单调递增区间为5(3-，1)3，则()f x 的递增区间为5(43k -，14)3k +，k Z ∈． 【答案】A ．8．已知正数x ，y ，z 满足，则下列结论不可能成立的是( )A ．235x y z== B ．352y z x << C ．235x y z >> D ．235x y z << 【解析】解：设，则：122k x -=，133k y -=，155k z-=； 1k ∴=时，235x y z ==；1k >时，235x y z <<；01k <<时，235x y z>>． 【答案】B ．9．设双曲线的左、右两焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上一点，点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线离心率是( )A B C D ．32【解析】解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则．因为，所以1||3PF a =，2||PF a =．由点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，12|PF PF ⊥，所以，即，得22104c a =．所以双曲线的离心率c e a ==． 【答案】A ．10．若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，且2c b =，则ab等于( )A ．32B ．43 C D 【解析】解：由，得，得1cos 2A =． 又2c b =，由余弦定理得，得ab ． 【答案】D ．11．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则(|)P A B 的值为( ) A ．14B ．34C ．29 D ．59【解析】解：由已知有：P （B ）343274256==，，所以，【答案】C．12．若函数且1)a≠的定义域与值域都是[m，]()n m n<，则a的取值范围是()A．(1,)+∞B．(,)e+∞C．(1,)e D．1 (1,)e e【解析】解：的定义域与值域相同，等价于方程有两个不同的实数解．因为，∴lnxx lna=，lnx lnax∴=有2个不同解，问题等价于直线y lna=与函数lnxyx=的图象有两个交点．作函数lnxyx=的图象，如图所示．根据图象可知，当10lnae<<时，即11ea e<<时，直线y lna=与函数lnxyx=的图象有两个交点．【答案】D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为170 ．【解析】解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列{}na，且，91260S=，，，联立解得：10d =，1100a =． 则．【答案】170．14．根据下列算法语句，当输入x ，y R ∈时，输出s 的最大值为 2 ．【解析】解：依题意0023y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩………，不等式组表示的平面区域如图：s x y =+，所以y x s =-+， 故当y x s =-+过直线0x y -=和直线时，s 最大，即过(1,1)时，s 最大，此时112s =+=． 故填：2．15．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x …时，，则不等式(2)2f x -…的解集为 {|31x x -剟或或 ．【解析】解：根据题意，当0x …时，，此时若有()2f x …，即，解可得01x 剟或，即此时()2f x …的解集为{|01x x 剟或，又由()f x 为偶函数，则当0x …时，()2f x …的解集为{|10x x -剟或，综合可得：()2f x …的解集为{|11x x -剟或或；则不等式(2)2f x -…的解集{|31x x -剟或或；【答案】{|31x x -剟或或．16．设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n ，给出下列4个命题：①；②1//m n m ⇒与1n 平行或重合；③；④．其中所有假命题的序号是 ①②③④ ．【解析】解：①两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故①错误， ②若//m n ，则1m 与1n 平行或重合或是两个点，故②错误．③因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故③错误．④两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故④错误．故假命题是①②③④，【答案】①②③④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-． （1）求证数列{1}n a +是等比数列，并求n a ；（2）若数列{}n b 为等差数列，且32b a =，73b a =，求数列{}n n a b 的前n 项n T ．【解析】解：（1）证明：2n n S a n =-， 可得，解得11a =；，以及2n n S a n =-．2n …，相减可得，即121n n a a -=+，，则数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列， 则12n n a +=，即21n n a =-；（2）数列{}n b 为公差为d 的等差数列，且323b a ==，737b a ==， 可得44d =，即1d =，可得，则， 设，，相减可得，化简可得，前n 项和．18．如图，三棱柱中，底面ABC 是等边三角形，侧面11BCC B 是矩形，1AB A B =，N 是1B C 的中点，M 是棱1AA 上的点，且1AA CM ⊥． （1）证明：//MN 平面ABC ；（2）若1AB A B ⊥，求二面角A CM N --的余弦值．【解析】证明：（1）如图1，三棱柱中，连结BM ，11BCC B 是矩形，1BC BB ∴⊥，11//AA BB ，1AA BC ∴⊥，1AA MC ⊥，，1AA ∴⊥平面BCM ，1AA MB ∴⊥，1AB A B =，M ∴是1AA 中点，//NP MA ∴，且NP MA =，∴四边形AMNP 是平行四边形，//MN AP ∴，MN ⊂/平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，//MN ∴平面ABC ．解：（2）1AB A B ⊥，1ABA ∴∆是等腰直角三角形，设AB =，则12AA a =，，在Rt ACM ∆中，AC ，MC a ∴=， 在BCM ∆中，，MC BM ∴⊥，由（1）知1MC AA ⊥，1BM AA ⊥，如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0M ，0，0)，(0C ，0，)a ，1(2B a ，a ，0)，(,,)22a aN a ∴，，设平面CMN 的法向量(n x =，y ，)z ，则00n MC n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取1x =，得(1n =，2-，0)，平面ACM 的法向量(0m =，1，0)，则，二面角A CM N --的平面角是钝角，∴二知识面角A CM N --的余弦值为．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离，记P 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）过点F 的直线交E 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：AMB ∆的面积是AMN ∆的面积的四倍．【解析】（1）解：设(,)P x y ，0x >，(1,0)F ． 点P 在F 外，∴点P 到F 上的点的最小距离为||1PF -，由题意可得：||1PF x -=，∴，化为：．（2）证明：设0(N x ，0)y ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则12(2x x D +，12)2y y +． 由题意可设直线AB 的方程为：． 联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，化为：．△0>，，．．由抛物线的定义可得：．设(M M x ，)M y ，由题意可得：2M y k=，．，∴．解得1M x =-．2(1,)M k∴-．点0(N x ，2)k 在抛物线上，021x k ∴=，即212(,)N k k．．．．20．”工资条里显红利，个税新政人民心”．随着新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：随机抽取某市1000名同一收入层级的IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们假设该市该收入层级的IT 从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT 从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）设该市该收入层级的IT 从业者（2）根据新旧个税方案，估计从【解析】解：（1）既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税为，只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税为，只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税为，即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税为，X ∴的分布列为：．（2）在旧政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳锐所得额为，故月缴个税为．故新政策下，每月少缴个税，设经过x 个月该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过则，又x N ∈，解得12x …．∴经过12个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过21．已知函数．（1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若，求a 的取值范围．【解析】解：（1）根据题意，，2y x =是曲线()y f x =的切线，设切点的坐标为1(x ，1)y ， 则，又由2y x =是曲线()y f x =的切线，切点为1(x ，1)y ，则1()2f x '=，则有，解可得1a =-； （2）根据题意，，则，即，变形可得，又由0x >，所以，设，其导数，设，其导数，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递增；又由1()0h e<，h （1）0>，则存在01(x e∈，1)，满足0()0h x =，即，故，若，必有01()a g x +…，令0220x t x e =，变形可得，由，变形可得020t lnx +=，则有， 设，分析易得为增函数，则有0x t =，则，必有11a +…，解可得1a …，故a 的取值范围为(-∞，1]． [选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315(415x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，点P的极坐标为)4π．（1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；（2）设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求||PM【解析】解：（1）由得，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为2212x y +=，设点P 的直角坐标为(,)x y ，因为P的极坐标为，)4π，所以，，所以点P 的直角坐标为(1,1)．（2）将315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2212x y +=，并整理得，因为△，故可设方程的两根为1t ，2t ，则1t ，2t 为A ，B 对应的参数，且，依题意，点M 对应的参数为122t t +， 所以．[选修4--5：不等式选讲] 23．已知函数．（1）当2a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值． 【解析】解：（1）当2a =时，不等式()1f x >，即，当1x -…时，原不等式可化为，解得5x >，因为1x -…，所以此时原不等式无解； 当312x -<…时，原不等式可化为，解得1x >，所以312x <…； 当32x >时，原不等式可化为，解得3x <，所以332x <<． 综上，原不等式的解集为{|13}x x <<． （2）因为0a >，所以30a>， 所以，若()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形，则或，解得0a=（舍去）或a=a=，经检验a=综上，所求a．。
(高考押题)2019年高考数学仿真押题试卷(六)(word版,(有答案))
专题 06 高考数学仿真押题试卷（六）注意事：1．答前，先将自己的姓名、准考号填写在卷和答卡上，并将准考号条形粘在答卡上的指定地点。
2 ．的作答：每小出答案后，用2B 笔把答卡上目的答案号涂黑，写在卷、底稿和答卡上的非答地区均无效。
3．非的作答：用字笔挺接答在答卡上的答地区内。
写在卷、底稿和答卡上的非答地区均无效。
4．考束后，将本卷和答卡一并上交。
第Ⅰ卷一、：本大共12小，每小 5 分，在每小出的四个中，只有一是切合目要求的．1．复数 z2i（此中 i 是虚数位）， z 的共复数 z ()1iA．1 3i B．1 3 i C．13 i D．1 3 i 22222222【解答】解：，z 1 3i ．2 2【答案】 C ．2．已知全集U R ，会合，， e U(A I B)()A．{ x | x4}B． { x | x, 0 或 x4}C．{ x | 0x, 4}D． { x | x24 或 x⋯e }【解答】解：全集U R ，会合，，，或x4} ，【答案】 B ．3．已知等比数列{ a n } 的前n 和S n，若S3 6 ，S654 ，数列{ a n } 的公比() A． 1B． 1C． 2D．332【解答】解：依意可得q 1 ，，，13q 9 ，q 2 ，【答案】 C ．4 ．如图是甲、乙、丙三个公司的产品成本（单位：万元）及其组成比率，则以下判断正确的选项是()A．乙公司支付的薪资所占成本的比重在三个公司中最大B．因为丙公司生产规模大，所以它的其余花费开销所占成本的比重也最大C．甲公司本着节俭创业的原则，将其余花费支出降到了最低点D．乙公司用于薪资和其余花费支出额比甲丙都高【解答】解：三个公司中甲公司薪资所占成本的比重最大，故 A 错误，固然丙公司生产规模大，但它的其余花费开销所占成本的比重与乙公司是同样的，故 B 错，甲公司其余花费开销的确最低，故 C 正确，甲公司的薪资和其余花费开销额为4000 万元，乙公司为5400 万元，丙公司为6000 万元，所以丙公司用于薪资和其余花费支出额比甲乙都高，故 D 错误，【答案】 C ．5．已知函数 f ( x) 知足：①对随意 x R ，，成立；②当 x(0，2]时，，则 f (2019) ()A． 1B． 0C． 2D．1【解答】解：，函数 f ( x) 是奇函数，，，f ( x) 是以 4 为周期的周期函数，（1）1．【答案】A．6．在ABC 中，若，则ABC 是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：Q，，，化简可得：c2a2b2，ABC 是直角三角形．【答案】 B ．7．某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥内切球的表面积为()A．(12 8 2)B．(12 6 2)C． (10 6 2)D．(8 42)【解答】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，以下图；设三棱锥内切球的半径为r ，则由等体积法得，解得 r 2 1，所以该三棱锥内切球的表面积为．【答案】 A．8．在平行四边形ABCD 中，AB2， ADuuur uuur uuur uuur 4 ，ABgAD 4 ，E为AB的中点，则 CEgBD ()A．4B． 8C．12D． 16AB 2，AD 4uuur uuur4 ，【解答】解：由， ABgAD所以，【答案】 C ．9．已知在区间[,] 上单一递加，则的取值范围是()64A．(0，2]B．(0，2]U[7，26] C．[7，D．(0，2]U[50,19] 33333【解答】解：，由得，， kk ZZ ，，2k52k6 ，即，即函数的增区 [6] ， k Z ，Q f (x) 在区 [ , ] 上增，64⋯12k5，即2，, 8k3即，Q0 ，当 k05剟2，此 02 3, ，3当 k1， 7剟26，3当 k 2 ，，此不可立，上的范是226 0,或剟，373即 (0 ，2]U[7 ，26]，33【答案】 B ．10．已知函数 y f ( x2) 是R上的偶函数，随意 x1， x2[2 ，) ，且 x1x2都有成，，b e2ln 22)若 f (ln) ， c f (e 2 ) ，a， b ，c的大小关系是 (2A． b a c B． a c b C． c b a D． b c a【解答】解：依据题意，函数y f ( x 2) 是R上的偶函数，则函数 f ( x) 的图象对于直线x 2 对称，又由对随意 x1， x2[2 ，) ，且 x1x2都有成立，则函数 f (x) 在 [2 ，) 上为增函数，ln 22则，， e 222 ，又由，故 b a c ；【答案】 A．11．将会合， x ，y N }中的全部元素依据从小到大的次序摆列成一个数表，以下图，则第61 个数是()A． 2019B． 2050【解答】解：第 1 行一个数，第 2 行 2 个数，第C． 20643 行 3 个数，则第D．2080n 行 n 个数，奇数行从左到右是递加，偶数行从左到右是递减的，则元素的个数为，因为当 n10 时， S1055 ，当 n11时， S1166 ，所以第 61个数是第11 行第 6 个数字，且3 2021，5 2022，6 2122， 9 2023，102123，12 2123，所以第 61个数，【答案】 D ．12．已知，，若函数 f ( x) 和 g (x) 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是 ( )A． (0,1)B． (e, e 1)C． (e, )D． (e l , )【解答】解：设，则函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象有两个交点，即 y h( x) 的图象与直线y k 有两个交点，又设，，则，即 y h ( x) 为增函数，由 h （ 1） 0 ，即当 0x 1 时， h （ 1） 0 ，当 x 1 时， h （ 1） 0 ，即 h(x) 在 (0,1) 为增函数，在 (1,) 为减函数，所以 h(x)min h （ 1） e 1，又 x0 ， h( x)，x， h(x)，所以当 y h(x) 的图象与直线 y k 有两个交点时，实数 k 的取值范围是k e 1 ，【答案】 D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．已知x，y知足拘束条件：，则z2x y 的最大值是3．【解答】解：作出x ，y 知足拘束条件：对应的平面地区如图：（暗影部分），由 z 2x y 得 y2x z ，平移直线 y 2 x z ，由图象可知当直线y 2 x z经过点A时，直线 y 2 x z的截距最大，此时 z 最大．由5，1，解得 A() ，33代入目标函数z 2 x y 得 z3．即目标函数 z2x y 的最大值为 3．故答案为： 3．14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会” ，丙说：“甲不会”．假如这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是乙．【解答】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是实话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是实话，与题设符合，故会弹钢琴的是乙，③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时实话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，综合①②③得：会弹钢琴的是乙，故答案为：乙15．已知函数 f ( x) 是定义域为( ,) 的偶函数，且 f ( x 1) 为奇函数，当x [0 ， 1] 时， f ( x) 1x3，则297f ( )28【解答】解：依据题意， f ( x1) 为奇函数，则函数 f ( x)对于点(1,0) 对称，则有，又由函数则有f ( x)为偶函数，则，变形可得，，则函数 f ( x) 是周期为 4 的周期函数，；7故答案为：816．四周体 A BCD 中，AB底面BCD，，CB CD 1 ，则四周体 A BCD 的外接球的表面积为4．【解答】解：如图，在四周体 A BCD中，AB底面BCD，，CB CD 1，可得 BCD90 ，补形为长方体，则过一个极点的三条棱长分别为1，1， 2 ，则长方体的对角线长为，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 4124．故答案为： 4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列 { a n } 的前n项和为 S ，公比 q 1 ，且 a2 1 为 a1， a3的等差中项， S3 14 ．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式（Ⅱ）记，求数列 { b n } 的前n项和 T n．【解答】解：(I )Q a2 1 是 a1， a3的等差中项，，，，化为， q 1 ，解得 q 2 ，a1 2 ．a n 2 n．．数列 { b n } 的前n项和．．．解得：．18．为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在订正《中华人民共和国个人所得税法》以后，公布了《个人所得税专项附带扣除暂行方法》，明确“专项附带扣除”就是儿女教育、持续教育重病医疗、住宅贷款利息、住宅租金赠养老人等花费，并宣布了相应的定额扣除标准，决定自2019 年 1 月 1 日起实行，某机关为了检查内部职员对新个税方案的满意程度与年纪的关系，经过问卷检查，整理数据得以下2 2 列联表：40 岁及以下40 岁以上共计基本满意151025很满意253055共计404080（ 1）依据列联表，可否有99% 的掌握以为满意程度与年纪相关？（ 2）为了帮助年纪在40 岁以下的未购房的8 名职工解决实质困难，该公司拟职工贡献积分x （单位：分）赐予相应的住宅补助y（单位：元），现有两种补助方案，方案甲：；方案乙：．已知8 名工的献分将采纳方案甲比采纳方案乙得更多的工“8 名工中随机抽取 4 名行面，求恰巧抽到2 分，3 分，6 分，7 分，7 分，11 分，12 分，12A 工”．认识工方案的可度，从3 名“A工”的概率．分，附：，此中．参照数据：P(K2⋯k0 )0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】解：（ 1）依据列表能够求得K 2的：，故有 99% 的掌握意程度与年相关．（ 2）据意，8 名工的献分及按甲乙两种方案所状况：分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000560056005600900090009000由表可知，“ A 工“有5名，从8 名工中随机抽取 4 名行面，恰巧抽到 3 名” A 工“的概率P ，．19．如①，在等腰梯形DF 中点．将四形ABCDBEFC中， AB //CD ，E，F分AB，CD沿 EF 折起，使平面BEFC平面AEFD的中点，， M，获得如②所示的多面体．在②中，（Ⅰ）明：EF MC ；（Ⅱ）求二面角M AB D 的余弦．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD 中， AB / /CD ，QE，F 分别为 AB，CD的中点，EF AB，EF CD ，折叠后， EF DF ，EF CF ，， EF平面 DCF ，又 MC平面 DCF ，EF MC ．