联赛导引(三) 三角向量复数

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复数的三角形式及其运算方法

复数的三角形式及其运算方法复数是数学中的一种数形结合的概念，可以用来描述实数无法涉及的情况。

复数由实部和虚部组成，形式为 a+bi，其中 a 和 b 分别为实数，i 为虚数单位。

复数的三角形式是一种常用的复数表示形式，它以复平面上的向量为基础。

复数 a+bi 可以表示为r(cosθ + isinθ) 的形式，其中 r 为复数的模长，θ 为复数的辐角。

一、复数的模长复数的模长 |z| 表示复数到原点的距离，并可以通过勾股定理计算得出。

对于复数 a+bi，其模长可以表示为 |a+bi| = √(a²+b²)。

二、复数的辐角复数的辐角表示复数与正实轴的夹角。

辐角的计算可以通过反三角函数来求解。

对于复数 a+bi，其辐角可以表示为θ = arctan(b/a)。

三、复数的三角形式复数的三角形式是指复数以模长和辐角的形式进行表示，即 a+bi =r(cosθ + isinθ)。

其中，r 为复数的模长，θ 为复数的辐角。

四、复数的运算方法1. 复数的加法：将两个复数的实部相加，虚部相加，得到新的复数。

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法：将两个复数的实部相减，虚部相减，得到新的复数。

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法：将两个复数按照分配律展开，并利用 i²=-1 进行计算。

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 复数的除法：将两个复数都乘以分母的共轭复数，然后按照乘法规则进行计算。

(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i五、复数的共轭和倒数1. 复数的共轭：将复数的虚部变号，得到新的复数。

共轭复数：a+bi 的共轭为 a-bi，记作 conj(z)。

2. 复数的倒数：将复数取其共轭，并将其分子分母都乘以原复数的共轭的模长的平方，得到新的复数。

高中数学竞赛_三角平面向量复数

专题四三角平面向量复数一能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力二问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα= ,(cos ,sin )b ββ=,求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =且[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1xy x x π=<<+的值域是 .问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三习题探讨选择题1在复平面内,复数12ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为OB ,那么向量AB对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x ),且cos 4x α=,则sin α=D, 3函数2sin(3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3πB,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)OB = ,向量(2,2)OC = ,向量)CA αα=,则向量 OA 与向量OB的夹角的取值范围是A,[0,]4πB,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥ C,103λ< D,103λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第象限. 9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .12若[,]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.14设5arg 4z π=,且22z R z -∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(cos ,sin )22a x x = ,(cos ,sin )22x x b =- ,且[0,]2x π∈(I)求a b ⋅ 及a b + ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+的最小值.16设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2cos 212sin(2)6f x x x x π==++由12sin(2)6x π++=1得sin(2)62x π+=-又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,max 54y =;当sin 2x =-,即4x π=-时,min 322y =-.(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22cos 1sin 2sin 2cos 22)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,min 2y =(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin()1x ψ+=≤,得y ≤≤,又0y >,于是有y的值域是.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理2216(5)8(5)60c c c cos =+---. 得72c =,32b =. 由正弦定理得0742sin sin 60A =,有sin 7A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 302B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得A π=-. 习题:1得2122ω=--,11()()2222AB OB OA i =-=----+= ,选D.2 OP =又cos x α==,得x =舍去),有cos 4α=-,sin 4α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC ='A C =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+ ,a b ⋅= 设a 与b 的夹角为θ,则0090180θ<<, 有1cos 0θ-<<,即10-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D. 7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=, 当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ== 得到cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ+=-=-, 当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(,)b c x y x ⋅=⋅=.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则cos a c a c α⋅==⋅,cos b c b c β⋅==⋅由αβ=,y -=x +①;由c ,得222x y +=.②由①,②得, 111212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,于是11()22c =或11(,)22-- 11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:cos()sin 2cos()cos(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令cos()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+ 由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1cos()242πθ≤+≤,122t ≤≤于是当2t =,即cos()42πθ+=,得12πθ=-时,min 122y =-. 13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有 22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知当0t =时,min ()1h t =-,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a iz a i a----++-==+ 由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--, 设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1OZ OA -=;最大值为1OZ OA +=.15解(I)33cos cos sin (sin )cos 22222x xa b x x x ⋅=+-= ,33(cos cos ,sin sin )2222x xa b x x +=+- ,得2cos a b x +== 2cos2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos 28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,min ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥ ,1102a b ⋅== ,得2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+ =223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即223(tan 3tan )m a b θθ=- ,得31(tan 3tan )()422m ππθθθ=--<<.(II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小值12-.。

复数的三角形式及几何意义

复数的三角形式及几何意义本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义.通过复数的三角形式及运算，我们可以看到复数相乘（除）所对应的便是几何旋转.同时，复数的三角形式还可以有效地链接三角恒等变换，解决一些三角恒等式的计算，因此，本节内容也是强基或联赛中重点考察的对象.一．基础理论1.三角形式.复数bi a z +=（R b a ∈,）与复平面上的点),(b a Z 是一一对应的，点),(b a Z 和向量→OZ 于是一一对应的.向量→OZ 的模长称为复数bi a z +=的模||z ，即满足：22||b a z +=.进一步，复数yi x z +=在复平面内对应的点为),(y x Z .我们把向量OZ 与x 轴正方向形成的角叫做复数yi x z +=的辐角，记为Argz .取值在)2,0[π的辐角称为辐角主值，用z arg 来表示.对于非零复数，它的辐角主值是唯一的（复数0的辐角是任意的）.显然，若z arg =θ，则22sin yx y +=θ，22cos yx x +=θ，于是就可进一步得到复数的三角形式：设||OZ r =，θ为辐角，那么点P 点的坐标就可以记为)sin ,cos (θθr r ，)sin (cos θθi r z +=.2.幅角的性质.显然，若记22y x r +=则复数yi x z +=的主幅角可以表示为反三角函数的形式：xy r x r y z arctan arccos arcsinarg ====θ3.指数形式.由欧拉公式：θθθsin cos i ei +=可得到复数的指数形式：θθθi re i r z =+=)sin (cos .4.三角形式的基本运算.对于复数代数形式的加减乘除运算，属于高考数学的内容之一，这部分相对简单，此处就不再列举.我们这里重点需要强调的是复数的三角形式及运算.)sin (cos 1111θθi r z +=)sin (cos 2222θθi r z +=（1）乘法)]sin()[cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθθθθθ+++=++=i r r i i r r z z .进一步可得：||||||2121z z z z ⋅=，2121arg arg arg z z z z +=或π2arg arg arg 2121-+=z z z z .几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数乘法从几何意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值.）进一步，可得乘方的运算公式：设)sin (cos θθi r z +=，则)sin (cos θθn i n r z nn+=（棣莫弗定理）（2）除法)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i r r z z .几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负），即||||||2121z z z z =，2121arg arg arg z z z z -=或π2arg arg arg 2121+-=z z z z.（3）开方设)sin (cos θθi r z +=，则2sin 2(cosnk i n k r z n n πθπθ+++=（1,,2,1,0-=n k ）.例如，222sin 222cos 2sin 2cos ππππππk i k i i +++=+=.可以看到，复数的n 次方根是n 个复数，它们的模都等于这个复数的模的n 次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与π2的1,,1,0-⋅⋅⋅n 倍的和的n 分之一.5.复数的几何曲线（1）满足||||21z z z z -=-的复数z 所对应的点的轨迹为线段21Z Z 的中垂线；（2）满足r z z =-||1的复数z 所对应的点的轨迹为以1Z 为圆心，半径为r 的圆；（3）满足)2|(|,2||||2121a Z Z a z z z z <=-+-的复数z 所对应的点的轨迹为以21,Z Z 为椭圆，长轴长为a 2的椭圆.二．典例分析例1.计算下列各式的值.（1）312⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）312⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.解析：利用复数的三角形式可得：（1）33122cos sin cos2sin212233i i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）33144cos sin cos4sin41233i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：上述两个值是三次方程的两个单位根，其有重要的应用.例2．已知复数z 满足2240z z ++=，且arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则z 的三角形式为__________．解析：由2240z z ++=可得，()213z +=-，所以11z z +=⇒=-，又arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1z =-．因为2z ==，所以122z ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故答案为：222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．例3.设11z i =+，22z i =+，33z i =+，则123arg()z z z -等于A．6πB．3πC．23πD．56π解析：由于()()()12312310z z z ii i i =+++=，∴()123arg z z z -()5arg 106i π=-=.选D.例4.（2020清华强基计划）求=++)31arcsin 103arccos1sin(arctan __________.解析：令i z i z i z +=+=+=2,3,1321，由于)arg(arg arg arg 321321z z z z z z =++，且根据复数的定义：=++31arcsin 103arccos1arctan 321arg arg arg z z z ++.另一方面：i z z z 10321=，故2)arg(321π=z z z ，则2)arg(arg arg arg 321321π==++z z z z z z ，综上，131arcsin 103arccos1sin(arctan =++.练习1．化简12arcsin 23-=______.解析：令11z =，22i z =，则有()2121211arg arg arg22z z z z +=()()1arg 42i 2⎡⎤=-+⎣⎦()13πarg 18i 24=-=.从而，12πarcsin234-=.下面我们再看复数的几何意义相关问题.例5.（2019上海竞赛）设复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.解析：显然，复数yi x z +=所对应的点的轨迹为方程为13422=+y x ，故求||i z +的最大值等价于求22)1(++y x 的最大值.利用椭圆的参数方程可求最大值为334.例6.（2020清华强基）设复数z 满足3|73|=-i z ，则iz z z +-+-1222的（）A.最大值为38 B.最大值为37 C.最小值为34 D.最小值为32解析：由3|73|=-i z 可得：1|37|=-i z ,则z 是以)37,0(i 为圆心，1为半径的圆.另一方面，|1|1222i z iz z z --=+-+-，根据几何意义可知：]38,32[|1|∈--i z .练习2.（2019中科大自主招生）若复数z 满足11+-z z 是纯虚数，则|3|2++z z 的最小值为__.答案：333.练习3.若复数z 满足1||=z ，则|))((|i z i z +-的最大值为______.答案：2练习4.若复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.答案：334练习5．（2020高联A 卷）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．解析：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ -+-+-+-⎝⎭⎝⎭，故22a b +=．从而|3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +练习6.（2016山东预赛）=+++651arcsin 501arcsin 261arcsin 101arcsin_______.答案：4π.。

