AAAAA类比推理

周长（封闭曲线的长） 周长（封闭曲线的长） 面积（封闭曲线围成的面积） 面积（封闭曲线围成的面积）
球
截面圆 过球心的截面圆
切面 表面积（封闭曲面的面积） 表面积（封闭曲面的面积） 体积（封闭曲面围成的体积） 体积（封闭曲面围成的体积）
圆的性质（类比的角度） 圆的性质（类比的角度）
平面内封闭曲线所围的对称图形 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）的中点的连线 圆心与弦（非直径） 垂直于弦
3.探究 3.探究
等式性质
a = b, b = c ⇒ a = c
不等式性质
a > b, b > c ⇒ a > c
a = b ⇒ a + c = b + c a > b ⇒ a +c > b+c
a = b ⇒ a⋅c = b⋅c a > b ⇒ a ⋅ c > b⋅ c
a = b ⇒ a2 = b2
实数的加法
a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R
实数的乘法
a, b ∈ R ⇒ a ⋅ b ∈ R
a+b= b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
a ⋅b = b⋅a
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
a + 0 = a
a ⋅1 = a
a⋅x =1⇒ x = 1 a
a 2 > b2 a>b⇒
M
M
问题:类比得到的结果一定正确吗? 不一定正确! 问题:类比得到的结果一定正确吗? 不一定正确!
(2)试将平面上的圆和空间里的球进行类比 (2)试将平面上的圆和空间里的球进行类比 圆的定义：平面内， 圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间里， 球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合
(2) 科学家在研究“火星上是否有生命”这个问题时，是 科学家在研究“火星上是否有生命”这个问题时， 把火星和地球作类比： 把火星和地球作类比：
地球
行星 围绕太阳运行、 围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 有四季变更 温度适合生物的生存 有生命存在 行星
火星
围绕太阳运行、 围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 有四季变更 温度适合生物的生存 可能有生命的存在
三个面两两垂直的四面体
∠C＝90° ＝ °
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° ＝ ＝ ＝ °
三条边的长度 2条直角边a，b和1条斜边c a2+b2=c2
4个面的面积
3个“直角面” S1，S2，S3和 直角面” 1个“斜面” S 斜面” S12+S22+S32= S2
思考题
是等比数列， 若数列 {an }(n ∈ N + ) 是等比数列，则 有数列 b = n a a La (n ∈ N )也为等 n 1 2 n + 比数列，类比上述性质，相应地； 比数列，类比上述性质，相应地；若数 列 {cn }是等差数列且 cn > 0( n ∈ N + )，则 {c 也为等差数列。 有 dn = 也为等差数列。
4.类比推理的定义 类比推理的定义 这种由两类对象具有某些类似特征， 这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理（简称类比）．简言之 类比）．简言之， 类比推理（简称类比）．简言之，类比 推理是由特殊 特殊的推理 特殊到 的推理。 推理是由特殊到特殊的推理。
a + x = 0 ⇒ x = −a
例2
的角度来类比， （1）从 构成几何体的元素数目的角度来类比， 空间四面体可以类比成平面的什么图形？ 空间四面体可以类比成平面的什么图形？
(1)
若三角形内切圆半径为 面积为 S
= 1 r ( a + b + c ), 2
r ,三边长为a , b , c ,则三角形的 三边长为 则三角形的
以点 ( x0 , y0 ) 为圆心，为半径的圆的方 以点 ( x 0 , y 0 , z 0 )为球心， r 为半径的球的 为圆心， r 为球心， 2 2 2 2 程为 ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 = r 2 方程为 ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + ( z − z 0 ) = r 0 0
上述生活中例子的类比过程可以简单的表示为： 2. 上述生活中例子的类比过程可以简单的表示为： 事物A具有属性： 事物A具有属性： a, b, c, d 事物B具有属性： 事物B具有属性： a’,b’,c’, (a’,b’,c’,与 a, b, c相 与 相 似或相同) 似或相同) 可以猜想事物B可能具有： ( 相似的属性) 可以猜想事物B可能具有： d’(与d相似的属性) 相似的属性 这就是类比的思想） （这就是类比的思想）
c1 + c2 +L+ cn n
7.小结 7.小结
运用类比推理的一般步骤: 运用类比推理的一般步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性; (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性; 找出两类对象之间可以确切表述的相似性 (2)用其中一类对象已知的性质去推测另一类 (2)用其中一类对象已知的性质去推测另一类 对象的性质,从而得到一个猜想; 对象的性质,从而得到一个猜想; (3)最后 检验这个猜想 最后, (3)最后,检验这个猜想。 观察、 联想、 观察、比较 联想、类推 猜想新结论
2.1.1类比推理 2.1.1类比推理
一、回顾
归纳推理： 归纳推理： 由某类事物的部分对象具有某种特 征，推出该类事物的全部对象都具有这 特征的推理；是一种由特殊 一般的推 特殊到 特征的推理；是一种由特殊到一般的推 理。
二、引入
1.(1)有这么的一个传说：春秋时代的鲁班（ 1.(1)有这么的一个传说：春秋时代的鲁班（被认为 有这么的一个传说 是木匠的祖师）有一次去林中砍树时被一颗齿形 齿形的茅草割 是木匠的祖师）有一次去林中砍树时被一颗齿形的茅草割 破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他当时是这样想： 破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他当时是这样想： 茅草是齿形，能割破手。 茅草是齿形，能割破手。我现在需要一种能割断木头的工 所以可以把它造成齿形的，看能否把木头割断。 具，所以可以把它造成齿形的，看能否把木头割断。就这 样有了后来的锯子。 样有了后来的锯子。
事物A具有属性： 事物A具有属性： a, b, c, d 事物B具有属性： 事物B具有属性： a’,b’,c’, (a’,b’,c’,与 a, b, 与 c, 相似 可能具有： 与 可以猜想事物 B可能具有：d’(与 d 相似的属 性
5.例1
类比实数的加法和实数的乘法 类比的角度
运算的结果 运算律( 运算律(交换 结合律) 律、结合律) 单位元 逆运算
与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等， 与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较 近的弦较长
球的性质
空间里封闭曲面所围成对称图形 球的表面积 球的表面积 球的体积 球心与截面圆（不过球心）的 球心与截面圆（不过球心） 圆心的连线垂直于截面圆
与球心距离相等的两个截面圆面积相等; 与球心距离相等的两个截面圆面积相等; 与球心距离不等的两个截面圆面积不等, 与球心距离不等的两个截面圆面积不等, 距球心较近的截面圆面积较大
类比推理的结果是猜测性的,不一定正确, 类比推理的结果是猜测性的,不一定正确,需 要作严格的证明;但它具有发现的功能, 要作严格的证明;但它具有发现的功能,为研 究问题指明一定的方向。 究问题指明一定的方向。
根据类比思想,若空间四面体内 根据类比思想 若空间四面体内
切圆的半径为 R ,四个面的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,则四 四个面的面积分别为 则四 面体的体积 V =
平面内直角三角形的勾股定理, (2) 平面内直角三角形的勾股定理,试通过类比找出 空间四面体相关性质的猜想。 空间四面体相关性质的猜想。