解：（Ⅱ） Q 平面 BEFC平面 AEFD ，平面BEFC平面 AEFD EF ，且 EF DF ，DF平面 BEFC ，DF CF ，DF ，CF， EF 两两垂直，以 F 为坐标原点，分别以FD ，FC， FE 所在直线为x， y ，z轴，成立空间直角坐标系，Q DM1， FM 1，M (1，0， 0) ， D(2 ，0， 0) ， A(1，0， 2) ， B(0 ，1， 2) ，uuur uuur uuurMA (0，0， 2) ， AB( 1，1， 0)， DA ( 1，0， 2)，设平面r(x ，y， z) ，MAB 的法向量m则，取 xr(1， 1， 0) ，1 ，得 mr， y ，z)，设平面 ABD 的法向量n ( x则，取zr(2 ，2， 1) ，1 ，得n，二面角M AB D 的余弦值为2 2 ．320421 ．3（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆 C 的左，右焦点分别为F1， F2，左，右极点分别为A，B，点M，N 为椭圆 C 上位于x 轴上方的两点，且F1M / /F2N ，记直线AM， BN的斜率分别为k1， k2，若 3k12k20 ，求直线F1 M的方程．【解答】解：(I ) 由意可得： 2b42 ，c1， a 2b2c2．a3立解得： b 2 2 ， c 1 ， a 3 ．C 的准方程：x2y21 ．98(II ) A( 3 ， 0) ， B(3,0)， F1 ( 1,0)， F2 (1,0) ，F1M 的方程： x my 1 ， M(x1， y1 ) ， ( y10) ，直 F1M 与的另一个交点M (x2， y2 ) ．，依据称性可得：N (x2， y2 ) ．立，化：，，，，，即，立解得： y1128m， y2112，8m298m29Q y1 0 ， y20 ，m 0 ．，m 6 ．12直 F1 M 的方程 x6，即．y 11221．已知函数，a R ．（Ⅰ）若 f ( x)⋯0 ，求数a取的会合；（Ⅱ）明：．【解答】( I )解：．( x0) ．当 a, 0 ， f ( x)0 ，函数 f ( x)在 (0,)上增，又 f （ 1）0 ．所以当 a 0 x 1 ， f ( x)0 ，可得函数0 ．f ( x) 在(0, a)上减，在(a,)上增，x a ，函数 f (x) 获得极小即最小，f （ a）．令 g （a）lna 1 a ，g（1）0 ．g （ a），可知： a 1 ，函数g（ a）获得极大即最大，而g （1）)．所以只有 a 1 足 f （ a）．故 a1．数 a 取的会合是{1}．(II ) 明：由 (I ) 可知： a 1， f ( x)⋯0 ，即 lnx⋯110 恒成立．在 xx要明：，即明：，即．令， x0 ．，令，u (x)e x 2 ，令，解得 x ln 2．可得： x ln 2 ，函数 u( x) 在 (0,ln 2) 内减，在(ln 2,) 上增．即函数 h ( x) 在 (0,ln 2) 内减，在(ln 2, ) 上增．而． h (ln2)h （1）0 ．存在 x0(0, ln 2) ，使得 h ( x0 )0 ，当 x(0, x0 ) ， h ( x) 0 ， h( x) 增；当 x( x0， 1) ， h (x) 0 ， h( x) 减．当 x(1, ) ，h ( x)0 ， h(x) 增．又， h （ 1），x0 ， h( x)⋯0 恒成立，即．上可得：，成立．考生在第22，23 中任一作答，假如多做，按所做的第一分上把所目的号涂黑．[ 修 4-4 ：坐系与参数方程.作答，用2B 笔在答卡x t cos22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数，倾斜角），曲线 C 的参数方程为 y t sin为参数，[0 ，]) ，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线 C 的一般方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线 C 恰有一个公共点P ，求点 P 的极坐标．【解答】解：（ 1）曲线 C 的参数方程为为参数，[0 ，]) ，变换为直角坐标方程为：．直线 lx t cos(t 为参数，倾斜角），的参数方程为t siny变换为极坐标方程为：．（ 2）由（ 1）可知：曲线 C 为半圆弧，若直线 l 与曲线 C 恰有一个公共点P ，则直线l与半圆弧相切．设 P(,) ，由题意知： sin1，2故：6，故：2224 2 ，解得：2 3 ．所以：点 P(23, )．6[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]23．已知函数的最大值为 3，此中 m 0 ．（Ⅰ）求 m 的值；（Ⅱ）若 a ，b R ， ab0 ， a2b2m2 ，求证：a3b3⋯1 ．b a【解答】解：（Ⅰ） Q m0 ，，当 x,2m 时， f ( x)获得最大值3m ．m 1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a2b2 1 ，．，当且仅当a b 时等号成立．0 ab, 1 ，2令h(t )12t ， 0t, 1 ，t2h (t ) 在 (0 ，1] 上减，，2当 0ab,1 ，12ab⋯1 ，2aba3b3⋯1 ．b a。
2019年高考数学仿真押题试卷(十五)(含解析)
专题15 高考数学仿真押题试卷（十五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a R ∈，i 为虚数单位．若复数是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为( )A ．18(,)55-B ．74(,)55--C ．47(,)55-D ．74(,)55-【解析】解：Q 复数是纯虚数，∴2010a a -=⎧⎨+≠⎩，则2a =．∴，∴复数32a i i --在复面上对应的点的坐标为74(,)55-． 【答案】D ． 2．已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【解析】解：解一元二次不等式得：1x <-或4x >，即(A =-∞，1)(4-⋃，)+∞，解一元二次不等式得2m x m <<，即(,2)B m m =，又B A ⊆，所以210m m -⎧⎨>⎩…或40m m ⎧⎨>⎩…，解得4m …， 【答案】B ．3．美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”．现已知3a =，4b =，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在CDE ∆的内切圆内部的概率为( )A ．B ．449πC ．D ．249π【解析】解：由图可知：，直角三角形CDE 的内切圆半径为，，设“该点也在CDE ∆的内切圆内部”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），【答案】C ．4．已知为锐角，则sin()αβ+的值为( )A ．3722-B ．3214- C ．3722+ D ．3214+ 【解析】解：1cos 3β=Q ，β是锐角，，又11cos 32β=<，∴32ππβ<<，则223πβπ<<αQ 是锐角，02πα∴<<，，，∴，，且，则，【答案】D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入0x =，0y =，1n =，则输出的x ，y 的值满足()A ．109y x -=B ．169xy =C ．19y x -=D ．2xy =【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得0x =，0y =，1n =执行循环体，12x =+，112y =⨯， 不满足条件269x y +…，执行循环体，2n =，，，不满足条件269x y +…，执行循环体，3n =，，，不满足条件269x y +…，执行循环体，4n =，51x =-，45y =，不满足条件269x y +…，执行循环体，5n =，61x =-，56y =，⋯不满足条件269x y +…，执行循环体，8n =，，89y =， 此时，满足条件269x y +…，退出循环，输出x 的值为2，y 的值为89，可得此时x ，y 的值满足169xy =． 【答案】B ．6．已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为，b ，c 为实数，*)n N ∈，且2017k a +，2018k a +，2019(0)k a k +>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为时，数列{}n b 为递增数列．若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞B ．[0，)+∞C ．(0,)+∞D ．(-∞，0]【解析】解：若2017k a +，2018k a +，2019(0)k a k +>恒为等差数列，，即，整理得20a -=，即0a =．即:0p a =， 若数列{}n b 的通项公式为时，则0a >，即:0q a >，若p q ∨为真，则p ，q 至少有一个为真命题，即，)+∞，【答案】B ．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2B ．52C ．22+D ．231+【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P ABCD -， 几何体的表面积为：．【答案】C ．8．已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为( ) A ．24x y =- B ．28x y =-C ．22x y =D ．24x y =-或24x y =【解析】解：圆，抛物线的准线为2p y =-，Q 抛物线的准线与圆相切，112p∴--=，解得4p =-． 抛物线方程为：28x y =-． 【答案】B ．9．已知O 为ABC ∆外接圆的圆心，||3AB =u u u r ，||5AC =u u u r ，则(AO BC =u u u r u u u r g ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【解析】解：如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则：OD AC ⊥，OE AB ⊥；∴，；∴25922=- 8=． 【答案】C ．10．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为1，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )A ．13πB ．121π+ C ．11π+ D ．2π【解析】解：阴影部分面积等于，所以根据几何概型得．【答案】B ．11．ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，5cos B =-，则(BD AC = ) A ．14B ．12C ．23D ．34【解析】解：ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，在等腰直角三角形ABD 中，设BD h =， 可得AD h =，在直角三角形BDC 中，，即有，则，可得，即，则14BD AC =． 【答案】A ． 12．函数有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)4eB ．(1，2]eC ．3(0,)2eD ．3(,)2e -∞【解析】解：，1x =时不成立，1x ≠时，化为：．．可得：1x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；13x <<时，()0g x '<时，函数()g x 单调递减；3x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 画出图象．g （3）32e =．可得：当且仅当302e a <<时，函数y a =与函数()y g x =由且仅有一个交点．即函数有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是3(0,)2e ．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为58． 【解析】解：Q 红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为255408=． 【答案】58．14．在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为16． 【解析】解：Q，6Aπ=，∴，【答案】1615．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:3S S =，则96:S S =73． 【解析】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比，(0)n S ≠所以，又633S S =，即3613S S =， 所以，整理得9673S S =． 【答案】7316．已知点(0,1)A ，抛物线的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若，则实数a 的值为2 ．【解析】解：依题意得焦点F 的坐标为：(2a，0)，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ， 由抛物线的定义知||||MF MK =，因为，所以，又，，所以422a=，解得2a =．【答案】2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a的前n 项和为n S ，满足：11a =，，数列{}n b 为等比数列，满足134b b =，2114b b =<，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{}n n a a +的前n 项和为n W ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n W 与1nT 的大小． 【解析】解：（Ⅰ）11a =，，可得11n n a a +=+，即数列{}n a 为首项和公差均为1的等差数列， 可得n a n =；数列{}n b 为等比数列，满足134b b =，2114b b =<，*n N ∈． 设公比为q ，可得2114b b q =，可得12q =±，即有12q =时，11124b =，可得11124b =>； 12q =-不成立，舍去，则1()2n n b =；（Ⅱ），；，则11 nT>，即有1nnWT<．18．如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，ABC∆是边长为2的等边三角形，，2AE=．（Ⅰ）证明：平面EBD⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A EB D--的余弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取BC的中点O，连结AO，DO，，DO BC∴⊥，，DO⊂Q平面BCD，平面DBC⋂平面ABC BC=，平面BCD⊥平面ABC，DO∴⊥平面ABC，AE⊥Q平面ABC，//AE DO∴，又2DO AE==，∴四边形AODE是平行四边形，//ED AO∴，ABC∆Q是等边三角形，AO BC∴⊥，又AO⊂Q平面ABC，平面BCD⋂平面ABC BC=，平面BCD⊥平面ABC，AO∴⊥平面BCD，BD∴⊥平面BCD，ED⊂Q平面EBD，∴平面EBD⊥平面BCD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AO⊥平面BCD，AO DO∴⊥，又DO BC⊥，AO BC⊥，∴分别以OB，OA，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，3-，0)，(1B ，0，0)，(0D ，0，2)，(0E ，3-，2)， 设平面ABE 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ， (1AB =u u u r ，3，0)，(1BE =-u u u r，3-，2)，则，取3x =，得，设平面BED 的一个法向量为(n x =r，y ，)z ， (1BD =-u u u r，0，2)，(1BE =-u u u r ，3-，2)，则，取2x =，得(2n =r，0，1)，设二面角A EB D --的平面角为θ，由题意θ为钝角，则． ∴二面角A EB D --的余弦值为15-．19．已知椭圆的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为(0)k k ≠，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求证：||||MF PQ 为定值． 【解析】解：（Ⅰ）由：22221x y a b +=，令x c =可得2b y a =±，则22||b PQ a=，则，可得23b =12c e a ==Q ，2ac∴=，222a b c =+， 24a ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=．证明：（Ⅱ）由题意可知(1,0)F ，直线l 的方程为(1)y k x =-， 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，，，，设PQ 的中点为N ，则224(43k N k +，23)43kk -+，则MN 的过程为，令0y =，可得22(43k M k +，0)，，，∴||1||4MF PQ =为定值． 20．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在(175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克 频数 (165，175]3(175，185]9(185，195]19(195，205]35(205，215]22(215，225]7(225，235] 5（Ⅰ）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：2>0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P K k()k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：12.2)，（Ⅱ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z服从正态分布(200N，2求质量指标z落在上的概率；参考公式：，．（Ⅲ）若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．【解析】解：（Ⅰ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为所以，22⨯列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品92 96 188不合格品8 4 12总计100 100 200所以，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．12.2)，（Ⅱ）乙流水线的产品生产质量指标z服从正态分布(200N，2所以，，所以，即：，所以质量指标落在[187.8，224.4)的概率是0.8185．（Ⅲ）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率0.08P=，设“任取两件产品，至少有一件合格品“为事件A，则A为”任取两件产品，两件均为不合格品“，且，所以P （A ），所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为0.9936．21．已知函数．（Ⅰ）当0a …时，证明：函数()f x 只有一个零点； （Ⅱ）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题知：f ’x ．令，所以，当0a …时，，即()g x 在(0,)+∞上单调递减．又因为f ’（1）g =（1）0=，所以，当01x <<时，f ’ ()0x >；当1x >时，f ’ ()0x <． 所以，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x f …（1）0=． 所以()f x 只有一个零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a …时，()f x 的极大值等于0，符合题意．①当01a <<时，因为当(0,)x a ∈时，g ’ ()0x >；当(,)x a ∈+∞时，g ’ ()0x <； 且g （1）0=，．故存在11(,)ax e a -∈，满足，又(,1)x a ∈，f ’ ()0x >；(1,)x ∈+∞，f ’ ()0x <；所以，此时1x =是()f x 的唯一极大值点，且f （1）0=．，符合题意． ②当1a =时，因为(0,1)x ∈，()0g x >；(1,)x ∈+∞，()0g x <，且g （1）0=， 所以()0g x …，即()f x 在(0,)+∞上单调递减无极值点，不合题意．③当1a >时，因为当(0,)x a ∈时，g ’ ()0x >；当(,)x a =+∞时，()0g x '<；且g （1）0=，．令，则；所以W （a ）W <（1）1<，所以21a a e +<，即()0a g e <． 又因为，故存在0(,)a x a e ∈，满足，此时1x =是()f x 的唯一极小值点，0x x =是()f x 的唯一极大值点，0()f x f >（1）0=．因此不合题意． 综上可得：1a <．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为其中α为参数）；以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，曲线．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 和曲线2C 分别交于M 和N 两点（均异于点)O ，求线段MN 的长．【解析】解：（Ⅰ）因为曲线1C 的参数方程为为参数)，所以C 1的普通方程为①，在极坐标系中，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①得，化简得，1C 的极坐标方程为：②．（Ⅱ）因为直线l 的极坐标方程为，且直线l 与曲线1C 和和曲线2C 分别交于M ，N ，可设1(M ρ，3)4π，2(N ρ，3)4π， 将1(M ρ，3)4π代入②得，将2(N ρ，3)4π代入曲线得．所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，解不等式()0f x x +>；（Ⅱ）对任意x R ∈，()3f x …恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）1a =时，函数，①当1x -…时，，不等式()0f x x +>可化为30x +>， 解得3x >-，所以31x -<-…；②当12x -<<时，，不等式()0f x x +>可化为10x -+>， 解得1x <，所以11x -<<；当2x …时，，不等式()0f x x +>可化为30x ->， 解得3x >，所以1x >；综上，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >；（Ⅱ）因为，所以，对任意x R ∈，()3f x …恒成立， 所以|2|3a +…，所以323a -+剟，解得51a -剟， 所以实数a 的取值范围是[5-，1]．。
天津市2019年高考数学压轴卷文含解析
天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(三)(Word版,含答案解析)