第九讲：三角向量复数

第九讲：三角向量复数【知识要点】 <一>,三角函数(一),三角函数基础公式.(诱导公式,二倍角公式,半角公式,和差化积公式,积化和差公式) (二),有关的公式,定理:在ABC ∆中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2a b cp ++=,则 1,正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===, 2,余弦定理:2222cos a b c bc A =+-,2222cos b a c ac B =+-,2222cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R======(sin sin sin )rR A B C ++2221(cot cot cot )4a Ab Bc C =++.5,一个重要不等式:若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<,6,一个重要等式:sin cos )a x b x x θ+=+,其中tan baθ=,θ由点(,)a b 所在的象限与比值确定. (三),三角函数的最值:①,sin y a x b =+(或cos y a x b =+)型:用1sin 1x -≤≤(或1cos 1x -≤≤)求解.但要注意a 的正负; ②, sin cos y a xb x =+型,运用重要等式(6)求解; ③2sin sin y a x b xc =++(或2cos cos y a x b x c =++)型:设sin t x =(或cos t x =),则11t -≤≤,化为二次函数的最问题; ④,sin sin a x b y c x d +=+(或cos cos a x by c x d+=+)型:解出sin x (或cos x ),用1sin 1x -≤≤(或1cos 1x -≤≤)求解,或用分离常数法; ⑤,sin cos a x b y c x d +=+(或cos sin a x by c x d+=+)型:整理后运用重要等式(6)求解; ⑥,含有sin cos ,sin cos x x x x ±型:设sin cos t x x =±, 将sin cos x x 转化为t 的关系式,化为二次函数的最值问题.例1 22cos cos ()2cos cos()cos y x x x x ααα=++-+,其中α为定值,当x 增加时,函数y 的值是A,恒为定值 B,逐渐增加 C,逐渐减少 D,变化不定【解析】,A1cos 21cos(22)2cos cos cos()22x x y x x ααα+++=+-+ =1cos(2)cos 2cos cos cos()x x x αααα++-+=1cos [cos cos()sin sin()2cos cos()]x x x x x x αααα++-+-+ =1cos [cos cos()sin sin()]x x x x ααα-+++=221cos sin αα-=.例2关于x 的方程2222212cos (2))x x x x a --+=至少有一个解,则实数a 应满足A,12a -<< B,12a -<≤ C,12a -≤< D,12a -≤≤【解析】,C 设222x x t -=,则22cos 2t a t =,即2cos21t t a -=-,得1cos(2)32a t π-+=,而2221(1)22(0,2]x x x t ---==∈,有2(,4]333t πππ+∈+,从而1c o s (2)[1,)32t π+∈-,由11122a --≤<,得12a -≤<. 例3若函数()sin sin cos cos cos 2n n n f x x nx x nx x =+-,对任意x R ∈都使()f x 为常数, 则正整数n 应为A,1 B,3 C,3或1 D,不存在【解析】B因为(0)f =,故()0f x ≡,由2()sin sin cos cos cos 0n n n f n n n n ππππππ=+-=,知n 为奇数,于是2cos cos n n ππ-=,得22k n n ππππ-=±,即1212k n n -=±.故1n =或3,但1n =时,()1cos 2f x x =-不恒为0.不合题意舍去,故3n =.例4 M,N 在Rt ABC ∆的斜边AB 上,14AM MB =,32AN NB =,那么M,N 两点分别到两直角边的距离之和与ABC ∆的周长之比的最大可能值是（）C,135 D,145【解析】A 设5AB =,且ME AC ⊥于E,MD BC ⊥于D,NG AC ⊥于G,NF BC ⊥于F,则5cos AC A =,5sin BC A =,4cos MD A =,sin ME A =,2cos NF A =,3sin NG A =,所求比例4cos sin 2cos 3sin 6cos 4sin 5cos 5sin 55cos 5sin 5A A A A A Ay A A A A ++++==++++,于是(54)sin (56)cos 5y A y A y-+-=-,由222(54)(56)(5)y y y -+-≥-,解得3y ≤.例5如果函数1()sin 2cos 22f x x a x =+的图像关于直线12x π=对称,则a 的值是 .由题意知()f x 在点12x π= 处取得最大值或最小值于是得1sin cos 266a ππ+=整理得2430a -+=,解得a =. 例6 已知n 为正整数,则以3,5,n 为三边长的钝角三角形有个.【解析】2个 (1)当3n <时,以1,3,5与2,3,5为边长均不能构成三角形; (2)当35n <<时,即4n =,以3,4,5为边长构成的是直角三角形,不合题意;(3)当5n >时,设边长为n 的边所对的钝角为θ,由余弦定理有:22235235cos n θ=+-⋅⋅⋅又1cos 0θ-<<,得2341030n --<<,即23464n <<,又5n >,得6n =或7.例7当θ= 时,关于x 2x =的两根的平方和有最大值.【解析】2()4k k Z ππ+∈ 2s i n 20x =,1212x x x x +==2212x x +=2=sin cos θθ+=)4πθ+,当24k πθπ=+时,2212max ()x x +=例8已知,(0,)2παβ∈,则223tan )3cot )y αβαβ=-+-的最小值是 .【解析】12(2 y 是平面点A )αα与(3tan ,3cot )B ββ距离的平方, 而A在圆226x y +=上,B在双曲线9xy =上,由方程组求得22212(2AB =≥=例9设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知当0t =时, max ()1h t =- ,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.<二>,平面向量:(一),向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则.(二),向量加减运算: (三),实数λ与向量a 的积:a λ1,当0λ>时,a λ与a 同向;2当0λ<时,a λ与a 反向;3当0λ=时,00a =. (四),平面向量的数量积:设两个非0向量1122(,),(,)a x y b x y ==,θ(000180θ≤≤)是a 与b 的夹角,则cos a b a b θ⋅=⋅⋅=1212x x y y +.(五),有关的公式,定理.1,平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+. 2,两个非0向量的平行与垂直的充要条件:①,//a b a b λ⇔=(或12210x y x y -=);②,0a b a b ⊥⇔⋅=(或12120x x y y +=).3,线段的定比分点坐标公式:设(,)p x y ,111(,)p x y ,222(,)p x y ,且12p p pp λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,中点公式121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.4,平移公式:如果点(,)p x y 按向量(,)a h k =平移至点'''(,)p x y ,即'(,)pp a h k ===''(,)x y (,)x y -,整理可得:''x x hy y k⎧=+⎪⎨=+⎪⎩.例10设平面上的向量,,,a b x y 满足关系a y x =-,2b x y =-,又设a 与b 的模为1,且互相垂直,则x 与y 的夹角为【解析】由已知解得,2x a b y a b =+=+,由22212cos θ=+-，可得θ的值.例11求函数y =.【解析】y =构造向量21(2p x =+,21(,)22q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=,所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:,得0y ≥,所以原函数的值域是[0,1).<三>,复数:1,复数的四种表示形式(1),代数形式:(,)z a bi a b R =+∈,Re(),Im()a z b z ==,z =;(2),几何形式:复平面上点(,)Z a b 或向量OZ,12z z -表示两点12,z z 之间的距离;(3),三角形式:(cos sin )z r i θθ=+,,arg R r z θθ∈==;(4),指数形式:i z re θ=. 2,复数的四则运算.3,复数的模,共轭复数及性质(1),(,,,)a bi c di a b c d R a b c d +=+∈⇔==且; (2),,z R z z z ∈⇔=⇔≠是纯虚数z=-z(z 0);(3),1212n n z z z z z z ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅;121212z z z z z z -≤±≤+;22z z z z ⋅==;2221212121212121212()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=--=+-+.(4),22z z ±=±11z z ,22z z ⋅=⋅11z z ,2Re(),2Im()z z z z z z +=-=. 例12 ,若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 A,1 B,1- C,20042 D,20042-【解析】A 2()10xx yy ++=,得122x y ω==-+或122x i y ω==--. (1)当12x y ω==-+时,原式=20052005200520051111()()()()11111y x x y ωω+=+++++=2005200511()()ωω-+-=200520051111()()()1ωωωωωω-+=-+=-+=;(2)当12x y ω==-时,同理可得:原式=1. 例13 ,设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =︱(1)z +()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是（）A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形【解析】D 因为1z =,可设cos sin z i θθ=+,则()f z ==1)4πθ+,当2()4k k Z πθπ=+∈时,max ()2f z =此时z =,则222(1)()222ZA =++= 222((1)222ZB =++= 22AB =所以ZA =ZB,得ZAB ∆为等腰三角形.例14 在复平面内,设点A,P 所对应的复数分别为2,00sin(260)(260)t icos t -+-,则当t 由15变到045时,向量AP所扫过的图形区域的面积是 .【解析】6π 因为0000sin(260)sin(260)cos(1502)sin(1502)t i t t i t -+-=-+-, 当015t =时,在单位圆上的点为001(cos120,sin120)P ,当045t =时,在单位圆上的点为002(cos60,sin60)P ,A(2,0),1P ,2P 三点围成的曲边形面积易求得6π. 例15, 设A ，B ，C 分别是复数Z 0=ai , Z 1=21+bi , Z 2=1+ci (其中a ,b ,c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线 Z =Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R ) 与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一外公共点，并求出此点．【解析】设(,)Z x yi x y R =+∈,则42241cos 2()cos sin (1)sin ,2Z x yi a t i bi t t ci t =+=⋅++++实虚部分离,可得2242cos sin sin sin x t t t t =+=,22(1)2(1),(01)y a x b x x cx x =-+-+≤≤即2(2)2()y a c b x b a x a =+-+-+ ①又因为A,B,C 三点不共线,故20a c b +-≠,可知所给曲线是抛物线段(如图)AB,BC 的中点分别是1(,)42a bD +,3(,)42b c E +,所以直线DE 的方程为 1()(32)4y c a x a b c =-++- ②由①,②联立得21(2)()02a c b x +--=由于20a c b +-≠,得12x =,注意到113424<<,所以,抛物线与ABC ∆平行于AC 的中位线DE 有且只有一个公共点,此点的坐标为12(,)24a c b++,其对应的复数为1224a c bZ i ++=+.。