专题03 高考数学仿真押题试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则=B A （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞2．已知复数，则||z z +=（ ）A ．12-B ．12-+ C ．12+ D ．12 3．若，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π 5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+6．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖，则实数k 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0x 是方程的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01ex < C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示）14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且8=a ，ABC△的面积为34，则c b +的值为 ．16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，，*n ∈N ．（1）证明：数列}1{+nS n为等比数列； （2）求．（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．20．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C 与圆的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：，直线（t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：．【答案解析】第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】C【解析】，，，选C ．2．【答案】C【解析】，1z =，．故选C ．3．【答案】A【解析】，，，故选A ． 4．【答案】A【解析】几何概型，由面积比例可以得出答案． 5．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，故选C ． 6．【答案】B7．【答案】C【解析】由题知A =，8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-，，故选C ．8．【答案】D 【解析】由函数不是偶函数，排除A 、C ，当时，sin y x =为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以在上为增函数．故选D ．11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线上，又由于直线与直线互相垂直其交点为，直线与的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为，解得6k =或6k =-（舍去）．故选D ．12．【答案】C 【解析】方程即为，即，令()e xf x x =，，则，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：，故选C ．二、填空题13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=．15．【答案】【解析】，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：，又因为ABC △面积12=，16bc =，b c +=．三、解答题 17．【答案】(1)数列{1}nS n+是首项为2，公比为2的等比数列．(2)．【解析】 (1)因为，所以，即，则，所以，又1121S +=， 故数列{1}nS n+是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以，故．设，则，所以，所以，所以．18．【答案】二面角E AC F --． 【解析】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF 平面，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥．又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 由2AB a =，，，可知，2BD a =，，， 从而，故EF AF ⊥． 又，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A ，，，，所以，，．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以．从而．故所求的二面角E AC F--19．【答案】(1) (2) 【解析】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51 5010=，所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是．（2）女生志愿者人数0,1,2X=，则，，．∴X的分布列为∴X的数学期望为．（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由得，故，所以，．因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即，所以．当0k >时，，所以．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为．（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令，e 0xax -=，e xa x=．设e ()xg x x=(0,1)x ∈，所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，有解．设，则(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减． 因为，，所以在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以有：所以当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一．当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立． 综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】(1) 244x y =+；(2) ∴6απ=． 【解析】（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =． 所以2232a b +=，从而，从而．当且仅当时，等号成立，即216a =，243b =时，有最小值，所以得证。
2019年高考数学押题卷及答案(五)
2019年高考数学押题卷及答案（五）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1.是虚数单位，复数2332iz i+=-+的虚部是 ； 2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 ；3. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++= ； 4．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命 题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；5．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为相关人员数 抽取人数公务员 32 x 教师 48 y 自由职业者6446．已知函数221(0)()2(0)x x f x xx ⎧+≤=⎨->⎩，则不等式()2f x x -≤的解集是 ；7.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y 等于 ；8．函数()2sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>，22ππϕ-<<）的图象如图所示，若点A 是函数()f x 的图象与x轴的交点，点B 、D 分别是函数()f x 的图象的最高点和最低点，点C (,0)12π是点B 在x 轴上的射影，则AB BD ⋅= ；9．如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF=2，Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积为_________；10．如图，是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是（1,)2k k -，则整数k =____________；11.设1250,,,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++=且，则1250,,,a a a 中数字0的个数为 ．12.设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为 ．13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若1111112,()(0)||||F P F O PQ F O F Q F P F O λλ==+>则椭圆的离心率为 ． 14．函数()f x 满足1()ln 1()f x x f x +=-，且12,x x 均大于e ，12()()1f x f x +=， 则12()f x x 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2AA 1， ∠BAA 1＝∠CAA 1＝60︒，D ，E 分别为AB ，A 1C 中点． （1）求证：DE ∥平面BB 1C 1C ； （2）求证：BB 1⊥平面A 1BC ．16. (本小题满分14分)已知a =(1+cos α,sin α),b =(1-cos ,sin ββ),(1,0)c =,(0,),(,2)απβππ∈∈,向量a 与c 夹角为1θ，向量b 与c 夹角为2θ，且1θ-2θ=6π，若ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A=βα-.求（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为43，试求b+c 取值范围．17.如图，海岸线θ2,=∠A MAN ，现用长为的栏网围成一养殖场，其中NA C MA B ∈∈,.(1)若l BC =，求养殖场面积最大值；（2）若B 、C 为定点，l BC <，在折线MBCN 内选点D ，使l DC BD =+，求四边形养殖场DBAC 的最大面积;(3)若（2）中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值.18.（本题满分16分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为2(2,0)F ，其短轴上的一个端点到2F 距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，求m 的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.19. 设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m hm ha a ⋅与2k k a 的大小； （Ⅲ）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h m h a a ⋅与2k ka 的大小.20. 已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1)求函数()f x 的表达式； (2)求函数()g x 的单调区间；（3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数。
专题10高考数学仿真押题试卷(十)-2019年高考数学仿真押题试卷含答案
1 )， k Z
3
3
5
1
B． (2 k ， 2k ) ， k Z
3
3
C． (4 k
5 ， 4k 3
1 )
，
k
Z
3
D． (2 k
5 ， 2k 3
1)， k Z 3
解：由 B ， C 的坐标可知，函数 f ( x) 的图象有对称轴 x 7 3
则
，故 T 4 ，
则7 4 3
5 ，可得函数的一个单调递增区间为
”
B．“ x 2 ”是“
”的充分不必要条件
C．若命题 p ：存在 x0 R ，使得 D．若 p 且 q 为假命题，则 p ， q 均为假命题
，则 p ：对任意 x R ，都有 x2 x 1…0
解： A ．“若“
，则 x 1 ”的逆否命题为“若 x 1 ，则
”，正确；
B ．由
，解得 x 1 ， 2，因此“ x 2 ”是“
”的充分不必要，正确；
C ．命题 p ：存在 x0 R ，使得
，则 p ：对任意 x R ，都有 x2 x 1…0 ，正确；
D ．由 p 且 q 为假命题，则 p ， q 至少有一个为假命题，因此不正确．
【答案】 D ．
6．在等差数列 { an} 中， a1 a5 16 ，则 S5 (
)
A． 80
B． 40
则A B (
)
C． ( 2,1)
D． (4, )
解： 集合
，
，
．
【答案】 B ．
2．复数 Z 2i ，则 Z 对应的点所在的象限为 1i
A．第四象限
B．第三象限
(
)
C．第二象限
高考数学第一轮复习押题专练(5)含答案
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sinπ＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．【高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得图像对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A. 【高考上海文科】设aR ，[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【高考新课标Ⅲ文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π==-，所以函数sin 3y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【高考新课标1文数】已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= .【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B.【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．． 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+ 050 5- 0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.1．(·天津卷) 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．π D．2π【答案】C【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z)或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z)，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π. 2．(·安徽卷) 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4 C.3π8 D.3π4 【答案】C3．(·重庆卷) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 【答案】22【解析】函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sinx ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z)，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.4．(·北京卷) 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图14所示．图14(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．5．(·福建卷) 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋16．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈ 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1【解析】 f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1. 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 【答案】A11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 12．(·陕西卷) 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C．2π D．4π 【答案】B 【解析】T ＝2π2＝π.134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A. 15. (·四川卷) 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ． 答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12答案 C5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案328．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解得－32<k≤32或k＝－1，所以实数k的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
2019年湖北省武汉二中高考理科数学全仿真试卷及参考答案及试题解释
2019年湖北省武汉二中高考理科数学全仿真试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∪B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＞0} C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∩B＝{x|x＜0}2．（5分）设复数z1满足，z2＝a+i（a∈R），且|z1﹣z2|＝5，则a＝（）A．1 B．7 C．﹣1 D．1或73．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，，若 ， ，则数列{a n}的通项a n＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知p：ln（x﹣1）＜0，q：x（x﹣2）≥0，则下列说法正确的是（）A．￢p是q的充分不必要条件B．q是￢p的充分不必要条件C．p是q的充分不必要条件D．对∀x∈R，￢p和￢q不可能同时成立5．（5分）若函数f（x），， ＞的最小值为f（2），则实数a的取值范围为（）A．a＜0 B．a＞0 C．a≤0 D．a≥06．（5分）已知a＞b＞0，且a+b＝1，x＝（）b，y＝log ab（），z＝log b，则x，y，z的大小关系是（）A．z＞x＞y B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．x＞z＞y7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面三角形中，最大面积为（）A．B．6 C．D．8．（5分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心10．（5分）已知函数f（x）＝2cos x，且函数y＝f（ωx）在，上单调递增，则正数ω的最大值为（）A．B．1 C．D．11．（5分）在直角坐标平面内，已知A（﹣2，0），B（2，0）以及动点C是△ABC的三个顶点，且sin A sin B ﹣2cos C＝0，则动点C的轨迹曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x），， ＞，g（x）＝f（x）﹣ax，若g（x）有4个零点，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（， ）D．（， ）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是．14．（5分）若在关于x的展开式中，常数项为4，则x2的系数是15．（5分）F1，F2分别是双曲线＞＞左右焦点，P是双曲线上一点，△PF1F2内切圆被渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y轴相切，则双曲线离心率取值范围是．16．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D为BB1的中点，平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥A﹣BCC1B1外接球的表面积为．三、解答题（第17-21题每题12分，第22、23题任选一题作答，计10分，共70分）17．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）＝4sin2．（1）求cos B；（2）若b＝2，△ABC面积为2，求a+c的值．18．依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（I）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．19．如图，已知圆柱OO1，底面半径为1，高为2，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其路径最短时在侧面留下的曲线记为Γ：将轴截面ABCD绕着轴OO1，逆时针旋转θ（0＜θ＜π）角到A1B1C1D1位置，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）当时，求证：直线D1B1⊥平面APB；（2）当时，求二面D﹣AB﹣P的余弦值．20．已知O为坐标原点，点 ， ， ， ， ， ，动点N满足，点P为线段NF1的中点．抛物线C：x2＝2my（m＞0）上点A的纵坐标为．（1）求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C的准线上一点Q满足OP⊥OQ，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）＝e x﹣b（1+lnx）．（1）证明f（x）的图象过一个定点A，并求f（x）在点A处的切线方程；（2）已知b＞0，讨论f（x）的零点个数．22．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1：ρsin（θ）；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2：（φ为参数，a＞0）．（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C2的极坐标方程；（2）曲线C3的极坐标方程为（ρ＞0），且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，若|OB|＝4|OA|，求a的值．23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|ax﹣1|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．2019年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：由2x＞1得x＞0，所以B＝{x|x＞0}．所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．A∪B＝R，故选：C．2．【解答】解：由，得z14+5i，又z2＝a+i，∴z1﹣z2＝（4﹣a）+4i，再由|z1﹣z2|＝5，得（4﹣a）2+16＝25，解得a＝1或7．故选：D．3．【解答】解：由 ， ，可得：2，3﹣1＝2，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴2n．∴2n﹣1+2n﹣2+…+2+12n﹣1．∴a n．故选：B．4．【解答】解：已知p：ln（x﹣1）＜0，q：x（x﹣2）≥0，解得：p即为“1＜x＜2”，q即为“x≤0或x≥2”，则：￢p：x≤1或x≥2；￢q：0＜x＜2；由充要条件的定义可知答案B成立．故选：B．5．【解答】解：当x≤2时，f（x）＝2|x﹣2|＝22﹣x，单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）＝1，当x＞2时，f（x）＝log2（x+a）单调递增，若满足题意，只需log2（x+a）≥1恒成立，即x+a≥2恒成立，∴a≥（2﹣x）min，∴a≥0，故选：D．6．【解答】解：∵a＞b＞0，a+b＝1，∴1＞a＞＞b＞0，∴1＜＜，∴x＝（）b＞（）0＝1，y＝log（ab）（）＝log（ab）1，z＝log b log b a＞﹣1．∴x＞z＞y．故选：D．7．【解答】解：根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，从而可求得其四个侧面三角形面积分别为，，通过比较可得最大的面积为．故选：D．8．【解答】解：如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE＝O2E＝O2O＝r，∴BO2r，∵BO2+O2O＝BO BD，∴r+r，∴r，∴黑色部分面积S＝π（）2π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为π，故选：A．9．【解答】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|＝0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．故选：B．10．【解答】解：依题意，f（x）＝2cos x＝cos x•sin x，则f（ωx），又函数y＝f（ωx）在，上单调递增，∴，即0＜ω，∴2，即，则，得ω≤1．故选：B．11．【解答】解：∵sin A sin B﹣2cos C＝0，∴sin A sin B＝2cos C＝﹣2cos（A+B）＝﹣2（cos A cos B﹣sin A sin B），∴sin A sin B＝2cos A cos B，即tan A tan B＝2，∴k AC•k BC＝﹣2，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有（y≠0），整理得 ， ，∴a，c＝2，离心率为：故选：A．12．【解答】解：由题意，可知：①当x＝0时，g（0）＝f（0）﹣0＝0，∴x＝0为g（x）的1个零点．②当x≠0时，由题意，可得：a，， ＞，即：y＝a与y，， ＞有3个交点且交点的横坐标都不为0．可设h（x），x＞0，则h′（x），令h′（x）0，解得：x，则函数h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减．∴y，， ＞的大致图象如下：又∵h（），若y＝a与y，， ＞有3个交点且交点的横坐标不为0，则必有0＜a＜．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由于知识竞赛有五个板块，所以共有5种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为2种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P（A）．故答案为：14．【解答】解：由（1）8展开式的通项为T r+1（）r＝（﹣1）r x，所以关于x的展开式中常数项为（﹣1）0•a＝a＝4，所以关于x的展开式中x2项的系数为4•（﹣1）63•（﹣1）356，故答案为：﹣56．15．【解答】解：根据题意，不妨设P在第一象限，M，N，A分别为△PF1F2内切圆与△PF1F2三边的切点，如图所示：∵2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PM|+|MF1|）﹣（|PN|+|NF2|）＝|MF1|﹣|NF2|＝|AF1|﹣|AF2|，∴A在双曲线上，故△PF1F2内切圆圆心为（a，a），半径为a，∴圆心到渐近线bx+ay＝0的距离是d∴弦长BC＝222a，依题得2a a，即．∴b﹣a c，∴b2≥（c+a）2，∵b2＝c2﹣a2，∴c2﹣4ac﹣8a2≥0，同时除以a2得e2﹣4e﹣8≥0∴e≥22，故答案为e∈[22，+∞）．16．【解答】解：如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为BB1的中点，∴D也是C1M的中点，又取E是AC1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴tan∠C1AC，∴，又AC，则，又四棱锥A﹣BCC1B1外接球即为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r，∴，∴四棱锥A﹣BCC1B1外接球的表面积4πR2＝19π，故答案为：19π．三、解答题（第17-21题每题12分，第22、23题任选一题作答，计10分，共70分）17．【解答】解：（1）由题设及A+B+C＝π，得：sin B＝4sin2，故sin B＝2（1﹣cos B）．上式两边平方，整理得：5cos2B﹣8cos B+3＝0，解得：cos B＝1（含去），cos B．（2）由cos B，得sin B，又S△ABC ac sin B＝2，则ac＝5．由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B）＝（a+c）2﹣16＝4．所以a+c＝2．18．【解答】解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设8月份的水位中位数为x，则35＜x＜40，∴0.1+0.25+（x﹣35）×0.06＝0.5，解得x＝37.5．∴8月份的水位中位数为37.5．（I）设该河流8月份水位小于40米为事件A1，水位在40米至50米为事件A2，水位大于50为事件A3，在P（A1）＝0.1+0.25+0.3＝0.65，P（A2）＝0.2+0.1＝0.3，P（A3）＝0.05．设发生小型灾害为事件B，由条形图可知：P（B|A1）＝0.1，P（B|A2）＝0.2，P（B|A3）＝0.6，∴P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）＝0.065，P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.06，P（A3B）＝P（A3）P（B|A3）＝0.03．∴P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝0.155．（II）由（I）可知8月份该河流不发生灾害的概率为0.65×0.9+0.3×0.75+0.05×0＝0.81，发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为1﹣0.81﹣0.155＝0.035．设第i种方案的企业利润为X i（i＝1，2，3），若选择方案一，则X1的取值可能为500，﹣100，﹣1000，∴P（X1＝500）＝0.81，P（X1＝﹣100）＝0.155，P（X1＝﹣1000）＝0.035．∴X1的分布列为：∴E（X1）＝500×0.81﹣100×0.155﹣1000×0.035＝354.5（万元）．若选择方案二，则X2的取值可能为460，﹣1040，且P（X2＝460）＝0.81+0.155＝0.965，P（X2＝﹣1040）＝0.035．X2的分布列为：∴E（X2）＝460×0.965﹣1040×0.035＝407.5（万元）．若选择方案三，则X3的可能取值为400，﹣200．X3的分布列为：∴E（X3）＝400×0.845﹣200×0.155＝307（万元）．∴E（X2）＞E（X1）＞E（X3），∴从利润考虑，该企业应选择第二种方案．19．【解答】证明：（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（0，﹣1，0），B（0，1，0），P（﹣1，0，1），C1（﹣1，0，2），B1（﹣1，0，0），D1（1，0，2），（0，2，0），（﹣1，1，1）．设平面ABP的法向量为（x，y，z），则，可取x＝1，得（1，0，1），∵（﹣2，0，﹣2），∴∥．∴直线D1B1⊥平面APB．方法二：在正方形A1B1C1D1中，OP∥A1C1，D1B1⊥A1C1，∴OP⊥B1D1，AB⊥OO1，AB⊥A1B1，OO1∩A1B1＝O，∴AB⊥平面A1B1C1D1，又B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AB⊥BD，又OP⊥B1D1，AB∩OP＝O，AB，OP⊂平面APB，∴直线D1B1⊥平面APB．解：（2）当时，以AB所在直线为y轴，过点O与AB垂直的直线为x轴，OO1所在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），P（，，），B（0，1，0），（， ，），（0，2，0），设平面ABP的法向量为（x，y，z），则，取x＝2，得（2，0，3），又平面ABD的一个法向量为（1，0，0），则|cos＜，＞|，所以二面角D﹣AB﹣P的余弦值为．20．【解答】解：（1）由题知|PF2|，|PF1|；∴|PF1|+|PF2|2 ＞|F1F2|＝2，因此动点P的轨迹W是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝2，∴b＝1，∴曲线W的标准方程为：y2＝1；又由题知：点A的纵坐标为，；∴， ， ，∴x A＝2；又∵点A（2，）在抛物线x2＝2my（m＞0）上，∴12＝2m，解得m；所以抛物线C的标准方程为y．（2）设P（x P，y P），则N（2x P，2y P），Q（t，）；由题知OP⊥OQ，∴，即；∴；由∵1，∴1，∴1；∴为定值，且定值为1．21．【解答】解：（1）由f（）＝e b（1+ln）＝e，则f（x）的图象经过定点A（，e），由f′（x）＝e x，可得切线的斜率为f′（）＝e be，可得f（x）在点A处的切线方程为y﹣e（e be）（x），即y＝（e be）x+e（1）+b；（2）f′（x）＝e x，令g（x）＝xe x﹣b，则g′（x）＝e x（x+1）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（0）＝﹣b＜0，g（b）＝b（e b﹣1）＞0，可得存在唯一x1∈（0，b），使g（x1）＝x1e b＝0 且当0＜x＜x1时，g（x）＜0即f′（x）＜0；当x＞x1时，g（x）＞0即f′（x）＞0，可得f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，可得f（x）min＝f（x1）＝e b（lnx1+1）＝e x1e（lnx1+1）＝x1e（lnx1﹣1），令h（x）lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上递减，且h（1）＝0，①0＜x1＜1时，即b＝x1e∈（0，e）时，h（x1）＞h（1）＝0，可得f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上无零点；②x1＝1时，即b＝e时，h（x1）＝0，即f（x1）＝0，f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1；③1＜x1＜b时，即b＝x1e∈（e，+∞）时，h（x1）＜h（1）＝0，即f（x1）＜0，又f（）＝e＞0，令m（x）＝e x﹣2x（x＞e），则m′（x）＝e x﹣2＞0，m（x）在（e，+∞）上单增，则m（x）＞m（e）＝e e﹣2e＝e（e e﹣1﹣2）＞0，e x＞2x在（e，+∞）上恒成立，e b＞2b＞b＞x1，又f（e b）＝e b（lne b+1）＝e b（b+1）＞e2b﹣b（b+1），e b＞b，e b＞2b＞b+1，可得e2b＞b（b+1），即f（e b）＞0，f（x）在（，x1），（x1，e b）上各存在一个零点．综上所述，0＜b＜e时，f（x）无零点；b＝e时，f（x）有一个零点；b＞e时，f（x）有两个零点．22．【解答】解：（1）由ρsin（θ），得，即x+y＝1．由，消去参数φ得C2的普通方程：x2+（y﹣1）2＝a2．又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的极坐标方程为：（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣1）2＝a2．即C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（2）曲线C3的直角坐标方程为y＝x（x＞0），由，得A（，）．|OA|，|OB|．即点B的极坐标为（，），代入ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0，得a．23．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|2x+1|+|x+1|∴f（x）＞2等价于＞＞或＞或＜＞，解得：x＞0或＜，∴f（x）＞2的解集为{x|＜或x＞0}；（2）∵0＜a＜2，∴＞，2+a＞0，2﹣a＞0，则f（x）＝|2x+1|+|ax﹣1|，＜，，＞，∴函数f（x）在（∞，）上单调递减，在[，]上单调递增，在（，∞）上单调递增，∴当时，f（x）取得最小值，∵对∀x∈R，恒成立，∴，又∵a＞0，∴a2+2a﹣3≥0，解得a≥1（a≤﹣3不合题意），∴a的最小值为1．。
2019届全国高考仿真试卷(五)数学(理科)题
2019届全国高考仿真试卷（五）数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，若，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，，，∴故选：D2. 已知，则（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】，令，得，，∴，∴，故选A.3. 函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（）( A ) (0，1) ( B ) (1，2) ( C ) (2，3) ( D ) (3，4)【答案】B【解析】f (x)＝ln x＋x3－8在上单调递增，且f (1)，f (2)∴函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为(1，2)故选：B4. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A. B. C. － D. －【答案】C【解析】根据题意可知：根据题意可知：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ=±2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===－故答案为：－5. 已知向量，则“”是“夹角为锐角”的（）条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】∵向量，∴当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，∴夹角为0．向量•=2x﹣2+2=2x，若“夹角为锐角，则向量•=2x，设与夹角为θ，则cosθ=＞0，即2x＞0，解得x＞0，∴“x＞0”是“夹角为锐角”的必要而不充分条件．故选：A．6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为偶函数，在单调递增且∴∴，解得：即实数的取值范围是故选：C7. 已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：结合指数函数的性质可知当时，，所以为真命题，，当且仅当即时，等号成立，所以为假命题，为真，所以为真命题.考点：命题的真假判断及复合命题.8. 在中，，则面积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得到：，，同时,，则所以△ABC的面积为；故选：B9. 函数的图象如下图，则下列有关性质的描述正确的是（）A. B. 为其所有对称轴C. 向左移可变为偶函数D. 为其减区间【答案】C【解析】观察图象可得，函数的最小值﹣1，所以A=1，∵==，∴T=π，根据周期公式可得，ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又函数图象过（，﹣1）代入可得sin（+φ）=﹣1，∵0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（x）向左移，为g（x）=cos2x，是偶函数．故选C．10. 已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )A. [2，＋∞)B. (2，＋∞)C. [4，＋∞)D. (4，＋∞)【答案】D【解析】作出的图象，如图所示：∵m＜n，且f（m）=f（n），由图象可知，0＜m＜1＜n，∴| |=| |，即，∴m=，∴m+3n=+3n，令g（n）=+3n（n＞1），则g'（n）=﹣+3＞0，∴g（n）在（1，+∞）上递增，∴g（n）＞g（1）=4，即m+3n的取值范围是（4，+∞），故选：D．点睛：利用条件f(m)＝f(n)，明确m=，从而问题转化为+3n的范围问题，借助均值不等式问题得解.11. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，f′（x）=，因为在[1，+∞）上是单调函数，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，即，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=1时，g（x）取到最大值是：0，所以a≥0，②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，即a≤，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=时，g（x）取到最大值是：，所以a≤，综上可得，a≤或a≥0，所以数a的取值范围是，故选：A．点睛：函数单调性的逆向问题常用处理方法：问题转化为导函数恒大于等于零（或恒小于等于零）的问题，然后变量分离求最值即可.12. 已知,若在上恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则或，由于，，因此（否则是的极小值点，即），所以，选B.考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、函数的极值.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数，则函数在区间上的值域是__________．【答案】【解析】试题分析：，设，则，所以.考点：对数函数的性质，二次函数的值域.14. 在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．【答案】,【解析】△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，由正弦定理可得，sinC=，b＜c，∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，S△ACB=bcsinA=×1××1=，当C=120°时，A=30°，S△ABC=×1××=，故答案为：,点睛：本题是一道易错题，sinC=，此时，角C有两种选择锐角或钝角.15. ，则__________．【答案】【解析】解：将所给的等式两侧求导可得：，........................令可得：，令可得：，据此可得：.16. 对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：（1）对任意的，总有；（2）若，，都有成立；（3）若，则.则称函数为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为_____________________.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】(3)【解析】对于（1）不满足①对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0，故（1）不是超级囧函数；对于（2），g（x）=（x∈[0，1]），则g（x1+x2），g（x+1）可能没意义，故故（2）不是超级囧函数；对于（3），函数h（x）=2x﹣1（x∈[0，+∞）上满足h（x）≥0，若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则h（x1+x2）﹣[h（x1）+h（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）=2x1+x2﹣2x1﹣2x2+1）=（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0，即h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），要满足0≤x1＜x2＜1，则＞1，只需f（x1+1）﹣f（x2﹣1）＜（x1+1）﹣（x2+1），即函数G（t）=f（t）﹣t在[1，2）上递增即可．函数h（x）=2x﹣1显然满足，故（3）是超级囧函数；对于（4），x1≥0，x2≥0时，p（x1+x2）﹣[p（x1）+p（x2）]=ln=ln≤0，故不满足②若x1≥0，x2≥0，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，故（4）不是超级囧函数；故答案为：（3）三、解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积. （1）求角B的大小；（2）若，且，求边的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）要求角的大小，一般要列出关于的三角函数式，从已知条件，可看出只要利用三角形的面积公式（含）即可，由，得，从而有；（2）要求边的取值范围，根据已知我们应该把表示为角的三角函数，再由角的范围求得的取值范围。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(五)( 含答案解析)