高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式

高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是一个必学的知识点。

复数的指数形式和三角形式是复数的两种表示形式。

本文将对复数的指数形式和三角形式进行详细的总结与说明。

一、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为e的幂形式，即z = a + bi可以表示为z = re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。

2. 辐角的计算辐角θ表示复数与实轴的夹角，可以通过使用反三角函数计算得出。

具体计算方式如下：θ = atan(b/a) (a > 0)θ = atan(b/a) + π (a < 0)θ = π/2 (a = 0, b > 0)θ = -π/2 (a = 0, b < 0)其中，atan为反三角函数，表示反正切函数。

3. 复数的指数形式表示将模长和辐角代入复数的指数形式z = re^(iθ)中，即可得到复数的指数形式表示。

二、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为三角函数的形式，即z = a + bi可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算与指数形式相同，模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。

2. 辐角的计算与指数形式相同，辐角θ表示复数与实轴的夹角，具体计算方式如上所述。

3. 复数的三角形式表示将模长和辐角代入复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)中，即可得到复数的三角形式表示。

三、指数形式与三角形式的相互转换复数的指数形式和三角形式可以相互转换，转换方式如下：1. 从指数形式转换为三角形式给定复数的指数形式z = re^(iθ)，可以得到其三角形式表示为z =r(cosθ + isinθ)。

2. 从三角形式转换为指数形式给定复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)，可以得到其指数形式表示为z = re^(iθ)。

高中三角函数三角函数的复数形式与欧拉公式

高中三角函数三角函数的复数形式与欧拉公式在高中数学中，我们学习了许多关于三角函数的知识，其中包括三角函数的复数形式以及与之相关的欧拉公式。

本文将详细介绍三角函数的复数形式以及欧拉公式，着重强调它们在数学和物理中的应用。

一、三角函数的复数形式三角函数的复数形式是指通过复数的幅角来表示三角函数值。

复数形式可以帮助我们更方便地进行运算和推导。

我们常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的复数形式分别为：正弦函数（sin）的复数形式：sin(z) = (e^iz - e^(-iz))/2i余弦函数（cos）的复数形式：cos(z) = (e^iz + e^(-iz))/2正切函数（tan）的复数形式：tan(z) = (e^iz - e^(-iz))/(e^iz + e^(-iz))二、欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，它将三角函数、指数函数和复数联系在一起，形式为：e^(iz) = cos(z) + isin(z)其中，e表示自然对数的底数，i是虚数单位，z是任意实数。

这个公式被视为数学中最具美感的等式之一，将数学中的五个重要常数（0、1、i、π和e）紧密相连。

三、三角函数的复数形式与欧拉公式的应用三角函数的复数形式和欧拉公式在数学和物理中有广泛的应用。

1. 代数运算通过三角函数的复数形式和欧拉公式，我们可以更方便地进行三角函数的代数运算。

复数形式将三角函数从实数域扩展到复数域，使得我们可以利用复数的性质来简化运算。

2. 解析几何在解析几何中，三角函数的复数形式可以帮助我们更直观地理解平面上的向量和旋转变换。

欧拉公式将指数函数与三角函数联系在一起，使得我们可以将向量的旋转变换表示为指数函数形式，更加清晰地描述几何问题。

3. 信号处理与电路分析在信号处理和电路分析中，复数形式和欧拉公式广泛应用于描述和分析周期性信号，如交流电信号。

利用欧拉公式，我们可以将周期信号分解为正弦和余弦函数的和，更容易进行信号处理和电路分析。

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式复数是高中数学中重要的概念之一，它在解决实际问题中有很大的作用。

本文将从复数的定义开始，详细介绍复数的三角形式和指数形式以及它们的运算规则。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常用字母z表示。

复数可以表示为z = a + bi，其中a和b分别是实部和虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

实部和虚部都是实数。

二、复数的三角形式复数的三角形式（也称极坐标形式）可以将复数表示为模和幅角的形式。

设z = a + bi是一个复数，它可以用模r和幅角θ表示，即z =r(cosθ + isinθ)。

其中，r为复数的模，θ为复数的幅角。

三、复数的指数形式复数的指数形式可以将复数表示为以e为底的指数函数的形式，即z = re^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角，e是自然对数的底。

复数的指数形式与三角形式是等价的，可以相互转换。

四、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可，得到的结果仍为复数。

2. 复数的乘法：将复数的模相乘，幅角相加。

3. 复数的除法：将复数的模相除，幅角相减。

4. 复数的乘方：将复数的模的乘方，幅角乘以指数。

五、复数的应用复数在工程学和物理学等领域有广泛的应用。

在交流电路中，复数可以描述电压和电流的相位关系；在振动学中，复数可以描述振动的频率和幅度。

六、小结通过本文的介绍，我们了解了复数的定义、三角形式和指数形式以及它们的运算规则。

复数作为高中数学的基础知识，具有重要的理论意义和实际应用价值。

掌握复数相关的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。

ending:这篇文章详细介绍了高中数学知识点中的复数及其运算规则，包括复数的三角形式和指数形式。

通过学习和掌握复数的知识，我们能够更好地理解和应用数学。

希望本文对读者在高中数学学习中有所帮助。

高数学复数的向量表示及复数的三角形式

复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到4、复数的指数形式：把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即θθθsin cos i e i +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θi re Z =形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式．三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程．如圆：r Z Z =-||0；线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ；双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．典型例题解析：方法一： ∵11||1||=+≤-ZZ Z Z ．||Z 、R Z ∈||1．∴1||1||1≤-≤-Z Z ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+01||||01||||22Z Z Z Z ，∴215215+≤≤-r ．ZZ Z Z 1||1|+=-， ∴当i Z 215-±=时，215min -=r ；而当i Z 215+±=时，max =r 方法二：设)sin (cos θθi r Z +=．215+≤≤r ，且当i Z215-±=时，215min -=r ；当i Z 215+±=时，max =r 高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题 1、复数)()1(2224Z n i i Z n ∈--=+ 的辐角主值是（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个A ．iB ．1-C ．0D ．1A ．1B ．2C ．5D ．7（）A ．8、1Z 、2Z 是两个非零复数，且分别对应点1Z 、2Z ，则21OZ OZ ⊥的充要条件是（）A ．i Z Z 21±=9、复数Z 满足条件：|||12|i Z Z -=+，则||Z 的最大值是（）A 10、设yi x Z +=（x 、R y ∈），且x Z =-|2|，则复数Z 的对应点Z 的轨迹是（） A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线二、综合题值范围．数Z ．（1）求Z 点的轨迹方程，并指明轨迹类型；（2）求||Z 的最小值．13、已知复数1Z 、2Z 、3Z 的辐角主值分别是α、β、γ，又1||1=Z ，k Z =||2，k Z -=2||3，且0321=++Z Z Z ，问k 取何值时，)cos(γβ-分别取得最大值和最小值？并求出)cos(γβ-的最大值和最小值？。

复数的三角形式和指数转换公式

复数的三角形式和指数转换公式
复数的三角形式和指数转换公式
复数是在实数范围之外的数，可以写成 a+bi（其中a和b是实数，i
是虚数单位）。

复数有常见的三种表达方式：代数形式、三角形式和
指数形式，其中三角形式和指数形式适用于分析和计算复数的幅值和
相位角。

三角形式是把复数表示为一个大小为r的向量，它与实轴的夹角为θ（0 ≤ θ ＜2π），表示为r (cos θ + i sin θ)。

其中，r 是复数的模（或幅值），即复数到原点的距离，θ 是向量与正半轴的夹角。

因此，对于任意复数，都有一个唯一的三角形式。

指数形式表示为r e^(iθ)，其中 r 和θ 同上，e 是自然对数的底数。

指数形式可以转换为三角形式，使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，然后乘上r。

同样，从三角形式到指数形式，可以使用欧拉公式和三角函数的关系，即cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/2i。

将这
些代入三角形式得到指数形式。

指数形式应用广泛，因为它简洁且易于计算。

复杂的运算可以转换为
求指数函数。

例如，假设要计算z^4，其中z=3(cosπ/4 + i sinπ/4)。

使用指数形式，先将 z 转换为指数形式，得到3e^(iπ/4)，然后计算
3^4，再乘以e^(4iπ/4)。

结果为 -27-27i。

此外，在电路分析、信号处理和量子力学等领域中，指数形式也经常用于描述和计算复数。

教案标题初中数学知识点复数的三角形式与运算

教案标题初中数学知识点复数的三角形式与运算初中数学知识点：复数的三角形式与运算复数是数学中的一个重要概念，它是实数和虚数的组合，在解决一些实际问题时起到了重要的作用。

而复数的三角形式与运算是复数领域中的关键内容之一。

本文将详细介绍初中数学中与复数的三角形式与运算相关的知识点。

一、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为幅值和辐角的形式。

设有一个复数z=a+bi（其中a为实部，b为虚部）。

根据三角函数的知识，我们知道复数可以表示为：z = r(cosθ + isinθ)其中，r为z的模长，θ为z与正实轴的夹角。

利用欧拉公式，我们可以将复数的三角形式进一步变换为：z = r * e^(iθ)这个形式更加简洁，且更方便在复数的计算中应用。

二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法与减法遵循实部相加或相减，虚部相加或相减的原则。

例如，给定两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和与差可表示为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)iz1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法复数的乘法可以使用分配律和i的定义（i^2 = -1）推导得到。

例如，给定两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的乘积可表示为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数来实现。

假设除数不为零，给定两个非零复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的商可表示为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2)/(a2^2 + b2^2)]i三、复数的性质复数的三角形式与运算具有多种重要性质，下面列举几个常用的性质：1. 复数的模长与幅值复数的模长|r|与幅值θ有以下关系：r = √(a^2 + b^2)，θ = arctan(b/a)2. 共轭复数设复数z = a + bi，其共轭复数为z = a - bi。

引入三角函数的复数表示与解三角方程

引入三角函数的复数表示与解三角方程在数学中，三角函数是非常重要和广泛应用的一类函数。

为了更好地描述和解决与三角函数相关的问题，引入复数表示和解三角方程成为一种常见的方法。

本文将介绍引入三角函数的复数表示以及解三角方程的基本原理和方法。

一、引入三角函数的复数表示1. 复数的定义与运算复数由实部和虚部构成，可以用复数表示平面上的点。

实部和虚部分别用x和y表示，形式化表示为z = x + yi，其中i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可以用复平面表示，实部对应实轴，虚部对应虚轴。