专题05高考数学仿真押题试卷（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足是虚数单位），则复数z的模||(z=)A B C D【解答】解：，，故，【答案】B．2．已知集合，，则(A B=)A．(1-D．(0,2)-，1]B．(1,2)C．(1,1)【解答】解：集合，，．【答案】C ．3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5B ．7C ．9D ．3【解答】解：等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，，55a ∴=，【答案】A ．4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由茎叶图得：在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，∴甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；在（2）中，甲的成绩的极差是：37829-=，故（2）正确； 在（3）中，乙的成绩的众数是21，故（3）正确； 在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误．【答案】C ．5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有( ) A ．15种B ．180种C ．360种D ．90种【解答】解：先现从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有2264180A C =种，【答案】B ．6．实数x ，y 满足约束条件，则2z x y =-的最大值是( )A ．5-B ．6-C ．4D ．5【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件，作出可行域：联立，解得(2,0)B ，化2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为：4．【答案】C ．7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．84π+C ．64π+D ．6π【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段14的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：．【答案】C ．8．勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为( )A B C D 【解答】解：如图，设2BC =，以B 为圆心的扇形的面积为22263ππ⨯=， ABC ∴的面积为，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，【答案】B ．9．已知双曲线的左焦点为F ，过点F 作圆的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N ．若2FN FM =，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【解答】解：设双曲线的右焦点为F '， 若2FN FM =，可得M 为FN 的中点， 又O 为FF '的中点，可得//OM FF '，由M为切点，可得90FNF'∠=︒，且，由双曲线的定义可得||2FN b a=+，由勾股定理可得，化简可得2b a=，则双曲线的渐近线方程为2y x=±．【答案】C．10．三棱锥A BCD-中，棱AD是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，，平面ABD⊥平面ACD，则该三棱锥的体积为()A．12B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，，AD是球O得直径，，且，．平面ABD⊥平面ACD，，∴．【答案】C．11．已知椭圆，直线1l ，2l 分别平行于x 轴和y 轴，1l 交椭圆于A ，B 两点，2l 交椭圆于C ，D 两点，1l ，2l 交于点M ，若，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D 【解答】解：由，不妨设||6MA =，||2MB =，||1MC =，||3MD =， 可得(4,1)A ，(2,2)B -． 代入椭圆方程可得：221611a b +=，22441a b +=．联立解得220a =，25b =．则该椭圆的离心率．【答案】D ．12．已知函数，给出三个命题：①()f x 的最小值为4-，②()f x 是轴对称图形，③()4||f x x π…．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①若()f x 的最小值为4-等价为恒成立，且能取等号，即恒成立，设，则，当32x =时，，即0能取到，故①正确， ②32x =是3sin()y x π=和共同的对称轴，32x ∴=是()f x 的对称轴，即()f x 是轴对称图形，故②正确， ③，，只要证明，即可，设|sin |||t t …，(0)t … 当1t …时不等式恒成立， 当01t <…时，即证明sin t t …， 设，，即()h t '在01t <…上是减函数， 则，即sin t t …成立， 综上，成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………，则2z x y =+的最大值是 12- ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………对应的平面区域，由2z x y =+，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大． 由，得3(2A -，1)2，此时z 的最大值为，故答案为：12-．14．的展开式中2x 的系数为9，则a = 1 ．【解答】解：的通项公式，若第一括号是1，则第二个括号必须是2x ，相乘， 若第一括号是x -，则第二个括号必须是x 相乘， 则2x 项系数为， 即，得，得1a =或35a =-（舍)，故答案为：1．15．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，(2,0)M -，若，MBF S ∆分别表示MAF ∆，MBF ∆的面积），则直线l 的斜率的取值范围为．【解答】解：(1,0)F ，设直线l 的方程为：1ty x =-．1(A x ，1)y ，1(0x >，10)y >，2)(B x ，2)y ． 联立214ty x y x =-⎧⎨=⎩，化为：，解得：．322MAF MBF S S ∆∆剟，∴12322yy -剟，0t ∴>，取，．∴， 解得：，1k t=．．故答案为：．16，则其表面积的最小值为【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a ，高为h ，如图，过顶点S 作底面ABC 的垂线，垂足为O ，过O 作OD 垂直AB 于D ，连接SD ， AB a ∴=，SO h =．SO ∴⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ， AB SO ∴⊥，SOOD ⊥，又AB OD ⊥，，AB ∴⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，AB SD ∴⊥，即SD 为侧面SAB 的斜高，三棱锥体积，得212a h =，又O 为底面中心，，，三棱锥的表面积，将212a h=代入得：．，令0S '=，得，令t =，(0)t >，上式可化为2230t t --=，解得3t =，或1t =-（舍)，∴3，得2h =，当02h <<时，0S '<，当2h >时，0S '>，故S 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上S 单调递增，故当2h =时，表面积最小，此时，故填：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设函数．（Ⅰ）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）32==，1c =+求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ），[0x ∈，]2π，，7]6π，∴， ∴函数()f x 的值域为1[2，2]；（Ⅱ）f （A ），0A π<<，∴，，即3A π=，由正弦定理，=，∴，sin B ∴， 203B π∴<<，则4B π= ．，2b ∴=，．18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则P （A ）11312412C C C ==故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． （Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以2K 的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．19．如图，在三棱锥D ABC -中，ABC ∆与BDC ∆都为等边三角形，且侧面BCD 与底面ABC 互相垂直，O 为BC 的中点，点F 在线段OD 上，且13OF OD =，E 为棱AB 上一点．（Ⅰ）试确定点E 的位置使得//EF 平面ACD ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角D FBE --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD ∴=，BDC ∆是等边三角形，F ∴为BDC ∆的重心，，//EF 平面ACD ，EF ⊂平面ABM ，且面ABM ⋂面ACD AM =，//EF AM ∴，13AE AB ∴=，即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点．（Ⅱ）等边BCD ∆中，OD BC ⊥，OD ⊂平面BCD ， 面ABC ⊥面BCD ，交线为BC ， OD ∴⊥平面ABC ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，点A 在平面BEF 上，∴二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角．设2AB =，则，(0F ，0，A ，0，0)，(0B ，1，0)，∴(0BF =，1-，，设平面AFB 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取1x =，得(1,3,3)m =，又OA ⊥平面OBD ，(3OA =0，0)，则，又二面角D FB E --为钝二面角，所以二面角D FB E --的余弦值为20．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆1C 上异于A 、B 的一个动点，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若动点Q 与A 、B 的连线斜率分别为3k 、4k ，且，记动点Q 的轨迹为曲线2C（Ⅰ）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（Ⅱ）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于E 、F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1λ∈，3]，求12SS 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为(2,0)A -，(2,0)B ，则，设(,)Q x y ，则2x ≠±，所以，整理得2214x y λ+=，(2)x ≠±．所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为224x y +=，(2)x ≠±， （Ⅱ）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为22x y =-+．由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+=，(2)x ≠±．联立，消去x ，得，得1691y λλ=+， 联立，消去x ，得，得221y λλ=+， 所以设，则()g λ在[1，3]上递增又g （1）5=，g （3）7=， 所以12S S 的取值范围为[5，7] 21．已知()(x f x e e -=为自然对数的底数），．（Ⅰ）当1a =时，求函数的极小值；（Ⅱ）当0t …时，关于t 的方程有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，，，令()0h x '=，解得：0x =，x ，()h x '，()h x 的变化如下：；（Ⅱ）设，令1(1)t x x +=…，，1x …，，设，，由1x …得，21x …，2101x∴<…，x e e …， ，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，F '（1）1ea =+-，①当10e a +-…，即1a e +…时，(1,)x ∈+∞时，()F x F '>'（1）0…，()F x 在(1,)+∞单调递增， 又F （1）0=，故当1x …时，关于x 的方程有且只有一个实数解，②当10e a +-<，即1a e >+时，F '（1）0<，，又，故0(1,)x lna ∃∈，0()0F x '=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又F （1）0=， 故当(1x ∈，0]x 时，()0F x <， 在[1，0)x 内，关于x 的方程有一个实数解1x =，又0(x x ∈，)+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 且F （a ），令，，， 故()k x '在(1,)+∞单调递增，又k '（1）0>，故()k x 在(1,)+∞单调递增，故k （a ）k >（1）0>，故F （a ）0>， 又0aa x e>>，由零点存在定理可知，10(x x ∃∈，)a ，1()0F x =， 故在0(x ，)a 内，关于x 的方程有一个实数解1x ，此时方程有两个解． 综上，1a e +…．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数），直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若，求k 的值．【解答】解：（Ⅰ），所以曲线C 的极坐标方程为．（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为1(R θθρ=∈，1[0θ∈，))π，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得，设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ．，1210ρρ=>，△满足△106πθ>∴=或56l π∴的倾斜角为6π或56π，则或 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，a R ∈．（Ⅰ）若不等式2()f x a …对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以24||a a …，解得：44a -剟． 故实数a 的取值范围为[4-，4]； （Ⅱ）由（1）知，4m =，即，根据柯西不等式等号在即87x =，821y =-，421z =时取得． 所以的最小值为1621．。
2019年高考数学仿真押题试卷五含解析201905160142
专题05高考数学仿真押题试卷（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足是虚数单位），则复数z的模||(z=)A B C D【解答】解：，，故，【答案】B．2．已知集合，，则(A B=)A．(1-D．(0,2)-，1]B．(1,2)C．(1,1)【解答】解：集合，，．【答案】C．3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5B ．7C ．9D ．3【解答】解：等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，，55a ∴=，【答案】A ．4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由茎叶图得：在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，∴甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；在（2）中，甲的成绩的极差是：37829-=，故（2）正确； 在（3）中，乙的成绩的众数是21，故（3）正确； 在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误．【答案】C ．5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有( ) A ．15种B ．180种C ．360种D ．90种【解答】解：先现从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有2264180A C =种，【答案】B ．6．实数x ，y 满足约束条件，则2z x y =-的最大值是( )A ．5-B ．6-C ．4D ．5【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件，作出可行域：联立，解得(2,0)B ，化2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为：4．【答案】C ．7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．84π+C ．64π+D ．6π【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段14的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：．【答案】C ．8．勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为()A B C D【解答】解：如图，设2BC=，以B为圆心的扇形的面积为22263ππ⨯=，ABC∴的面积为，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，【答案】B．9．已知双曲线的左焦点为F，过点F作圆的切线，切点为M，且交双曲线C右支于点N．若2FN FM=，则双曲线C的渐近线方程为()A．30x y±=B．30x y±=C．20x y±=D．20x y±=【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，若2FN FM=，可得M为FN的中点，又O为FF'的中点，可得//OM FF'，由M为切点，可得90FNF'∠=︒，且，由双曲线的定义可得||2FN b a=+，由勾股定理可得，化简可得2b a =，则双曲线的渐近线方程为2y x =±． 【答案】C ．10．三棱锥A BCD -中，棱AD 是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，，平面ABD ⊥平面ACD ，则该三棱锥的体积为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图，，AD 是球O 得直径，，且，．平面ABD ⊥平面ACD ，，∴．【答案】C ．11．已知椭圆，直线1l ，2l 分别平行于x 轴和y 轴，1l 交椭圆于A ，B 两点，2l 交椭圆于C ，D 两点，1l ，2l 交于点M ，若，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D 【解答】解：由，不妨设||6MA =，||2MB =，||1MC =，||3MD =，可得(4,1)A ，(2,2)B -． 代入椭圆方程可得：221611a b +=，22441a b +=．联立解得220a =，25b =．则该椭圆的离心率．【答案】D ．12．已知函数，给出三个命题：①()f x 的最小值为4-，②()f x 是轴对称图形，③()4||f x x π…．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①若()f x 的最小值为4-等价为恒成立，且能取等号，即恒成立，设，则，当32x =时，，即0能取到，故①正确， ②32x =是3sin()y x π=和共同的对称轴，32x ∴=是()f x 的对称轴，即()f x 是轴对称图形，故②正确， ③，，只要证明，即可，设|sin |||t t …，(0)t …当1t …时不等式恒成立， 当01t <…时，即证明sin t t …， 设，，即()h t '在01t <…上是减函数， 则，即sin t t …成立， 综上，成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………，则2z x y =+的最大值是 12- ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………对应的平面区域，由2z x y =+，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大． 由，得3(2A -，1)2，此时z 的最大值为，故答案为：12-．14．的展开式中2x 的系数为9，则a = 1 ．【解答】解：的通项公式，若第一括号是1，则第二个括号必须是2x ，相乘， 若第一括号是x -，则第二个括号必须是x 相乘， 则2x 项系数为， 即，得，得1a =或35a =-（舍)，故答案为：1．15．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，(2,0)M -，若，MBF S ∆分别表示MAF ∆，MBF ∆的面积），则直线l 的斜率的取值范围为．【解答】解：(1,0)F ，设直线l 的方程为：1ty x =-．1(A x ，1)y ，1(0x >，10)y >，2)(B x ，2)y ． 联立214ty x y x =-⎧⎨=⎩，化为：，解得：．322MAF MBFS S ∆∆剟，∴12322yy -剟，t∴>，取，．∴，解得：，1kt =．．故答案为：．16，则其表面积的最小值为【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a，高为h，如图，过顶点S作底面ABC的垂线，垂足为O，过O作OD垂直AB于D，连接SD，AB a∴=，SO h=．SO∴⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，AB SO∴⊥，SO OD⊥，又AB OD⊥，，AB∴⊥平面SOD，又SD⊂平面SOD，AB SD∴⊥，即SD为侧面SAB的斜高，三棱锥体积，得212a h=，又O为底面中心，，，三棱锥的表面积，将212a h=代入得：．，令0S '=，得，令t =，(0)t >，上式可化为2230t t --=，解得3t =，或1t =-（舍)，∴3，得2h =，当02h <<时，0S '<，当2h >时，0S '>，故S 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上S 单调递增，故当2h =时，表面积最小，此时，故填：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设函数．（Ⅰ）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）32==，1c =+求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ），[0x ∈，]2π，，7]6π， ∴， ∴函数()f x 的值域为1[2，2]；（Ⅱ）f （A ），0A π<<，∴，，即3A π=，由正弦定理，=，∴，sin 2B ∴=， 203B π∴<<，则4B π= ．，2b ∴=，．18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则P （A ）11312412C C C ==故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12．（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以2K 的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．19．如图，在三棱锥D ABC -中，ABC ∆与BDC ∆都为等边三角形，且侧面BCD 与底面ABC 互相垂直，O 为BC 的中点，点F 在线段OD 上，且13OF OD =，E 为棱AB 上一点．（Ⅰ）试确定点E 的位置使得//EF 平面ACD ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角D FB E --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD ∴=，BDC ∆是等边三角形，F ∴为BDC ∆的重心，，//EF 平面ACD ，EF ⊂平面ABM ，且面ABM ⋂面ACD AM =，//EF AM ∴，13AE AB ∴=，即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点．（Ⅱ）等边BCD ∆中，OD BC ⊥，OD ⊂平面BCD ， 面ABC ⊥面BCD ，交线为BC ， OD ∴⊥平面ABC ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，点A 在平面BEF 上，∴二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角．设2AB =，则，(0F ，0，A ，0，0)，(0B ，1，0)，∴(0BF =，1-，，设平面AFB 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取1x =，得(1,3,3)m =，又OA ⊥平面OBD ，(3OA =0，0)，则，又二面角D FB E --为钝二面角，所以二面角D FB E --的余弦值为20．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆1C 上异于A 、B 的一个动点，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若动点Q 与A 、B 的连线斜率分别为3k 、4k ，且，记动点Q 的轨迹为曲线2C（Ⅰ）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（Ⅱ）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于E 、F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1λ∈，3]，求12SS 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为(2,0)A -，(2,0)B ，则，设(,)Q x y ，则2x ≠±，所以，整理得2214x y λ+=，(2)x ≠±．所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为224x y +=，(2)x ≠±， （Ⅱ）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为22x y =-+．由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+=，(2)x ≠±．联立，消去x ，得，得1691y λλ=+， 联立，消去x ，得，得221y λλ=+， 所以设，则()g λ在[1，3]上递增又g （1）5=，g （3）7=， 所以12S S 的取值范围为[5，7] 21．已知()(x f x e e -=为自然对数的底数），．（Ⅰ）当1a =时，求函数的极小值；（Ⅱ）当0t …时，关于t 的方程有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，，，令()0h x '=，解得：0x =，x ，()h x '，()h x 的变化如下：；（Ⅱ）设，令1(1)t x x +=…，，1x …， ，设，，由1x …得，21x …，2101x∴<…，x e e …，，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，F '（1）1e a =+-，①当10e a +-…，即1a e +…时，(1,)x ∈+∞时，()F x F '>'（1）0…，()F x 在(1,)+∞单调递增， 又F （1）0=，故当1x …时，关于x 的方程有且只有一个实数解，②当10e a +-<，即1a e >+时，F '（1）0<，，又，故0(1,)x lna ∃∈，0()0F x '=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又F （1）0=， 故当(1x ∈，0]x 时，()0F x <， 在[1，0)x 内，关于x 的方程有一个实数解1x =，又0(x x ∈，)+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 且F （a ），令，，， 故()k x '在(1,)+∞单调递增，又k '（1）0>，故()k x 在(1,)+∞单调递增，故k （a ）k >（1）0>，故F （a ）0>， 又0aa x e>>，由零点存在定理可知，10(x x ∃∈，)a ，1()0F x =， 故在0(x ，)a 内，关于x 的方程有一个实数解1x ，此时方程有两个解． 综上，1a e +…．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数），直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若，求k 的值．【解答】解：（Ⅰ），所以曲线C 的极坐标方程为．（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为1(R θθρ=∈，1[0θ∈，))π，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得，设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ．，1210ρρ=>，△满足△106πθ>∴=或56l π∴的倾斜角为6π或56π，则或 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，a R ∈．（Ⅰ）若不等式2()f x a …对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以24||a a …，解得：44a -剟． 故实数a 的取值范围为[4-，4]； （Ⅱ）由（1）知，4m =，即，根据柯西不等式等号在即87x =，821y =-，421z =时取得．16 21．所以的最小值为。
2019年最新高考数学模拟试题及答案共五套
高考模拟考数学试题参考公式：球的表面积公式： 24R S π=，其中R 表示球的半径；球的体积公式：,343R Vπ=其中R 表示球的半径； 柱体的体积公式：Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高；锥体的积公式：Sh V31=，其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高； 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是 （ ） （A ）M N R =U （B ）{}01M N x x =<<I （C ）N M ∈ （D ）M N φ=I 2、已知复数122,3z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的实部与虚部之和为（ ） （A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）2 3、设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是（ ） （A ）若q 则p ⌝（B ）若q ⌝则p（C ）若p 则q （D ）若p ⌝则q4、若k∈R,,则“k >4”是“方程14422=+--k y k x 表示双曲线”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅，则数列{}n a 的第100项为（ ） （A ）10012 （B ）5012 （C ）1100 （D ）1506、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体 的体积是 （ ）（A ）383cm （B ）343cm（C ）323cm （D ）313cm7、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为6，则双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）2y x =± （B ）x y 2±= （C ）x y 22±= （D ）12y x =± 8、定义式子运算为12142334a a a a a a a a =-，将函数sin 3()cos 1xf x x =的图像向左平移(0)n n >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 （ ）（A ）6π （B ）3π（C ） 56π （D ）23π9、已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+u u u r u u u r u u u r，其中t 为实数，若点P 落在ABC ∆的内部，则t 的取值范围是（ ） （A ）104t << （B ）103t << （C ）102t << （D ）203t <<10、已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ）[2,1]- （B ）[5,0]-（C ）[5,1]- （D ）[2,0]-第二卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十五)(Word版,含答案解析)
专题15 高考数学仿真押题试卷（十五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a R ∈，i 为虚数单位．若复数是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为( )A ．18(,)55-B ．74(,)55--C ．47(,)55-D ．74(,)55-【解析】解：复数是纯虚数，∴2010a a -=⎧⎨+≠⎩，则2a =．∴，∴复数32a i i --在复面上对应的点的坐标为74(,)55-． 【答案】D ．2．已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【解析】解：解一元二次不等式得：1x <-或4x >，即(A =-∞，1)(4-⋃，)+∞，解一元二次不等式得2m x m <<，即(,2)B m m =，又B A ⊆，所以210m m -⎧⎨>⎩…或40m m ⎧⎨>⎩…，解得4m …， 【答案】B ．3．美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”．现已知3a =，4b =，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在CDE ∆的内切圆内部的概率为( )A ．B ．449πC ．D ．249π 【解析】解：由图可知：，直角三角形CDE 的内切圆半径为，，设“该点也在CDE ∆的内切圆内部”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），【答案】C ．4．已知为锐角，则sin()αβ+的值为( )AB C D 【解析】解：1cos 3β=，β是锐角，，又11cos 32β=<，∴32ππβ<<，则223πβπ<<α是锐角，02πα∴<<，，，∴，，且，则，【答案】D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入0x =，0y =，1n =，则输出的x ，y 的值满足()A ．109y x -=B ．169xy =C ．19y x -=D ．2xy =【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得0x =，0y =，1n =执行循环体，x =，112y =⨯， 不满足条件269x y +…，执行循环体，2n =，，，不满足条件269x y +…，执行循环体，3n =，，，不满足条件269x y +…，执行循环体，4n =，1x =，45y =，不满足条件269x y +…，执行循环体，5n =，1x =，56y =，⋯不满足条件269x y +…，执行循环体，8n =，，89y =， 此时，满足条件269x y +…，退出循环，输出x 的值为2，y 的值为89，可得此时x ，y 的值满足169xy =． 【答案】B ．6．已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为，b ，c 为实数，*)n N ∈，且2017ka +，2018k a +，2019(0)k a k +>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为时，数列{}n b 为递增数列．若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞B ．[0，)+∞C ．(0,)+∞D ．(-∞，0]【解析】解：若2017k a +，2018k a +，2019(0)k a k +>恒为等差数列，，即，整理得20a -=，即0a =．即:0p a =， 若数列{}n b 的通项公式为时，则0a >，即:0q a >，若p q ∨为真，则p ，q 至少有一个为真命题，即，)+∞，【答案】B ．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2B ．52C ．2D ．1【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P ABCD -， 几何体的表面积为：．【答案】C ．8．已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为( ) A ．24x y =- B ．28x y =-C ．22x y =D ．24x y =-或24x y =【解析】解：圆，抛物线的准线为2p y =-， 抛物线的准线与圆相切，112p∴--=，解得4p =-． 抛物线方程为：28x y =-． 【答案】B ．9．已知O 为ABC ∆外接圆的圆心，||3AB =，||5AC =，则(AO BC = ) A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】解：如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则：OD AC ⊥，OE AB ⊥；∴，；∴25922=- 8=． 【答案】C ．10．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为1，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )A ．13πB ．121π+ C ．11π+ D【解析】解：阴影部分面积等于，所以根据几何概型得．【答案】B ．11．ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，cos B =，则(BD AC = ) A ．14B ．12C ．23D ．34【解析】解：ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，在等腰直角三角形ABD 中，设BD h =， 可得AD h =，在直角三角形BDC 中，，即有，则， 可得，即，则14BD AC =． 【答案】A ． 12．函数有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)4eB ．(1，C ．3(0,)2eD ．3(,)2e -∞【解析】解：，1x =时不成立，1x ≠时，化为：．．可得：1x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；13x <<时，()0g x '<时，函数()g x 单调递减；3x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 画出图象．g （3）32e =．可得：当且仅当302e a <<时，函数y a =与函数()y g x =由且仅有一个交点．即函数有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是3(0,)2e ．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为58． 【解析】解：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为255408=． 【答案】58．14．在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为16． 【解析】解：，6A π=，∴，【答案】1615．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:3S S =，则96:S S =73． 【解析】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比，(0)n S ≠所以，又633S S =，即3613S S =， 所以，整理得9673S S =． 【答案】7316．已知点(0,1)A ，抛物线的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若，则实数a【解析】解：依题意得焦点F 的坐标为：(2a，0)，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ， 由抛物线的定义知||||MF MK =，因为，所以，又，，所以4a=a =三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，，数列{}n b 为等比数列，满足134b b =，2114b b =<，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{}n n a a +的前n 项和为n W ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n W 与1nT 的大小． 【解析】解：（Ⅰ）11a =，，可得11n n a a +=+，即数列{}n a 为首项和公差均为1的等差数列， 可得n a n =；数列{}n b 为等比数列，满足134b b =，2114b b =<，*n N ∈． 设公比为q ，可得2114b b q =，可得12q =±，即有12q =时，11124b =，可得11124b =>； 12q =-不成立，舍去，则1()2n n b =；（Ⅱ），；，则11 nT>，即有1nnWT<．18．如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，ABC∆是边长为2的等边三角形，，2AE=．（Ⅰ）证明：平面EBD⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A EB D--的余弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取BC的中点O，连结AO，DO，，DO BC∴⊥，，DO⊂平面BCD，平面DBC⋂平面ABC BC=，平面BCD⊥平面ABC，DO∴⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，//AE DO∴，又2DO AE==，∴四边形AODE是平行四边形，//ED AO∴，ABC∆是等边三角形，AO BC∴⊥，又AO⊂平面ABC，平面BCD⋂平面ABC BC=，平面BCD⊥平面ABC，AO∴⊥平面BCD，BD∴⊥平面BCD，ED⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面BCD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AO⊥平面BCD，AO DO∴⊥，又DO BC⊥，AO BC⊥，∴分别以OB，OA，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(0A，0)，(1B，0，0)，(0D，0，2)，(0E，2)，设平面ABE的一个法向量为(m x=，y，)z，(1AB=0)，(1BE=-，2)，则，取x=，设平面BED的一个法向量为(n x=，y，)z，(1BD=-，0，2)，(1BE=-，2)，则，取2x=，得(2n=，0，1)，设二面角A EB D--的平面角为θ，由题意θ为钝角，则．∴二面角A EB D--的余弦值为．19．已知椭圆的离心率为12，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为(0)k k≠，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：||||MFPQ为定值．【解析】解：（Ⅰ）由：22221x ya b+=，令x c=可得2bya=±，则22||bPQa=，则，可得23b =12c e a ==，2a c ∴=，222a b c =+， 24a ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=．证明：（Ⅱ）由题意可知(1,0)F ，直线l 的方程为(1)y k x =-， 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，，，，设PQ 的中点为N ，则224(43k N k +，23)43kk -+，则MN 的过程为，令0y =，可得22(43k M k +，0)，，，∴||1||4MF PQ =为定值． 20．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在(175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．（Ⅰ）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？附表：（参考公式：12.2)，（Ⅱ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z服从正态分布(200N，2求质量指标z落在上的概率；参考公式：，．（Ⅲ）若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．【解析】解：（Ⅰ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为所以，22⨯列联表是：所以，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．12.2)，（Ⅱ）乙流水线的产品生产质量指标z服从正态分布(200N，2所以，，所以，即：，所以质量指标落在[187.8，224.4)的概率是0.8185．（Ⅲ）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率0.08P=，设“任取两件产品，至少有一件合格品“为事件A，则A为”任取两件产品，两件均为不合格品“，且，所以P （A ），所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为0.9936．21．已知函数．（Ⅰ）当0a …时，证明：函数()f x 只有一个零点； （Ⅱ）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题知：f ’x ．令，所以，当0a …时，，即()g x 在(0,)+∞上单调递减．又因为f ’（1）g =（1）0=，所以，当01x <<时，f ’ ()0x >；当1x >时，f ’ ()0x <． 所以，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x f …（1）0=． 所以()f x 只有一个零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a …时，()f x 的极大值等于0，符合题意．①当01a <<时，因为当(0,)x a ∈时，g ’ ()0x >；当(,)x a ∈+∞时，g ’ ()0x <； 且g （1）0=，．故存在11(,)ax e a -∈，满足，又(,1)x a ∈，f ’ ()0x >；(1,)x ∈+∞，f ’ ()0x <；所以，此时1x =是()f x 的唯一极大值点，且f （1）0=．，符合题意． ②当1a =时，因为(0,1)x ∈，()0g x >；(1,)x ∈+∞，()0g x <，且g （1）0=， 所以()0g x …，即()f x 在(0,)+∞上单调递减无极值点，不合题意．③当1a >时，因为当(0,)x a ∈时，g ’ ()0x >；当(,)x a =+∞时，()0g x '<；且g （1）0=，．令，则；所以W （a ）W <（1）1<，所以21a a e +<，即()0a g e <． 又因为，故存在0(,)a x a e ∈，满足，此时1x =是()f x 的唯一极小值点，0x x =是()f x 的唯一极大值点，0()f x f >（1）0=．因此不合题意． 综上可得：1a <．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为其中α为参数）；以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，曲线．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 和曲线2C 分别交于M 和N 两点（均异于点)O ，求线段MN 的长．【解析】解：（Ⅰ）因为曲线1C 的参数方程为为参数)，所以C 1的普通方程为①，在极坐标系中，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①得，化简得，1C 的极坐标方程为：②．（Ⅱ）因为直线l 的极坐标方程为，且直线l 与曲线1C 和和曲线2C 分别交于M ，N ，可设1(M ρ，3)4π，2(N ρ，3)4π， 将1(M ρ，3)4π代入②得，将2(N ρ，3)4π代入曲线得．所以．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，解不等式()0f x x +>；（Ⅱ）对任意x R ∈，()3f x …恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）1a =时，函数，①当1x -…时，，不等式()0f x x +>可化为30x +>， 解得3x >-，所以31x -<-…； ②当12x -<<时，，不等式()0f x x +>可化为10x -+>， 解得1x <，所以11x -<<； 当2x …时，，不等式()0f x x +>可化为30x ->， 解得3x >，所以1x >；综上，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >； （Ⅱ）因为，所以，对任意x R ∈，()3f x …恒成立， 所以|2|3a +…，所以323a -+剟，解得51a -剟， 所以实数a 的取值范围是[5-，1]．。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十三)(Word版,含答案解析)