2. 欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要等式，表达了三角函数和指数函数之间的联系。

欧拉公式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底数。

通过欧拉公式，可以将三角函数表达为指数函数的形式。

3. 复数表示的三角函数基于欧拉公式，可以将正弦函数和余弦函数表示为指数函数的形式。

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)，cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2。

这种形式的表示可以简化计算，尤其在处理复杂的三角函数运算时更为方便。

二、解三角方程的方法1. 三角方程的定义三角方程是含有三角函数的方程。

常见的三角方程包括三角恒等式、三角方程组和三角方程根式方程等。

解三角方程的目标是找到满足方程的解集。

2. 三角方程的解集表示三角方程的解集可以通过解析法、图像法和数值法等多种方法表示。

其中，使用复数表示解集是一种常见且有效的方法。

通过将三角函数转化为指数函数的形式，并利用复数的性质，将三角方程转化为代数方程求解。

3. 解三角方程的步骤（1）将三角方程转化为复数方程，通过利用复数表示的三角函数将三角方程中的三角函数项转化为复数项。

（2）通过代数方法求解复数方程，可以利用代数方程的求根公式等方法，求解复数方程的根。

（3）将复数根重新转化为三角函数的形式，得到原始三角方程的解集。

复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数组成的数，可以用不同的形式来表达。

其中，三角形式和指数形式是复数常用的两种表示方法。

本文将针对复数的三角形式与指数形式进行论述，分别从定义、转换关系以及应用方面进行探讨。

一、复数的三角形式复数的三角形式又称极坐标形式，表示为a(cosθ + isinθ)，其中a为复数的模，θ为主角，i为虚数单位。

三角形式将复数表示为一个模长为a的向量，与实轴之间的夹角为θ。

以例子说明，假设有一个复数z = 3 + 4i，其中实部为3，虚部为4。

根据勾股定理，可以计算得出模长a = √(3² + 4²) = 5。

而主角θ可以通过反正切函数得到，即θ = arctan(4/3)。

因此，复数z可以表示为5(cos(arctan(4/3)) + isin(arctan(4/3)))。

复数的三角形式除了提供复数的模和主角信息外，还能够方便地进行复数的运算。

加法、减法、乘法和除法等运算可以在三角形式下进行，并通过对应的三角函数公式实现。

二、复数的指数形式复数的指数形式是指数函数的一种特殊形式，表示为re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为主角，e为自然对数的底。

与三角形式类似，指数形式也将复数表示为一个模长为r的向量，与实轴之间的夹角为θ。

但不同之处在于指数形式中使用了指数函数，这使得复数的运算更加简化和方便。

以例子说明，继续使用上述复数z = 3 + 4i，其模长为r = 5，主角为θ = arctan(4/3)。

根据指数函数的定义，复数z可以表示为5e^(i·arctan(4/3))。

在指数形式下，复数的加法、减法、乘法和除法操作可以通过指数幂次运算来实现，利用指数函数的性质简化计算过程。

三、三角形式与指数形式的转换关系三角形式与指数形式之间存在一定的转换关系，让我们通过简单的推导来展示其中的关联性。

首先，假设有一个复数z = a(cosθ + isinθ)，根据欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，我们可以将复数z表示为a·e^(iθ)。

引入三角函数的复数表示与解三角方程组

引入三角函数的复数表示与解三角方程组复数是由实部和虚部组成的数，可以用在各种数学问题中。

在三角函数中，我们也可以引入复数表示来解决一些三角方程组。

一、复数与三角函数的关系以欧拉公式为基础，复数可以表示为指数形式：z = r * e^(iθ)其中，z 是一个复数，r 是模长，θ 是辐角。

而三角函数可以用复数来表示如下：sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2tan(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (i * (e^(iθ) + e^(-iθ)))二、复数表示的角度计算我们可以通过使用复数表示来计算三角函数的角度。

比如我们有一个复数 z = 1 + i ，即实部为 1 ，虚部为 1 。

要计算这个复数对应的角度θ ，我们可以使用下面的公式：θ = Arg(z) = arctan(Im(z) / Re(z))其中，Arg(z) 表示复数 z 的辐角，Im(z) 表示 z 的虚部，Re(z) 表示z 的实部。

三、解三角方程组的方法当我们需要解决一些三角方程组时，可以使用复数表示来简化计算。

例如，我们有如下的三角方程组：sin(2θ) + cos(3θ) = 02sin(θ) - 3cos(θ) = 1我们可以将sin(θ) 和cos(θ) 用复数形式表示如下：sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2将以上表达式代入原方程组中，得到：(e^(2iθ) - e^(-2iθ)) / (2i) + (e^(3iθ) + e^(-3iθ)) / 2 = 02 * (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i) -3 * (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2 = 1整理方程，消去分母，并将复数转化为指数形式：(e^(2iθ) - e^(-2iθ)) + i * (e^(3iθ) + e^(-3iθ)) = 02 * (e^(iθ) - e^(-iθ)) -3 * (e^(iθ) + e^(-iθ)) = 2i接下来，我们可以将e^(iθ) 和 e^(-iθ) 分别表示为 z 和 1/z ，可以得到两个复数方程：(z^2 - 1) + i * (z^3 + 1) = 02 * (z - 1/z) -3 * (z + 1/z) = 2i通过求解这两个复数方程，我们可以得到 z 的值。

复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与指数形式复数是数学中的一种特殊形式，它具有实部和虚部两个部分。

复数的表示方法有许多种，其中比较常见的是三角形式和指数形式。

本文将对复数的三角形式和指数形式进行详细介绍和比较。

一、复数的三角形式复数的三角形式可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。

而三角形式表示的复数则用模长和辐角来表示。

模长表示复数的大小，辐角表示复数与实轴的夹角。

1. 模长的计算复数z的模长可以使用勾股定理计算，即|z| = √(a² + b²)。

这个值表示了复数离原点的距离。

2. 辐角的计算复数z的辐角可以使用反正切函数计算，即θ = atan(b/a)。

辐角的范围为[-π, π]。

3. 使用欧拉公式转换为三角形式欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，可以将指数形式的复数转换为三角形式。

欧拉公式的具体形式为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数。

二、复数的指数形式复数的指数形式表达为re^(iθ)的形式，其中r表示模长，θ表示辐角，e为自然对数的底数。

1. 模长和辐角的确定给定一个复数a + bi，可以通过以下公式计算模长和辐角：r = √(a² + b²)θ = atan(b/a)2. 使用欧拉公式转换为指数形式由于欧拉公式已经被提到过，我们可以利用它将复数表示为指数形式。

具体的转换方法为：a + bi = re^(iθ)其中，r = √(a² + b²)，θ = atan(b/a)。

三、三角形式与指数形式的比较三角形式和指数形式都可以有效地表示复数，具有各自的优点和适用场景。

1. 三角形式的优点三角形式直观地将复数表示为实部和虚部的和，更易于理解。

在进行复数的加、减运算时，三角形式形式上更加简洁，容易计算。

2. 指数形式的优点指数形式适用于进行复数的乘法和除法运算。

通过欧拉公式，复数的指数形式与三角形式之间可以方便地进行转换，使乘除运算更加便捷。

数学中的复数进阶复数的三角形式与指数形式

数学中的复数进阶复数的三角形式与指数形式数学中的复数进阶：复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数构成的数学概念，在数学和物理学中有着广泛的应用。

在初级数学中，我们常常将复数表示为a+bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

然而，在进阶的数学学习中，我们将进一步学习到复数的三角形式和指数形式。

一、复数的三角形式复数的三角形式是将复数用长度和角度来表示的形式。

在平面直角坐标系中，假设复数z=a+bi的复数平面上的位置是(z.real, z.imag)，其模长（长度）为|z|，实部与虚部的关系可以表示为：a = |z| * cosθb = |z| * sinθ其中θ为复数z与正实轴之间的夹角，也是复数的辐角。

根据三角函数的性质，我们可以得到复数的三角形式表示：z = |z| * (cosθ+i * sinθ)复数的三角形式与笛卡尔形式（a+bi）之间可以通过共轭、模长和辐角之间的关系相互转换。

二、复数的指数形式复数的指数形式是将复数用指数的形式来表示，即z = re^(iθ)，其中r为模长，e为自然常数的底，i为虚数单位，θ为辐角。

利用欧拉公式（Euler's formula），我们可以得到复数的指数形式表示：z = |z| * e^(iθ)复数的指数形式在计算中具有方便的性质，特别是在计算复数的乘法、除法和乘方运算时更加简洁。

三、复数的应用复数在数学和物理学中有着广泛的应用。

在数学领域，复数可以用于解决多项式方程的根问题，如复数域的代数基本定理；在物理学领域，复数则可以用于描述交流电路中的电流和电压，以及电场和磁场等物理量的振动性质。

此外，复数还具有与实数相似的性质，可以进行加法、乘法和除法等运算。

复数的共轭、模长和辐角等运算特性，使得我们可以更加方便地进行复数的计算和推导。

结语通过学习复数的三角形式和指数形式，我们可以更深入地理解复数的概念和性质。

复数的三角形式和指数形式在数学和物理学的实际应用中具有重要的意义，为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。