专题13 高考数学仿真押题试卷（十三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则(AB = )A ．{|2}x x -…B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <…D ．{|2}x x …【解析】解：{|1}A x x =>，；．【答案】C ．2．若复数z 满足(1)1z i i +=+，则||(z = )A ．i -B ．1i -CD ．1【解析】解：由(1)1z i i +=+，得，z i ∴=-，则||1z =．【答案】D ．3．经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是( ) A ．0.35B ．0.65C ．0.7D ．0.85【解析】解：学生成绩X 服从正态分布2(85,)N σ，且，，∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．【答案】A ．4．若x ，y 满足约束条件101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．4-C ．0D ．2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得平移直线，由图象可知当直线经过点(2,1)A --时，直线2y x z =-+的截距最小， 此时z 最小．将(2,1)A --的坐标代入目标函数2z x y =+， 得4z =-．即2z x y =+的最小值为4-； 【答案】B ．5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是()A B ．C ．12πD ．【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2． 把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴体积．【答案】B ．6．将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( ) A ．(12π，0)B ．(4π，0)C ．(3π，0) D ．(2π，0)【解析】解：将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，令26x k ππ-=，求得212k x ππ=+，k Z ∈，故函数的对称中心为(212k ππ+，0)，k Z ∈，【答案】A ． 7．函数的图象在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为( )A．e B．1 C．1-D．0【解析】解：由，得1 ()f x ax'=+，则f'（1）1a=+，又f（1）a=，∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为，取0x=，可得1y=-．∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为1-．【答案】C．8．刘徽《九章算术商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A B C．3πD．4π【解析】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴∴， ∴外接球的体积为．【答案】B ． 9．已知函数，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【解析】解：由题意可知56πϕ=， 故，．【答案】C ．10．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有( ) A ．1880B ．1440C ．720D ．256【解析】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有35A 种， 再将剩余的2辆白色汽车全排列共有22A 种，再将这两个整体全排列，共有22A 种，排完后有3个空， 3辆不同的红颜色汽车抽空共有33A 种， 由分步计数原理得共有有种，【答案】B ．11．已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足()A ．2019110a 剟B ．201910a >C ．20191010a <<D ．20191110a <… 【解析】解：将此数列分组为12()(11，13)(21，22，14)(31，32，23，1)4⋯第n 组有n 个数，设数列的第2019项2019a 在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：，解得：64n =，则前63组共，即2019a 在第64组的第3项，即，【答案】B ． 12．已知抛物线的焦点为F ，点0(M x，是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =|MA ，若||2||MA AF =，则||(AF = )A ．32B ．1C ．2D ．3【解析】解：如图，圆心M 到直线2p x =的距离0||2pd x =-，⋯① 圆M 的半径||r MA =，，⇒221||4d MA =，⋯② ||2||MA AF =，③由①②③可得0x p =，或04p x =， ，2p ∴=或4．∴022p x =⎧⎨=⎩或041p x =⎧⎨=⎩，．【答案】B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的中点，记BE a=，AC b=，用a，b表示AB，则AB=2133a b-+．【解析】解：由图可知：，①，②联立①②解得：，【答案】2133a b-+．14．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设(,)x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为 1【解析】解：由题意可知：2z x y =+与相切时，切点在上方时取得最大值，如图：1，解得，2z x y =+的最大值为：1+【答案】115．已知，1C 与2C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为7225． 【解析】解：设两圆的公切线为7y x t =+，即70x y t -+=， 已知圆心1(2,2)C ，2(1,1)C --， 设1C ，2C 到公切线的距离为1d ，2d ，可得，，由于公切线在两圆的同侧，，即|3|15t +=，可得12t =或18-，当12t =时，；当18t =-时，127225r r =． 综上可得127225r r =． 【答案】7225． 16．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，318a a -=，当4a 取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为．【解析】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比设为(0)q q >， 由318a a -=，即2118a q a -=，(0q >且1)q ≠， 整理得1281a q =-， 所以，令，可得，当0q <<时，()0f q '>，()f q 递增；当q >()0f q '<，()f q 递减，可得q =()f q 取得极大值，且为最大值， 则，数列{}2n na 的前n 项和为，，两式相减可得，化简可得． 【答案】．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-． （1）求证{1}n a +为等比数列；（2）数列{}n b 满足，求{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：由2n n S a n =-．2n …时，，化为：，1n =时，1121a a =-，解得11a =． 112a ∴+=．{1}n a ∴+为等比数列，首项为2，公比为2．（2）解：由（1）可得：12n n a +=．，{}n b ∴的前n 项和，，相减可得：，整理为：．18．某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，ˆˆay bx =-． 【解析】解：（1），．，．y ∴关于x 的线性回归方程为；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，，，，．ξ∴的分布列为：期望为．19．如图四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA BC ⊥，BC CD ⊥，4AB =，2BC CD ==，AD BD =．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AB 与平面PBD 所成的角的正弦值为5，求二面角C PB D --的余弦值．【解析】证明：（1）BC CD ⊥，4AB =，2BC CD ==，AD BD =．，，AD BD ∴⊥，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA BC ⊥，BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA ∴⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，，BD ∴⊥平面PAD ，BD ⊂平面PAD ，∴平面PBD ⊥平面PAD ．解：（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AP a =，则(0A ，4，0)，(0B ，0，0)，(0P ，4，)a ，(1D ，1，0)， (0BA =，4，0)，(0BP =，4，)a ，(1BD =，1，0)，设平面PBD 的法向量(n x =，y ，)z ，则，取1x =，得(1n =，1-，4)a，AB 与平面PBD ，，解得a =，∴(1n =，1-， (1BC =，0，0)，(0BP =，4， 设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取3z =，得(0m =，-3)，设二面角C PB D --的平面角为θ，则． ∴二面角C PB D --．20．已知椭圆上的动点P 到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，Q 是椭圆C 的左顶点，若，试证明直线l 经过不同于点Q 的定点．【解析】（1）解：由已知可得，222112a c c a a b c-=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，b =∴椭圆的方程22143x y +=；（2）证明：由，得QA QB ⊥，设直线AB 方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得．△．，．由题意，(2,0)Q -，则，，由QA QB ⊥，得，∴，即，，即72m k =-或2m k =-．当72m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点2(,0)7；当2m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点(2,0)，不合题意．综上，直线l 经过不同于点Q 的定点2(,0)7．21．已知函数，a R ∈．（1）当0a =时，求()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）当0x >时，()f x 是否存在两个极值点，若存在，求实数a 的最小整数值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）函数导数，当0a =时，，f （1）12=， ，f '（1）1e =+，即在点1(1,)2处的切线斜率1k e =+，则对应的切线方程为即．（2）当0x >时，若()f x 存在两个极值点， 则()0f x '=有两个不同的解， 即，有两个根，即1x e ax +=有两个不同的根，设()1x h x e =+，()x h x e '=，设切点(,1)m m e +， 则()m h m e '=， 即过原点的切线方程为，即当0x =，0y =时，，设， 则， 即()g m 在(0,)+∞上为减函数，g （1）10=>，g （2），∴当(1,2)m ∈时，()0g m =，即当m a e >时，1x y e =+和y ax =有两个交点， (1,2)m ∈，2(,)m e e e ∴∈，∴当3a =时，3y x =与()h x 没有交点，当4a =时，3y x =与()h x 有两个交点，即当0x >时，()f x 是存在两个极值点，此时最小的a 的整数值为4(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的参数方程为为参数），曲线2C 的极坐标方程为．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，求||PQ 的最小值及此时P 的坐标．【解析】解：（1）因为，∴，①2+②2得2213x y +=，即1C 的普通方程为2213x y +=，曲线2C 的极坐标方程为，，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2C 的直角坐标方程为：150x y +-=．（2）设直线l 与2C 平行，且与曲线1C 相切，设l 方程为0x y C ++=，联立l 与1C 的方程消去y 得：，③因为l 与曲线1C 相切，故△，解得：2C =，或2c =．2C 的方程为：150x y +-=∴当2C =-时，设切点为P ，过P 作2C 的垂线，垂足为Q ，则此时||PQ 最小，且此时，||PQ 值等于l 与2C的距离，．将2C =-代入③得，32x =，．即P 点坐标为3(2，1)2．综上，点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，则||PQ P 点坐标为3(2，1)2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．（1）当1a =时，求不等式()f x x -…的解集； （2）若2()1f x a +…恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）1a =时，，即，不等式()f x x -…即为23x x -⎧⎨-⎩……或或13x x ⎧⎨--⎩……，即有3x -…或11x -<…或13x 剟， 则为3x -…或13x -剟，所以不等式的解集为{|3x x -…或13}x -剟； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 的值域为[3-，3]， 若2()1f x a +…恒成立，则，即231a +…，解得a 或a …∴实数a 的取值范围是(-∞，[2，)+∞．。
2019年高考数学仿真押题试卷二及答案【word版】.doc
专题02 高考数学仿真押题试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ð（）1．已知集合，则M=R15．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________．16．如图所示，在中，AB与CD是夹角为60︒的两条直径，,E F分别是与直径CD 上的动点，若，则λ的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：爱好不爱好合计男20 30 50女10 20 30合计30 50 80（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：()2P k χ≥0.1000.0500.010k2.7063.841 6.63518．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠．若成等比数列，且．X 0 1 2 3P125512 225512 135512 27512∴．（2），故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．18．【答案】（1）1312n n b -+=；（2）22n -．【解析】（1），，111b a a ==，23b a =，∴3q =，，∴1312n n b -+=．（2），．19．【答案】（1）见解析；（2）155．（2）如图，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,,O x y z -，则，，，6(,0,0)3D ，，，，设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则00AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即，令1y =，则1z =-，22x =，所以．设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则：．20．【答案】（1）2p =；（2）3π．【解析】（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的倾斜角为45︒时，直线的方程为2p y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，222py x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得， 122x x p +=，，得AB 中点为3,2D p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 中垂线为，0x =代入得552y p ==，2p ∴=． （2）设的方程为1y kx =+，代入24x y =得，，AB 中点为，令，，SABα∴=， D 到x 轴的距离，， 当20k =时，cos α取最小值12，α的最大值为3π，故SAB 的最大值为3π．21．【答案】（1）1a >，B A ⊆；（2）2m =． 【解析】（1），，()1,x ∈+∞．易知在()1,+∞上递减，．存在()01,x ∈+∞，使得()00m x '=，函数()m x 在()01,x x ∈递增，在递减，()0a m x ≥． 由()00m x '=得001ln x x =，，1a ∴>，B A ⊆．（2）令，，()1,x ∈+∞．，()1,x ∈+∞，由于，，x →+∞，，由零点存在性定理可知：，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．，()1,x ∈+∞，，x →+∞，()g x →+∞，同理可知，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．假设存在0x 使得，，消得， 令，，()h x ∴递增，，，，此时，所以满足条件的最小整数2m =．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程选讲 【答案】（1）直线:l y x =，曲线；（2）点M 的轨迹是椭圆夹在平行直线3y x =±之间的两段弧． 【解析】（1）直线:l y x =，曲线，（2）设点00(,)M x y 及过点M 的直线为，由直线1l 与曲线C 相交可得：，，即：，表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=得：，0∆≥得，故点M 的轨迹是椭圆夹在平行直线3y x =±之间的两段弧．。
2019年高考数学仿真押题试卷(九)(含解析)