三角函数向量复数

三角函数向量复数齐民友(武汉大学数学与统计学院430072)1 三角函数新课标中有关三角函数的内容分在数学4 ( 两个项目:三角函数,三角恒等变换) 和数学5 (解三角形) 中,共给了32 个学时. 其起点是初中已学过的锐角三角函数, 讲法上强调了利用向量方法, 发挥单位圆的作用,而且强调要淡化三角恒等变换的技巧性内容. 这些都是很好的, 但我以为如果突出三角函数的最本质内容, 不但用不了这么多时间, 而且更有利于学生现在和以后的学习. 这个最本质的内容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.但是为了讲清楚它, 教学次序要调整一下:先讲平面向量(包括余弦定理, 这种讲法的数学上的根据,我已在“前文”:“中学数学教学中的向量”(以下引用此文处较多, 均简称“前文”) 中作了详细讨论.匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题, 三角学源自天文学,因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆, 天体则是球, 天体的运行必是匀速旋转. 这些命题被亚里斯多德当成了形而上学的根本原则, 却是有人类认识的经验基础的. 由此,首先要回答什么是角. 初中水平的几何和三角学里讲的角是两条边“夹”出来的. 因此无所谓始边终边,角的大小也是非负的,其范围在0 ≤θ≤π,因此有锐角钝角之分. 比π更大的角有时称为“优角”,比0更小的角就谈不上了. 到了高中,第一个最重要的概念是:角是“转”出来的:具有固定起点的平面有向线段(即平面向量, 向量起点如前文所述,一定在原点. 以下我们时常混用有向线段与向量二词,应该不会有困难,) 绕此起点(原点) 在此平面内旋转就得到一个角. 有始边, 终边之分, 顺时针方向转的称为负角, 逆时针方向转的称为正角. 所以刻划一个平面向量a ,先要给定一个平面向量(例如i)作为参照( 即始边) , 然后, 让这个参照向量绕原点在此平面内旋转直到与a“重合”( 其实只需部分重合, 因为i与a 不一定同长) ,记旋转角为θ,再令a 之长为r =| a | ,它对角的性质无影响,所以我们以后总设r = 1 , 即只讨论单位向量旋转所成的角. 这个向量起点是(0 ,0) ,终点是22(,),1x y x y +=, 于是我们就说角就是单位圆上的点(,)x y 在其圆周上旋转所成的. 这种角习惯上称为任意角. 学生们时常以为任意角就是可取任意值的角. 这些当然是对的,但又不止于此,还有以上的丰富内容, 主要是有方向.既然如此, 要研究匀速旋转, 一方面可以研究角θ的变化,例如设角速度为ω,则有0wt θθ=+.0θ是角的初始位置. 这一点不仅有数学意义, 更重要的是有物理意义. 课标上要求重视三角学与其它学科的联系与结合是非常重要的. 而且依我之见, 最重要的是它与振动和波动的联系, 因为这可以说是几乎全部高科技的基础(或再加上“之一”二字, 以免有绝对化之嫌?) 而其出发点就在于此. 但这又是当前数学教学(不只是中学) 的薄弱环节. 这一点以下再说. 我们下面常取0θ=0,这纯粹是为了数学上的方便.研究匀速旋转最重要的是研究(,)x y 的变化,即是研究x 和y 作为θ的函数. 于是我们给出定义cos ,sin (1)x y θθ==当然如果(,)x y 不是单位向量，则令cos ,sin x y r rθθ== 我们会越来越多地看到, 最好是不把正弦余弦看作两个函数, 它们是密切相关的. 所以最好是把二者合起来看成一个向量值函数()(cos ,sin )cos sin ((cos ,sin )cos sin a i j r r r i r j θθθθθθθθθ==⋅+⋅=⋅+⋅或这个概念虽然不难,但是中学生能不能接受,我没有把握. 至少,好一点的学生是可以的, 而一旦接受了,会有很大方便.前文中我建议把这一部分(但0wt θθ=+一段暂时不讲) 放在向量一章里讲. 一方面, 可以对向量的方向有一个比较可操作的刻画方法, 即用辐角θ刻画. 这种刻画方法即使在中学阶段也十分重要.利用这种把正余弦定义为角的终边的坐标的方法,我们突破了初中讲sin θ,cos θ时θ限于锐角的限制,说明这已是一个推广,而为下面更进一步的展开作一铺垫. 这样定义正余弦更直接地是为介绍余弦定理作准备. 对余弦定理则要从如何计算向量或有向线段AB 之长入手,看出它是匀股定理的推广, 而不是把它简单地看成解三角形的工具. 解三角形只是余弦定理一个小小的应用:屠龙宝刀也可以用来杀鸡! 以下就可以进入三角函数理论本身了. 但在这以前请读者注意,我们多次强调了现在我们讲的是平面向量. 因为三维空间的旋转是一个非常困难的问题,对中学生是不宜去讲的. 但是从左图可以看到:如果把正方形Ⅰ先绕z 轴转2π得Ⅱ,再绕x 轴转2π 得Ⅲ. 但是若首先绕x 轴转2π得Ⅱ, 再绕z 轴2π得到的Ⅲ(右) 与前一个Ⅲ不同. 学生们自己用一本书在桌子边上实验一下即知.这说明三维空间中旋转的乘法( 连续施行两次旋转称为它们的乘积) 是不服从交换律的.大概多数中学老师会告诉学生有不可交换的乘法这回事. 给一两个例子即可使学生看到这一点, 不必等到系列3的选修课对称与群再讲了. 类似的例子在中学数学里多的是. 课标也把形成一定的数学视野⋯⋯作为高中阶段学习数学的总目标的一部分. 不能一提到一个问题就一定要开一门课, 列一个章节, 而可以随时注意提醒一些重要概念,“随风潜入夜, 润物细无声”可能是更易收效的.整个三角函数理论,其实可以归结为4 点:(1)沙尔定理. 设α角的始边为OA ,终边为OB ,如果再以OB 为始边旋转到终边OC ,则由OA 旋转到OC 的角是αβ+我们在前文中已经讲到沙尔定理, 这里又是一个. 那么, 沙尔是谁?这个定理是怎么说的?沙尔 (Michel Chasles , 1793 - 1880) 是一位重要的法国数学家. 在19 世纪之始, 当笛卡儿的解析几何已经“占据了统治地位”时, 有一批几何学家出来说, 解析几何代数味太重, 不算几何, 因此主张复兴综合几何. 这批几何学家以蒙日为首, 沙尔也是一员大将. 言词之争是小事, 射影几何学却由此发展起来了,以至于大数学家凯莱甚至说: 几何学就是射影几何学. 沙尔在1852 年出版的《高等几何学》一书中提出了以下的定理.沙尔定理: 设A ,B ,C 为直线上三点,则AB BC AC+=这就是“正宗”的沙尔定理. 不过因为它太简单,只能当作一个练习题, 人们似乎也不太重视. 但是沙尔本人是充分了解其意义的, 其实质意义就是,应该让几何量有正负号, 这样许多定理的证明就不必分成许多特例来分别证明了. 因此, 沙尔把他的这个定理称为几何学的基本定理. 后来人们把沙尔定理也推广到面积, 体积上去. 大数学家克莱因( Felix Klein , 爱尔朗根纲领的提出者, 而不是我们比较熟悉的写了数学史巨著的作家克莱因:M. Kline ,名字拼法也不同) 写过一本《从高观点看初等数学》,全书分三卷,第二卷几何学对这个观点及其发展作了非常精彩的论述. 附带提一句, 有向线段与有向角的概念也是沙尔引入的. 这样读者可以理解,本文和前文都把一个定理冠以沙尔之名是有道理的.(2) 勾股定理.22cos sin 1θθ+=它的证明确实就是勾股定理: 221x y +=.初中生也知道这个公式, 但是现在讲的是它的一个推广:θ不限于锐角, 而是任意角. 它的几何意义也很简单:如果一个点(x ,y) 在单位圆上转,则转来转去还在单位圆上. 这两个定理都简单得不能再简单了. 把它们当作基本的东西未免可笑. 但是, 它们确实起了基本作用. 说到底,三角函数就应该那么简单. 过去把它搞得那么复杂是由于没有认识到它的本质. 因此另两个定理就是讲的圆的基本性质———对称性(3) 对称定理.圆的最重要的性质就是其对称性. 圆有丰富的对称性. 我们不必拘泥于中心对称, 轴对称等等名词. 总之,圆在许许多多的变换下仍变为圆. 这就是对称性. 我们不妨从单位圆上的一个向量, (即一个角θ或一个点(,)x y ) 开始, 而且让它旋转. 首先是每次转90°(向左转) 或90°(向右转) ,而且是连续不断地施行这一变换(当然转了360°以后一定还原) :从θ变到,0,1,2,2k k πθ+=±± .这里看起来有无穷多个旋转,其实都可以由向左转90°(即2πθθ→+) 生成:向后转即连续两次向左转,向右转则可以先作3次向左转再反向转360°:3[]222ππθθθπ→-=+-.但是另一个重要变换θ→-θ(对x 轴反射) 不能这样生成. 所以我们把这个变换也列为基本的. 有了这两个基本的变换以后,例如对y 轴的反射θ→π- θ也可由θ→- θ再继之以两次向左转.总之,所有的,0,1,2,2kk πθθ→±+=±± 都可以由1:2T πθ→和2:T θθ→-生成. 这里我们用大写字母T 表示变换.变换是整个数学的核心概念之一. 在讲三角函数时把它溶化进去是有好处的, 当然这不等于要对中学生用上一大堆记号.而可以用两个引理来概括我们所需的变换. 引理1 若单位圆上一点(,)x y 经1T 变为((,)x y ''则,cos[]sin ,sin[]cos (2)22x y y x ππθθθθ''=-=+=-+=或证明太简单了, 画一个图就明白. 但是用向量来表述这个证明更加简单. (,)x y 点就是向量xi yj +, 但是在旋转2π后i 变成为j , j 则变成- i. 所以xi yj +变成x i y j yi xj ''+=-+. 此即所求证的结果.可能有读者喜欢画图, 但是, 画图只能给出一个特例,通常会把θ画在第一象限. 岂非还要对θ在二、三、四象限的情况分别再给以证明?应用了向量以及基底在旋转2π后的情况, 这些麻烦就全消失了.在讲复数后还可以给出另一个统一的十分简单的证明. 总之, 我们又一次看到, 抓住绕原点的旋转,总能得到优美简单的证明.引理2 若单位圆上一点(,)x y 经2T 变为(,)x y '', 则(,)x y ''仍在单位圆上,而且,cos()cos ,sin()sin (3)x x y y θθθθ''==--=-=-或引理2与引理1大异其趣. 引理1 利用了圆在旋转下的不变性(对称性) , 引理2 则用到它对于轴反射的对称性. 读者会问, 圆还有对于其它直径如轴的对称性, 那里又会有什么新鲜事呢?看来不会再有本质上不同的结果了. 所以, 引理1 ,2 也就够用了. 所谓“诱导定理”其实就是反复应用这两个引理. (也许还要加上一个周期性引理, 它虽然也可以从引理1 ,2 得出,但是周期性是一个重大问题,所以还是把它列出引理0 正余弦函数均以2π为周期. ) “诱导定理”至此就讲完了. 可以由它们得出许多公式,例如cos()cos[[]]22sin[]2sin[()]2cos()cos πππθθπθπθθθ-=+-=--=-+-=--=-等等. 有时同一个结果可以有多种证法. 应该告诉学生,哪一种证法都可以, 无所谓哪一个更好. 用惯了就行. 重要之处在于. 一定要使学生们懂得,现在θ不再只是锐角了. 麻烦在于, 这些公式中有一些非常常见,如cos[]cos[()]sin()sin 22sin[]sin[()]cos()cos 22ππθθθθππθθθθ-=+-=--=-=+-=-=而且有时还有特殊的名称, 如上式称为“余角公式”. 如果每一个公式都要起一个名字, 都要让学生自己推导, 那也太麻烦了. 所以课标里特别提到2π±θ,π±θ的正余弦公式,我看就是要背!至于名称, 当然可以免了. 讲上面这些引理的目的, 是请大家注意,它们都只是圆的对称性的表现. 必须抓住三角函数是为了刻画匀速圆周运动的, 这样就真正抓住了要领,就能以简驭繁. 我们应该要求于学生的,只是真正懂得那两条引理, 并且逐步学着由它们推导出需用的公式, 最好背得几个. 绝对应该避免把三角函数的理论变成一大堆公式!关于“诱导公式”一词, 也想做一点翻案文章:究竟是什么公式“诱导”了什么公式?是“诱导”出更好的还是一般的?查一下外国文献, 似乎从无“诱导公式”一说, 倒是有很多文献说到了“reductionformula ”(简化公式) 3 . 据我回忆,在上世纪50 年代前,国内教材说“简化公式”的是有的, 意思也清楚.所以本文就大胆不用“诱导公式”这个词了. 但是说“对称定理”肯定是不完美的,因为它远没有把圆的对称性表现充分. 因为这里要求每次转90°, 转了四次就周而复始,那么为什么不能每次转60°呢?按道理说是可以的, 也可以得到一些公式,只不过公式太繁,用处不大. 等到讲了复数以后,就一切都明白了.(4)加法定理它就是我们常说的“和角公式”与“差角公式”.把它们合称为加法定理是否有点故弄玄虚?这一方面是由于加法定理一词在数学中是很常用的. 许多重要的函数()f x都有自己的加法定理, 就是把()+与()f x,()f yf x y联结起来的公式. 三角函数的加法定理只是其一例. 更重要的是, 它虽然包含了许多公式, 其处理方式都是一样的, 而且其结果在引入复数以后又都与一个最重要的“加法定理”,(0)x y x y+=>统一.所以我们主张a a a a就只使用一个名词逐渐地取代现在通用的许多名词.加法定理仍然本质地反映了圆的对称性. 如果说,对称定理回答了旋转90°的问题,现在则要回答旋转任意角度的问题. 为此, 取一个单位向量OA ,为简单计就把它放在x 轴上成为x 轴正方向的单位向量. 以OA 为始边转一个角α, 设终边为OB ,当然||||1==OB OA,所以B 点仍在单位圆上. 现在以OB 为始边再转一个β角成为OC , C点当然仍在单位圆上. 单位圆转来转去仍是单位圆, 这是它的不变性也就是它的对称性. 不妨把这个说法与欧几里德的说法作一点比较:欧几里德的《几何原本》就是以此性质来刻画圆的(圆上任一点到圆心距离相同) ,我们只不过加上两个新名词: 不变性和对称性. 这又是不是故弄玄虚?当然不是. 不变性与对称性密切相关. 中学教材中讲过不少对称性:点对称、轴对称、球对称等等. 但是要问对称性的定义, 则只能这样说:若有一图形G以及一类变换,使得G经这一类中的任一变换后仍保持不变, 就说G关于这类变换具有对称性. 所以圆对于绕圆心的旋转具有旋转对称性.“不变性”、“对称性”和“变换”一样,都是整个数学科学的核心概念. 欧几里德讲圆只是接触到对称性的一个特例. 课标选修系列3 中的“对称与群”这一专题则是为的初步介绍一般的对称性概念的数学理论. 在讲三角函数时当然不能去讲群论, 但是我们使用变换, 不变, 对称这些“词”而不加任何进一步说明,正是为了使学生能或多或少“得其意”,为他们今后的发展作一点铺垫. 下面回到正题.单位向量OA 绕O 旋转一个角α而成OB , 再经过旋转一个角β终于成了OC .对此有两种看法: 一是OA 经旋转角α+β达到OC (沙尔定理) ,所以OC 的辐角是α+β,而有cos()sin()(3)OC i j αβαβ=+⋅++⋅另一种看法是OC 是OB经旋转β而得, 如果把OB 看成新的x 轴,则记其上的单位向量为i ′, 并记新的y 轴上的单位向量为j ′,有cos sin (4)OC i j ββ''=⋅+⋅但是i ′是OA 旋转了角α而得的终边,故cos sin i i j αα'=⋅+⋅j ′则是i ′再转2π而得,也就是由OA 转2πα+而得 (沙尔定理) ,故cos[]sin[]sin cos 22j i j i j ππαααα'=+⋅++⋅=-⋅+⋅这里用了一次引理1. 以i ′, j ′之式代入(4) 即有cos [cos sin ]sin [sin cos ](cos cos sin sin )(sin cos cos sin )(5)OC i j i j i i βααβαααβαβαβαβ=⋅+⋅+-⋅+⋅=-⋅++⋅ 比较(3) 与(5) 利用平面向量的基本定理,即有正余弦函数的加法定理. 对任意角α+β有cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin )(6)αβαβαβαβαβαβ+=-+=+这就是和角公式. 把β换或- β并利用引理2 又可得到差角公式.这个证法优于一般教材上的证法主要不在于它比较简单而且一下子给出了4 个公式, 而在于它来自一个基本的思想,即三角函数的加法定理反映了圆的对称性这一基本性质, 而且通过沙尔定理可以完全不受α,β在不同象限需要不同处理方法的影响. 我们在讲沙尔定理时引述了沙尔本人对几何量应该允许取不同符号的话. 实际上, 这个证明并不需要图2 ,证明的文字中从来没有“见图2”的字样.读者不妨试一下,完全不看图, 只看文字, 应该不太困难地看懂它,最多是有一些生疏.关于三角函数的论述基本已完成. 在教学过程中不费力气就可以得到倍角公式, 和差化积, ⋯等等. 下面对三角恒等变换的教学讲一点看法. 主要的看法是, 目前的中学教学对此仍然看得过重, 我则主张进一步淡化处理. 这一部分和证明几何题一样是很有吸引力的,对学生(特别是好学生) 的数学能力的培养有好处. 为什么还要淡化,看一下历史发展就明白了. 最简单恒等变换如和角公式, 差角公式以及某些和差化积公式, 托勒密就已证明了.但是大家不把它们看作恒等变换, 因为托勒密是用的初等几何方法( 主要依靠所谓托勒密定理: 圆内接四边形两对边乘积之和等于对角线乘积) , 而没有用三角函数之间的关系式,直到16 - 17 世纪, 由于天文学和测量学计算的需要, 常遇到各种三角函数的关系问题. 一个著名的例子: 积化和差公式1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-就被用来计算两数乘积:设有A>0 ,B>0.首先找一个适当整数n(可正可负) 使0101n A <<. 对B 也一样处理.因此可设0 < A , B < 1 然后查三角函数表找到α,β使A = cos α, B = cos β. 再用三角函数表计算cos (α+β) ,cos (α- β) . 取其半和即得A ²B ( 还要再乘以10n- ,即移动小数点位置) . 这样作虽然繁,但比直接相乘仍然简便. 从哥白尼,第谷²布拉到开普勒都是这样作的. 这个公式还有一个很长的名字:prosthaphaeresis 公式(其实这个看来深奥的字是由两个希腊字合成的:prosthesis , 加法,afaero 减法) , 可见人们对这个公式确实是郑重其事的. 它的作用是把乘法化为加法. 纳皮尔和对数的其他发明者都是受了它的启发. 这类公式越积越多, 许多大数学家都有贡献. 但是技巧方面虽然得到了发展, 这些公式相互之间有什么联系都是茫然. 老实说, 现在流行的许多三角恒等式的辅导材料, 培训教材等等, 从总的数学水平来看, 仍然没有超出那个时代. 到后来对数发明了,再没有必要使用三角学积化和差公式了. 三角函数表早就可以用微积分方法来作. 就再也不必如托勒密那样, 用某些特殊角如30°,45°, ⋯用勾股定理,比例中项以及半角公式等等来作其它角的正余弦了. 微积分的出现给了人们新的视野,三角函数的研究中要引入无穷级数, 微分方程, 也开始了新纪元. 不妨说最突出的成就是cos sin ixe x i x =+. 欧拉公式在这个历史背景下, 有一些三角恒等式如和差角公式,倍角半角公式, 和差化积, 积化和差等等, 因为其常用, 已被吸收为数学基础教育的一部分, 另一些则失去了重要性. 甚至成了历史的遗迹, 例如使用“正弦线”的概念, 是因为当时数尚未发展起来(纳皮尔就不使用小数) , 只好把半径取得很大(甚至取到1010 ) ,再测量表示sin x 的弦长,这时正弦确实是一条线(弦) , 所以称为正弦线.现在有什么必要还在我们的中学教材中把它作为一个“概念”, 一个“知识点”, 甚至问没有正弦线怎么作sin x 的图象?因此在今天的教学中就没有必要在这类问题上花功夫. 有同志提出积化和差不能不要,否则怎样计算 ?这当然是事实.确实不应该简单地nx mxdxsin sin“规定”, 例如只“准”讲和差化积,不“准”讲积化和差. 有些内容是应该记忆的, 有的则不然. 到需要时再提醒一下也是可以的. 主张在三角恒等式上多下一点功夫的人还有一个理由,就是它可以锻练学生的能力. 这个论点也是成立的. 有一个著名的例子. 著名的物理学家, 诺贝尔奖金获得者费曼多次说, 正是因为看到了很是奇怪,大大cos20°cos40°cos80°=18激发了他学习数学的兴趣. 这个题目对他的一生的影响, 他一直难忘. 波利亚说过,解数学题是一个创造过程, 难题是比较大的创造,容易的题也是小的创造.因此,本质的问题是如何帮助学生走上创造的道路. 对有兴趣也有能力的学生给一些比较难的题目, 我想是很有好处的. 前文讲了几个几何“难题”, 如果利用复数还可以解决难得多的几何难题. 我们的目的,不是提倡做难题,而是说明向量以及复数的一种应用. 这个目的,靠题海战术是达不到的. 就以上题而论,这个题目实在不难, 绝大多数高中生都很容易作出来. 可是成为费曼的终究只有一个人, 而且费曼绝不是单靠难题就能成功的.以上用了很大篇幅讲为什么要淡化三角恒等式. 有淡化就有强化,那么应该强化什么?从三角学发展的轨迹来看, 我以为首先应该加强围绕Acos(ωt +θ)的训练. 包括A ,ω,θ的物理意义,它们的值对图象的影响,特别是0cos()y A A wtθ=++的图象与A0 的关系. 原因在于除了天文和测量之外,到18 世纪以后, 三角函数与振动和波动现象的关系越来越成为人们关注的焦点. 人类从自然界和社会生活中得到的关于振动和波动的信息越来越多. 简单的如三相交流电, 如一个地方日出时间在一年中的变化, 如各种乐器发出的声音, 各种各样的无线电波———雷达、电视, ⋯———地震波, 甚至物种种群大小的周期变化, 无不归结为cos()A wt θ+的组合. 因此, 例子极多, 关键在于选取. 尤其重要的是三角函数的图象的教学. 应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、升降性、周期性, 解释各种简化公式的几何意义. 从我自己上课的经验来看,用粉笔在黑板上画正弦函数的图像, 真是一场灾难. 特别是横坐标,要画出 1.57082x π==,而且希望比其在纵轴上的最大值大1. 6 倍⋯. 写讲义时只好用一张薄纸蒙在书上描! 我这样说决非轻视图象问题, 恰好相反, 我以为现在的中学教学对图象问题太轻描淡写, 而且许多时候, 可以说是该讲的没有讲, 反而讲了不该讲的东西:如什么“五点法”,“正弦线”确应取消. 在讲三角函数时不妨采用实验方法. 让学生做一个实验:用一张透明胶片蒙在教本( 教本上的图形应该是比较准确的, 而且通常既有正弦又有余弦) 上画一条正弦曲线, 画图时最好用中性笔或者记号笔,使得胶片的正反两面都能看得清楚. 但是不要画坐标轴,只在图像上标明对应于3,,,22x πππ= 的各点. 这样一来,坐标轴印在书上是不能动的. 然后把透明胶片左移2π,您就会发现正弦变成了余弦, (这时,需帮助学生弄明白把()f x 的图象向左移2π, 得到的是()2f x π+ 而不是()2f x π-这可能要费一点口舌, 但是在研究其它函数时也会用得上) 如果再左移,,2ππ 则sin x 又变成了- sin x , - cos x , ⋯然后又变回来了. 可以问学生得到的是哪一个公式?(引理1) . 再把胶片左右翻转(透明胶片的好处在于两面都看得见) , 问问学生我们做的实验上是什么变换( x →- x) ?得到了什么公式?(引理2 ,上下翻转,即自变量x 不变,函数值y 反号, 需要到复数中去考察. ) 至少,学生们会懂得:(1) 正弦余弦其实是一个东西, 只不过看它的位置(即坐标系) 变了. 这句话,最好从物理上理解:对于y = sin x , 我们有时称x 是其位相(或简称为相) .“位相”或“相”, 是数学与物理学, 工程学里常用的词,但是。