专题09 高考数学仿真押题试卷（九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R=，集合，或1}x，则) A．B．C．D．{|2x x -或1}x>-【解析】解：；．【答案】A．2．已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为() A．15y x=±B．2y x=±C．3y x=±D．3y x=±【解析】解：双曲线的焦距为4，则24c=，即2c=，，3b∴=，欢迎下载！ 1欢迎下载！2∴双曲线C 的渐近线方程为3y x =±，【答案】D ．3．已知向量(3,1)a =，(3,3)b =-，则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．3-B ．3C ．1-D ．1【解析】解：由投影的定义可知： 向量b 在向量a 方向上的投影为：，又，∴．【答案】A ．4．条件甲：0a b >>，条件乙：11a b<，则甲是乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】解：条件乙：11a b <，即为110a b-<⇔0b a ab -< 若条件甲：0a b >>成立则条件乙一定成立； 反之，当条件乙成立不一定有条件甲：0a b >>成立 所以甲是乙成立的充分非必要条件 【答案】A ．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； ②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； ③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； ④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定． 其中所有正确结论的编号为( )欢迎下载！3A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确； 甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确． 【答案】C ．6．若,(,)2παβπ∈，且25sin α=，，则sin (β= )A ．72B ．2 C ．12D ．110【解析】解：,(,)2παβπ∈，且25sin α=，可得．，可得，可得，即，，解得2sin β=． 【答案】B ．7．函数的零点所在的区间是( ) A ．(1,2)B ．(1,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞【解析】解：函数在(0,)+∞上连续，且f（e）310e=-<，f （3）310ln=->，【答案】C．8．二项式621()xx+的展开式中，常数项为()A．64 B．30 C．15 D．1【解析】解：二项式621()xx+的展开式的通项公式为，令630r-=，求得2r=，故展开式中的常数项为2615C=，【答案】C．9．执行如图所示的程序框图，若0.9p=，则输出的n为()A．6 B．5 C．4 D．3【解析】解：执行如图所示的程序框图，有0.9P=，1n=，0S=，满足条件S P<，有12S=，2n=；满足条件S P<，有1124S=+，3n=；满足条件S P<，有，4n=；满足条件S P<，有，5n=；欢迎下载！ 4不满足条件S P<，退出循环，输出n的值为5．【答案】B．10．已知椭圆22221x ya b+=左右焦点分别为1F，2F，双曲线22221xym n-=的一条渐近线交椭圆于点P，且满足12PF PF⊥，已知椭圆的离心率为134e=，则双曲线的离心率2(e=)A．2B．92C．92D．32【解析】解：椭圆22221x ya b+=左右焦点分别为1F，2F，椭圆的离心率为134e=，不妨令4a=，3c=，则7b=，所以椭圆方程为：221167x y+=，双曲线22221x ym n-=的一条渐近线交椭圆于点P，且满足12PF PF⊥，可设(,)0P s t s>，0t>，则：222291167s ts t⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得249()32ts=，可得224932nm=，双曲线的离心率为：．【答案】B．11．若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为() A．2 B．18 C．2或18 D．4或16【解析】解：抛物线上一点到的对称轴的距离6，∴设该点为P，则P的坐标为(x，6)±P到抛物线的焦点(2pF，0)的距离为10∴由抛物线的定义，得（1）点P是抛物线上的点，（2）（1）（2）联解，得2p=，9x=或18p=，1x=【答案】C．12．已知x、y满足不等式组4314xx yx y⎧⎪-⎨⎪+⎩，设的最小值为ω，则函数的欢迎下载！ 5欢迎下载！6最小正周期为( ) A ．2π B ．2πC ．2π D ．25π 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点(2,1)C --的距离的平方由图象知OC 的距离最小， 此时最小值为，， 则最小正周期25T π=，【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，，则||a b += 21 ．【解析】解：由已知得：，∴4a b =．．【答案】21．14．若关于x的二项式7(2)axx+的展开式中一次项的系数是70-，则a=12-．【解析】解：展开式的通项公式为，由721r-=，得3r=，所以一次项的系数为，得12a=-，【答案】12-．15．若()f x是R上的奇函数，且，又f（1）1=，f（2）2=，则f（3）f+（4）f+（5）=3-．【解析】解：()f x是R上的奇函数，且；∴；；()f x∴的周期为5；又f（1）1=，f（2）2=；f∴（3）（2）2=-，f（4）（1）1=-，f（5）；f∴（3）f+（4）f+（5）3=-．【答案】3-．16．在数学实践活动课中，某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1）取正方形中心O及四边中点M，N，S，T；（2）取线段MN靠近中心O的两个八等分点A，B；（3）过点B作MN的垂线l；（4）在直线1（位于正方形区域内）上任取点C，过C作1的垂线1l；（5）作线段AC的垂直平分线2l；（6）标记1l与2l的交点P，如图2所示：⋯⋯不断重复步骤（4）至（6）直到形成图1中的弧线（Ⅰ）．类似方法作出图1中的其它弧线，则图1中实线围成区域面积为163．欢迎下载！7【解析】解析：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为．故填：163．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sin C成等差数列，且1cos3C=．（1）求ba的值；（2）若11c=，求ABC∆的面积．【解析】解：（1）由题意可得，，∴由正弦定理可得，2b a c=+，2c b a∴=-，1cos3C=．∴由余弦定理可得，，整理可得，109a b=，∴109ba=．（2）当11c=时，由112109b aa b=-⎧⎨=⎩，解可得9a=，10b=，1cos3C=，欢迎下载！8，．18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数．（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考．2()P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中．)【解析】解：（1）因为，欢迎下载！9解得0.040a=，设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知8090y<<，所以，则82.5y=；（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以ξ的分布列为：ξ01 23P0.064 0.288 0.432 0.216所以数学期望为；（3）填写列联表如下，优质花苗非优质花苗合计甲培育法20 30 50乙培育法40 10 50合计60 40 100计算，所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．19．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=．将AED∆，DCF∆分别沿DE，DF折叠使A，C点重合于点P，如图2所示．欢迎下载！10（1）试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；（2）求二面角M EF D--的余弦值．【解析】解：（1）//PB平面MEF．证明如下：在图1中，连接BD，交EF于N，交AC于O，则，在图2中，连接BD交EF于N，连接MN，在DPB∆中，有14 BN BD=，14PM PD=，//MN PB∴．PB⊂/平面MEF，MN⊂平面MEF，故//PB平面MEF；（2）图2中的三角形PDE与三角形PDF分别是图1中的Rt ADE∆与Rt CDF∆，PD PE∴⊥，PD PF⊥，又PE PE P=，PD∴⊥平面PEF，则PD EF⊥，又EF BD⊥，EF∴⊥平面PBD，则MND∠为二面角M EF D--的平面角．可知PM PN⊥，则在Rt MND∆中，1PM=，2PN=，则．在MND∆中，3MD=，32DN=，由余弦定理，得．∴二面角M EF D--的余弦值为6．欢迎下载！1120．已知椭圆的右焦点为(2F，0)，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点(0,)P t，斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，(ON O为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，若对任意k，存在实数λ，使得12k k kλ+=，求实数λ的取值范围．【解析】解：（1）椭圆的右焦点为(2F，0)，则2c=，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，∴22221c ya b+=，解得2bya=±，∴222ba=，即2b a=，，解得2a=，∴椭圆的方程为22142x y+=，（2）设直线l的方程为y kx t=+．由22142x yy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则，，而，由12k k kλ+=，得242kktλ-=-，因为此等式对任意的k都成立，所以242tλ-=-，即242tλ=-．由题意得点(0,)P t在椭圆内，故202t<，即4022λ-<，解得2λ，欢迎下载！12欢迎下载！13故实数λ的取值范围为[2，)∞21．已知函数．（1）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若0x ，不等式()0f x 恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（1），若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则即x a x e -在R 恒成立，令()x h x x e =-，则()1x h x e '=-，令()0h x '，解得：0x ，令()0h x '，解得：0x ，故()h x 在(,0)-∞递增，在(0,)+∞递减，故，故1a -；（2）由，得，令，则，故()h x 在[0，)+∞递增，且(0)1h a =+，①当1a -时，()0f x '，函数()f x 递增，由于()0f x 恒成立，则有，即， 故110a -满足条件，②当1a <-时，则存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，则()0f x '<，()f x 递减，当0x x >时，()0h x >，则()0f x '>，()f x 递增，故，又0x 满足，即00x x a e -=，欢迎下载！14故，则，即，得004x ln <， 又00x a x e =-，令()x u x x e =-，则()1x u x e '=-，可知，当04x ln <时，()0u x '<，则()u x 递减，故()44u x ln -，此时，满足条件，综上，a 的范围是[44ln -，10]． （二)选考题：共10分。
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专题05高考数学仿真押题试卷（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足是虚数单位），则复数z的模||(z=)A B C D【解答】解：，，故，【答案】B．2．已知集合，，则(A B=)A．(1-D．(0,2)-，1]B．(1,2)C．(1,1)【解答】解：集合，，．【答案】C ．3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5B ．7C ．9D ．3【解答】解：等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，，55a ∴=，【答案】A ．4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由茎叶图得：在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，∴甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；在（2）中，甲的成绩的极差是：37829-=，故（2）正确； 在（3）中，乙的成绩的众数是21，故（3）正确； 在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误．【答案】C ．5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有( ) A ．15种B ．180种C ．360种D ．90种【解答】解：先现从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有2264180A C =种，【答案】B ．6．实数x ，y 满足约束条件，则2z x y =-的最大值是( )A ．5-B ．6-C ．4D ．5【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件，作出可行域：联立，解得(2,0)B ，化2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为：4．【答案】C ．7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．84π+C ．64π+D ．6π【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段14的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：．【答案】C ．8．勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为( )A B C D 【解答】解：如图，设2BC =，以B 为圆心的扇形的面积为22263ππ⨯=， ABC ∴的面积为，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，【答案】B ．9．已知双曲线的左焦点为F ，过点F 作圆的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N ．若2FN FM =，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【解答】解：设双曲线的右焦点为F '， 若2FN FM =，可得M 为FN 的中点， 又O 为FF '的中点，可得//OM FF '，由M为切点，可得90FNF'∠=︒，且，由双曲线的定义可得||2FN b a=+，由勾股定理可得，化简可得2b a=，则双曲线的渐近线方程为2y x=±．【答案】C．10．三棱锥A BCD-中，棱AD是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，，平面ABD⊥平面ACD，则该三棱锥的体积为()A．12B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，，AD是球O得直径，，且，．平面ABD⊥平面ACD，，∴．【答案】C．11．已知椭圆，直线1l ，2l 分别平行于x 轴和y 轴，1l 交椭圆于A ，B 两点，2l 交椭圆于C ，D 两点，1l ，2l 交于点M ，若，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D 【解答】解：由，不妨设||6MA =，||2MB =，||1MC =，||3MD =， 可得(4,1)A ，(2,2)B -． 代入椭圆方程可得：221611a b +=，22441a b +=．联立解得220a =，25b =．则该椭圆的离心率．【答案】D ．12．已知函数，给出三个命题：①()f x 的最小值为4-，②()f x 是轴对称图形，③()4||f x x π…．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①若()f x 的最小值为4-等价为恒成立，且能取等号，即恒成立，设，则，当32x =时，，即0能取到，故①正确， ②32x =是3sin()y x π=和共同的对称轴，32x ∴=是()f x 的对称轴，即()f x 是轴对称图形，故②正确， ③，，只要证明，即可，设|sin |||t t …，(0)t … 当1t …时不等式恒成立， 当01t <…时，即证明sin t t …， 设，，即()h t '在01t <…上是减函数， 则，即sin t t …成立， 综上，成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………，则2z x y =+的最大值是 12- ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ⎧⎪++⎨⎪-+⎩………对应的平面区域，由2z x y =+，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大． 由，得3(2A -，1)2，此时z 的最大值为，故答案为：12-．14．的展开式中2x 的系数为9，则a = 1 ．【解答】解：的通项公式，若第一括号是1，则第二个括号必须是2x ，相乘， 若第一括号是x -，则第二个括号必须是x 相乘， 则2x 项系数为， 即，得，得1a =或35a =-（舍)，故答案为：1．15．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，(2,0)M -，若，MBF S ∆分别表示MAF ∆，MBF ∆的面积），则直线l 的斜率的取值范围为．【解答】解：(1,0)F ，设直线l 的方程为：1ty x =-．1(A x ，1)y ，1(0x >，10)y >，2)(B x ，2)y ． 联立214ty x y x =-⎧⎨=⎩，化为：，解得：．322MAF MBF S S ∆∆剟，∴12322yy -剟，0t ∴>，取，．∴， 解得：，1k t=．．故答案为：．16，则其表面积的最小值为【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a ，高为h ，如图，过顶点S 作底面ABC 的垂线，垂足为O ，过O 作OD 垂直AB 于D ，连接SD ， AB a ∴=，SO h =．SO ∴⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ， AB SO ∴⊥，SOOD⊥，又AB OD ⊥，，AB ∴⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，AB SD ∴⊥，即SD 为侧面SAB 的斜高，三棱锥体积，得212a h =，又O 为底面中心，，，三棱锥的表面积，将212a h=代入得：．，令0S '=，得，令t =，(0)t >，上式可化为2230t t --=，解得3t =，或1t =-（舍)，∴3，得2h =，当02h <<时，0S '<，当2h >时，0S '>，故S 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上S 单调递增，故当2h =时，表面积最小，此时，故填：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设函数．（Ⅰ）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）32==，1c =+求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ），[0x ∈，]2π，，7]6π，∴， ∴函数()f x 的值域为1[2，2]；（Ⅱ）f （A ），0A π<<，∴，，即3A π=，由正弦定理，=，∴，sin B ∴， 203B π∴<<，则4B π= ．，2b ∴=，．18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则P （A ）11312412C C C ==故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． （Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以2K 的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．19．如图，在三棱锥D ABC -中，ABC ∆与BDC ∆都为等边三角形，且侧面BCD 与底面ABC 互相垂直，O 为BC 的中点，点F 在线段OD 上，且13OF OD =，E 为棱AB 上一点．（Ⅰ）试确定点E 的位置使得//EF 平面ACD ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角D FBE --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD ∴=，BDC ∆是等边三角形，F ∴为BDC ∆的重心，，//EF 平面ACD ，EF ⊂平面ABM ，且面ABM ⋂面ACD AM =，//EF AM ∴，13AE AB ∴=，即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点．（Ⅱ）等边BCD ∆中，OD BC ⊥，OD ⊂平面BCD ， 面ABC ⊥面BCD ，交线为BC ， OD ∴⊥平面ABC ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，点A 在平面BEF 上，∴二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角．设2AB =，则，(0F ，0，A ，0，0)，(0B ，1，0)，∴(0BF =，1-，，设平面AFB 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取1x =，得(1,3,3)m =，又OA ⊥平面OBD ，(3OA =0，0)，则，又二面角D FB E --为钝二面角，所以二面角D FB E --的余弦值为20．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆1C 上异于A 、B 的一个动点，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若动点Q 与A 、B 的连线斜率分别为3k 、4k ，且，记动点Q 的轨迹为曲线2C（Ⅰ）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（Ⅱ）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于E 、F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1λ∈，3]，求12SS 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为(2,0)A -，(2,0)B ，则，设(,)Q x y ，则2x ≠±，所以，整理得2214x y λ+=，(2)x ≠±．所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为224x y +=，(2)x ≠±， （Ⅱ）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为22x y =-+．由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+=，(2)x ≠±．联立，消去x ，得，得1691y λλ=+， 联立，消去x ，得，得221y λλ=+， 所以设，则()g λ在[1，3]上递增又g （1）5=，g （3）7=， 所以12S S 的取值范围为[5，7] 21．已知()(x f x e e -=为自然对数的底数），．（Ⅰ）当1a =时，求函数的极小值；（Ⅱ）当0t …时，关于t 的方程有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，，，令()0h x '=，解得：0x =，x ，()h x '，()h x 的变化如下：；（Ⅱ）设，令1(1)t x x +=…，，1x …，，设，，由1x …得，21x …，2101x∴<…，x e e …， ，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，F '（1）1ea =+-，①当10e a +-…，即1a e +…时，(1,)x ∈+∞时，()F x F '>'（1）0…，()F x 在(1,)+∞单调递增， 又F （1）0=，故当1x …时，关于x 的方程有且只有一个实数解，②当10e a +-<，即1a e >+时，F '（1）0<，，又，故0(1,)x lna ∃∈，0()0F x '=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又F （1）0=， 故当(1x ∈，0]x 时，()0F x <， 在[1，0)x 内，关于x 的方程有一个实数解1x =，又0(x x ∈，)+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 且F （a ），令，，， 故()k x '在(1,)+∞单调递增，又k '（1）0>，故()k x 在(1,)+∞单调递增，故k （a ）k >（1）0>，故F （a ）0>， 又0aa x e>>，由零点存在定理可知，10(x x ∃∈，)a ，1()0F x =， 故在0(x ，)a 内，关于x 的方程有一个实数解1x ，此时方程有两个解． 综上，1a e +…．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数），直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若，求k 的值．【解答】解：（Ⅰ），所以曲线C 的极坐标方程为．（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为1(R θθρ=∈，1[0θ∈，))π，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得，设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ．，1210ρρ=>，△满足△106πθ>∴=或56l π∴的倾斜角为6π或56π，则或 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，a R ∈．（Ⅰ）若不等式2()f x a …对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以24||a a …，解得：44a -剟． 故实数a 的取值范围为[4-，4]； （Ⅱ）由（1）知，4m =，即，根据柯西不等式等号在即87x =，821y =-，421z =时取得． 所以的最小值为1621．。