高考专题高三数学《考前指导》3三角、向量

2014届高三数学《考前指导》专题三三角函数、平面向量（本专题内容来自必修4、必修5）一、知识归纳三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg +tg tg(+)=1tg tg αβαβαβ-的变形tg +tg =tg(+)(1)tg tg αβαβαβ-, 二倍角公式22cos2cos sin ααα=-2212sin 2cos 1αα=-=-的变形21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=等。

3、常用的三角变换① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：如2α=(α+β)+(α-β)2β=(α+β)-(α-β)α=[(α+β)/2]+[(α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[(α-β)/2]2α=2α/2=(α+β-β)②函数名称变换：主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。

③ 公式的活用主要有公式的正用、逆用、变形用。

通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan450，-1=tan1350,=tan600,=cos600或=sin300,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx 的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。

高中数学竞赛专题竞赛中的复数问题

竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一. 一、知识结构 1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=re iθ(r≥0,θ∈R);④欧拉公式:e iθ=cosθ+isinθ,θ∈R. ⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z ;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |=||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R.⑶运算法则:①乘法:r 1(cosθ1+isinθ2)r 2(cosθ2+isinθ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ);④开方:z n =r(cosθ+isinθ)⇔z=n r (cos nk πθ2++isin nk πθ2+)(k=0,1,2…,n -1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz=Argz n ;③性质:若z=cosθ+isinθ,则1+z=2cos 2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n -1);ωk =(cos nk π2+isin nk π2)(k=0,1,2…,n -1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x -ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2,…,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π. 3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cosθ+isinθ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w w w --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R.二、典型问题1.复数概念[例1]:若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a -sinθ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 . [解析]:|z|≤2⇔(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4⇔2acosθ-4asinθ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55].[类题]:1.①已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 .②已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= . 2.若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= .3.如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确5.设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 .解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22b a bi a +-=a+22b a a ++(b-22b a b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22b a b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1. 当b=0时,a≠0,w=a+a1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1.2.代数形式[例2]:设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= .[解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a -bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2. [类题]:1.①复数(1+i)4+(1-i)4= .②计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n ,n ∈N}中包含的元素是 .3.复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.()使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx≠0)⇔x=kπ. 3.三角形式[例3]:给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ,z 3=cosγ+isinγ⇒21z z +32z z +13z z =cos(α-β)+isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin 2γα-cos 22βγα-+-2sin 2γα-cos 2γα-=0⇒sin 2γα-sin 2αβ-sin 2βγ-=0.当sin 2αβ-=0时,β=2kπ+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z +13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin 2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin 2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .解:Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A A C i C C B i B B ++⋅+=2ACB cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2AC B cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2AC B cos cos cos ,虚部是0.2.已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = .解:设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ⇒z 1-z 2=(co sα-cosβ)+(sinα-sinβ)i=cos150+isin150⇒cosα-cosβ= cos150,sinα-sinβ=sin150⇒(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=1⇒cos(α-β)=21,sinα-sinβ=±23⇒21z z =cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i.3.(设|z 1|=|z 2|=a(a≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acosα+aisinα,z 2=acosβ+aisinβ,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(co sα+cosβ)=m,a(sinα+sinβ)=m ⇒cosα+cosβ= sinα+sinβ⇒2cos 2βα+cos 2βα-=2sin 2βα+cos 2βα-⇒cos2βα+=sin 2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i. 4.设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cosθ+isinθ⇒|z 2-z +2|=|cos2θ+isin2θ-cosθ-isinθ+2|=|cos2θ-cosθ+2+(sin2θ-sinθ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414.5.已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 . 解:设z 1=cosθ+isinθ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解. 4.共轭运算[例4]:若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )=-61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确解:z -λz=w ⇒z-λz =w⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 .解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =ii ++-22=543i +-.4.z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= .解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z z z =正实数⇒arg21z z z z ++=0.5.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cosθ+isinθ)⇒z 21z =9(cosθ-isinθ)⇒cosθ=-21⇒sinθ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= log 3|92000(ω+ω2)|=4000. 5.模的运算[例5]:复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 . [解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|= 2,设z 1=2(cosα+isinα)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cosα+1)2+(2sinα)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cosα=41).[类题]: 1.|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz−6),则|z|等于 . 解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2.3.设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos 3π+isin 3π).5.设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3]. 6.乘方运算[例6]:设n≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n 取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = . [解析]:令tanθ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tanθ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos 83π+isin 83π)]n =r n (cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=kπ⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008. [类题]:1.计算:(21i -)1989= .2.①已知z=(3-3i)n ,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 .解:令tanθ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos 35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n =(23)n [cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=kπ⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3.②设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的3.①设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n =sinn θ+icos n θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n =[i(cosθ-isinθ)]n =i n [cos(-θ)+isin(-θ)]n =i n [cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n [cos(n θ)-isin(n θ)]=i n-1(sinn θ+icos n θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n≤2003)⇒k≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②设m 、n 是自然数,且使(3+i)m =(1+i)n 成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n (n 为正整数)为实数时,|z+i|n 的最小值为 . 解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21±23i)⇒(z+i)n =(±3)n (21±23i)n ,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.[(23i +)8+1]n 当n 取1,2,…,100时,可得个不同的数值.解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-iω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n ,可得6个不同的数值.7.单位复数[例7]:(设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb ac b a +--+=1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②知复数m 满足m+m1=1,则m 2008+20091m= .解:m+m1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m1⇒m 2008+20091m=-m+m=0.2.①设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x+)1990+(yx y +)1990的值是 .解:x 2+xy+y 2=0⇒(yx )2+yx +1=0.令yx=ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+=19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x 2006+y 2006)的值是 .3.若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=1;若z≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=1.4.已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= .5.设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21.8.复数方程[例8]:x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m| ⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1若虚数z 使2z+z1为实数,则2z+z1的取值范围是_____.2二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________. 解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02 -x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 . 解:z 4=z⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos 52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4)4.复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.设ω=cos 5π+isin 5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0解:ω=cos 5π+isin 5π=cos 102π+isin 102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x -ω2)…(x -ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x -ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x -ω3)…(x -ω9)=x 5+1,其中ω5=cosπ+isinπ=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x -ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x=x 4-x 3+x 2-x+1.选(B).9.复数与点[例9]:设复数z=cosθ+isinθ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z ⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3.[类题]:1.若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为 (用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22ba a +,-22ba b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x≤-3)上⇒z=-4+i.4.在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cosθ+isinθ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cosθ)+isinθ][cosθ-(1+sinθ)i]|=|(1+cosθ)+isinθ||cosθ -(1+sinθ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= .[解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|= |OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)=(3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12.②已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .解:i 1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.2.设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.解:在复平面上,设A(-1,0),B(1,0),C(0,1),则当z 为△ABC 的费马点(0,33)时,|z-1|+|z-i|+|z+1|取得最小值,最小值为1+3.3.设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 .解:|z-z1|=|z1(z 2-1)|=|z1||z 2-1|=21|z 2-1|.设w=z 2,由|z|=2⇒|w|=|z 2|=|z|2=4,|z 2-1|=|w-1|的几何意义是半径为4圆上的点到定点(1,0)的距离⇒最大值与最小值的和为44.若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M,m,则mM = .解:在复平面上,设A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=22⇒|z+1+i|+|z-1-i|=22点在线段AB 上⇒M=|BC|=5,m=22.5.已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 . 解:|z 2+iz 2+1|=|(1+i)z 2+1|=|1+i||z 2+i+11|=2|z 2+21i -|,设w=z 2,由|z|=1⇒|w|=|z 2|=|z|2=1,|z 2+21i -|=|w+21i -|的几何意义是单位圆上的点到定点(-21,21)的距离⇒值域是[2-1,2+1]. 11.幅角主值[例11]:已知复数z=1-sinθ+icosθ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]:z =1-sinθ-icosθ,设z 的辐角主值α,则tanα=1sin cos -θθ=-2)2sin 2(cos)2sin 2)(cos 2sin 2(cosθθθθθθ--+=-2sin2cos2sin 2cos θθθθ-+=-tan(2θ+4π)=tan[π-(2θ+4π)]=tan(43π-2θ)⇒α=43π-2θ.[类题]:1.集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对解:由复数幅角主值定义知0≤argz<2π⇒0≤a<2π⇒0≤2a<4π,z=r(cosa+isina)⇒z 2=r 2(cos2a+isin2a).①当0≤a<π时,argz 2=2a;②当π≤a<2π时,argz 2=2a-2π,故选(D).2.设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= .解:设z+2=R(21+23i),z-2=r(-23+21i)⇒21R-2+23Ri=2-23r+21ri ⇒21R-2=2-23r,且23R=21r ⇒R=2⇒z=-1+3i.3.若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 解:设z 2+4,z 2-4,z 2对应的点分别为A,B,C,则C 是AB 的中点,∠BOA=65π-3π=2π⇒|OC|=21|AB|=4,argz 2=∠COx=3π+3π= 32π⇒z 2=4(cos 32π+isin 32π)⇒z=±2(cos 3π+sin 3π)=±(1+3i).4.设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______.解:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OABC 为平行四边形,且cos ∠OBC=-21⇒∠OBC=32π⇒arg(12z z)=∠BOA=π-32π=3π,或arg(12z z )=35π⇒arg(12z z )3=π.5.已知θ=arctan 125,那么,复数z=ii ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.解:θ=arctan 125⇒tanθ=125⇒cosθ=1312,sinθ=135⇒z=123912+(cosθ+isinθ)2(239-i)=)1239(16912+(119+120i) (239-i)=)1239(16912+(28561+28561i)⇒argz=4π.12.几何形状[例12]:设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]:设z 1=cosθ+isinθ⇒z k =(cosθ+isinθ)(cos 20)1(2π-k +isin 20)1(2π-k )(1≤k≤20),由1995=20×99+15⇒z k 1995=(cos1995θ+isin1995θ)(cos(k-1)23π+isin(k-1)23π)=(cos1995θ+isin1995θ)(cos 23π+isin 23π)k-1=(cos1995θ+isin1995θ)(-i)k-1,共有4个不同值.(1,-1,i,-i). [类题]:1.若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 .解:依题意,z 0+z=i(z 0-z)⇒z=ii ++-11z 0=iz 0,|z 0|2=31,△ABC 的面积为=21|AB||AC|=21|z 0-z||z 0+z|=21|(1-i)(1+i)||z 0|2=31.2.①设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .解:4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒(z 2-z 1)2=-3z 12⇒z 2-z 1=±3z 1i ⇒|z 2-z 1|=3|z 1|⇒AB ⊥OA,且|AB|=3|OA|⇒△OAB 的面积=21|OA||AB|=83.②设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.解:z 13+z 23=0⇒(z 1+z 2)(z 12-z 1z 2+z 22)=0⇒z 12-z 1z 2+z 22=0⇒12z z =231i ±⇒∠Z 1OZ 2=arg(231i ±)=3π⇒△Z 1OZ 2的面积=21|z 1z 2|sin 3π=43.3.复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______. 解:1z z 2的实部为零⇒1z z 2=ai ⇒z 2⊥z 2⇒argz 2=6π+2π=32π⇒|z 2|=3⇒z 2=3(cos 32π+isin 32π)=-23+23i.4.已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .解:x 2-2x+2=0⇒z 1=1-i,z 2=1+i,x 2+2mx+1=0⇒z 3=-m-21m -i,z 4=-m+21m -i,1413z z z z --:2423z z z z --∈R ⇔1413z z z z --=x 2423z z z z --⇔(z 1z 2+z 3z 4-z 1z 4-z 2z 3)=x(z 1z 2+z 3z 4-z 1z 3-z 2z 4)⇔2+1-(1-i)(-m+21m -i)-(1+i)(-m-21m -i)=x[2+1-(1-i)(-m-21m -i)-(1+i)(-m+21m -i)]⇔5.设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.解:设45342312a a a a a a a a ====k(k≠0)⇒a 2=ka 1,a 3=k 2a 1,a 4=k 3a 1,a 5=k 4a 1⇒S=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1+k+k 2+k 3+k 4),S=411a (1+k1+21k +31k+41k)=4411ka (1+k+k 2+k 3+k 4)⇒(4411ka -a 1)(1+k+k 2+k 3+k 4)=0.①若1+k+k 2+k 3+k 4=0⇒k 5=1⇒|k|=1⇒|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|; ②若4411ka -a 1=0⇒a 1k 2=±2⇒a 3=±2⇒1+k+k 2+k1+21k=±2S ,令k+k 1=x ⇒x 2+x-1±2S =0,该实系数二次方程的△=5± 2S>0,且f(2)=5±2S >0,f(-2)=1±2S >0⇒|x|<2⇒方程k+k1=x,即k 2-xk+1=0的△=x 2-4<0⇒k 1,k 2互为共轭复数⇒|k 1|2=|k 2|2=k 1k 2=1⇒|k|=1⇒|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|=2. 13.解折综合[例13]:设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )y O x yO xO xO x(A) (B) (C) (D)解:|z+ni|+|z -mi|=n ⇒n>0,n=|z+ni|+|z -mi|≥|n+m|⇒m<0;|z+ni|-|z -mi|=-m>0⇒|z+ni|>0,选(B). 2若M={z|z=tt +1+i tt +1,t ∈R,t≠-1,t≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.解:z 1z=-1⇒z 1=-z1,代入|z 1-z 0|=|z 1|得:|z1+z 0|=|z1|⇒|z 0z+1|=1⇒|z+1z |=||10z ,又因z≠0(z 1z=-1)⇒点z 的轨迹是以-1z 为圆心,||10z 为半径的圆,除去原点.4.①已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .解:设A(1,1),O(0,0),B(0,-3)⇒|OA|=2⇒|z-1-i|-|z|=2,即|PA|-|PO|=2的点P 的轨迹为射线y=x(x≤0),|w+3i|=1,即|QB|=1⇒|z –w|,即|PQ|的最小值=223-1.②、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____. 解:5.已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.解:设|z|=r,w=z 2,由|z 2|+|z 2−1|=7⇒r 2+|w-1|=7⇒2114.复数应用[例14]:若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:在(1+x+x 2)1000=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000中,令x=1:a 0+a 1+a 2+…+a 2000=31000;令x=ω,a 0+a 1ω+a 2ω2+…+a 2000ω2000=0;令x=ω2,a 0+a 1ω2+a 2ω4+…+a 2000ω4000=0;注意到:ω3=1,ω2+ω+1=0⇒当n=3k 时,1+ωn +ω2n =3;当n=3k+1时,1+ωn +ω2n =1+ω+ω2=0;当n=3k+2时,1+ωn +ω2n =1+ω2+ω=0.以上三式相加得:3a 0+a 1(1+ω+ω2)+a 2(1+ω2+ω4)+…+a n (1+ωn +ω2n )+…+a 2000(1+ω2000+ω4000)=31000⇒3(a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998)=31000⇒a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998=3999. [类题]:1.已知sinα+sinβ=51,cosα+cosβ=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .解:设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ,则z 1z 2=cos(α+β)+isin(α+β),|z 1|=|z 2|=1⇒z 11z =z 22z =1,z 1+z 2=31+51i ⇒z 1z 22z +z 2z 11z =31+51i ⇒z 1z 2(1z +2z )=31+51i ⇒z 1z 2(31-51i )=31+51i ⇒z 1z 2=ii3535-+⇒z 1z 2=178+1715i ⇒cos(α+β)=178,sin(α+β)=1715⇒)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-=)]cos())[sin(cos(2)]cos())[sin(sin(2βαβαβαβαβαβα++++++++=815.2.求值:tan700-010cos 1= .解:设z=cos100+isin100⇒z z =1,z =cos100-isin10⇒cos10=21(z+z )=zz 212+,sin100=i21(z-z )=ziz 212-.z 3=c os300+ isin300=23+21i.z 2=cos200+isin200⇒cos200=2421zz+,sin200=iz z2421-⇒tan 70-10cos 1=1144-+z z i-122+z z =1)1(2424---+z z z i i z =1212332323-+-+zi z z zi =3.3.化简arccot2+arctan 31= .解:arccot2+arctan 31=arctan 21+arctan 31=arg(2+i)+arg(3+i)=arg[(2+i)(3+i)]=arg(5+5i)=4π.4.rctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .解:arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81=arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)=arg(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=arg[650(1+i)]=4π. 试问:当且仅当实数x 0,x 1,x 2,...,x n (n≥2)满足什么条件时,存在实数y 0,y 1,y 2,...,y n 使得Z 02=Z 12+Z 22+...+Z n 2成立,其中Z k =x k +iy k ,i 为虚数单位,k=0,1,2,3,...证明你的结论. 解:。

高中数学竞赛专题讲座---复数

复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列．（1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ．（3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和．解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==．（2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ．（3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=．例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ．（2）当1≠k 时，211111)1(a k kk a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ．例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin 3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos 2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23cos 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π，∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+，能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有nn n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近．（2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上．例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||OA k AB =，OA AB , 的交角为θ所确定。

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